Diferencialinės lygtys - teorija ir formulės

II. DIFERENCIALINĖS LYGTYS. 1. Bendrosios sąvokos. 1 apibrėžimas: Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomąjį kintamąjį x, ieškomąją funkciją y(x) ir jos išvestines y’, y”, … , y(n): F(x, y, y’, y”, … , y(n)) = 0. Jeigu ieškomoji funkcija y(x) yra tik vieno kintamojo x funkcija, tai diferencialinė lygtis vadinama paprastąja. Diferencialinė lygtis, siejanti nežinomą kelių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines, vadinama dalinių išvestinių diferencialine lygtimi. 2 apibrėžimas: Diferencialinės lygties eile vadinama aukščiausios eilės išvestinės, esančios toje lygtyje, eilė. 3 apibrėžimas: Diferencialinės lygties sprendiniu, arba integralu, vadinama funkcija y=φ(x), tinkanti tai lygčiai. Pvz.: y = xy’ – (y’)2; y = cx – c, nes y’ = c, tai cx – c = x c – (c)2. Tai reiškia, kad funkcija y = cx – c2 yra diferencialinės lygties sprendinys. Bendruoju atveju tų sprendinių yra ne galo daug (y = 2x – 4; y = x – 1…), t.y. gauname sprendinių šeimą. 4 apibrėžimas: Sąlyga, kai reikia išskirti vieną sprendinį yra vadinama pagrindine sąlyga ir trumpai užrašoma taip: y|x=xo = yo. 5 apibrėžimas: Pirmosios eilės diferencialinės lygties y’ = f(x, y) bendruoju sprendiniu vadinama funkcija y = φ(x), priklausanti nuo laisvosios konstantos c ir tenkinanti tokias sąlygas: a) su bet kuria c reikšme ji tinka diferencialinei lygčiai y’ = f(x, y); b) kad ir kokios būtų pradinės sąlygos y|x=xo = yo., visada galima rasti tokią parametro c reikšmę co, su kuria funkcija y = φ(x, co) tenkintų tas pagrindines sąlygas. 6 apibrėžimas: Atskiru diferencialinės lygties y’ = f(x, y) sprendiniu vadinamas sprendinys, kuris gaunamas iš bendrojo sprendinio su kuria nors konstantos c reikšme. 7 apibrėžimas: Lygties sprendinys y = ψ(x), kurio negalima gauti iš bendrojo sprendinio nė su viena C reikšme, vadinamas ypatinguoju tos lygties sprendiniu. Pvz.: y = xy’ – (y’)2; y = x2/4, y’= x/2, tai gauname x2/4 =x x/2 – (x/2)2 = x2/4; Čia funkcija y = x2/4 yra sprendinys, bet ypatingas. Uždavinys, kai reikia rasti atskirąjį diferencialinės lygties sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas, vadinamas Koši uždaviniu. Teorema (apie Koši uždavinio sprendinio egzistavimą ir vienatį): Jeigu diferencialinė lygtis yra y’ = f(x, y), funkcija f(x, y) yra tolydi ir turi tolydžią dalinę išvestinę pagal x ( ), kažkokioje tai srityje D, į kurią įeina taškas (xo, yo), tai tuomet to taško aplinkoje egzistuoja vienintelis diferencialinės lygties sprendinys y = φ(x), tenkinantis pradines sąlygas. 2. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Apibrėžimas: Diferencialinė lygtis M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0 vadinama diferencialine lygtimi su atskiriamaisiais kintamaisiais. Čia M1(x), N1(y), M2(x), N2(y) – tolydžios tam tikruose intervaluose funkcijos. Tarkime, kad M1(x) ir N1(y) ≠ 0, tai tada: Jei Ma(x) = 0, tai dx = 0, t.y. x = const, o jei Na(y) = 0, tai dy = 0, t.y. y = const. Pvz.: 3. Pirmosios eilės homogeninės diferencialinės lygtys. 1 apibrėžimas: Funkcija f(x, y) vadinama kintamųjų x ir y m – tojo matavimo funkcija, jei f(tx, ty)=tmf(x, y). Pvz.: f(x, y) = x4 + x2y2 + y4 + xy3. f(tx, ty) = (tx)4 + (tx)2(ty)2 + (ty)4 + tx(ty)3 = t4(x4 + x2y2 + y4 + xy3) = t4f(x, y). 