Tiesinės, kvadratinės ir racionaliosios lygtys

Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo programos reikalavimai: (šiai temai) • MINIMALŪS REIKALAVIMAI: • Mokėti sudaryti ir spręsti paprasčiausias tiesines ir kvadratines lygtis bei tikrinti lygčių sprendinius; • Mokėti paprasčiausiais atvejais sudaryti ir spręsti dviejų tiesinių lygčių sistemas. • PAGRINDINIAI REIKALAVIMAI: • Mokėti sudaryti ir spręsti paprastas algebrines lygtis su vienu nežinomuoju; • Naudoti diskriminantą kvadratinės lygties sprendinių skaičiui nustatyti; • Mokėti skaidyti kvadratinį trinarį dauginamaisiais; • Mokėti sudaryti ir spręsti paprastas racionaliąsias lygtis, kurios pakeičiamos tiesinėmis ar kvadratinėmis lygtimis; • Mokėti sudaryti ir spręsti tiesinių lygčių sistemas su dviem nežinamaisiais; • Sudaryti ir spręsti paprastas dviejų lygčių sistemas, kuriose viena lygtis tiesinė; • Spręsti paprastas lygtis su moduliais. • AUKŠTESNI REIKALAVIMAI: • Mokėti išskirti dvinario kvadratą kvadratiniame trnaryje; • Sudaryti ir spręsti racionaliąsias lygtis; • Sudaryti ir spręsti nesudėtingas dviejų lygčių sistemas, kuriose viena lygtis tiesinė; • Spręsti nesudėtingas lygtis su moduliu. Bendrieji Apibrėžimai: • Raidinį reiškinį, kuriame yra lygybė, vadiname lygtimi. • Išspręsti lygtį – reiškia surasti visas raidės reikšmes. Surastos raidės reikšmės vadinamos lygties šaknimis (sprendiniais). 1.Tiesinės lygtys Lygtį, kurią galima užrašyti pavidalu ax = b (taip pat ax + b = 0; a ir b skaičiai, x – nežinomasis), vadiname tiesine lygtimi su vienu nežinomuoju. 1.1 Tiesinių lygčių sprendimas • Tiesinės lygties ax = b sprendiniai: • Jei a ≠ 0, tai lygtis turi vienintelį sprendinį x = ; Pavyzdžiai: a) 8x = 24; b) - 20y = 3050; c) x =. y = = 152.5. x = . Ats.: x =. Ats.: y = 152.5. Ats.: x = . • Jei a = 0, o b ≠ 0, tai su kiekviena x reikšme gausime teisingą lygybę 0 · x = b. Vadinasi, šiuo atveju sprendinių nėra. Pavyzdžiai: a) 0x = 56; b) 0a = - - dalyba iš nulio negalima! Ats.: Sprendinių nėra. Ats.: sprendinių nėra. • Jei a = 0 ir b = 0, tai su kiekviena x reikšme gausime teisingą lygybę 0 · x = 0. Taigi kiekviena x reikšmė yra lygties sprendinys (jų be galo daug). Pavyzdys: a) 0x = 0; x = Ats.: x = 0. • Ilgesnių tiesinių lygčių pertvarkymai 1. Lygties kairiojoje pusėje paliekame arba/ir iš dešinės pusės atkeliame narius su raidiniu koeficiantu. Keldami iš dešinės pusės į kairę keičiame nario ženklą į priešingą. Sutraukiame panašiuosius narius. 2. Lygties dešiniojoje pusėje paliekame skaičius be raidinės dalies arba/ir atkeliame juos iš kairės lygties pusės, keisdami jų turimą ženklą. Sutraukiame juos (atliekame veiksmus). 3. Gautą lygtį sprendžiame įprastai. Pavyzdžiai: a) 7x + 105 = 93x – 5; b) 13x – 15 – 9 – 6x = -3x; 1-2. 7x – 93x = -5 – 105; 1-2. 13x - 6 x +3x = 15 + 9; 3. -86x = -110; 3. 10x = 24; x = x = Ats.: x = Ats.: x = 2,4. Patikrinimas: Įsistatome gautą lygties sprendinį į pradinę lygtį ir žiūrime, ar teisinga lygybė. Pavyzdžiai: a) 7x = 63; b) 3.8x – 1.6 +1.2x = 9.6 +3.7 -5x; x = 9. 10x = 14.9. Patikrinimas. x = 1.49. Kai x = 9, tai 7x = 7 ∙ 9 = 63. Patikrinimas. Ats.: x = 9. Kai x = 1.49, tai 3.8 ∙ 1.49 - 1.6 + 1.2 ∙ 1.49 = 9.6 + 3.7 – 5 ∙ 1.49 5.85 = 5.85. Ats.: x = 1.49. • Bendri tiesinių lygčių sprendimo pavyzdžiai: 1. Išspręskite lygtis: a) 5x – 2 = 3x +10, Sprendimas: 5x – 3x = 10 +2, 2x = 12, x = 6. Patikrinimas: Kai x = 6, tai 5 · 6 – 2 = 3 · 6 + 10, 28 = 28 (Lygybė teisinga). Atsakymas. x = 6. d) 7x = 28, e) 8x – 7 + x = 9x – 3 – 4; x = 28/7, 9x – 9x = -7 +7, x = 4. 0x = 0 Patikrinimas: x – bet koks skaičius. Kai x = 4, tai Patikrinimas: 7 · 4 = 28 Tarkime, x = 0, tada (Lygybė teisinga). 8 · 0 – 7 +0 = 9 · 0 – 3 – 4, -7 = -7 (Lygybė teisinga). Atsakymas: x = 4. Atsakymas: be galo daug sprendinių. f) 12x + 7 + 11x = 2x + 5 + 21; g) 3(y + 4) = 7(2y -1) – 6(11 – y); 23x – 2x = 26 – 7, 3y + 12 = 14y - 7 – 66 + 6y, 21x = 19, -17y = -85, x = y = 5. Patikrinimas: Patikrinimas: Kai x = tai Kai y = 5, tai 12 · +7+11 · = 2 · +5 +21, 3(5 + 4) = 7(2 · 5 – 1) – 6(11 – 5), 27 = 63 – 36, (Lygybė teisinga). 