Diferencialinės lygtys

Gintautas Bareikis DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paskaitu ‘ konspektas Šis diferencialiniu ‘ lygčiu ‘ paskaitu ‘ ciklas yra skaitomas VU Fizikos fakulteto studentams. Paskaitose bei praktiniuse užsiėmimuose, kurie trunka viena ‘ semestra ‘ (2+2+1), studentai supažindinami su i ‘ vairiu ‘ diferencialiniu ‘ lygčiu ‘ integravimo metodais. Konspekte pateikiami taikomojo pobūdžio pavyzdžiai, bei po kiekvieno skyriaus uždaviniai i ‘ gūdžiams tobulinti. Vilniaus Universitetas, Matematikos fakultetas 2001.09.01 1 Turinys I. PIRMOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS 1.1 I ‘ žanginės pastabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Pirmos eilės dif. lygtys. Koši uždavinys. Geometrinė interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Dif. lygtys ǐsreikštos diferencialais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Dif. lygtys su atskirtais kitamaisiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.5 Dif. lygtys su atskiriamais kintamaisias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Homogeninės diferencialinės lygtys. Apibendrintos homogeninės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.7 Tiesinės dif. lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8 Dif. lygtys pilnais diferencialais. Integruojamas daugiklis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Taikymai fizikoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.9 Dif. lygtys, neǐsspre ‘ stos ǐsvestinės atžvilgiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.10 n-ojo laipsnio diferencialinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.11 Nepilnos dif. lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 1.12 Lagranžo ir Klero lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.13 Lygtys ǐssprendžiamos laisvojo kintamojo arba funkcijos atžvilgiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Taikymai ir pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II. PIRMOS EILĖS DIF. LYGTIES SPRENDINIO EGZISTAVIMO IR VIENATINUMO TEOREMA 2.1 Pagalbiniai teiginiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Pagrindinė teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 III. AUKŠTESNĖS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS 3.1 Bendros sa ‘ vokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Dif. lygtys priklausančios tik nuo laisvojo kintamojo ir n−os eilės ǐsvestinės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Lygtys neǐsreikštos n− os eilės ǐsvestinės atžvilgiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Dif. lygtys be laisvojo kintamojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 Dif. lygtys be ieškomosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6 Dif. lygtys, homogeninės (apibendrintos homogeninės) funkcijos ir šios funkcijos ǐsvestiniu ‘ atžvilgiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Taikymai fizikoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 IV. TIESINĖS n−OS EILĖS DIF. LYGTYS 4.1 Homogeninės dif. lygtys. Fundamentalioji sprendiniu ‘ sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Nehomogeninės tiesinės n− os eilės dif. lygtis. Neapibrėžtiniu ‘ koeficientu ‘ metodas . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Tiesinė dif. lygtis su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4.4 Tiesinės lygtys, pertvarkomos i ‘ lygtis su pastoviais koeficientais. Oilerio lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5 Lygties eilės pažeminimo atvejai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Taikymai fizikoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2 V. DIFERENCIALINIU ‘ LYGČIU ‘ SISTEMOS 5.1 Normalinės dif. lygčiu ‘ sistemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Normalinės sistemos fizikinė interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 5.3 Dif. lygčiu ‘ sistemu ‘ integravimo metodai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.4 Tiesiniu ‘ sistemu ‘ integravimo metodai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Taikymai fizikoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 VI. TIESINĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS, DALINĖMIS IŠVESTINĖMIS 6.1 Pirmos eilės dif. lygtysm dalinėmis ǐsvestinėmis. Bendros sa ‘ vokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Tiesinės dif. lygtys dalinėmis ǐsvestinėmis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VII. OPERACINIS SKAIČIAVIMAS IR DIF. LYGTYS 7.1 I ‘ vadinės pastabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 7.2 Laplaso transformacijos. Šios transformacijos skaičiavimo taisyklės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3 Operaciniu ‘ metodu ‘ taikymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.4 Operaciniai metodai dif. lygčiu ‘ sistemoms spre ‘ sti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Taikymai fizikoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3 I. PIRMOS EILĖS DIFERENCIALINĖS LYGTYS 1.1 I ‘ žanginės pastabos Simboliu R žymėsime realiu ‘ ju ‘ skaičiu ‘ aibe ‘ . Realiu ‘ ju ‘ skaičiu ‘ aibės intervalais (atviru, uždaru, pusiau uždaru, pusiau atviru), vadinsime tokias realiu ‘ ju ‘ skaičiu ‘ aibes (a, b) = {x, a . Apibrėžimas Tarkime, kad M− kokia nors aibė. Šia ‘ aibe ‘ vadinsime metrine erdve, jeigu egzistuoja realiu ‘ ju ‘ , neneigiamu ‘ reikšmiu ‘ funkcija ρ , apibrėžta bet kokiai šios aibės elementu ‘ porai (x, y) ir tokia, kad ρ(x, y) = 0, tada ir tik tada, kai x = y; 1) ρ(x, y) = ρ(y, x); 2) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (∀x, y, z ∈M). 