Integralai

 22. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas ir geometrinė prasmė. 1-7 jo savybės. Sakykime, kad atkarpoje [a;b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija f(x). Figura, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų- tiesių x= a ir x=b, iš viršaus – funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija. Apskaičiuosime šios trapecijos plota: atkarpą taškais bet kaip padaliname į n dalių. Kiekvienoje dalyje bet kur pasirin-kime po tašką c ir suraskime funkcijos reikšmę tame taške. Kiekvieną atkarpą laikydami kraštine, nubraižykime stačiakampį, kurio pagrindas xi=xi-xi-1, o aukštinė lygi f(ci). Gausime laiptuotą figūrą. Apskaičiuokime jos plotą. Kiek-vieno stačiakampio plotas bus lygus f(ci) , todėl visos laiptuotos figūros plotas lygus tokių demenu sumai. Laiptuotos figūros plotas bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos plotui, juo bus mažesnės atkarpos. Pažymekime max xi raide . Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos ribą, kai 0. Vadinasi, Aprašytą procedurą pritaikykime bet kokiai tolydžiai funkcijai f(x), apibrėžtai intervale [a;b]: 1) sudarykime sumą , kuri vadinama Rymano integraline suma 2) Apskaičiuokime šios sumos ribą, kai Apibrėžimas: Jei egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, kai 0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skai-dymo būdo bei nuo parinktų taškų ci, tai ta riba vadinama funkcijos apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b]. Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu Taigi skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu rėžiais. Ši formulė rodo, kad galima formaliai integralinės sumos ribą pakeisti apibrėžtiniu integralu. Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [a;b] arba integruojama atkarpoje [a;b].Taigi geometrinė prasme integralas yra kreivines trapecijos plotas. Apibrėžtinio integralo savybės : sakykime, kad f(x) ir g(x) integruojamos atkarpoje [a;b]. Tuomet teisingi šie teiginiai: 1. čia  ir  - konstantos. 2. Apibrėžtiniame integrale darėme prie-laidą, kad ab, tai sutarsime, kad 3. Kad ir kokie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė: 4. Jei f(x)>=0, tai 5. Jei f(x)>=g(x)atkarpoje [a;b], tai 6. Tarkime, kad m=min f(x), M=max f(x), kai x priklauso [a;b]. Tada 23. Vidurinės reikšmės teorema. Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja atkarpos taškas c, kuriame: Įrodymas: Kadangi funkcija tolydi atkar-poje [a;b], tai ji šioje atkarpoje ygyja mažiausią ir didžiausią reikšmę m ir M, todėl m0, gauname Taigi pagal teoremą apie tolydžios atkar-poje funkcijos tarpinę reikšmę jis yra funkcijos f(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pvz, kuriame nors taške c. Todėl iš čia ir gauname iš čia gaunasi: Pvz.: 24. Apibrėžtinis integralas su kintamu vir-šutiniu rėžiu. Jei funkcija f(x) integruo-jama atkarpoje [a;b], tai ji bus integruo-jama ir atkarpoje [a;b], xe [a;b]. Nagrinėsime integralą , kuris geometriškai reikštų kreivinės tra-pecijos turinčios kintamą kraštinę , plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas bus kintamas ir priklausys nuo x. Todėl Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai ((x))’=f(x) šios atkarpos taškuose. Įrodymas: Kintamajam x suteikiame pokytį x ir apskaičiuojame pokytį : =(x+x)- (x)= Šiam integralui taikome vidurinės reikšmės teoremą. Tuomet Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu: Kadangi cx,kai x0, tai dėl f(x) tolydumo Taigi ’(x)=f(x) Ši lygybė reiškia, kad funkcija(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė atkarpoje [a;b]. Išto gauname svarbią išvadą: kiekviena tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją (x)= 25 Niutono ir Leibnico formulė Teorema. Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b] ir F(x)- kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai Įrodymas. Remiantis ankstesne teorema (Jei fukcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai ((x))’=f(x) šios atkarpos taškuose.), galima teigti, kad tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią Kadangi pagal sąlygą F(x) irgi yra funkcijos f(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik konstanta, todėl Įrašę į šią lygybę reikšmę x=a, gauname 0=F(a)+C, C=-F(a). Taigi Įrodyta. Skirtuma F(b)-F(a) įprasta žymeti F(x)ab. Tuomet Niutono ir Leibnico formulė rašoma taip: . 26apibrėžtinio integralo skaičiavimas keičiant kintamąjį Šis metodas pagrįstas tokia teorema. Tarkime, kad integrale kintamasis x pakeistas pagal formulę x=(t). Jeigu: 1) f(x) tolydi atkarpoje [a;b], 2) (t) ir ’(t) tolydžios atkarpoje [;], 3) (t) reikšmių aibė yra atkarpa [a;b], be to, ()=a, ()=b, tai Įrodymas. Skaykime, kad F(x)-funkcijos f(x) pirmykštė atkarpoje [a;b]. Tuomet, panaudoję Niutono ir Leibnico formulę, gauname: Išvestinę F'(j(t)) apskaičiuosime, taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę F'((t))=f ((t)) ’(t). Vadinasi, 3.2 27.Integralas su simetriniais režiais. Tarkime, kad (x)-tolydi atkarpoje [-a,a](a>0)funkcija. Tuomet Įrodymas. Pirmajame integrale pakeisime kintamąjį: x=-t, dx=-dt. Kai x=-a, tai iš x=-t gauname t=a, o kai x=0, tai iš tos pačios lygybės turime t=0, todėl Tuomet Jei (x)-lyginė funkcija, tai (-x)=(x) ir (-x)+(x)=2(x). Jei (x) – nelyginė funkcija, tai (-x)=-(x) ir (-x)+(x)=0. Iš to išplaukia reikiama lygybė. 28Integravimas dalimis Šis metodas pagrįstas tokia teorema. Teorema. Sakykime, kad u(x) ir v(x) – diferencijuojamos atkarpoje [a;b] funkcijos. Tuomet Įrodymas. Panaudoję lygybę d(uv)=udv+vdu bei Niutono ir Leibnico formulę, gauname: Taigi Iš čia Įrodyta. 