27 = 27 (Lygybė teisinga). Atsakymas: x = . Atsakymas: y = 5. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Išspręskite lygtis (žodžiu): a) -8x = 40 b) -4x = 0 c) -18x = -36 d) x – 9 – 0,5 = -2,5 e) - f) 0x = 0,5 2. Išspręskite lygtis: a) 9x + 6 + 14x = x +5 + 24x; b) 10x + 40 – 3x = 98 – 9x – 26; c) – 7x – 5(12 – 3x) = 13x – 8(3x – 2); d) 4(t + 1,5) = 8(1 – t ) + 2(1,25t – 1); e) -5(a +12) = 8(1 – 7a) – 17(2 – 3a). 3. Raskite lygties sprendinį ir suapvalinkite iki šimtųjų: a) 4x = 154; b) 15x = 438; c) -43y = 27; d) -81a = -258. Atsakymai: 1. a) x = - 5; b) x = 0; c) x = 2; d) x = 7; e) x = 0; f) . 2. a) x = 0,5; b) x = 2; c) x = - 2 d) t = 0; e) . 3. a) x ≈ 38,50; b) x ≈ 29,20; c) y ≈ -0,63; a) a ≈ 32,25. 1.2 Tiesinių lygčių sudarymas Pavyzdžiai: 1 UŽDAVINYS. Naudojantis sporto sale su treniruokliais reikia mokėti 80 litų mėnesinį mokestį ir už kiekvieną treniruotės valandą dar po 20 litų. Kiek valandų per mėnesį sportavo jaunuolis, jei už mėnesį sumokėjo 120 litų? Sprendimas. Sakykime, kad jaunuolis sportavo x valandų. Tuomet jam reikia sumokėti 20x + 80 litų. Žinodami, kad ši suma lygi 120, sudarome lygtį: 20x + 80 = 120, 20x = 120-80, 20x = 40, x = 2. Vadinasi, jaunuolis per mėnesį sportavo 2 valandas. Patikrinimas: iš tikrųjų, 20 · 2 + 80 = 120. Atsakymas. Sportavo 2 valandas. 2 UŽDAVINYS. Pitagoras, paklaustas, kiek jo mokykloje kokosi mokinių, atsakė: pusė mokinių mokosi tik matematikos, ketvirtoji dalis – tik muzikos, septintoji dalis mokosi tik astronomijos, o 3 – retorikos. Sprendimas. Sakykime, kad iš viso mokėsi x mokinių, todėl ; ; Vadinasi, iš viso mokėsi 28 mokiniai. Patikrinimas: Pusė mokinių mokėsi matematikos, t.y. 14, ketvirtadalis – muzikos, t.y. 7 mokiniai, septintadalis – astronomijos, t.y. 4 mokiniai, ir dar 3 mokiniai – retorikos. Vadinasi, iš viso Pitagoro mokykloje mokėsi 14 + 7 + 4 +3 = 28 (mokiniai). Atsakymas. Mokėsi 28 mokiniai. 3 UŽDAVINYS. Fermoje yra 1000 triušių ir vištų. Visi jie turi 3150 kojų. Kiek triušių ir kiek vištų yra fermoje? Sprendimas. Tarkime, kad fermoje triušių yra x. Tuomet vištų bus 1000 – x. Triušiai turi po keturias kojas, tai 4x; vištos- po dvi, tai 2(1000-x). Fermoje kojų iš viso yra 3150. Sudarome lygtį: 4x + 2(1000-x) = 3150, 2x = 3150 – 2000, 2x = 1150. x = 575. Vadinasi, triušių fermoje yra 575, o vištų: 1000 – 575 = 425. Patikrinimas: Triušiai turi po keturias kojas, tai viso triušių kojų yra 2300; vištos turi po dvi kojas, jų kojų iš viso yra 850. Viso: 2300 + 850 = 3150 (kojų). Atsakymas. Triušių – 575, o vištų – 425. 4 UŽDAVINYS. Kiek mergaitei metų, jei ji tris kartus jaunesnė už mamą, mama 2 metais jaunesnė už tėvą, o kartu jiems 100 metų? Sprendimas. Tarkime, kad mergaitei yra x metų. Tuomet jos mamai bus 3x metų, o tėčiui 3x + 2. Tuomet sudarome lygtį: x + 3x + 3x +2 = 100 7x = 98 x = 14. Vadinasi, mergaitei yra 14 metų. Atsakymas. Mergaitei yra 14 metų. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Vyriausiasis brolis du kartus sveria daugiau už seserį, o sesuo sveria tris kartus daugiau už mažąją sesutę. Visi kartu jie sveria 100 kg. Kiek sveria mažoji sesutė? 2. Kapitonas, paklaustas, kiek žmonių yra jo kuopoje, atsakė, kad kuopos yra sargyboje, - ligoninėje ir dar 27 žmonės čia pat. Kiek žmonių yra kuopoje? 3. Vienas skaičius šešiskart didesnis už kitą. Jų suma lygi 49. Raskite abu skaičius. Atsakymai: 1. 10 kg. 2. 420 žmonių. 3. 42 ir 7. 2.Kvadratinės lygtys Kvadratine lygtimi vadiname lygtį, kurią galime išreikšti: ax2 + bx + c = 0; čia x – nežinomasis , a, b, c – realieji skaičiai ir a ≠ 0. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficiantu, skaičius b – antruoju koeficiantu, skaičius c – laisvuoju nariu. 2.1 Nepilnosios kvadratinės lygtys Jei kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 bent vienas iš koeficiantų b, c, yra lygus nuliui (b = 0 arba c = 0), tai tokia lygtis vadinama nepilnąja kvadratine lygtimi (Išraiška: ax2 + c = 0 arba ax2 + bx = 0). Sprendimas : 1. Nepilnosios kvadratinės lygtys, kurių išraiška ax2 + c = 0 (a≠0) . Norėdami išspręsti nepilnąją kvadratinę lygtį ax2 + c = 0 (a ≠0), pirmiausia pertvarkome ją ekvivalenčiai, paskui taikome kvadratinės šaknies apibrėžimą : 2= | a | su visais a R. 1 pavyzdys. Bendrasis atvejis: 9x2 – 25 = 0; 9x2 = 25; x2 =; | x | = ; x = - arba x = . Atsakymas : 2 pavyzdys. Išspręskime lygtis: a) 7x2 + 8 = 3x2 +24, b) 5x2 – 4 = 4(x2 – 1), c) 7x2 + 8 = 3x2 - 4, 4x2 + 8 = 24, 5x2 – 4 = 4x2 – 4, 4x2 + 8 = -4. 