3) Funkcija ρ(x, y) paprastai yra vadinama metrika, o pora (M,ρ)− vadinama metrine erdve. Pavyzdžiui, erdvėje Rn metrika ‘ galime apibrėžti taip: ρn(x, y) = √√√√ n∑ i=1 (xi − yi)2, čia x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. Metrines erdves R1,R2,R3 vadinsime tiese, plokštuma ir erdve, atitinkamai. Taško x ∈ R aplinka vadinsime bet koki ‘ atvira ‘ intervala ‘ , kuriam priklauso taškas x. Aibe ‘ vadinsime atvira, jeigu bet koks šios aibės taškas, kartu su aplinka, priklauso šiai aibei. Metrinės erdvės Rn atviru (uždaru) rutuliu, kurio centras taške a, o spindulys r vadinsime aibe ‘ B(a, r) = {x ∈ Rn; ρ(x, a) , vadinsime funkcija ‘ ϕ(x), apibrėžta ‘ šiame intervale ir turinčia ‘ n−os eilės ǐsvestines tame pat intervale , kuriai galioja tapatybė: F (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) ≡ 0, x ∈ . Apskritai paėmus, sprendinys gali būti apibrėžtas skirtinguose intervaluose. Tačiau apie tai kiek vėliau, kai nagrinėsime konkrečias diferencialines lygtis. Skaitytojas, klause ‘ s matematinės analizės pagrindu ‘ kursa ‘ žino, kad norint ǐsspre ‘ sti lygti ‘ y′ = f(x) (1.1) mums reikia rasti funkciojos f(x) pirmykšte ‘ funkcija ‘ . Kitaip tariant, reikia suintegruoti (1.1) lygybe ‘ . Yra žinoma, kad jei funkcija f ∈ C(a, b), tai šiame intervale egzistuoja (1.1) lygties sprendinys, kuris skaičiuoja- mas taip: y = ∫ x x0 f(z)dz + c, x0, x ∈ (a, b), c ∈ R. (1.2) Ši lygybė vadinama bendruoju (1.1) lygties sprendiniu. Taigi, (1.1) lygtis turi begalo daug sprendiniu ‘ , kuriuos gauname parinke ‘ konstanta ‘ . Šiu ‘ sprendiniu ‘ grafikai yra vadinami integralinėmis kreivėmis. Beje, reikalavimas, kad f(x) būtu ‘ tolydi yra esminis. Pavyz džiui, tarkime, kad f(x) = {x− 1, x 0. Matome, kad ši funkcija neturi tikslios pirmykštės, realiu ‘ ju ‘ skaičiu ‘ aibėje. Jei (1.2) lygybėje fiksuosime konstanta ‘ (c = c0), tai tada ǐs bendrojo sprendinio ǐsrinksime konkrečia ‘ funkcija ‘ , kuria ‘ vadinsime atskiruoju (1.1) dif. lygties sprendiniu. Jei norime rasti (1.1) lygties kuri ‘ nors viena ‘ sprendini ‘ , tai šios lygties sprendiniui turime kelti papildomus reikalavimus, būtent reikalauti, kad ieškomosios funkcijos reikšmė, kokiame nors taške x0, būtu ‘ lygi f(x0) = y0. (1.1) lygti ‘ , su minėtu papildomu reikalavimu galime perrašyti taip:{ y′ = f(x), f(x0) = y0. (1.3) (1.3) sistema vadinama (1.1) dif. lygties Koši uždaviniu. Tada, šio uždavinio sprendinys atrodo taip: f(x) = y0 + ∫ x x0 f(t)dt. Šis sprendinys vadinamas (1.1) Koši uždavinio sprendiniu. Nesunku matyti, kad ǐs (1.2) lygybės gauname (1.3) uždavinio sprendini ‘ , kai c = y0. 1.2 Pirmos eilės dif. lygties sprendinys. Koši uždavinys. Geometrinė interpretacija Mes nagrinėsime pirmos eilės diferencialine ‘ lygti ‘ : F (x, y, y′) = 0. (1.4) Laikysime, kad funkcija F (x, y, y′) apibrėžta kokiame nors trimatės erdvės poaibyje Ω ⊂ R3, kuri yra tolydi šioje srityje, kartu su savo ǐsvestinėmis F ′y, F ′ y′ . 5 Apibrėžimas (1.4) diferencialinės lygties sprendiniu, intervale , vadinsime bet kokia ‘ realiu ‘ reikšmiu ‘ funkcija ‘ ϕ(x), turinčia ‘ tolydžia ‘ ǐsvestine ‘ šiame intervale ir tenkinančia ‘ sa ‘ lyga ‘ : F (x, ϕ(x), (ϕ(x))′) ≡ 0, (x ∈ (a, b), (x, ϕ(x), (ϕ(x))′) ∈ Ω). Pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinys. Koši uždavinys formuluojamas taip: Reikia rasti (1.4) lygties sprendini ‘ ϕ(x) ǐspildanti ‘ papildoma ‘ sa ‘ lyga ‘ ϕ(x0) = y0, čia (x0, y0) laisvai pasirinktas plokštumos taškas. Žinoma, bendrai paėmus, sprendinys su tokiais reikalavimais gali ir neegzistuoti. Tuo atveju sakysime, kad Koši uždavinys sprendinio neturi. Jei Koši uždavinys turi sprendini ‘ , tai reikia ǐssiaǐskinti, ar jis vienin- telis. Visu ‘ pirma mes aptarsime atskira ‘ (1.4) lygties atveji ‘ , t.y. y′ = f(x, y), (x, y) ∈ G ⊂ R2. Apibrėžimas Tarkime, kad funkcija f(x, y) yra apibrėžta ir tolydi plokštumos srityje G. Diferen- cialinės lygties y′ = f(x, y) (1.5) sprendiniu, intervale , vadinsime funkcija ‘ y = ϕ(x), apibrėžta ‘ intervale , turinčia ‘ kiekviename šio intervalo taške ǐsvestine ‘ ir ǐspildančia ‘ sa ‘ lyga ‘ : ϕ′(x) ≡ f(x, ϕ(x)), x ∈ . (1.6) Jei intervalo galai priklauso aibei , tai šiuose taškuose nagrinėjamos vienpusės ǐsvestinės. Pastara ‘ ji ‘ apibrėžima ‘ perrašykime naudodami jau mums žinomus simbolius. Apibrėžimas Sakykime, kad funkcija f(x, y) ∈ C(G). Funkcija ‘ ϕ ∈ C1() vadinsime (2.2) lygties sprendiniu intervale , jeigu 1) (x, ϕ(x)) ∈ G, kai x ∈; 2) ϕ′(x) ≡ f(x, ϕ(x)), x ∈ . Aptarsime (1.5) lygties Koši uždavinio problema ‘ . Kaip jau esame minėje ‘ , tam kad ǐs integraliniu ‘ kreiviu ‘ šeimos galėtume ǐsskirti vienintele ‘ kreive ‘ , mums reikia papildomu ‘ sa ‘ lygu ‘ . Natūralu reikalauti, kad integralinei kreivei priklausytu ‘ koks nors ǐs anksto pasi- rinktas srities G taškas, tarkime (x0, y0). Suformuluokime Koši uždavini ‘ (1.5) diferencialinei lygčiai. Rasti (1.5) diferencialinės lygties sprendini ‘ , kuris tenkina sa ‘ lyga ‘ : y(x0) = y0. (1.7) (1.7) sa ‘ lygos yra vadinamos pradinėmis arba Koši sa ‘ lygomis. Be to Koši uždavinio sprendinys yra vadinamas (1.5) diferencialinės lygties atskiru sprendiniu tenkinančiu pradines sa ‘ lygas. Kiek vėliau i ‘ sitikinsime, kad funkcijos f(x, y) tolydumas, srityje G, užtikrina (1.5) lygties sprendinio egzistavima ‘ . Deja, Koši uždavinio vienetinumo tai dar negarantuoja. Sprendini ‘ , kurio kiekviename taške pažeidžiama Koši uždavinio vienetinumo sa ‘ lyga, vadinsime ypatingu sprendiniu. Apibrėžimas Sakysime, kad kreiviu ‘ y = ϕ(x, c) arba Φ(x, y, c) = 0 šeima turi gaubiama ‘ ja ‘ y = φ(x), jei bet kuri ‘ kreivės y = φ(x) taška ‘ liečia viena šeimos kreivė. 1.1 pav. 6 1.1 pav. Iš gaubiamosios apibrėžimo ǐsplaukia, kad ši kreivė yra ypatingas dif. lygties sprendinys. Teorema 1.1 Kreiviu ‘ šeima y = F (x, c) turi gaubiama ‘ ja ‘ y = φ(x) tada ir tik tada, kai egzistuoja funkcija c = c(x), kad F ′c(x, c(x)) ≡ 0, ir φ(x) = F (x, c(x)). Pastarosios teoremos nei ‘ rodysime, tik pastebėsime, kad ǐs šios teoremos ǐsplaukia, jog kreiviu ‘ šeimos gaubiamoji yra randama sprendžiant sistema ‘ y = F (x, c), 0 = ∂F ∂c . Pavyzdžiui, tarkime duota kreiviu ‘ šeima (x − c)2 + y2 = 1. Tada skaičiuodami šios funkcijos ǐsvestine ‘ c atžvilgiu gauname 2(x− c) = 0. Iš pastarosios eliminave ‘ c = c(x) ir i ‘ raše ‘ i ‘ pradine ‘ lygti ‘ gauname kreiviu ‘ šeimos gaubiamosios lygti ‘ : y2 = 1. Tarkime, kad duota funkciju ‘ šeima: y = F (x, c). Laikysime, kad funkcija F (, ) yra tolydžiai diferen- cijuojama abieju ‘ kintamu ‘ ju ‘ atžvilgiu. Tada y′ = F ′x(x, c). Iš pastaru ‘ ju ‘ dvieju ‘ lygčiu ‘ eliminave ‘ konstanta ‘ c ir pastara ‘ ja ‘ i ‘ raše ‘ i ‘ pradinės šeimos lygti ‘ gauname diferencialine ‘ lygti ‘ G(x, y, y′) = 0. Žinoma, kad visos pradinės šeimos funkcijos yra šios dif. lygties sprendiniai ir atvirkščiai. Nurodėme būda ‘ , kaip turint funkciju ‘ šeima ‘ rasti ja ‘ atitinkančia ‘ dif. lygti ‘ . Raskime kreiviu ‘ šeimos y = cex dif. lygti ‘ . Suskaičiave ‘ ǐsvestine ‘ gauname, kad y′ = cex. Tada c = y′e−x. I ‘ raše ‘ šia ‘ c reikšme ‘ i ‘ pradine ‘ lygti ‘ gauname tokia ‘ dif. lygti ‘ : y′ − y = 0. Apibrėžimas Funkcija ‘ y = ϕ(x, c), priklausančia ‘ nuo laisvojo kintamojo x ir konstantos c, vadinsime bendruoju (1.5) lygties sprendiniu, jeigu laisvai parinke ‘ konstanta ‘ c0 ∈ R gausime, kad funkcija y = ϕ(x, c0) yra (1.5) lygties sprendinys. Kitaip tariant, bendra ‘ jame sprendinyje fiksave ‘ konstanta ‘ gauname lygties atskira ‘ sprendini ‘ . Apibrėžimas (1.5) lygties bendruoju integralu vadinsime reǐskini ‘ Φ(x, y, c) = 0, (1.8) ǐs kurio (1.5) lygties atskirieji sprendiniai gaunami parinkus konstanta ‘ c. Kitaip tariant visi diferencialinės lygties sprendiniai kartu yra ir (1.8) lygties sprendiniai. Jei (1.8) lygti ‘ galima ǐsreikšti konstantos atžvilgiu, t.y. Ψ(x, y) = c, tai šia ‘ specialia ‘ ǐsraǐska ‘ vadiname kanoniniu bendruoju integralu. Taigi, jei i ‘ kanonini ‘ integrala ‘ i ‘ rašysime diferencialinės lygties spren- dini ‘ y = ϕ(x), gausime tapatybe ‘ Ψ ( x, ϕ(x) ) ≡ c. Tarkime, kad duota (1.4) diferencialinė lygtis. Be to reikalaujame, kad funkcija F (x, y, z) ir jos dalinės ǐsvestinės F ′x, F ′ y yra tolydžios kokioje tai trimatės erdvės dalyje Ω. Be to tarkime, kad Φ(x, y, c) = 0 yra bendrasis (1.4) lygties integralas, čia funkcija Φ turi tolydžias dalines ǐsvestines srityje Ω. Tegu y = y(x). Diferencijuodami (1.4) lygties (1.8) bendra ‘ ji ‘ integrala ‘ x atžvilgiu gauname lygti ‘ Φ′x + Φ′yy ′ = 0. Eliminave ‘ c bendrojo integralo ǐsraǐskoje, kartu su paskutinia ‘ ja lygtimi galime sudaryti diferencialine ‘ lygti ‘ , ekvivalenčia ‘ (1.4) dif. lygčiai. Kitaip tariant, mes nurodėme būda ‘ , kaip turint funkciju ‘ šeima ‘ (priklausančia ‘ 7 nuo parametro ) galime gauti šia ‘ šeima ‘ atitinkančia ‘ diferencialine ‘ lygti ‘ , t.y. pradinė šeima yra diferencialinės lygties bendrasis integralas. Pateiksime pavyzdi ‘ . Tarkime, kad duota funkciju ‘ šeima y = (x− c)3, x ∈ R. Diferencijuokime šia ‘ šeima ‘ , x atžvilgiu, ir gauta ‘ ja ‘ lygybe ‘ pakėle ‘ kūbu, gausime toki ‘ reǐskini ‘ , (y′)3 = 27(x− c)6. Naudodamiesi paskutinia ‘ ja, bei pradine lygybėmis gauname tokia ‘ diferencialine ‘ lygti ‘ (y′)3 − 27y2 = 0. I ‘ rodysime tokia ‘ 2.1 Teorema Tarkime, kad duota diferencialinė lygtis F (x, y, y′) = 0, (x, y, y′) ∈ Ω. (1.4)′ Be to reikalaujame, kad funkcija F (x, y, z) ir jos dalinės ǐsvestinės F ′x, F ′ y yra tolydžios kokioje nors trimatės erdvės dalyje Ω. Be to tarkime, kad a) Φ(x, y) = c yra bendrasis šios lygties integralas, čia funkcija Φ(x, y) yra tolydžiai diferencijuojama plokštumos srityje