Diofantinės lygtys

Kartais tenka ieškoti lygties su daugiau nei vienu kintamuoju F(x, y, z)=0 sprendinių. Dažniausiai tokios neapibrėžtosios lygtys sprendinių turi be galo daug .
Pvz., kvadratinėje lygtyje x2-3y = 0, x-so reikšmę parinkę bet kaip, kaskart gausime konkrečią y reikšmę. Kai ieškome tik sveikųjų tokių lygčių sprendinių, tai jų kiekis ir forma įgauna konkretesnį pavidalą.
Vieno savičiausių senovės graikų matematiko Aleksandriečio Diofanto garbei tokios lygtys dažnai vadinamos diofantinėmis lygtimis. Jo darbai ypač reikšmingi algebrai ir skaičių teorijai. Iki šiol tiksliai nėra žinoma, kada gimė ir mirė Diofantas (šioje paskaitoje pabandysime išsiaiškinti). Spėjama , kad jis gyveno III m.e.a. Viename eiliuotame senovės uždavinių rankraštiniame rinkinyje Diofanto gyvenimas aprašytas kaip algebrinė mįslė. Ji iškalta ir Diofanto antkapyje.
Jei D(a,b) =d ir d ≠c tai (1) lygtis sprendinių visai neturi.
Įrodymas. Iš tikrųjų, jei teisingos teoremos prielaidos, tai pažymėję (x1, y1) bet kurį (1) lygties sprendinį turime:
(ax0+by0=c ^ ax1+by1=c)→ a(x1-x0)=b(y0-y1)
Tad skaičius x1-x0 turi būti dalus iš b, t.y. x1-x0 =bt, t- sveikasis skaičius, arba kitaip
x1 =x0 +bt, t-sveikasis skaičius. Todėl abt= b(y0-y1) → y1 =y0 –at, t – sveikasisi skaičius.
Lieka patikrinti, ar tikrai sveikųjų skaičių pora (2) tenkina lygtį (1).
Teisinga ir bendresnė teorema: kai d = D(a1,a2, ..., an) , tai neapibrėžtoji lygtis su n kintamųjų
a1x+ a2x+... +anx=b
turi sprendinių tada ir tiktai tada, kai d|b.
Skaičių teorijoje nagrinėjamos ne tik tiesinės diofantinės lygtys. Bendroji diofantinių lygčių sprendimo metodika nėra sukurta, tačiau kai kurie atskiri atvejai yra išsamiai išnagrinėti.
Uždaviniai:
1. Kiek metų gyveno Diofantas:
Palaikai Diofanto kapvietėj ilsis – ir tu ja stebėkis:
Tau mirusio amžių tuoj pat pasakys išmintingai akmuo.
Dievų visagalių valia šeštadalį savo gyvenimo jis buvo vaikas,
O pusę šeštadalio buvo gaivus paauglys.
Vos dalis septintoji jo amžiaus praėjo – vedė jis draugę,
Penkeriems džiaugsmo metams prabėgus, išminčius sulaukė sūnaus,
Tik pusę tėvo gyvenimo metų sūnus išgyveno,-
Nuo tėvo jį paslėpė kapas ankstyvas giliai.
Du kartus po dvejus ašaringus metus tėvas gailiai raudojo
Ir išvydo jis ribą gyvenimo...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!