4x2 = 16, 5x2 = 4x2, x2 = -3. x2 = 4. x2 = 0. Lygtis turi du sprendinius (šaknis): Lygtis turi vieną šaknį: Šaknų nėra. |x| = 2, x = 0. x1, 2 = ± 2. Atsakymas: . Ats.: . Ats.: . Rekomenduojami uždaviniai: Išspręskite lygtis: a) – 3x 2 – 1 = 0 b) 14x2 + 16 = 6x2 +48 c) 2x2 = 162 d) ( u – 4)(u +4) = (u +2)(u – 2) e) 2x2 - 7 = 0 f) 2004x2 = 0. 2. Nepilnosios kvadratinės lygtys, kurių išraiška ax2 + bx = 0 (a≠0) . Kvadratinės lygtys, neturinčios laisvojo nario, sprendžiamos tų lygčių kairiąją pusę skaidant daugikliais: iš pradžių sumą išreiškiame sandauga, tada remiamės tokia taisykle: 1 pavyzdys. Išspręskime lygtį: Bendrasis atvejis: 4x2 + 8x = 0, 4x(x+2) = 0, 4x = 0 arba x +2 = 0, x = 0 arba x = -2 Ats.: - 2; 0 . 2 pavyzdys. Išspręskime lygtis: a) 2x2 + 4x = 0, b) 4t2 – 5t = 0, c) 3x – x(2x – 1) = x2, 2x( x + 2) = 0, t(4t – 5) = 0, 3x – 2x2 + x – x2 = 0, 2x = 0 arba x+2 = 0, t = 0 arba 4t – 5 = 0, 4x – 3x2 = 0, x = 0 arba x = - 2. 4t = 5 | : 4 , x(4 – 3x) =0, t = . x =0 arba 4 – 3x= 0, Atsakymas: . Atsakymas: . – 3 x = - 4, x = . Atsakymas: . Rekomenduojami uždaviniai: Išspręskite lygtis: a) 4x2 – 3x = 0 b) 7p(p – 1) = (5 – 7p)p c) 0,2x2 = 0,5x d) z2 – 23z = 0 e) 0,5t2 – 7t = 0 f) 9x2 – 6x = 0 3. Pilnosios kvadratinės lygtys Jei kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 nė vienas iš koeficiantų nelygus nuliui (b ≠ 0 ir c ≠ 0), tai ji vadinama pilnąja kvadratine lygtimi. • Dvinario kvadrato išskyrimo kvadratiniame trinaryje sprendimo būdas Turime lygtį x2 + 2x = 3, kairiojoje jos pusėje sudarome dvinario kvadratą pagal formulę (a + b)2 = a2 + 2∙a∙b +b2 : x2 + 2 ∙ 1 ∙ x + 12 = 3 + 12 , ( Lygties vienoje puseje pridėję kokį nors skaičių, ta patį skaičių pridedame ir kitoje, kad pirmoje lygties pusėje būtų dvinario kvadratas). Toliau šią lygtį sutvarkome ir gauname: (x + 1)2 = 4; | x + 1 | = 2, arba ( x + 1 ) 2 = 4, x + 1 = ± 2, x1 = -3 ir x2 =1. Kas slepiasi po debesėliu? x + 1 = 2 arba x + 1 = - 2 , x = 1 x= -3. Atsakymas: x1 = -3 ir x2 =1. Taigi, išskiriant dvinario kvadratą kvadratiniame trinaryje, reikia sugebėti greitai įžvelgti , kokio dėmens trūksta, kad kvadratinis trinaris būtų dvinario kvadratas. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis, išskirdami dvinario kvadratą: a) x2 + 10x + 21 = 0; b) 4x2 + 4x + 7 = 0; x2 + 2 ∙ 5 ∙ x + 52 – 52 + 21 = 0, 4x2 + 4x = - 7, x2 + 10x + 52 = 52 – 21, (2x)2 + 2 ∙ 2x ∙ 1 + 12 = - 7 + 12, ( x + 5 ) 2 = 4, (2x + 1) 2 ­= -6. x + 5 = -2 arba x + 5 = 2, Gautoji lygtis šaknų neturi, nes nėra tokio xR, x = - 7 x = -3. su kuriuo būtų teisinga ši lygybė. Atsakymas: x = -7;-3. Atsakymas: c) 6x2 – x – 2 = 0; | : 6 x2 - , x2 – 2 ∙ ∙ x + = + , ( x - ) 2 = , x - arba x - , x = - x = . Atsakymas: . Rekomenduojami uždaviniai: 1. Išspręskite lygtis, išskirdami dvinario kvadratą: a) x2 + 6x + 8 = 0; b) y2 – 10y + 21 = 0; c) z2 – 4z +3 = 0; d) x2 + 8x – 12 = 0; e) 4m2 – 8m +3 = 0; f) 16n2 – 18n + 2 = 0. 2. Išspręskite lygtis su jau išskirtu dvinario kvadratu: a) (x + 2)2 = 4; b) (x - 7) 2 = 9; c) (2x + 5)2 = -4; d) (n -14) 2 = 81; e) (3x – 5)2 = 144; f) (15 – x ) 2= 36. • Kvadratinio trinario skaidymo dauginamaisias sprendimo būdas Turime lygtį x2 + 6x – 7 = 0. Kairiojoje jos pusėje bandome ižvelgti galimus grupavimo dėmenis, ir šią lygtį pertvarkome taip: x2 +6x – 6 ­- 1 = 0 7 Tada sugrupuojame dėmenis: (x2 – 1) + (6x – 6) =0, (x – 1)(x +1) + 6(x -1) = 0, (x – 1)(x + 7) = 0, Sprendžiame įprastai: x – 1 = 0 arba x +7 = 0, x = 1 x = -7. Atsakymas: x = -7; 1. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis, skaidydami jų kairiąją pusę daugikliais: a) x2 + 3x +2 = 0; b) x2 + 6x + 7 = 0; c) x2 + 2x – 15 = 0; x2 + 2x +x + 2 = 0, x2 + 7x – x +7= 0, x2 + 5x – 3x – 15 = 0, (x2 + x) + (2x +2) = 0, (x2 +7x) - (x +7) = 0, (x2 + 5x) – 3(x + 15)= 0, x(x+2) + 2(x + 1) ­= 0, x(x + 7) – (x +7) = 0, x(x +5) – 3(x + 5) = 0, (x +1)(x+2) = 0, (x+7)(x – 1) = 0, (x + 5)(x – 3)= 0, x + 1 = 0 arba x + 2 = 0, x + 7 = 0 arba x - 1 = 0, x + 5 = 0 arba x-3 = 0, x = - 1 x = - 2. x = - 7 x = 1. x = -5 x = 3. Atsakymas: x = -1;-2. Atsakymas: x = -7;1. Atsakymas: x = -5;3. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Išspręskite lygtis, skaidydami daugikliais grupavimo būdu: a) x2 - 6x + 8 = 0; b) z2 – 4z +3 = 0 ; c) 9y2 – 6y + 1 = 0; d) t2 – 16t +64 = 0; e) p2 + p + 6 = 0; f) m2 + 12m + 11 = 0. • Kvadratinės lygties sprendimas DISKRIMANTO pagalba 1. Kvadratinės lygties sprendimas diskriminanto pagalba Turime kvadratinę lygtį ax2 + bx +c = 0 (a≠0). Padalijame visus lygties narius iš a: x2 + + = 0. Papildykime iki pilno kvadrato: (x2 + 2x ∙ + 2 ) + 2 , (x + )2 = Sprendiniai būtų: 1) 2) x1 = x2 = Ats.: x1,2 = Reiškinys b2 – 4ac vadinamas kvadratinės lygties ax2 + bx +c = 0 diskriminantu ir žymimas raide D. Jo formulė: D = b2 – 4ac . Gavę diskrimantą, galime toliau spręsti lygtį pagal kvadratinės lygties šaknų formulę: x1,2 = Taigi: Spręsdami kvadratinę lygtį ax2 + bx +c = 0 (a≠0), apskaičiuojame diskriminantą. • Jei jis neigiamas - Iš karto rašome, kad lygtis sprendinių neturi. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis diskriminanto pagalba: a) 6x2 + 7x + 2 = 0; b) 9x2 + 6x + 1 = 0; a = 6 b = 7 c = 2 a = 9 b = 6 c = 1 D = b2 – 4ac = 72 – 4 ∙ 6 ∙ 2 = 49 – 48 = 1 > 0; D= b2 – 4ac=62 – 4 ∙ 9 ∙ 1 = 0, x1 = x1 = x2 = x = . x2 = . Atsakymas: {}. c) 5x2 – x + 3 = 0 Atsakymas: . a = 5 b = -1 c = 3 D = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 · 5 ∙ 3 = 1 – 60 = - 59 0). Tai galime iliustruoti tokia schema: 1 pavyzdys. Nesprendę lygčių, nustatykite jų sprendinių skaičių: a) b2 – 34b + 240 = 0; Surašome koeficiantų reikšmes: a = 1; b = - 34; c = 240, D = b2 – 4ac= (-34)2 – 4 · 1 · 240 = 1156 – 960 = 196 > 0; Taigi, lygtis turės du sprendinius ({b1; b2}). Atsakymas: Turės 2 sprendinius. b) 96x2 + 2x + 25 = 0; Surašome koeficiantų reikšmes: a = 96; b = 2; c = 25, D = b2 – 4ac= 22 – 4 · 96 · 25 = 4 – 9600 = - 9596 0, x1 = x2 = Randame vienetų skaitmenį: 12 – x1 = 7; 12 – x2 = 5. Atsakymas: 75 arba 57. 2 pavyzdys. Ar galima tam tikro ilgio vielą sukarpyti į tris vienodo ilgio virbalus taip, kad, vieną sutrumpinus metru, o kitą – dviem metrais ir sujungus jų galus, susidarytų statusis trikampis? Jei galima, tai kokio ilgio ta viela turėtų būti? Sprendimas. Tarkime, kad vieno virbalo ilgis – x m. Brėžinys: Tada antrojo bus: x – 2. Trečiojo: x- 1. Sudarome lygtį pagal Pitagoro teoremą: (x – 2)2 + (x - 1)2 = x2, x2 + x2 – 4x – 2x + 5 = x2, x2 – 6x +5 = 0, D = 36 – 20 = 16, x1 = ( netinka, nes atlikus kt. veiksmus pvz. x – 2, gautume neigiamą, o kraštinės neigiamos būti negali). x2 = (m). Taigi bendras vielos ilgis lygus 3 · x = 3 · 5 = 15 (m). Atsakymas: Galima; vielos ilgis turėtų būti 15 m. 3 pavyzdys. Du darbininkai turi nupjauti futbolo aikštės veją. Dirbdami kartu, jie gali nupjauti veją per 4 valandas. Pirmasis darbininkas, dirbdamas vienas, nupjautų veją 6 valandomis greičiau negu antrasis. Per kiek valandų pirmasis darbininkas nupjautų futbolo aikštės veją? Sprendimas. Tarkime, kad antrasis darbininkas veją nupjaus per x valandų, tuomet per valandą jis atliks darbo dalį. Pirmasis darbininkas veją nupjaus per x – 6 valandas, taigi per vieną valandą jis atliks darbo dalį. Kadangi abu per 1 valandą atliks darbo dalį, tai sudarome lygtį: ; Ją sprendžiame taip: 1. Subendravardikliję, sudedame kairiosios pusės dėmenis: ; 2. Tuomet sudauginame kryžmai: (2x – 6) · 4 = (x2 – 6x) · 1; 8x – 24 = x2 – 6x; -x2 +14x -24 = 0 |: (-1); x2 – 14x +24 = 0; a = 1; b = -14; c = 24, D = b2 – 4ac= (-14)2 – 4 · 1 · 24 = 100; x1 = (netinka, nes, atlikus veiksmą x – 6, gautume neigiamą skaičių); x2 = (val). Tada pirmasis darbininkas veją nupjaus per x – 6 = 12 – 6 = 6 valandas. Atsakymas: Pirmasis darbininkas veją nupjautų per 6 valandas. 4 pavyzdys. Du draugai per 4 valandas valtimi nuplaukė 15 km prieš srovę ir grįžo atgal. Upės tėkmės greitis lygus 2 km/h. Apskaičiuokite valties greitį stovinčiame vandenyje. Sprendimas. Sudarome lentutę, pagal kurią parašysime lygtį: x – valties greitis stovinčiame vandenyje (savasis greitis). t1 + t2 = 4. Sudarome lygtį: + = 4 ; Ją sprendžiame taip: ; (Sudauginame kryžmai) 4x2 – 16 = 30x; 4x2 – 30x – 16 = 0; a = 4; b = -30; c = -16, D = b2 – 4ac = (-30)2 – 4 · 4 · (-16) = 1156. x1 = (km/h); x2 = (netinka, nes valties greitis negali būti neigiamas). Atsakymas: Valties greitis stovinčiame vandenyje yra 8 km/h. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Dviejų teigiamų skaičių aritmetinis vidurkis lygus 25. Jis yra 10 vienetų didesnis už tų skaičių aritmetinį vidurkį. Raskite tuos skaičius. 2. Stačiojo trikampio statinių ilgių skirtumas lygus 1,7 cm, o įžambinės ilgis lygus 2,5 cm. Apskaičiuokite statinių ilgį. 3. Dviejų skaičių sandauga lygi 243, o vienas tų skaičių tris kartus didesnis už kitą. Raskite tuos skaičius. 4. Kubo paviršiaus plotas lygus 384 cm2. Apskaičiuokite to kubo tūrį. 5. Per 5 valandas garlaivis nuplaukė 48 km pasroviui ir tiek pat prieš srovę. Upės tėkmės greitis – 4 km/h. Apskaičiuokite garlaivio greitį stovinčiame vandenyje. 6. Dvi kompiuterininkės, dirbdamos kartu, per dieną atlieka visos užduoties. Per kiek dienų šią užduotį įvykdytų kiekviena kompiuterininkė, dirbdama atskirai, jei yra žinoma, kad pirmoji baigtų 1 diena anksčiau? 7. Studentai buvo paprašyti pakrauti 9,6 t krovinį. Du studentai neatėjo, todėl kiekvienam talkininkui teko pakrauti 0,24 t daugiau negu planuota. Kiek studentų atvyko į talką? 8.Iš vieno miesto į kitą, esantį už 360 km nuo pirmo, tuo pačiu metu išvyko du automobiliai. Pirmasis jų, važiuodamas 10 km/h lėčiau, pasiekė miestą 24 min vėliau už antrąjį. Didžiausias leistinas greitis yra 90 km/h. Apskaičiuokite kiekvieno automobilio greitį ir išsiaiškinkite, ar jie nepažeidė eismo taisyklių. 9. Du vėžliai kibirą lapų suėda per 30 dienų. Vienam vėžliui užtektų jo 11 dienų ilgiau nei kitam. Per kiek dienų kibirą lapų suėstų kiekvienas vėžlys atskirai? Atsakymai: 1) 5 ir 45; 2) 0,7 cm ir 2,4 cm; 3) 9 ir 7; 4) 512 cm3; 5) 20 km/h; 6) Pirma per 5 dienas, antra per 6; 7) 8 studentai; 8) pirmojo automobilio greitis – 90 km/h, antrojo – 100 km/h. Antrasis pažeidė. 9) vienas suėstų per 55 dienas, kitas – per 66 dienas. 3. Lygtys su moduliais Sprendžiant nesudėtingas lygtis su moduliais, reikia prisiminti modulio apibrėžimą: arba tiesiog Taigi ir lygtys su moduliais sprendžiamos atsižvelgiant į šią taisyklę. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis: a) | x – 4| = 5; b) | 2x + 10| = 30; Sprendimas. Sprendimas. Jei po pirma lygties dalimi 2x +10 = 30 arba 2x +10 = -30. nebūtų modulio, antroji 2x = 20 2x = -40, lygties dalis galėtų likti tokia x = 10 x = -20. pati arba įgyti priešingą reikšmę, t.y. galėtų būti ir – 5 . Atsakymas. x = -20; 10. Taigi reikia spręsti per žodelį „arba“: x – 4 = 5 arba x – 4 = -5, x = 9 x = -1. Atsakymas: x = 9; -1. c) | 5 – x | = - 4; d) | x + 4 | = 0; Sprendimas. Sprendimas. Kadangi modulis pakeičia skaičių, jei Kadangi nulis yra nulio modulis, tai jis neigiamas, į priešingą, neigiamas žodelio „arba“ nereikia, nes yra tik vie- skaičius iš po modulio negali gautis. na galimybė išspręsti: x + 4 = 0, Atsakymas: . x = -4. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Išspręskite lygtis: a) | x + 9 | = 18; b) | 3x – 36 | = 0; c) |56x – 54| = - 894; d) | 5 + 45x | = 95; e) | 9x + 5 – x | = 56; f) | + 54 – 26 | = 100. 4. Racionaliosios lygtys Lygtis, sudaryta iš racionaliųjų reiškinių, vadinama racionaliąja lygtimi. Sprendžiant ir sudarinėjant racionaliąsias lygtis, būtina prisiminti, kad trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui. 4.1 Paprastųjų ir nesudėtingų racionaliųjų lygčių sprendimas • Paprastos racionaliosios lygtys, kurios pakeičiamos tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis Paprastas racionaliąsias lygtis patogu pakeisti tiesinėmis ir kvadratinėmis. Sprendžiama taip: 1) Abi lygties puses padauginti iš trupmenos vardiklio; 2) gautą lygtį spręsti pagal tai, kokia ji – tiesinė ar kvadratinė. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis: a) ; b) Sprendimas. Sprendimas. | · 3 , Kadangi trupmenos vardiklis, atlikus veiksmus ( -6 + 5 + 1 = 0 ), tampa lygus nuliui, o toks būti x – 56 = 132, negali, tai ši lygtis sprendinių neturi. x = 132 + 56 = 188. Atsakymas: x = 188. Atsakymas: . c) d) ; Sprendimas. Sprendimas. | · x , | · 2x; x2 + 10x +16 = 0, Sutraukiame panašiuosius narius: D = 102 – 16 · 4 = 36, 2x2 + 4x – 5 – x2 – 2 = -2x, x1 = x2 + 2x – 7 = 0, x2 = . D = 22 – 4 · (-7) = 64, x1 = Atsakymas: x = -8;-2. x2 = Atsakymas: x = -7;1. Rekomenduojami uždaviniai: Išspręskite lygtis: a) d) . b) e) . c) f) • Nesudėtingos racionaliosios lygtys Nesudėtingas raconaliąsias lygtis galima spręsti taip: I būdas. 1) rasti į lygtį įeinančių trupmenų bendrąjį vardiklį, 2) abi lygties puses padauginti iš bendrojo vardiklio, 3) išspręsti gautąją lygtį, 4) atmesti tuos sprendinius, su kuriais vardiklis lygus nuliui. Arba taip: II būdas. 1) suteikti lygčiai pavidalą 2) išspręsti lygtį f(i) = 0, 3) patikrinti, ar su gautosiomis nežinomojo (x) reikšmėmis g(x) ≠0. Jeigu g(x) = 0, tai tuos sprendinius reikia atmesti. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis, taikydami abu sprendimo būdus: a) Sprendimas. I būdas. | · (x – 2) · x , 40 · x – 40 · (x – 2) = (x -2 ) · x , 40x -40x +80 = x 2 - 2x, x2 – 2x -80 = 0, D = (-2)2 – 4 · 1 · (- 80 ) = 4 + 320 = 324, II būdas. Randame tas x reikšmes, su kuriomis gautos trupmenos skaitiklis lygus nuliui, t.y. sprendžiame lygtį - x2 +2x +80 = 0, x2 -2x -80 = 0, x1 = 10, x2 = - 8. Tikriname, ar su gautomis x reikšmėmis trupmenos vardiklis nelygus nuliui: kai x = 10, tai x(x -2) = 10(10 – 2) ≠ 0, kai x = - 8, tai x(x - 2) = -8(-8 – 2) ≠ 0. Vadinasi, skaičiai -8 ir 10 yra lygties sprendiniai. Atsakymas: b) . Sprendimas. I būdas. | · 2x(2 – x), 8= 2 · 2x + x (2-x) , 8 = 4x + 2x – x2, x2 – 6x + 8 = 0, D = 36 – 32 = 4, II būdas. , Randame tas x reikšmes, su kuriomis gautos trupmenos skaitiklis lygus nuliui, t.y. sprendžiame lygtį x2 – 6x +8 = 0 , x1 = 2, x2 = 4. Patikriname, ar su gautomis x reikšmėmis trupmenos vardiklis 2x(2 – x) nelygus nuliui: kai x = 2, tai 2x(2 – x) = 2 · 2 ( 2 - 2) = 0, kai x = 4, tai 2x(2 – x) = 2 · 4(2 – 4) ≠ 0 . Vadinasi, skaičius 2 nėra lygties sprendinys. Atsakymas: x = 4. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Išspręskite lygtis jums patogiu būdu: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 4.2 Racionaliųjų lygčių sudarymas Spręsdami uždavinius dažnai gauname tokią lygtį, kurios vardiklyje yra nežinomųjų. 1 pavyzdys. Du darbininkai pagamino po 40 detalių. Pirmasis darbininkas per valandą pagamino dviem detalėm daugiau nei antras. Kiek detalių per valandą pagamindavo pirmasis darbininkas, jei jis visas detales pagamino viena valanda greiciau negu kitas? Sprendimas. Sakykime, kad pirmasis darbininkas per valandą pagamindavo x detalių, tada antrasis pagamindavo (x – 2) detales. Pirmasis dirbo valandų, antrasis ­- valandas. Iš antrojo darbininko sugaišto laiko atėmę pirmojo darbininko laiką gautume vieną valandą, t.y.: Gavome racionaliąją lygtį, kurią sprendžiame mums patogiu būdu. | · (x – 2) · x , 40 · x – 40 · (x – 2) = (x -2 ) · x , 40x -40x +80 = x 2 - 2x, x2 – 2x -80 = 0, D = (-2)2 – 4 · 1 · (- 80 ) = 4 + 320 = 324, Gavome du lygties sprendinius. Nors skaičius -8 ir yra sudarytos lygties sprendinys, tačiau jis netenkina uždavinio sąlygos, nes detalių skaičius negali būti neigiamas. Atsakymas. Pirmasis darbininkas per valandą pagamindavo 10 detalių. 