G. Jeigu funkcija y = y(x), (x, y(x), y′(x)) ∈ Ω, yra tolydžiai diferencijuojamas, intervale (a, b), lygties Φ(x, y) = c sprendinys, kokiam nors c, tai funkcija y(x) yra ir lygties (1.4)′ sprendinys ir atvirkščiai, bet koks lygties (1.4)′ sprendinys yra ir bendrojo integralo a) sprendinys, kokiai nors konstantai c. Tarkime, kad y = y(x), x ∈ (a, b) yra tolydžiai diferencijuojamas a) bendrojo integralo sprendinys, kai c = c0 : Φ(x, y(x)) = c0. Diferencijuodami paskutinia ‘ ja ‘ lygybe ‘ , x atžvilgiu, gauname Φ′x(x, y(x)) + Φ′y(x, y(x))y′(x) = 0, x ∈ (a, b). (1.9) Remdamiesi paskutinia ‘ ja lygybe gauname, kad y(x) yra diferencialinės lygties Φ′x(x, y) + Φ′y(x, y)y′ = 0, (1.10) sprendinys. Bet tuo pačiu, y(x) yra ir lygties (1.4)′ sprendinys, kuri srityje Ω yra ekvivalenti (1.10) lygčiai (remiantis bendrojo integralo apibrėžimu). Atvirkščiai. Tarkime, kad y(x), a 0, tai tada bendrasis integralas b) šioje srityje tolydžiai diferencijuojamas. Taigi, šiuo atveju b) bendrasis integralas apima visus diferencialinės lygties sprendinius susiaurintoje apibrėžimo srityje. Pastebėsime, kad (1.5) dif. lygtis apibrėžia ryši ‘ tarp taško M(x, y) koordinačiu ‘ ir šios lygties integralinės kreivės krypties koeficiento, šiame taške, t.y. tgα = dy dx = f(x, y). Tarkime, kad funkcija f(x, y) yra apibrėžta kokioje nors plokštumos srityje G. Tada taške M ∈ G egzis- tuoja kryptis, kurios krypties koeficientas taip pat lygus f(x, y). Taške M nubrėže ‘ vektoriu ‘ , su minėta ‘ ja kryptimi (šio vektoriaus koordinatės yra (1, f(x, y))) mes gauname taške M krypti ‘ , kuria ‘ apibrėžia (1.5) diferencialinė lygtis. Kadangi M ∈ G yra bet koks laisvai pasirinktas plokštumos srities taškas, tai šios srities kiekviename taške, (1.5) lygtis apibrėžia konkrečia ‘ krypti ‘ . Šiu ‘ krypčiu ‘ visuma, apibrėžta (1.5) lygties, vadinama krypčiu ‘ lauku. Tada, integraliniu ‘ kreiviu ‘ liestiniu ‘ ir krypčiu ‘ lauko vektoriu ‘ kryptys, integraliniu ‘ kreiviu ‘ taškuose, sutampa. Aptarkime, kaip galima nubrėžti integralines kreives, žinant krypčiu ‘ lauka ‘ . Tarkime, kad duota difer- encialinė lygtis dy dx = y x , G = {(x, y);x > 0, y > 0}. (1.11) Nesunku suprasti, kad tiesėse y = cx, krypčiu ‘ laukas pastovus, kadangi y/x = c ir dy dx = c. Tuo būdu, nurodytos tiesės taškuose, vektorius s = {1, c} yra lygiagretus tiesei, todėl ir krypčiu ‘ laukas ǐssidėste ‘ s tiesės kryptimi, kaip parodyta 1.2 pav.. Aǐsku, kad vektorinio lauko kreivės sutampa su pradinėmis tiesėmis, t.y. y = cx. Tada santykis y/x = c, 0 0, y > 0}. (1.12) Diferencialiniu ‘ lygčiu ‘ (1.11) ir (1.12) vektoriniu ‘ lauku ‘ kryptys yra ortogonalios (kodėl?). Beje, nesunkiai gauname, kad integralinės (1.12) lygties bendrasis sprendinys yra toks: y = √ C − x2, 0 x0. Iš šio taško brėžiame tiese ‘ , kurios krypties koeficientas f(x1, y1) ir šioje tiesėje parenkame taška ‘ (x2, y2), x2 > x1. Prate ‘ se ‘ ši ‘ procesa ‘ gauname laužte ‘ (1.3 pav.). Natūralu tikėtis, kad jei laužtės ”žingsnis” pakankamai smulkus, tai ši laužtė pakankamai arti integralinės kreivės, kuriai priklauso taškas (x0, y0). Taigi, šia ‘ laužte ‘ galime laikyti apytiksliu Koši uždavinio sprendiniu. Šis metodas vadinamas Oilerio laužčiu ‘ metodu. 1.3 pav. Aptarsime kita ‘ , geometrini ‘ , integraliniu ‘ kreiviu ‘ paieškos metoda ‘ , kuris vadinamas izoklinu ‘ metodu. Apibrėžimas (1.8) dif. lygties krypčiu ‘ lauko izoklina vadinsime kreive ‘ , kurios taškuose krypčiu ‘ laukas yra pastovus. Izoklinos taškuose teisinga lygybė: f(x, y) = c. Kai izoklinos žinomos, tai mes lengvai galime nubrėžti krypčiu ‘ lauka ‘ , o kai žinomas krypčiu ‘ laukas, pagal ji ‘ galime rekonstruoti integralines kreives. Pateiksime pavyzdžiu ‘ . Tarkime, kad duota diferencialinė lygtis dy dx = x2 + y2, G = { (x, y); x, y ∈ R } . Tada apskritimai x2 +y2 = R2 yra šios dif. lygties izoklinos. Matome, kad kuo didesnis R, tuo krypčiu ‘ lauko vektoriaus krypties kampas didesnis. 1.4 pav. pateikiama iterpretacija, kaip rekonstruojamas integralinės kreivės, naudojant izoklinas. 10 1.4 pav. Jeigu taške (x0, y0), funkcija f(x0, y0) = ∞, tai krypčiu ‘ laukas šiame taške yra lygiagretus Oy ašiai. Šiuo atveju sprendžiame apversta ‘ dif. lygti ‘ , t.y. 1 f(x, y) = dx dy . Jeigu taške (x0, y0) funkcija f(x, y) turi neapibrėžtuma ‘ 0/0, tai sakysime, kad šiame taške krypčiu ‘ laukas neapibrėžtas, o taška ‘ (x0, y0) vadinsime ypatingu dif. lygties tašku. Jeigu egzistuoja integralinė kreivė y = y(x) turinti savybe ‘ : y(x) → y0, kai x → x0, tai sakysime, kad kreivė šliejasi prie šio ypatingo taško. Šiuo atveju dif. lygtis ypatingame taške neapibrėžia kampo, kuriuo kreivė šiejasi prie šio taško. Panagrinėkime kiek plačiau šia ‘ problema ‘ , kitaip tariant panagrinėkime integraliniu ‘ kreiviu ‘ elgesi ‘ ypatingu ‘ tašku ‘ aplinkoje. 