2 apibrėžimas: Diferencialinės lygties P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, kurios P(x, y) ir Q(x, y) yra to paties matavimo homogeninės funkcijos, vadinamos pirmosios eilės homogenine diferencialine lygtimi. Pvz.: 4. Diferencialinės lygtys, kurios suvedamos į homogenines. Pvz.: 5. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Apibrėžimas: Diferencialinė lygtis y` + P(x)y = Q(x), kurioje funkcijos P(x) ir Q(x) yra tolydžios kokiame nors intervale, vadinama pirmos eilės tiesine diferencialine lygtimi. Pirmos eilės diferencialinės lygtys sprendžiamos: 1) kintamojo keitimo (Bernulio) metodas: Lygtis sprendžiama naudojant keitinį y = uv; čia u = u(x) ir v = v(x) – tolydžios diferencijuojamos funkcijos. Pvz.: 2) konstantų variacijos (Lagranžo) metodas: Pvz.: y` + P(x)y = Q(x); x`y + P(y)x = Q(y) Pvz.: 6. Bernulio diferencialinės lygtys. Diferencialinė lygtis y` + P(x)y = Q(x)ym, kurioje P(x) ir Q(x) yra tam tikruose intervaluose tolydžios funkcijos, o m≠0 ir m≠1, vadinama Bernulio diferencialine lygtimi. y` + P(x)y = Q(x)ym /:ym y-m y` + P(x)y1-m = Q(x) y1-m = z z` = (1-m) y-m y` /:(1-m) y-m y` = z`/(1-m) z`/(1-m) +P(x)z = Q(x) z` + P(x)(1-m)z = Q(x)(1-m) Gaunama tiesinė lygtis. Bernulio diferencialinė lygtis sprendžiama Bernulio metodu. Pvz.: 7. Pilnųjų diferencialų diferencialinės lygtys. Diferencialinė lygtis P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 vadinama pilnųjų diferencialų lygtimi, kai jos kairioji pusė yra tam tikros funkcijos u = u(x, y) pilnasis diferencialas du. Pvz.: 8. Antros eilės diferencialinės lygtys. Diferencialinė lygtis F(x, y, y`, y``) = 0, arba y`` = f(x, y, y`) vadinama antros eilės diferencialine lygtimi. Diferencialinės lygties bendruoju sprendiniu vadinama funkcija y = φ(x, C1, C2), kur funkcija φ – du kartus diferencijuota funkcija. Norint rasti atskirą sprendinį reikia rasti C1 ir C2. tam reikia dviejų pradinių sąlygų (y|x=xo=yo ir y`|x=xo=yo`). Koši teorema antros eilės diferencialinėms lygtims: Jeigu funkcija f(x, y, y`) ir jos dalinės išvestinės yra tolydžios tam tikroje srityje D, kuriai priklauso taškas (xo, yo, y`o), tuomet yra taško xo aplinka, kurioje egzistuoja vienintelis diferencialinės lygties y``= f(x, y, y`) sprendinys y = y(x), tenkinantis pradines sąlygas y|x=xo=yo ir y`|x=xo=yo`. 9. Antros eilės diferencialinės lygtys, sprendžiamos mažinant jų eilę. Galimi trys atvejai: 1) y`` = f(x); Tokią lygčių eilę mažiname nuosekliai integruodami abi lygties puses. Pvz.: 2) y`` = f(x, y`); Naudojame keitimą: y` = P(x), y`` = P`. Tuomet gauta lygtis P` = f(x, P), kurią mokam spręsti. Pvz.: 3) y`` = f(y, y`); Naudojame pakeitimą: y` = P(y); y`` = P(y)y`x = P(y) P`(y); Tuomet gauname lygtį P P` = f(P, y); Pvz.: 10. Antros eilės tiesinės diferencialinės lygtys. Antros eilės tiesine diferencialine lygtimi vadinama lygtis y``+ α1(x)y` + α2(x)y = f(x), kur α1(x), α2(x) ir f(x) yra žinomos ir tolydžios tam tikrame intervale (a; b) funkcijos. Jei funkcija f(x) = 0, t.y. y``+ α1(x)y` + α2(x)y = 0, tai tokia lygtis vadinama antros eilės tiesine homogenine diferencialine lygtimi. Jei funkcijos α1(x) ir α2(x) yra konstantos, tai tokia lygtis vadinama antros eilės tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais koeficientais. Jei funkcijos α1(x) ir α2(x) yra konstantos, o funkcija f(x) = 0, tai lygtis y``+ α1y` + α2y = 0 vadinama antros eilės tiesine homogenine diferencialine lygtimi su pastoviais kintamaisiais. Pvz.: y``+ x2y` + sin(x)y = cos(x); y``+ x2y` + sin(x)y = 0; y``+ 