Paprastosios diferencialinės lygtys

▪ užduotys savarankiškam darbui.
Pirmosios eilės diferencialinių lygčių sprendimas ………..…2 psl.
sprendimas …………………………………………………….9 psl.
pastoviaisiais koeficientais sprendimas ………………...…..16 psl.
Tiesinių diferencialinių lygčių sistemų sprendimas ……….23 psl.
Fizikos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės
diferencialines lygtis …………………………………………26 psl.
Geometrijos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lygtis …………………………………………27 psl.
Pirmosios eilės diferencialinių lygčių skaitinis sprendimas..30 psl.
2. Išspręstosios užduotys….....33 psl.
1. Individualios užduotys
Diferencialinių lygčių sprendimas ir taikymas
Pirmosios eilės diferencialinių lygčių sprendimas
Pirmosios eilės diferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį x, nežinomą funkciją y ir jų dife­ren­cialus dx, dy arba išvestinę .
Pirmosios eilės dife­ren­cialinės lygties pavidalai:
, arba .
Pirmosios eilės dife­ren­cialinės lygties bendruoju sprendiniu vadinama funkcija , kurią įrašius į lygtį, gaunama tapatybė.
Norint rasti bendrąjį sprendinį, reikia atpažinti lygties tipą ir taikyti atitinkamą sprendimo metodą.
Čia nagrinėsime tokius lygčių tipus:
1) paprasčiausios lygtys (žymėsime P)
2) su atskiriamais kintamaisiais (A)
3) homogeninės (H)
4) tiesinės (T)
5) Bernulio (B)
6) pilnųjų diferencialų (D).
Paprasčiausios lygtys yra tokios:.
Nežinoma funkcija y gaunama integruojant išvestinę:
.
Su atskiriamais kintamaisiais vadinama lygtis
arba .
Jei lygtyje yra išvestinė, tai įrašius ir po to atskyrus kintamuosius, integruojamos abi lygties pusės:
arba .
Dviejų kintamųjų funkcija f(x, y) vadinama k-ojo laipsnio homogenine funkcija, jei teisinga tokia lygybė:
.
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis
vadinama homogenine, jei yra to paties laipsnio homogeninės funkcijos.
Lygtis vadinama homogenine, jei f(x, y) yra nulinio laipsnio homogeninė funkcija.
Homogeninę diferencialinę lygtį galima pertvarkyti į tokį pavidalą: . Pakeitę ieškomą funkciją y=y(x) nauja nežinoma funkcija u=u(x) pagal lygybę ir į homogeninę lygtį vietoje y ir įrašę y = ux, , gauname lygtį su atskiriamais kintamaisiais.
Pavyzdys
Rasime diferencialinės lygties
bendrąjį sprendinį.
Duotąją lygtį pertvarkome:
, .
Pakeičiame kintamąjį pagal lygybę ir į homogeninę lygtį įrašę y = ux, , gauname tokią lygtį:
.
Šią lygtį pertvarkome ir atskiriame kintamuosius:
 .
Abi gautosios lygties puses integruojame:
 ,
.
Randame neapibrėžtuosius koeficientus iš tapatybės
,
paėmę u=0 ir u=: A=6, B=–3.
Tuomet:
,
,
 ,
 , .
Vietoje u įrašę ir pertvarkę gauname diferencialinės lygties bendrąjį sprendinį:
.
Pirmosios eilės tiesine diferencialine lygtimi vadinama lygtis
,
o Bernulio lygtimi –
, .
Abi šias lygtis galima išspręsti Bernulio metodu. Jo esmė to­kia:...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!