1. Tarkime, kad duota diferencialinė lygtis dy dx = 2y x . (1.14) Ištirsime integraliniu ‘ kreiviu ‘ elgesi ‘ , ypatingo taško (0, 0) aplinkoje. Integruodami (1.14) diferencialine ‘ lygti ‘ gauname: y = cx2 (x 6= 0). Be to, šios lygties sprendiniais bus ir spinduliai Ox bei Oy. Šios diferencialinės lygties integraliniu ‘ kreiviu ‘ ǐssidėstymas demonstruojamas 1.5 pav. kairėje pusėje. Matome, kad šio ypatingo taško aplinka užpildyta nesikertančiomis integralinėmis kreivėmis, kurios šliejasi prie šio ypatingo taško, skirtingomis kryptimis, o visu ‘ ribinė kryptis yra ta pati, beje šiuo atveju ribinė liestinė yra koordinatinė ašis Ox. Toks ypatingas taškas yra vadinamas mazgu. 1.5 pav. 2. Panagrinėkime labai panašia ‘ lygti ‘ dy dx = y x , (1.15) 11 kurios ypatingas taškas sutampa su (1.14) lygties ypatingu tašku. Šios lygties bendrasis sprendinys yra toks: y = cx (x 6= 0), x = 0(y 6= 0). Integraliniu ‘ kreiviu ‘ ǐssidėstymas, ypatingo taško (0, 0) aplinkoje, nurodytas 1.5 pav. dešinėje. Toks ypatingas taškas yra vadinamas diskriminantiniu mazgu. Diskriminantinio mazgo esmė- visos integralinės kreivės šliejasi prie šio taško, ir visos integralinės kreivės šio taško aplinkoje turi skirtingas kryptis. 3. Išspre ‘ skime lygti ‘ dy dx = y + x x . (1.16) Šios lygties ypatingas taškas (0, 0). Matome, kad tai homogeninė diferencialinė lygtis. Pažymėje ‘ y = zx gauname, kad y′ = xz′ + z. I ‘ raše ‘ pastara ‘ sias lygybes i ‘ (1.16) lygti ‘ turime x dz dx = 1. Integruodami pastara ‘ ja ‘ lygti ‘ gauname, kad z = ln |x|+c. Nesunkiai randame (1.16) lygties bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ y = x(ln |x|+ c). Matome, kad visos integralinės kreivės šliejasi prie taško (0, 0), bet (skirtingai negu mazgo (1.15) lygtis) visos šios integralinės kreivės turi apibrėžta liestine ‘ ypatingame taške, mūsu ‘ atveju, liestinė yra Oy ašis (žr. 1.6 pav.). Toks taškas vadinamas ǐssigimusiu mazgu. 1.6 pav. 4. Lygties dy dx = −y x , (1.17) kurios ypatingas taškas yra (0, 0), bendrasis sprendinys yra toks: y = c x (x 6= 0), x = 0(y 6= 0). Šiuo atveju hiperbolės yra (1.17) lygties integralinės kreivės. Prie taško (0, 0) šliejasi tik baigtinis kreiviu ‘ skaičius (žr. 1.7 pav. kairėje). Toks ypatingas taškas vadinamas balno tašku. 5. Nagrinėsime tokia ‘ lygti ‘ dy dx = y + x x− y . (1.18) Matome, kad tai homogeninė diferencialinė lygtis (žr. 1.6 skyreli ‘ ). Keisdami ieškoma ‘ ja ‘ funkcija ‘ y = zx, gauname (detaliai suskaičiuoti siūlome skaitytojui) toki ‘ (1.18) lygties bendra ‘ ji ‘ integrala ‘ :√ x2 + y2 = cearctg(y/x). 12 Naudodami polines koordinates x = r cos θ, y = r sin θ paskutinia ‘ ja ‘ lygybe ‘ perrašome r = ceθ. Pastaroji lygybė reǐskia logaritminiu ‘ spiraliu ‘ šeima ‘ (1.7 pav. dešinėje). Šios spiralės šliejasi prie ypatingo taško (0, 0) sukdamasi apie ji ‘ , t.y. visu ‘ kreiviu ‘ lauko kryptis šiame taške neapibrėžta. Toks ypatingas taškas vadinamas židiniu. 1.7 pav. 6. Lygties dy dx = −x y , (1.19) ypatingas taškas yra (0, 0), o bendrasis integralas x2 + y2 = c. Ypatingo taško aplinkoje šios kreivės ǐssidėste ‘ koncentrǐskais apskritimais ir nė vienas apskritimas neprisi- šlieja prie šio taško, o šio taško aplinkoje yra begalo daug apskritimu ‘ , kuriu ‘ spinduliai kiek norimai maži. Toks ypatingas taškas vadinamas centru (žr. 1.8 pav.). 1.8 pav. 1.3 Diferencialinės lygtys ǐsreikštos diferencialais 1. Diferencialinė lygtis M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, (1.20) čia M(x, y), N(x, y) ∈ C(G), G ⊂ R2 vadinama diferencialine lygtimi ǐsreikšta diferencialais. (1.20) lygti ‘ galime perrašyti tokiu būdu: M(x, y) +N(x, y) dy dx = 0, (1.21) M(x, y) dx dy +N(x, y) = 0. (1.22) (1.21) lygties atveju ieškosime sprendinio y = y(x), o (1.22) lygties atveju, ieškosime sprendinio x = x(y). Detaliau panagrinėkime (1.21) dif. lygti ‘ , kadangi (1.22) lygties atveju samprotavimai visǐskai analogǐski. 13 Tarkime, kad funkcija N(x, y) 6= 0, bet kokiai porai (x, y) ∈ G. Kadangi funkcija yra tolydi, tai srityje G funkcija N(x, y) arba teigiama arba neigiama. Tada, (1.21) dif. lygti ‘ perrašome tokiu būdu: dy dx = −M(x, y) N(x, y) , (x, y) ∈ G. (1.20)′ Taigi, lygtys (1.21) ir (1.20)’ yra ekvivalenčios. Tuo atveju, kai egzistuoja srities G taškai, kuriuose funkcija N(x, y) = 0, tai tada lygtys (1.21) ir (1.20)’ yra ekvivalenčios tik srityje G \G0, čia G0 = {g ∈ G,N(g) = 0}. Tarkime, kad (x0, y0) ∈ G0. Jeigu M(x0, y0) 6= 0, tai lygtis (1.21) neturi sprendiniu ‘ , kuriems priklausytu ‘ taškas (x0, y0). Tuo atveju, kai N(x0, y0) = M(x0, y0) = 0 tai šis taškas gali nepriklausyti nė vienam dif. lygties sprendiniui, gali priklausyti vienam arba daugiau dif. lygties sprendiniu ‘ . Kai taškas priklauso ne vienam dif. lygties sprendiniui, tai šis taškas vadinamas ypatingu, diferencialinės lygties, tašku. Beje, šiame taške krypčiu ‘ laukas yra neapibrėžtas. Tarkime, kad funkcijos N(x, y),M(x, y) 6= 0, (x, y) ∈ G. Tuomet (1.20)’ lygties dešinioji pusė turi pastovu ‘ ženkla ‘ , srityje G. Tad šiuo atveju diferencialinės lygties sprendinys y = ϕ(x) yra griežtai mono- toninė funkcija, apibrėžimo srityje, tarkime intervale (a, b). Vadinasi egzistuoja šiam sprendiniui atvirkštinė, tolydžiai diferencijuojama, funkcija x = ϕ−1(y), intervale (c, d). Be to dx dy = 1 dy dx = 1 −M N = −N M . Bet paskutinioji lygybė reǐskia, kad atvirkštinė funkcija yra dif. lygties (1.22) sprendinys. Taigi, srityje, kur abi funkcijos M(x, y) ir N(x, y) yra nelygios nuliui, bet koks (1.21) sprendinys turi atvirkštine ‘ funkcija ‘ , kur pastaroji taip pat (1.20) lygties sprendinys. Taigi, šios lygtys yra ekvivalenčios. 