29Integralai (nN) Pirmiausia įrodysime, kad šie integralai yra lygūs. Pakeiskime kintamąjį:x=/2-t,dx=-dt.TuometDabar apskaičiuosime integralą Integruosime dalimis: u=sinn-1x, dv=sinxdx. Tuomet du=(n-1)sinn-2xcosxdx, v=-cosx. Vadinasi, Kadangi tai Taigi gavome rekurentinį sarišį In=(n-1)(In-2-In),In=(n-1)In-2-(n-1)In,In-(n-1)In =(n-1)In-2,In=((n-1)/n)In-2.Panaudoję šią formulę, gautumeIn-2=(n-3/n-2) In-4, todel In=(n-1/n)(n-3/n-2) In-4. Pratęsę šį procesą, gautume I1, kai n – nelyginis, arba I0, kai n – lyginis. Kai n-lyginis (n=2m), tai čia Kai n – nelyginis (n =2m+1), tai čia Simboliu n!! (Skaitysime “dvigubas faktorialas”) pažymėsime vientik lyginių skaičių iki n sandaugą, jei n- lyginis, ir vien tik nelyginių iki n skaičių sandaugą, jei n – nelyginis. Tuomet Trumpiau šias dvi lygybes galima parašyti taip: 31Integralo kovergavimas. Tarkime, kad ; tada Jeigu >1, tai -1>0 ir , kai x, todėl Taigi integralas konverguoja. Jeigu 0 ir x1-+, kai x+, todėl integralas diverguoja. Kai  = 1, tai Vadinasi, integralas kon-verguoja, kai >1, ir diverguoja, kai =a reikšmėmis teisinga lygybė 0=0, integralas reiškia figūros, apribotos kreivės y=f(x), ašies Ox ir tiesių x=a, x=b, plotą, o netiesioginis integralas - begalinės figūros, apribotos kreivės y=f(x), ašies Ox ir tiesės x=a, plotą. Pagal Niutono ir Leibnico formulę matyti, Kad netiesioginis integralas Konverguoja tada ir tik tada, kai egzistuoja baigtinė riba 33Trųkiųjų funkcijų netiesioginiai integralai. Tarkime, kad funkcija f(x) yra tolydi intervale (a;b], o taške x=a turi antros rūšies trūkį. Taigi taške x=a ji yra neapibrėžta, kartu dėl šios priežasties neintegruojama atkarpoje [a;b]. Tačiau tarkime, kad į dešinę nuo taško a, pavyzdžiui, atkarpoje [a+; b] (0 ∫dy q(y)=∫p(x)dx. 2. Dif. lygtis su atskiriamais kintamais: p1(x)q1(y)dx+p2(x)q2(y)dy=0 / *1/q1(y)p2(x) ∫p1(x)dx/p2(x)+∫q2(y)dy/q1(y)=0 (1+x)ydx=(y+1)xdy / 1/y*x ∫(1+x2)dx/x=∫(y+1)dy/y ∫dx/x+∫xdx=∫dy+dy/y ln|x|+x2/2=y+ln|y|+c (4) PIRMOS EILĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS F-ja F(x,y) vad “k”- eilės homogen. f- ja jeigu F(tx, ty) = tk F(x,y). x,y – x3 –nehomogen. tx ty – t3x3 = t2(xy – tx3) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 P(x,y); Q(x,y) – tolydžios x є(a,b); y є(c,d) P(x,y) ir Q(x,y) yra to paties laips. hom. f-jos P(x,y) + Q(x,y) y’=0 y=f(x,y); f(tx; ty)=f(x,y) Jei t=1/x; f(1;y/x)=y’; y/x=u; y=ux; y=u’x+u u=u(x) dif. xє(a,b) y’=ey/x+y/x (5) Pirmos eilės dif., lygtys, kurių formulė: y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)) Yra du būdai: 1. a1 b1 a2 b2 ≠0 Įvedam pažymėjimą: x=x1+m y=y1+m m,n є R dx=dx dy=dy y’=dy/dx => y’1=dy1/dx1 y’1=f((a1(x1+n)+b1(y1+n)+c1)/a2(x1+n)+b2(y1+n)c2) m,n—parenkam a1m+b1n+c1=0 a2m+b2n+c2=0 Rasim m, n y’1=f((a1x1+b1y­1)/a2x1+b2y1) y1/x1=u y1=ux1 y’1=u­’x1+u išsprendę įstatom reikšmes: x1=x-m y1=y-n u=y1/x1 2.) a1 b1 =0 a2 b2 Kintamieji atsiskiria iš karto. (6) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS . Apibrezimas:Dif lygtis, I kuria ieina y’+p(x)Y=q(x)…(1) – tiesine dif lygtis. p(x),q(x) – tolydzios x(a,b); a1(x)y’+b1(x)y=c1(x)…(2); a1(x)0/(1/a1(x)); y’+y b1(x)/a1(x)=c1(x)/a1(x) b1(x)/a1(x)=p(x); c1(x)/Q1(x)=q(x), gauname y’+p(x)y=q(x). Jei q(x)=0, tai y’+p(x)y=0…(3)- tiesine homogenine Metodai: 1)Bernulio: Turime y’+p(x)y=q(x)..