Išvestinės. Integralai

Įvairiuose funkcijos apibrėžimo srities taškuose išvestinės reikšmės yra įvairios. Taigi išvestinę savo ruožtu galima traktuoti kaip naują funkciją. Jei funkcija turi išvestinę visuose aibės taškuose, tai galima apibrėžti funkciją , kuri vadinama funkcijos išvestine funkcija.
PAVYZDYS. Raskime funkcijos išvestinę.
.
Gavome .
Dabar pateiksime elementariųjų funkcijų išvestinių sąrašą:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Funkcijos , , ir vadinamos atitinkamai hiperboliniu sinusu, hiperboliniu kosinusu, hiperboliniu tangentu ir hiperboliniu kotangentu.
SUDĖTINĖS FUNKCIJOS IŠVESTINĖ
Tegul funkcija apibrėžta aibėje (), o funkcija apibrėžta aibėje (). Tada aibėje apibrėžta sudėtinė funkcija . Aptarsime šios funkcijos išvestinės skaičiavimo metodiką.
NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS
APIBRĖŽIMAS 14. Operaciją, kuri kiekvienai funkcijai priskiria aibę visų jos pir­mykščių funkcijų (kokiame nors intervale ), vadinsime integravimu, o bet kurios funkcijos pirmykštę funkciją - funkcijos neapibrėžtiniu integralu.
Jis žymimas .
Jei funkcija yra kuri nors viena iš funkcijos pirmykščių intervale funkcijų, tai ir funkcija () taip pat yra funkcijos pirmykštė funkcija, todėl rašoma
(30)
čia yra laisvoji konstanta, - pointegralinė funkcija, - integravimo kintamasis.
Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo tiesiogiai išplaukia tokios lygybės:
ir
.
ELEMENTARIŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRALŲ LENTELĖ
Naudojantis integralinio skaičiavimo (30) formule, galima sudaryti elementariųjų funkcijų integralų lentelę:
1.
2.
3. , ()
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Pateiktą integralų lentelę galima praplėsti naudojantis integravimo taisyklėmis.
INTEGRAVIMO TAISYKLĖS
1. Jei yra funkcijos pirmykštė funkcija, o - funkcijos pirmykštė funkcija, tai yra funkcijos pirmykštė funkcija.
2. Jei yra funkcijos pirmykštė funkcija, o - pastovus dydis, tai yra funkcijos pirmykštė funkcija.
3. Jei yra funkcijos pirmykštė funkcija, o ir - skaičiai, , tai yra funkcijos pirmykštė funkcija.
INTEGRAVIMO METODAI
KINTAMŲJŲ PAKEITIMAS NEAPIBRĖŽTINIUOSE INTEGRALUOSE
Tam tikrais atvejais suintegruoti sudėtines funkcijas padeda kintamųjų keitimo metodas, kuris pagrįstas šitokia teorema:
TEOREMA 1. Jei funkcija turi pirmykštę funkciją intervale , t.y.
o funkcija - diferencijuojama intervale ir , tai
intervale .
PAVYZDYS. Raskime funkcijos pirmykštę funkciją.
SPRENDIMAS. Pažymėsime nauju kintamuoju . Tada
(čia grįžome prie kintamojo ). Taigi funkcijos pirmykštė funkcija yra , kuo nesunku įsitikinti suradus funkcijos išvestinę.
NEAPIBRĖŽTINIŲ INTEGRALŲ DALINIS INTEGRAVIMAS
Susipažinkime su dar vienu integravimo metodu, išplaukiančiu iš funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklės.
TEOREMA 2. Jei funkcijos ir intervale turi baigtines išvestines ir funkcija turi...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!