Tiesinė algebra ir diferiancialinis skaičiavimas

1. Išvestinės sąvoka. Tarkim, kad f-ja y=f(x) yra tolydi taške x=x0 . Argumento x pokytį x atitinka f-jos pokytis ∆y=f(x0+∆x)-f(x0). Santykis ∆y/x= f(x0+∆x)-f(x0)/ ∆x išreiškia f-jos f(x) vidutinį kitimo greitį, kai f-jos y kitimas lyginamas su argumento x kitimu. 1.Ap. F-jos y= f(x) išvestine (x atžvilgiu) taške x0 vadiname tos f-jos pokyčio y ir jį atitinkančio argumento pokyčio x santykio ribą, kai x artėja prie nulio. Taigi . x0 lim y/x= x0 lim f(x0+∆x)-f(x0)/ ∆x= f`(x0)= y`(x0)= y`. F-jos išvestinė, apskaičiuota konkrečiame taške, yra skaičius, apibūdinąs f-jos kitimo greitį tame taške. Išvestinė, apskaičiuota su bet kuria kintamojo x reikšme, yra kintamojo x f-ja: y`= f`(x). Teorema. F-jos diferencialumo ir tolydumo. Jei f- ja y=f(x) taške x=x0 turi išvestinę, tai ji tame taške yra tolydi. Žinome, kad f`(x0)= x0 lim∆y/∆x. Remdamiesi teorema, kuri sieja f-ją ir jos baigtinę ribą, šią lygybę galime užrašyti be ribos simbolio: ∆y/∆x=f`(x0)+α(∆x); čia α(∆x)→0, kai ∆x→0. Tuomet ∆y=(f‘(x0)+α(∆x))*∆x, x0 lim∆y=x0 lim(f‘(x0)+α(∆x))*∆x=0. Vadinasi, f-ja y=f(x) yra tolydi taške x=x0. 2.AP. F-ja, kuri taške x turi baigtinę išvestinę, vadinama diferencijuojama tame taške. Išvestinės geometrinė prasmė. Kreivės liestinė ir normalė. Ap. Ribinė kirstinės MM0 padėtis M0T, kurią ji užima, kai taškas M kreive artėja prie taško M0, vadinama kreivės liestine taške M0. Kreivės Liestinės lygtis: y-y0=f‘(x0)(x-x0). Čia y0=f(x0). Kreivės normalės lygtis yra y-y0=-1/ f‘(x0) *(x-x0). 2. Diferencialo apibrėžimas ir geometrinė prasmė. Tarkime, kad f-ja y= f(x) yra diferencijuojama A(apversta)xє(a;b), t.y. egzistuoja baigtinė riba x0 lim y/x= f`(x). Remdamiesi teorema, kuri sieja f-ją ir jos ribą, šią lygybę galime užrašyti be ribos simbolio: y/x= f`(x)+ α(x); čia α= α(x) 0, kai x0. Tada y= (f`(x) +α(x)). x= f`(x). x+αx. Kai f`(x)≠0, pokyčio y antrasisi dėmuo yra aukštesnės eilės nykstantis dydis negu x, nes x0 lim α*x/x=x0 lim α=0, todėl α*∆x=0(∆x). Gavome, kad f-jos pokytį sudaro du dėmenys, kurių pirmasis vadinamas pagrindine pokyčio dalimi ir yra tiesinis x atžvilgiu. Ap. Pagrindinė f-jos f(x) pokyčio y dalis f`(x)* x yra vadinama šios f-jos diferencialu taške x ir žymima dy=df(x) = f`(x)* x. Isvada. Argumento pokytis yra lygus jo diferencialui , nes kai y=x, dy=dx= x`*x=x, dx=x. Vadinasi , dy= f`(x)dx, todėl f`(x) =dy/dx. Kadangi y=dy+0(x), tai y≈dy, kai x yra pakankamai mažas dydis. Šią lygybę galima panaudoti, apskaičiuojant apytiksliai f-jos reikšmes: f(x0+x) –f(x0)≈df(x0), f(x0+x) –f(x0)≈ f`(x0). x, f(x0+x) ≈ f(x0) + f`(x0). x. (dar truksta geometrines prasmes) Geom. pr: Diferencialas, apskaičiuotas taške x0, yra lygus kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką M0, ordinatės pokyčiui, kai argumento pokytis yra ∆x. 3. Diferencialo formos invarianntiškumo savybė Ši savybė taikoma sudėtiniai f-jai. Jei y= f(u), u=φ(x) ir egzistuoja f`(u) bei φ`(x), tai dy= f`(u)du. Vadinasi, sudėtinės f-jos diferencialo forma tokia pati, kaip ir tuo atveju, jei u būtų nepriklausomas kintamasis. Sakome, kad diferencialas turi formos invariantiškumo savybę. Iš tikrųjų, jei y=f(φ(x)), o yx`= yu`* ux`, tai dy= yx`*dx= yu`* ux`dx= yu`du= f`(u)du. 4. Diferencialo savybės Diferencialo savybės išplaukia iš jo apibrėžimo ir išvestinių skaičiavimo taisyklių. Ap. Pagrindinė f-jos f(x) pokyčio y dalis f`(x)* x yra vadinama šios f-jos diferencialu taške x ir žymima dy=df(x) = f`(x)* x. 1. d(c)=0, nes c‘=0. 2. d(c∙u)=c∙du, nes (c∙u)‘=c∙u‘.3. d(u+v)=du+dv, nes d(u+v)= (u+v)‘dx=(u‘+v‘)dx=u‘dx+v‘dx.4.d(u∙v)=vdu+udv, nes d(u∙v)=(u∙v)‘dx=(u‘v+uv‘)dx=v∙u‘dx+ u∙v‘dx. 5. d(u/v) =(vdu-udv)/v2, nes d(u/v)=u‘v-uv‘/v2dx=v∙u‘dx -u∙v‘dx/v2. 5. Vidurinių reikšmių teoremos Ferma* teorema: Tarkime, kad f-ja f(x) apibrėžta intervale (a; b) ir to intervalo taške c (a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!