2 pavyzdys. Šalyje yra dvi spaustuvės: „Raidė“ ir „Edva“, galinčios išspausdinti bilietus į UEFA rungtynes. Per vieną dieną abi kartu jos gali išspausdinti tris ketvirtadalius visų bilietų. Kiek dienų užtruktų dirbdamos atskirai, jei yra žinoma, kad „Raidė“ dirbtų dviem dienom trumpiau nei „Edva“? Sprendimas. „Edva“ dirbtų viena: x dienų, „ Raidė“ dirbtų viena: x – 2 dienas. Per vieną dieną „Edva“ atliktų : darbo; Per vieną dieną „Raidė“ atliktų : darbo. Abi spaustuvės per vieną dieną atlieka viso darbo, todėl sudarome lygtį: . Ją sprendžiame patogiu mums būdu: Randame tas x reikšmes, su kuriomis skaitiklis tampa lygus nuliui: 10x – 8 – 3x2 = 0; D = 102 – 4 · (-3) · (-8) = 4; Antrasis lygties sprendinys netinka, nes jis yra neigiams, o skaičiuojamos dienos negali būti neigiamos. Jei „Raidė“, spausdindama atskirai, užtrunka 2 dienas, tai „Edva“ užtruktų x + 2 = 2 + 2 = 4 dienas. Atsakymas. „Edva“ užtruktų 4 dienas, o „Raidė“ – 2 dienas. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Pirmuoju vamzdžiu baseinas pripildomas 2 valandomis greičiau negu antruoju. Abiem kartu per valandą pripildoma baseino. Per kiek valandų galima pripildyti baseiną kiekvienu vamzdžiu atskirai? 2. Per tam tikrą laiką traukinys turėjo nuvažiuoti 720 km. Įveikęs 75 % viso kelio, jis 15 min stovėjo. Likusią kelio dalį mašinistas padidino greitį 10 km/h ir atvyko į vietą laiku. Koks buvo pradinis traukinio greitis? Kiek laiko traukinys išbuvo kelyje? 3. Dviem mokinių grupėm buvo pavesta apželdinti bandomąjį sklypą. Dirbdamos kartu, jos atliktų darbą per 6 dienas. Pirmoji grupė, dirbdama atksirai, gali apželdinti sklypą 5 dienom anksčiau negu antroji. Per kiek dienų šį darbą atliktų kiekviena grupė, dirbdama atskirai? 4. Per futbolo pirmenybes įvyko 91 rungtynės. Komandos žaidė tarpusavyje po 1 kartą. Kiek komandų dalyvavo pirmenybėse? 5. Lygčių sistemos 5.1 Tiesinių lygčių sistemos su dviem nežinomaisiais • Sprendimas Tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais algebriniai sprendimo būdai yra trys: sulyginimo, keitimo ir sudėties. Visų išvardytų sprendimo būdų esmė – dviejų lygčių su dviem kintamaisiais pakeitimas viena lygtimi su vienu kintamuoju ir tolesnis tos lygties sprendimas atliekant ekvivalenčius pertvarkymus. 1 pavyzdys. 1) Sulyginimo būdas. 2x + y – 5 = 0, x – y +2 = 0; Kiekvienos lygties kintamąjį y išreiškiame kintamuoju x: y = -2x +5, y = x + 2. Gavome lygčių sistemą, kurios sprendiniai yra tokie patys kaip ir duotosios sistemos. Kadangi kintamieji y yra vienodai išreikšti, tai sulyginę dešiniąsias lygčių puses gauname vieną lygtį su vienu kintamuoju ir iš jos apskaičiuojame x reikšmę: -2x + 5 = x + 2, -3x = -3, x = 1. Šią x reikšmę įrašę į bet kurią sistemos lygtį, sužinome atitinkamą y reikšmę: y = - 2 · 5 + 5 = 3 arba y = 1+2 = 3. Taigi duotosios lygčių sistemos sprendinys yra skaičių pora (1;3). Atsakymas: (1;3). 2) Keitimo būdas - 3x – y +8 = 0, 8x – 3y = -7. Pirmosios lygties kintamąjį y išreiškiame kintamuoju x: y = 8 – 3x. Šią išraišką įstatome į antrąją sistemos lygtį: y = 8 – 3x, 8x – 3(8 – 3x) = -7; Sprendžiame antrąją sistemos lygtį: 8x – 24 +9x = -7, 17x = 24 – 7, 17x = 17, x = 1. Šią x reikšmę įrašę į pirmąją sistemos lygtį, atitinkamai randame kintamojo y reikšmę: (galime įrašyti ir į antrąją) y = 8 – 3 · 1 = 5. Atsakymas: (1;5). 3) Sudėties būdas Jo esmė yra vieno kintamojo pašalinimas panariui sudedant abi sistemos lygtis.Tam tikslui sistemos abiejų lygčių pusės padauginamos iš tokių skaičių, kad kurio nors vieno kintamojo koeficiantai būtų priešingieji skaičiai (kartais užtenka iš tokio skaičiaus padauginti ir vieną sistemos lygtį). 3x + 4y = 0, · 3 5x + 6y = 2; · ( - 2) 9x +12y = 0, -10x -12y = -4; -x + 0 ·y = -4, x = 4, tai šią reikšmę įsistatome į pirmąją sistemos lygtį: 3 · 4 +4y = 0; 4y = -12, y = - 3. Atsakymas: (4; -3). Rekomenduojami uždaviniai: 1. Šias lygčių sistemas išspręskite jums patogiausiu būdu: a) 3x + 2y = 8, f) 0,7x – 0,9y = 1, 3x – 5y = 1. -0,2x +0,3y = - 0,2. b) g) 2x + 3y = 43, 2x – y = 11, 3x + y = 12. y + 4x = 31. c) h) 6x + 4y = 1, u + v = 21, 3x + 2y = 1. u – v = 11. d) i) 2x – 5y = 6, 8y – x = 4, 4x – 10y = 9. -21y + 2x = 2. e) j) y + x = 12, 2u + 5v = 0, y – x = 2. -8u + 15v = 7. • Tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemų sudarymas 1 pavyzdys. Prie ieškomo dviženklio skaičiaus, kurio skaitmenų suma lygi 12, pridėjus 36, gaunamas skaičius, parašytas tais pačiais skaitmenimis, tik atvirkščia tvarka. Raskime tą skaičių. Sprendimas . Dviženklio skaičiaus dešimčių skaičių pažymėkime x, o vienetų skaitmenį - y. Tuomet ieškomasis dviženklis skaičius yra 10x + y, dviženklis skaičius, parašytas tais pačiais skaitmenimis, bet atvirkščia tvarka, - 10y + x, o skaitmenų suma x + y lygi 12. Sudarome lygčių sistemą: x + y = 12, 10x + y +36 = 10y + x. Ją prtvarkę, gauname: x +y = 12, 9x – 9y +36 = 0. Sprendžiame ją keitimo būdu: y = 12 –x, 9x – 9(12 – x) + 36 = 0; 9x – 108 + 9x + 36 = 0; 18x = 72, x = 4; y = 12 -4 = 8. Ieškomasis skaičius 10x +y = 10 · 4 + 8 = 48. Atsakymas: 48. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Dviejų skaičių suma 63, o jų skitumas 12. Raskite tuos skaičius. 2. 4h važiuodami automobiliu ir 7h – traukiniu, turistai nukeliavo 640 km. Traukinio greitis 5 km/h didesnis už automobilio greitį. Kokiu greičiu važiavo traukinys? 3. Lygiašonio trikampio pagrindas 7cm ilgesnis už jo šoninę kraštinę, o perimetras lygus 43 cm. Raskite to trikampio kraštines. 4. Dviejose knygų lentynose yra 55 knygos. Jeigu pusę knygų iš antros lentynos perkeltume į pirmąją, tai joje būtų 4 kartus daugiau negu liko antrojoje. Kiek knygų yra kiekvienoje lentynoje? 5.3 Dviejų lygčių sistemos, kuriose viena lygtis – tiesinė • Sprendimas Lygčių sistemas, kurių viena yra tiesinė, patogu spręsti jau aptartu keitimo būdu. Taikant jį, pirmosios sistemos lygties kintamasis išreiškiamas kitu ir ši išraiška įrašoma į antrąją sistemos lygtį. 1 pavyzdys. Išspręskime lygtis: a) y – x +1 = 0, x2 – 2y = 26. Sprendimas: Pirmosios lygties kintamąjį y išreiškiame kintamuoju x: y = x – 1 . Į antrąją lygtį vietoj y įrašę x – 1, gauname lygtį su vienu kintamuoju (x): x2 – 2( x – 1 ) = 26. Ją pertvarkę, turime: x2 – 2x – 24 = 0. Apskaičiuojame šios kvadratinės lygties sprendinius: x1 = -4, x2 = 6. Gautas x reikšmes įrašę į lygtį y = x -1, randame atitinkamas y reikšmes: y1 = - 4 – 1 = - 5, y2 = 6 – 1 = 5. Atsakymas: ( - 4; - 5), (6; 5). b) x2 + xy +y2 = 63, x – y = - 3. Sprendimas: Antrosios lygties kintamąjį x išreiškiame kintamuoju y ir įstatome tą išraišką į pirmąją sistemos lygtį: (y – 3)2 + ( y – 3)y + y2 = 63, x = y - 3 Sprendžiame pirmąją lygtį: y2 – 6y + 9 + y2 – 3y + y2 = 63; 3y2 – 9y – 54 = 0 | : 3, y2 – 3y – 18 = 0, D = 9 + 72 = 81 Atsakymas: ( -6; - 3); (3;6). c) x – y = 5, Pirmosios sistemos lygties kintamąjį x išreiškiame y: x = y +5, Tokią išraišką įsistatomje į antrąją lygtį: x = y + 5, Sprendžiame antrąją sistemos lygtį ir ją pertvarkome: 6y(y+5) ≠ 0; tad sprendžiame skaitiklyje esančią lygtį: 6y + 6y + 30 – y2 – 5y = 0; y2 - 7y -30 = 0, D = 49 + 120 = 169, Atsakymas: (15;10); (2; -3). Rekomenduojami uždaviniai: 1. Išspręskite lygčių sistemas: a) x + y = -1, f) 3x + y = 1, x2 + y2 = 1. b) g) 3x2 – y2 = 2, x + y = 6, 2x – y = 1. c) h) x + y = 9, x2 + y2 = 100, y2 + x = 29. 3x = 4y. d) y = x – 1, i) x – 2y + 1 = 0, x2 – 2y = 26. 5xy + y2 = 16. e) x2 + 2y = 33, 4x – y = 17. • Sudarymas 1 pavyzdys. Raskite trikampio statinius, kai to trikampio įžambinė lygi 25 cm, o jo perimetras lygus 60 cm; Sprendimas: Pagal turimus duomenis, sudarome lygčių sistemą: x2 + y2 = 252, x + y +25 = 60. Ją išsprendžiame keitimo būdu: x2 + y2 = 252, x = 35 –y; (35 – y)2 + y2 = 252; x = 35 –y. Sprendžiame pirmąją lygtį: 1225 – 70y + y2 + y2 – 252 = 0; 2y2 – 70y + 600 = 0; D = 4900 – 4800 = 100, Atsakymas: 15cm ir 20cm. Rekomenduojami uždaviniai: 1. Raskite dviženklį skaičiių, kuris 4 kartus didesnis už jo skaitmenų sumą ir 2 kartus didesnis už jo skaitmenų sandaugą. 2. Po medžiu, prie pat jo kamieno, augo grybas. Prie jo vienu metu ėmė liuoksėti dvi voveraitės: viena – kamienu iš 15 m aukščio medžio viršūnės, kita – žeme, trumpiausiu 50 m ilgio keliu. Po 1 s nuo pradinio momento atstumas tarp voveraičių buvo lygus 20 m, o dar po 2 s – 10m. Kokiu greičiu kiekviena voveraitė artėjo prie grybo? 3. Vienas dažytojas gali nudažyti namą 24 h greičiau negu kitas. Dirbdami kartu, jie nudažytų tą namą per 35 valandas. Per kiek velandų nudažytų kiekvienas dažytojas, dirbdamas atskirai? 4. Dviejų skaičių suma lygi 12, o jų sandauga – 35. Raskite tuos skaičius.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!