Skaičių eilutės

1.1.1 Skaičių eilutės apibrėžimas ir konvergavimas 1 apibrėžimas. Reiškinys u1+u2+…+un+… arba vadinamas skaičių eilute; un – eilutės bendrasis narys. un – eilutės nariai, sn – dalinės eilutės sumos, kai nN. 2 apibrėžimas.Jeigu eilutės dalinių sumų seka konverguoja, tai sakome, kad eilutė konverguoja; jeigu seka ( sn, nN) diverduoja, tai eilutė diverguoja. 3 apibrėžimas.Jeigu eilutė konverguoja, tai jos dalinių sumų , sn sekos riba vadinamas eilutės suma ir žymima u1+u2+…+un+…:=S arba. 4 apibrėžimas. Eilutė, sudaryta pradedant n+1 nariu, tačiau paliekan narių užrašymo tvarką taip kaip eilutėje, vadinama eilutės n-tąja liekana ir žymima arba un+1+un+2+… 1 teorema: (Koši kriterijus). Skaičių eilutė konverguoja tada ir tik tada, jeigu bet kuriam >0 egzistuoja toks numeris n, kad su visais nn ir bet kuriuo p0 teisinga nelygybė | un+1+un+2+…+u n+p|0 – griežtai teigiamąja. 5 teorema: Teigiamoji eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka apibrėžta. 6 teorema: Jeigu teigiamoji eilutė konverguoja ir jos suma yra S, tai pakeitus eilutės narių išsidėstymo tvarką ir numeraciją, eilutė konverguos ir S=S’. 7 teorema: Tarkime duotos dvi eilutės: ir . Be to po kurio nors nario n0, unvn, n>n0. Tada, konverguojant , konverguos ir ; diverguojant , diverguos ir . 8 teorema: Sakykime eilutė yra teigiamoji, o - griežtai teigiamoji ir . Tuomet teisingi tokie teiginiai: a) jeigu K=0 ir eilutė konverguoja, tai konverguos ir ; b) jeigu K=+ ir eilutė konverguoja, tai konverguos ir ; c) jeigu KR+, tai abi eilutės elgiasi vienodai. 8 įrodymas: 1) Iš ribos apibrėžimo išplaukia, kad kai K=0, . Jeigu eilutė konverguoja, tai iš (7) teoremos išplaukia, kad konverguoja ir eilutė . 2) Jeigu K=+, tai . Todėl konverguojant didesniajai konverguos ir . 3) Jeigu KR+, tai gauname . Eilutės elgiasi vienodai. 9 teorema: (Koši radikalusis požymis). Tarkime, kad eilutė - teigiama. Tuome jeigu egzistuoja , tai esant L1 – eilutė diverguoja; kaiL=1 – požymis netinkamas konvergavimui nustatyti. 9 įrodymas: Iš ribos apibrėžimo išplaukia, kad , kad ; jeigu L1 ir baigtinis, tai ir gauname . Todėl eilutė diverguoja, nes - diverguoja. 10 teorema: (Dalambero požymis). Tarkime, kad eilutė griežtai teigiamoji ir egzistuoja riba . Tuomet eilutė konverguoja, kai L1, jeigu L=1, šis požymis neinformatyvus. 11 teorema: (Koši integralinis požymis). Tarkime, kad teigiama eilutė yra tokia: ; čia f(n) yra funkcijos f(x) reikšmė, kai x=n. Funkcija f(x) apibrėžta, kai x1, teigiama tolydi ir monotoniškai mažėjanti. Tuomet konvergavimo (divergavimo) prasme eilutė ir netiesioginis integralas ekvivalentūs. 11 įrodymas: Dėl funkcijos monotiškumo, kai nxn+1, n1 turime, todėl ir . Sumuodami panariui nelygybes, gauname , arba . Iš čia išplaukia, kad konverguojant eilutei , dalinė suma sm monotoniškai auga ir apibrėžta, t.y egzistuoja riba smS, kai m+, tuo pačiu egzistuoja ir baigtinis netiesioginis integralas . Antra vertus, jei eilutė diverguoja, tai sm – didėjanti ir neapibrėžta. Taigi eilutė ir netiesioginis integralas konverguoja ir diverguoja vienu metu. 1.1.4 Absoliutinis ir reliatyvusis konvergavimas.Alternuojančios eilutės 6 apibrėžimas. Jeigu eilutė konverguoja, tai eilutė yra vadinama absoliučiai konverguojančia. Jeigu euilutė , o eilutė konverguoja, tai eilutė - reliatyviai konverguojanti. 12 teorema: Jeigu eilutė konverguoja absoliučiai, tai ji konverguoja. 7 apibrėžimas. Eilutę , vadinsime alternuojančiąja eilutė, t.y. 13 teorema: (Leibnico). Jeigu alternuojančios eilutės nariai cn sudaro nykstančią seką, t.y. cn+1

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!