1.4 Diferencialiniu ‘ lygčiu ‘ integravimas. Lygtys su atskirtais kintamaisias Apibrėžimas (1.20) lygtis bus vadinama diferencialine lygtimi su atskirtais kintamaisiais, jeigu M(x, y) = ϕ(x), x ∈ (a, b) (M(x, y) = ξ(y), y ∈ (c, d)), N(x, y) = ξ(y), y ∈ (c, d) (N(x, y) = ϕ(x), x ∈ (a, b)). Laikome, kad ϕ(x) ir ξ(y) yra tolydžios funkcijos. Pažymėkime stačiakampe ‘ plokštumos sriti ‘ tokiu būdu: ∆ = { a x0, tai taške x0 kiekviena inte- gralinė kreivė pasiekia ekstremuma ‘ . Ši tiesė bus vadinama integraliniu ‘ kreiviu ‘ minimumu ‘ arba maksimumu ‘ tiese. Dar daugiau, jeigu funkcija f(x) yra diferencijuojama ir apibrėžimo srityje ǐslaiko pastovu ‘ ženkla ‘ , tai minėtoje sityje visos integralinės kreivės turi ta ‘ pati ‘ ǐskiluma ‘ . Jei f ′′(x0) = 0 ir be to f ′′(x) turi skirtingas ženklo reikšmes, kai x x tai tiesė y = x0 yra visu ‘ integraliniu ‘ kreiviu ‘ perlinkio tiesė. Panagrinėkime dar viena ‘ (1.25) dif. lygties atveji ‘ : dy dx = f(y). (1.27) Paskutinia ‘ ja ‘ lygti ‘ galime perašyti taip: dx dy = 1 f(y) . (1.28) Matome, kad paskutinioji lygtis sutampa su (1.26) diferencialine lygtimi. Taigi, šios lygties sprendini ‘ galime užrašyti taip x = ∫ 1 f(y) dy + c, c 0 teisinga lygybė M(tx, ty) = tmM(x, y). Jeigu funkcijos M(x, y), N(x, y) yra m-ojo laipsnio homogeninės funkcijos, tai diferencialinė lygtis M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 vadinama m−ojo laipsnio homogenine diferencialine lygtimi. Paskutinia ‘ ja ‘ diferencialine ‘ lygti ‘ perrašykime taip: dy dx = −M(x, y) N(x, y) = − M ( x, |x| y |x| ) N ( x, |x| y |x| ) = − |x|mM ( ± 1,± y x ) |x|mN ( ± 1,± y x ) = f( y x ), t.y. dy dx = f( y x ). (1.33) Pažymėje ‘ y = xz, čia z = z(x) gauname, kad dy dx = x dz dx + z. Tada x dz dx + z = f(z) 17 arba dz f(z)− z = dx x . Integruodami gauname x = c exp ( ∫ dz f(z)− z ) , c 6= 0. Nagrinėdami (1.33) lygti ‘ pastebime, kad koordinačiu ‘ pradžios taške krypčiu ‘ laukas yra neapibrėžtas, taigi taškas (0, 0) yra ypatingas šios dif. lygties taškas. Beje, šios lygties izoklinas apibrėžia tiesės y = kx(x 6= 0). Visos integralinės kreivės, kerta šia ‘ tiese ‘ tuo pačiu kampu. Homogeninės dif. lygties ypatingais sprendiniais gali būti tiesės Oy spinduliai be pradžios taško (0, 0) ir spinduliai y = zix, x 6= 0. Panagrinėkime lygti ‘ dy dx = f (a1x+ b1y + c1 ax+ by + c ) . (1.34) Parodysime, kad pertvarkius (1.34) lygti ‘ , galime gauti homogenine ‘ dif. lygti ‘ . Visu ‘ pirma tarkime, kad ∣∣∣∣ a b a1 c1 ∣∣∣∣ 6= 0. Atlike ‘ keitima ‘ x = φ+ e, y = η + f, čia φ, η kintamieji, e, f yra konstantos, randamos ǐs sistemos{ a1e+ b1f + c1 = 0, ae+ bf + c = 0. Atlike ‘ ši ‘ keitini ‘ gauname, tokia ‘ dif. lygti ‘ dφ dη = f (a1φ+ b1η aφ+ bη ) . Matome, kad ši lygtis yra pirmojo laipsnio homogeninė dif. lygtis. Panagrinėsime atveji ‘ , kai ∣∣∣∣ a b a1 c1 ∣∣∣∣ = 0. Šiuo atveju turime, kad dy dx = f (k(ax+ by) + c1 ax+ by + c ) ≡ f1(ax+ by). Bet ši ‘ atveji ‘ taip pat esame nagrinėje ‘ . Apibendrintos homogeninės lygtys Apibrėžimas Diferencialine ‘ lygti ‘ M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (1.35) vadinsime apibendrinta, m−ojo laipsnio homogenine lygtimi, jeigu egzistuoja racionalus skaičius k toks, kad (1.35) lygties kairioji pusė tampa x, y,dx,dy atžvilgiu m-ojo laipsnio homogenine lygtimi, kada x laikomas 1-ojo matavimo dydžiu, y− k-ojo matavimo dydžiu, dx, dy yra laikomi 0−inio ir k − 1−ojo matavimo dydiais, atitinkamai. Tada keitiniu y = zx−m, nagrinėjamoji lygtis pertvarkoma i ‘ lygti ‘ su atskiriamais kintamaisiais. 18 Paaǐskinimui pateiksime toki ‘ pavyzdi ‘ . Tarkime duota diferencialinė lygtis( 2 x2 − y2 ) dx+ dy = 0. Raskime toki ‘ k, kuriam būtu ‘ teisingas sa ‘ ryšis −2 = 2k = k − 1. Bet toks k ǐs tiesu ‘ egzistuoja ir yra lygus −1. Taigi, šiuo atveju k = −1, o homogenǐskumo koeficientas yra m = −2. Apibendrinta ‘ homogenine ‘ lygti ‘ galime pertvarkyti i ‘ lygti ‘ su atskiriamais kintamaisias, jeigu atliksime keitima ‘ : y = zx−2, čia z yra nauja funkcija. 1.7 Tiesinės diferencialinės lygtys Apibrėžimas Lygti ‘ dy dx + p(x)y = f(x); (a 0 ir žemiau Ox ašies, jei c 0, tai Bernulio dif. lygtis turi sprendini ‘ y = 0. Šis sprendinys bus atskiras, jeigu α > 1 ir ypatingas, jeigu 0 0 yra proporcingumo koeficientas. Tegu pradiniu laiko momentu t = 0 temperatūra yra θ(0) = θ0 > a. Integruodami lygti ‘ su atskirtais kintamaisiais gauname, kad θ(t) = Ce−kt + a. Išsprende ‘ Koši uždavini ‘ gauname, kad C = θ0 − a. Jeigu žinotume aplinkos temperatūra ‘ , bei temperatūros dydi ‘ laiko momentu θ(t1), tai galėtume nustatyti proporcingumo koeficienta ‘ . 