(4), y=uv; Cia u=u(x) ir v=v(x) – tai x(a,b); y’=u’v+v’u…(5) (4) ir (5) i (1) u’v+v’u+p(x)uv=q(x); u(v’+p(x)v)=q(x)-u’v; v’+p(x)v=0..(6) q(x)=u’v ….(7) Is(6): dv/dx=-p(x)v dv/v=-p(x)dx, v=e-p(x)dx+c , kai c=0…(8) (8) i (7) q(x)=u’e-p(x)dx , u= ep(x)dxq(x)dx+c; y=uv=( ep(x)dxq(x)dx+c) e-p(x)dx 2)Lagranzo(konstantu variavimo): Turime tiesine nehom dif lygti y’+p(x)y=q(x)..(1); y’+p(x)y=0..(2); dy/dx=-p(x)y; y= e-p(x)dx+c(x); y’= e-p(x)dx+c(x), c=c(x) randame y’; y ir x’ i (1) Atsiskirs kintamieji ir gausime y=(x;c) (7) BERNULIO DIF. LYGTYS . y’+p(x)y=q(x)yn ..(1), p(x),q(x)-tolydzios x(a,b); a(x)y’+p(x)y=d(x)yn/(1/a(x); y’+yb(x)/a(x) =d(x) yn /a(x); b(x)/a(x)=p(x); d(x)/a(x)=q(x). Bernulio dif lygti galime spresti kaip tiesine lygti Brenulio metodu. Gaunasi sudetingas reiskinysm, paprasciau spresti pries tai lygti padalijant is y-n; y’+yp(x)=q(x) yn / y-n ;yn y-n+ y1-np(x)=q(x). Pazymim: y1-n =z…(3) Diferencijuojame: (1-n) y-n y’=z…(4); y-ny’=z’/1-n…(5) (5) ir (3) i (2); z’/1-n+zp(x)=q(x) (8)PIRMOS EILĖS DIF. LYGTYS PILNAIS DIFERENCIALAIS. Apibrezimas : Diferencialine lygtis : P(x;y)dx + Q(x,y)dy = 0 ;…(1) yra vadinama I eiles diferencialine lygtimi pilnais diferencialais , jeigu jos kairioji puse yra tam tikros funkcijos U=u(x;y) pilnas diferencialas ; t.y. du (x;y)=P(x;y)dx + Q(x;y)dy.. (2); P,Q ir u yra diferencijuojamos funkcijos srityje D ; A0) ir yra “n” eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendiniai. Jei y”+p1(x)y’+p(x)y=0, tai šios lygties sprendinys užsirašys taip: y=C1y1(x)+C2y2(x); (14) OSTROGRACKIO - LIUVILIO TEOREMA Ši teorema leidžia nustatyti antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį, kai žinomas tik vienas jos sprendinys. Y1(x)+y2(x), x(a,b) – tolydžios, diferencijuojamos. Šitos funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos. Tada ir bet kuri kita y1(x)+y2(x) bus tiesiškai nepriklausoma. y1(x);y2(x);y – tiesiškai nepriklausomos. W(x)=0; Tai tada: y”|y11y12 y21’y22’| - y’|y11y12 y21”y22”| + y|y11’y12’ y21”y22”|=0; (y”A33+y’A23+yA13=0). (1) dalinam iš N(x)=|y11y12 y21y22|. Y”-y’p1(x)+yp2(x)=0, čia p1(x)= (-|y11y12 y21y22|)/W(x)=-(y1y2”-y2y1”)/W(x)=(-W(x))/W(x), nes W’(x)=(y1y2’-y2y1’)’=y1y2”-y2y1”; iš (2) gauname P1(x)dx=d(W(x))/W(x); W(x)= e-P1(x)dx+c=C e-P1(x)dx (15) ANTROS EILĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS . y (n) +P1(x) y (n-1) +P2(x) y (n-2) +…+Pn(x) y=f(x)…(1) Pi(x); i=1 ikin ir f(x) –tolydzios dif x(a,b); L[x]= y (n) +P1(x) y (n-1) +P2(x) y (n-2) +…+Pn(x) y; L[x]=f(x)…(2). Jei y * (x)-yra dutota lygti L[x]=f(x) atitinkancios homogenines lygties L(x)=0 bendras sprendinys, o (su bruksniu) y(x) yra L[x]=f(x) atskiras sprendinys, tai y * =(x)+(su bruk)y(x) bendro sprendinio struktura. Irodymas: y * (x)yra L[y]= bedras sprendinys, t.y. L[y * ]=0; (su bruk) y(x) yra L[y]=f(x) –atskiras sprendinys, t.y. L[(su bruk) y(x)]=f(x); L[y * +(su bruk) y]=L[y * ]+L[(su bruk)y]=0+f(x)=f(x) (16) LAGRANŽO METODAS . TIESINIŲ NEHOMOGENINIŲ DIF. LYGČIŲ TAIKYMAS LAGRANŽO METODU . Trurime y’’+p1(x)y’+p2(x)y=f(x)…(1) antors eiles tiesine nehomogenine lygtis L[x]=f(x); Sudarome: L[x]=0; y’’+p1(x)y’+p2(x)y=0 isprendziame ir randame bendra sprendini. Y=C1y1+C2y2- bendras spr. (2); y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)…(3) Y’=C’1(x)y1(x)+C1(x)y’1(x)+C’2(x)y2(x)+C2(x)y’2(x); Pagal Lagranza: C’1(x)y1(x)+C’2(x)y2(x)=0 y’= C’1(x)y’1(x)+C’2(x)y’2(x)…(4); y’’= C’1(x)y’1(x)+ C1(x)y’’1(x)+C’2(x)y’2(x)+ C2(x)y’’’2(x)…(5); (3),(4),(5) statome i (1): C’1y’1+ C1y’’1+C’2y’2+C2y’’2+P1(x) (C1y’1+C2y’2)+P2(x)( C1y1+C2y2)=f(x); C1(y’’1+y’1P1(x)+y1P2(x)+C2(y’’+y’2P1(x)+y2P2(x)+C’1y’1+C’2y’2=f(x); C’1y’1+C’2y’2=f(x); C’1(x)y1+C’2y2=0 C’1y’1+C’2y’2=f(x) (17) ANTROS EILĖS TIESINĖS HOMOGENINĖS DIF LYGTYS SU PASTOVIAIS KOEF. y’’+a1y’+a2y=0…(1), L[y]=y’’+a1y’+a2y; L[y]=0; a1,a2-realus; (1)lygties bendro spr ieskosime tokiame pavidale y=ekx …(2). y’=k ekx …(3), y’’=k^2 ekx ..(4) (4), (2) ir (3) statome i (1): ekx (k2+a1k+a2)=0; ekx0 k2+a1k+a2=0 …(5)- charakteringoji lygtis. F-ja y=ekx bus (1) lygties sprendinys tik tada, kai k bus charakterigos lygties saknis. 1)k2+a1k+a2=0 k1,k2-realios, skirtingos y1=ekx , y2=ekx W(x)= ex(k1+k2)(k2-k1)0, y=C1y1+C2y2=C1 ek1x+C2 ek2x 2)Charakteringosios lygties saknys yra realio ir vienodos. k2+a1k+a2=0 Tegul y1=ek1x yra duotos dif lygties (1) spr. k1 =k2=k; y2= ek2x- nera sprendinys, nes W(x)=0. Irodysime, kad y2= ek2x yra sprendinys, jei y1= ekx – sprendinys. W(x)0. Panaudodami Ostrograskio-Liuvilio teor, kai y1= ekx, irodysime, kad y= xekx y2=y1(e-a1dx/y21)dx= ekxe0dx=xekx y=ekx(C1+C2x) jei charakteringosios lygties saknys k1=k2=k, tai : y= ekx(C1+C2x) 3) Charakteringosios lygties saknys yra kompleksines k2+a1k+a2=0 k1=+i, k2=-I; y1= e (cosx+isinx); y2= e (cosx-isinx) Teorema: Jei y=u(x)+iv(x) yra tiesines homogenines lygtiessprendinys L[y]=0, tai sio f-jos realios ir menamos dalys yra tos pacios lygties sprendinio L[u(x)]=0; L[v(x)]=0; L[u+v]=L[u]+L[v]=0, y1= ex cosx, y2= ex sinx, y= ex (C1cosx+C2sinx) 18) II EILĖS TIESINĖS NEHOMOGENINĖS DIF. LYGTYS SU PASTOVIAIS KOE. y’’ + a1y’ + a2y = f(x); ...(1) ; L[y] = f(x); L[y] = y’’ + a1y’ + a2y; a1, a2 - pastovūs, realūs sk. B.S.: y = y* + y- ; ...(2); y* - bendr. sp. L[y] = 0; y- - atskir. sp. lygties L[y] = f(x); (1) atskirą sp. y- ieškosime neapibr. koef. metodu, kai f(x)= ex (Pn(x) cosx + Qm(x) sinx); ...(3) čia Pn(x) ir Qm(x) - “n” ir “m” eilės daugianaris. 1)   nei vienai charakt. lygt. šaknų. y’’ + a1y’ + a2y = 0; k2 + a1k +a2 = 0; šaknys k1 ; k2 ;  k1  k2 ; f(x) = ex * Pn(x); ...(4); tada y- =ex * Qn(x); ...(5); Įrodymas: Jeigu (5) yra (1) sprendinys, tai ji turi tenkinti tą lygtį. y- ’’ + a1y- ‘ + a2y- = ex Pn(x); ...(6); Iš (5): y- ’ = ex * Qn(x) + ex * Qn’(x) = ex ( * Qn(x) + Qn’(x) ); ...(7) iš (7): y- ‘’ = ex ( * Qn(x) + Qn’(x)) + ex (Q’n (x) + Qn’’(x)); ...