2y` + 3y = cos(x); y``+ 2y` + 3y = 0; Pažymėję y``+ α1(x)y` + α2(x)y = L[y], tiesinę nehomogeninę lygtį trumpinsime L[y] = f(x), o homogeninę – L[y] = 0. L[y] vadinamas diferencialiniu operatoriumi. Jam būdinga tiesiškumo savybe: L[ay1 + by2] = aL[y1] + bL[y2] Tarkime, kad y1 ir y2 yra antros eilės diferencialinių lygčių sprendiniai L[y] = f(x), t.y. L[y1]=f(x) ir L[y2] = f(x). Teorema: Jei funkcijos y1 ir y2 yra tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendiniai, tai ir C1y1 + C2y2 yra tos pačios lygties sprendinys. Įrodymas: L[y1] ≡ 0; L[y2] ≡ 0; L[C1y1 + C2y2] = C1L[y1] + C2L[y2] = C10 + C20 = 0; L[C1y1 + C2y2] ≡ 0; Taigi, C1y1 + C2y2 yra tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendinys. 11. Bendrasis sprendinys. Vronskio determinantas. Tarkime, kad y1 ir y2 yra atskirieji antros eilės tiesinės homogedinės diferencialinės lygties sprendiniai, tuomet C1y1 + C2y2 irgi yra tos lygties sprendinys, bet bendruoju sprendiniu C1y1 + C2y2 yra tada, kai iš šio reiškinio bus galima gauti atskirąjį sprendinį, atitinkantį duotas pradines sąlygas. Tam reikia išspręsti tiesinių lygčių sistemą Čia y1o = y1|x=xo, y`1o = y`1|x=xo … Žinome, kad tokia sistema turi vienintelį sprendinį, kai jos determinantas yra nelygus nuliui. Taigi, pareikalavę, kad būtų galime rasti vieninteles C1 ir C2 reikšmes, kad ir kokios būtų pradinės sąlygos. Determinantas vadinamas Vronskio determinantu, arba vronskianu. Vadinasi, kai atskirieji sprendiniai y1 ir y2 yra tokie, kad determinantas W(y1; y2) ≠ 0, tai parinkę xo iš tos srities, kurioje W(y1; y2) ≠ 0 galime rasti C1 ir C2 reikšmes, kad ir kokie būtų skaičiai yo ir y`o. tai reiškia, kad iš sąryšio y = C1y1 + C2y2 galima gauti kiekvieną atskirąjį tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendinį. Todėl y = C1y1 + C2y2 yra bendrasis tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendinys. Taigi reiškinys y = C1y1 + C2y2 yra bendrasis tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendinys, kai atskirieji jos sprendiniai y1 ir y2 tenkina sąlygą W(y1; y2) ≠ 0. tokiu atveju sakoma, kad atskirieji sprendiniai sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Teorema: Kai y1 ir y2 yra fundamentalioji antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties L[y] = 0 atskirųjų sprendinių sistema, tai bendrasis šios lygties sprendinys išreiškiamas formule: y = C1y1 + C2y2. 12. Tiesinis funkcijų nepriklausomumas. Funkcijos y1, y2, …, yn vadinamos tiesiškai nepriklausomomis intervale (a; b), jeigu tapatybė C1y1 + C2y2 + … + Cnyn = 0 teisinga tik tada, kai visi skaičiai C lygūs nuliui. Jei bent vienas šių skaičių nelygus nuliui, tai funkcijos y1, y2, …, yn vadinamos tiesiškai priklausomomis intervale (a; b). 1 teorema: Jei funkcijos y1 ir y2 yra tiesiškai priklausomos intervale (a; b), tai Vronskio determinantas tame intervale tapačiai lygus nuliui. Įrodymas: y1/y2 = C = cont; y1 = Cy2 ir y`1 = Cy`2. Tuomet Vronskio determinantas lygus: 2 teorema: Jei antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties L[y] = 0 atskirieji sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a; b), tai Vronskio determinantas W(y1; y2) ≠ 0 kiekviename intervalo (a; b) taške xo. Įrodymas: y1, y2 – lygties L[y] = 0 sprendiniai, tiesiškai nepriklausomi intervale (a; b). C1 = C1, C2 = C2; Bent vienas iš C1,C2 yra nelygus nuliui. Sudarykime dar vieną atskirą lygties L[y]=0 sprendinį. y = C1y1 + C2y2; Kadangi dešiniosios šių lygčių pusės tenkina ankstesnę sistemą, tai yo = 0 ir yo` = 0. Gauname tapatybę: C1y1o + C2y2o = 0, xЄ(a; b). Ji teisinga, kai bent vienas iš skaičių C1, C2 yra nelygus nuliui. O tai reiškia, kad sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai priklausomi. Šis teiginys prieštarauja teoremos sąlygai. Gautoji prieštara įrodo teoremą. 