2. Raskime veidrodžio forma ‘ , kurios dėka, lygiagrečiu ‘ spinduliu ‘ pluoštas surenkamas i ‘ viena ‘ taška ‘ . Tarkime, kad nagrinėjamas pluoštas lygiagretus Ox ašiai. Nesunku suprasti, kad nagrinėjamas vei- drodžio paviršius turėtu ‘ būti sukimosi paviršiaus, gauto sukant kreive ‘ apie Ox aši ‘ , dalis (simetrijos princi- pas). Raskime minėta ‘ ja ‘ kreive ‘ , tarkime L = L(x, y) = 0. Tegu M(x, y) ∈ L. Tarkime SM yra krentantis spindulys. Tegu MO yra atspindžio spindulys, TT ′− yra liestinė kritimo taške M, o NN ′ yra normalė taške M. Žinome, kad kritimo ir atspindžio kampai yra lygūs, taigi 6 SMN = 6 OMN. Be tada 6 SMT ′ = 6 OMT. Toliau, 6 OTM = 6 SMT ′, taigi ir 6 OTM = 6 OMT. Gauname, kad trikampis 4MOT yra lygiašonis. Turėdami šiuos duomenis sudarykime dif. lygti ‘ . Visu ‘ pirma pastebėkime, kad tg 6 OTM = y′. Antra vertus, tg 6 OTM = |MP | |TP | . Pastebėje ‘ , kad |MP | = y, ir |TP | = |OT | − |OP | = |OM | − |OP | = √ x2 + y2 + x, gauname tokia ‘ lygybe ‘ y′ = y√ x2 + y2 + x . 23 Iš paskutiniosios lygybės gauname homogenine ‘ diferencialine ‘ lygti ‘ : ( √ x2 + y2 + x)dy − ydx = 0. Pastara ‘ ja ‘ integruodami žinomu būdu, gausime toki ‘ bendra ‘ ji ‘ šios diferencialinės lygties sprendini ‘ : y2 = 2c(x+ c 2 ). Taigi, šio sprendinio grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra taške (−c/2, 0). Be to pastebėsime, kad y = 0(x ≤ 0) yra šios diferencialinės lygties ypatingas sprendinys. 3. Tarkime, kad kaip paprastai I = I(t), V = V (t), R = R(t) elektros srovės stiprumas, i ‘ tampa ir varža grandinėje, laiko momentu t, atitinkamai. Be to tegu L− saviindukcijos koeficientas. Žinoma, kad i ‘ tampa ‘ , bet kuriuo laiko momentu t, galime ǐsreikšti tokia lygybe: V = IR+ L dI dt . Iš paskutiniosios lygybės gauname, kad dI dt + R L I = V L . (2) Tarkime, kad I0 yra srovės stiprumas pradiniu laiko momentu t = 0. Išsprende ‘ paskutinia ‘ ja ‘ diferencialine ‘ lygti ‘ , mes rasime srovės kitimo, grandinėje, dėsni ‘ , tenkinančio pradines sa ‘ lygas I = I0, kai t = 0. Tarkime, kad V,R,L yra pastovūs dydžiai. Tada spre ‘ sdami lygti ‘ (2) gauname toki ‘ bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ : I = V R + ce−(R/L)t. (3) Spre ‘ sdami Koši uždavini ‘ gauname toki ‘ atskira ‘ ji ‘ sprendini ‘ , tenkinanti ‘ pradines sa ‘ lygas: I = V R + e−R/Lt ( I0 − V R ) . Matome, kad (3) lygybės antrasis dėmuo artėja prie nulio, kai t→∞. Taigi, kai t didelis, galime laikyti, kad I = V/R, t.y. galioja Omo dėsnis. 4. Žinoma, kad radžio skilimo laikas yra proporcingas jo masei. Raskime radžio skilimo lygti ‘ , jeigu žinoma, kas per 1600 metus suskyla pusė radžio masės. Koks radžio procentas liks nesuskile ‘ s po 300 metu ‘ ? Tegu R reǐskia radžio mase ‘ , laiko momentu t, o R0 mase ‘ pradiniu laiko momentu t0 = 0. Tada radžio skilimo greitis yra dR/dt. Kadangi skilimo greitis mažėja, mažėjant masei, tai ši ǐsvestinė yra neigiama. Be to skilimo greitis yra tiesiog proporcingas greičiui, tai dR dt = −kR, čia k > 0. Gauname diferencialine ‘ lygti ‘ su atskirtais kintamaisiais. Integruodami šia ‘ lygti ‘ gauname, kad R = ce−kt. Raskime proporcingumo koeficienta ‘ ir c. Spre ‘ skime Koši uždavini ‘ . Kai t = 0 gauname, kad R = R0. Taigi, R = R0e−kt. Toliau, raskime k. Kai t = 1600, t.y. praėjus skilimo periodo pusei gauname, kad R = 0.5R0. Vadinasi teisinga lygybė 0.5R0 = R0e−k1600. Iš pastarosios lygybės gauname, kad k ≈ 0, 00043. Antra ‘ ja ‘ užduoties dali ‘ paliekame skaitytojui. Uždaviniai 1. Nustatykite kūno aušimo dėsni ‘ , jeigu aplinkos temperatūra yra 200C, o kūnas per 20min. atvėsta nuo 100 iki 600C. Per kiek laiko temperatūra nukris iki 300C? 24 2. Vertikaliame oro vamzdyje žemiau esančiu ‘ oro sluoksniu ‘ slėgis p tiesiogine priklausomybe susietas su virš jo esančiu oro stulpo aukščiu h. žinoma, kad oro slėgis virš jūros lygio yra lygus 1kg/cm2 o slėgis 500m aukštyje yra lygus 0, 92kg/cm2. 3. Raskite srovės stiprumo kitimo dėsni ‘ , jeigu žinoma, kad I(0) = I0 ir v = A sin(ωt), čia v yra i ‘ tampa. 4. Raskite visas kreives, kuriu ‘ normalės Ox ašyje atkerta y2/x ilgio atkarpas. Išspre ‘ skite pateiktas diferencialines lygtis: 5. y′ = 1√ x+ x2 ; 6. y′ = y ln y; 7. y′ = x+ y + 1. Raskite sprendinius tenkinančius pradines sa ‘ lygas (ǐsspre ‘ skite Koši uždavinius) taške (2, 1) : 8. y′ = ex+y − 1; bf9. y′ = √ x2 − y + 2x; 10. y′ = −y2 − 2xy − x2. Raskite diferencialinės lygties bendruosius bei ypatingus sprendinius, jeigu jie egzistuoja: 11. y′ = y − 1 x+ 1 ; 12. y′ = −2xy; 13. dx = √ 1− x2dy; 14. y′ = √ y √ x ; 15. y′ = x √ 1 + y2; 16. y′ = xy(2/3). 17. x(x+ 2y)dx+ (x2 − y2)dy = 0; 18. y′ = x+ 2y −x ; 19. dx y + x = dy y − x . Nubrėžkite dif. lygties integraliniu ‘ kreiviu ‘ šeimos krypčiu ‘ lauka ‘ , bei naudodamiesi šiuo lauku rekon- struokite šias dif. lygties integralines kreives: 20. y′ = √ y √ 2x ; 21. y′ = −x √ 4y; 22. y′ = −x− 1 y − 2 . Sudarykite duotosios kreiviu ‘ šeimos diferencialines lygtis: 23. y = 2cx− c2; 24. y = (x− c)3; 25. y = c− √ x2 + y2. 25. y′(x2y2 − 1) + 2xy3 = 0; 26. 2yy′ = 1 + √ y2 x − 1; 27. (y4 − 3x2)dy + xydx. Raskite sprendinius, tenkinančius pradines sa ‘ lygas y(0) = 0 : 28. y′ = 2xy + 1; 29. xy′ = x+ 2y; 30. xy′ = x+ y. Išspre ‘ skite pateiktas dif. lygtis: 31. y′ = 2xy + 2x3y2; 32 3y2y′ = −y + y2 lnx, y(1) = 1; 33. xy′ = xy2 − y, y(0) = 1. 