(8); (5), (7), (8)  (6):  ( * + Qn’(x) ) +  * Qn’(x) + Qn’’(x) + a1 ( Qn(x) + Qn’(x))+ a2 Qn(x) = Pn(x); Qn’’(x) + Qn’(x) (2 + a1) + Qn(x) (2 + a1  + a2) = Pn(x); y = yx + y- 2) Kai f(x) = ex * Pn(x); =k1 ; arba =k2 ; k2 + a1k + a2 = 0 šaknys, tada y- = xex Qn(x); 3) f(x) = ex Pn(x); =k1 = k2 ; k2 + a1k + a2 = 0; y- = x2 ex Qn(x); 4) k=i ; k2 + a1k + a2 = 0; f(x) = ex ( Qn(x) cos x + Qn(x) sin x); y- = ex ( A cos x + B sin x ); Jei f(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x), tada y = y* + y-1 + y-2 + ... +y-n (19) NORMALINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMA . Tai tokia sistema , kurios kairėje pusėje yra nežinomų funkcujų tik pirmos eilės išvestinės , o dešinėje yra nepriklausomos kintamos ir nežinomos funkcijos . x , y , z – nepriklausomi kintamieji ; dx / dt = f 1 ( t , x , y , z ); dy / dt = f 2 ( t , x , y , z ); dz / dt = f 3 ( t , x , y , z ); Rasti : x = x ( t ); y = y ( t ); z = z ( t ); TEOREMA . Kiekviena dif . lygčių sistemą , kurią galima išspręsti I išvestinės atžvilgiu , galima pervesti į normalinę . TEOREMA . Kiekveiną “ n “ eilės dif. lygtį , išspęstą aukščiausios eilės išvestinės atžvilgiu galima pervesti į normalinę dif . lygčių sistemą . y /// = f ( x , y , y/ , y// ) ; Pažymime : y1 = y/ ; y2 = y1/ = y// ; y/// = y2/ =y1// ; y/ = y1 ; y1// = y2 ; y2/ = f ( x , y , y1 , y2 ) ; “ n “ eilės dif . lygčiai reikia įvesti ( n – 1 ) naują kintamajį ; TEOREMA. Kiekvieną normalinę dif. lygčių sistemą , įvedus pažymėjimus , galima pervesti į “ n “ eilės vieną dif. lygtį . (20) KANONINĖS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS . Tai tokios diferencialinių sistemos , kurių kiekviena lygtis išspresta nežinomūjų funkcijų aukščiausių eilių išvestinių atžvilgiu. x ; y ; z – nežinoma funkcija ; “ t “ nepriklausomas kintamasis . d 2 x / d t2 = f 1 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ; d 2 y / d t2 = f 2 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ; d 2 z / d t2 = f 3 ( t , x , y , z ; dx/dt ; dy/dt ; dz/ dt ; ) ; Kiekvieną kanoninę dif . sistemą , įvedus naujus pažymėjimus , galima pervesti į normalinę . Pažymime : dx / dt = u ; dy / dt = v ; dz / dt = w ; du / dt = f 1 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; ); dv / dt = f 2 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; ); dw / dt = f 3 ( t , x , y , z ; u ; v ; w ; ); Kanoninę dif . lygties sistemą ir be pažymėjimų galime spręstitokiu pat būdu kaip normalinę . (21) TIESINIŲ DIF. LYGČIŲ SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS SISTEMOS. {dy/dx = a11y + a12z + a13u1 {dz/dx = a21y + a22z + a23u2 {dz/dx = a31 + a32z + a33u3 Tokią lygčių sist. galima spręst kaip normalinę, pervedant ją į vieną dif. lygtį. Gavę B.S.: {y=c1k1(1)er1x + c2k1(2)er2x + c3k1(3)er3x {z= c1k2(1)er1x + c2k2(2)er2x + c3k2(3)er3x {u= c1k3(1)er1x + c2k3(2)er2x + c3k3(3)er3x galime juos užrašyti prikl. nuo šaknų: a) kai šaknys skirtingos, bet realios. b) kai šakn. yra kartotinės. c) kai šakn. kompleksinės.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!