3 teorema: Jei Vronskio determinantas W(y1; y2), sudarytas iš antrosios eilės tiesinės homogeninės lygties L[y] = 0 atskirųjų sprendinių y1 ir y2, nelygus nuliui bent viename taške xoє(a; b), tai jis nelygus nuliui ir kiekviename to intervalo taške xє(a; b). Įrodymas: Kadangi W(y1; y2) ≠ 0 taške xo, tai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi intervale (a; b), kitaip pagal 1 teoremą, Vronskio determinantas būtų lygus nuliui intervale (a; b), o tai prieštarautų teoremos sąlygai. Iš tiesinio sprendinių y1 ir y2 nepriklausomumo bei 2 teoremos išplaukia, kad W(y1; y2) ≠ 0 kiekviename taške xє(a; b). 4 teorema: Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties L[y] = 0 atskirieji sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai W(y1; y2) ≠ 0 (bent viename taške xoє(a; b), o kartu ir visame intervale). Įrodymas: Būtinumas tiesiogiai išplaukia iš 2 teoremos. Pakankamumas. Jeigu tartume priešingai, kad y1 ir y2 yra tiesiškai priklausomi, tai, pagal 1 teoremą, būtų W(y1; y2) = 0, o tai prieštarautų sąlygai W(y1; y2) ≠ 0. taigi funkcijos y1 ir y2 turi būti tiesiškai nepriklausomos. 5 teorema: Tarkime, kad atskirieji lygties L[y] = 0 sprendiniai y1 ir y2 sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Tuomet y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi atskirieji lygties L[y] = 0 sprendiniai. Įrodymas: Atskirųjų lygties L[y] = 0 sprendinių sistemos fundamentalumas bei jų nepriklausomumas apibūdinamas ta pačia sąlyga W(y1; y2) ≠ 0. Išvada: Funkcija y = C1y1 + C2y2 yra antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygties L[y]=0 bendrasis sprendinys, kai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi atskirieji lygties sprendiniai 13. Liuvilio formulė. y``+ α1(x)y` + α2(x)y = 0; Tarkime, kad y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi atskirieji lygties sprendiniai. Tuomet: Gauname: y1y2``- y1``y2 + α1(x)(y1y2` - y2y1`) = 0; Kadangi y1y2` - y2y1` = W(y1; y2); y1y2``- y1``y2 = W`x(y1; y2); Tai gauname lygtį: W`x(y1; y2) + α1(x )W(y1; y2) = 0; Tuomet Ši formulė vadinama Liuvilio formule. Remiantis Liuvilio formule galima rasti lygties y``+ α1(x)y` + α2(x)y = 0; sprendinį y2, kai žinomas sprendinys y1. Taigi: (y1)2 ≠ 0; Sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi, nes y2/y1≠const. Tuomet iš jų galima sudaryti bendrąjį lygties y``+ α1(x)y` + α2(x)y = 0 sprendinį y = C1y1 + C2y2. Pvz.: 14. Antros eilės tiesinės homogelinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. y``+ py`+qy = 0; p, q – const. Darome prielaidą, kad y = ekx; tuomet y` = kekx; y``= k2ekx; k2ekx + pkekx + qekx = 0; ekx ≠ 0; k2 +pk +q = 0; Lygtis turės sprendinį kai k2 +pk +q = 0, o ši lygtis vadinama charakterine lygtimi. Galimi atvejai: 1) D>0; k1 ≠ k2; y1 =ek1x; y2 = ek2x; y1/y2 = e(k1-k2)x; Tuomet y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi. y = C1ek1x + C2ek2x; 2) D = 0; k1 = k2 = k; -p = k1 + k2; y1 = ekx; y = C1ekx + xC2ekx = ekx(C1 + xC2); 3) D

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!