34. Raskite kreives, kuriu ‘ liestinės Oy ašyje atkerta atkarpas, lygias lietimosi taško ordinatės kvadratui. 35. y′ + 1 4x2 = y2; 36. y′ = y2 + 1 x2 ; 37. xy′ = y2 − 3y + 4x2 + 2. 25 38. 2x y3 dx = 3x2 − y2 y4 dy; 39. xdx+ ydy + xdy − ydx x2 + y2 = 0; 40. dy x = ydx x2 . 41. (x y + 1 ) dx+ (x y − 1 ) dy = 0; 42. (xy2 + y)dx− xdy = 0; 43. ( 2y + 1 (x+ y)2 ) dx+ ( 3y + x+ 1 (x+ y)2 ) dy = 0, 44. ( √ x2 − y + 2x)dx− dy = 0. 1.9 Pirmos eilės diferencialinė lygtys neǐsspre ‘ stos ǐsvestinės atžvilgiu. Bendrosios sa ‘ vokos Lygti ‘ F (x, y, y′) = 0, (1.52) vadinsime pirmos eilės diferencialine lygtimi, neǐsspre ‘ sta ǐsvestinės atžvilgiu. Kaip ir pirma ‘ jame skyriuje, kuomet nagrinėjome dif. lygtis ǐsspre ‘ stas ǐsvestinės atžvilgiu, (1.52) lygtis plokštumoje apibrėžia krypčiu ‘ lauka ‘ , tik šiuo atveju kiekviena taške ne būtinai nusakoma viena kryptis, t.y. y′ taške nebūtinai i ‘ gyja viena ‘ reikšme ‘ . Beje, taške (x0, y0) visos ǐsvestinės reikšmės randamos sprendžiant lygti ‘ F (x0, y0, y ′) = 0. Šiuo atveju integralinės kreivės liestinė, taške, sutampa su viena ǐs kryp- čiu ‘ šiame taške. Funkcija ‘ y = φ(x) ∈ C1 , vadinsime (1.52) dif. lygties sprendiniu, jeigu F (x, φ(x), φ′(x)) ≡ 0. Beje, (1.52) lygties sprendiniai gali būti gaunami neǐsreikštine forma Φ(x, y) = 0, bei parametrine x = φ(x), y = ξ(x). Koši uždaviniu, kaip ir anksčiau, vadinsime integralinės kreivės, kuriai priklauso nurodytas taškas, radima ‘ . Sprendinys vadinamas atskiru, jeigu per kiekviena ‘ kreivės taška ‘ eina tik viena integralinė kreivė. Kitaip tariant, fiksuotai krypčiai yra viena integralinė kreivė, nors šiuo atveju, tame pat taške gali būti ir daugiau duotosios lygties integraliniu ‘ kreiviu ‘ , bet ju ‘ krypčiu ‘ laukas bus kitas. Priešingu atveju sprendinys vadinamas ypatingu. Jeigu (1.52) lygties kairioji pusė yra tolydi srityje Ω ⊂ R, ir be to turi tolydžia ‘ daline ‘ ǐsvestine ‘ , y′ atžvilgiu, tai galima ‘ ypatinga ‘ sprendini ‘ rasime spre ‘ sdami lygčiu ‘ sistema ‘ : F (x, y, y′) = 0; ∂F ∂y′ = 0. Šios lygčiu ‘ sistemos sprendini ‘ vadinsime diskriminantine kreive. Diskriminantinė kreivė bus ypatingas sprendinys, jeigu šios kreivės taškuose pažeistos sprendinio vienatinumo sa ‘ lygos. 1.10 n−os eilės dif. lygtys Apibrėžimas Pirmos eilės, n−ojo laipsnio diferencialine lygtimi vadinsime toki ‘ reǐskini ‘ : A0(x, y)y(n) +A1y (n−1) + . . .+An−1(x, y)y′ +An(x, y) = 0, (1.53) Ai ∈ G ⊂ R, i = 1, . . . n. Pastebėsime, kad (1.53) lygti ‘ galime interpretuoti kaip n− ojo laipsnio polinoma ‘ . Tarkime, kad šis polinomas turi m ≤ n šaknu ‘ , t.y. y′ = fi(x, y) (i = 1; . . . ,m). (1.54) 26 Jeigu kiekviena ‘ ǐs šiu ‘ funkciju ‘ galime suintegruoti, tai gausime bendru ‘ ju ‘ integralu ‘ (sprendiniu ‘ ) šeima ‘ ψi(x, y) = ci (i = 1, . . . ,m). Ši ‘ bendra ‘ integrala ‘ galime užrašyti ir taip:[ ψ1(x, y)− c ] × [ ψ2(x, y)− c ] × . . .× [ ψm(x, y)− c ] = 0, kuris yra m−ojo laipsnio polinomas c atžvilgiu. (1.54) lygčiu ‘ ypatingi sprendiniai yra ir lygties (1.53) ypatingi sprendiniai. Panagrinėsime kvadratine ‘ lygti ‘ , y′ atžvilgiu. Tarkime duota lygtis y′2 + 2P (x, y) +Q(x, y) = 0. (1.55) Išsprende ‘ šia ‘ lygti ‘ y′ atžvilgiu gauname, y′ = −P (x, y)± √ P 2(x, y)−Q(x, y). (1.56) Žinoma, kad pastarieji sa ‘ ryšiai turi prasme ‘ plokštumos srityje P 2 − Q ≥ 0. Integruodami (1.56) lygybe ‘ gauname bendra ‘ ji ‘ (1.55) lygties sprendini ‘ . Beje, lygties (1.56) diskriminantinė kreivė yra lygties P 2(x, y)− Q(x, y) = 0 sprendinys (kodėl?). 1.11 Nepilnosios diferencialinės lygtys 1. Visu ‘ pirma panagrinėkime tokia ‘ dif. lygti ‘ ; F (y′) = 0. (1.57) Laikysime, kad funkcija F yra tolydi, be to turi baigtini ‘ nuliu ‘ skaičiu ‘ . Tarkime, kad y = y(x) ∈ C1 yra lygties sprendinys. Aǐsku, kad funkcija y′(x) taip pat yra viena ǐs lygties (1.57) šaknu ‘ , kuria ‘ pažymėkime θ. Taigi y′ = θ. Iš pastarosios lygybės ǐsplaukia, kad y = θx+ c. Taigi gauname, kad F (y − c x ) = 0 (1.58). Atvirkščiai, tarkime, kad (y − c)/x = θ, x 6= 0, o θ yra kokia nors lygties (1.57) šaknis. Bet tada y = θx + c ir y′ = k, o tuo pačiu ir F (y′) = 0. Taigim, gavome, kad bet koks (1.57) lygties sprendinys apibrėžiamas (1.58) lygybe, c yra konstanta. 2. Nagrinėsime lygti ‘ F (x, y′) = 0. (1.59) Aptarsime dvi galimybes: a) (1.59) lygtis ǐssprendžiama ǐsvestinės atžvilgiu. Turime, kad y′ = fk(x), k = 1, . . . ,m. Iš paskutiniojo sa ‘ ryšio gauname, kad y = ∫ fk(x)dx+ c, k = 1, . . . ,m. b) aptarsime atveji ‘ , kai (1.59) lygtis nėra ǐssprendžiama y′ atžvilgiu. Tada šia ‘ lygti ‘ galime spre ‘ sti parametrize ‘ (jei i ‘ manoma) x = φ(t), y = θ(t). Šiuo atveju galime rasti bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ naudojant sa ‘ ryši ‘ dy = y′dx. Gauname dy = θ(t)φ′(t)dt. Integruodami paskutinia ‘ ja ‘ lygybe ‘ , bei naudodamiesi parametrinėmis lygtimis gauname toki ‘ bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ : { x = φ(x); y = ∫ θ(t)φ′(t)dt+ c. 27 Pastebėsime, kad jeigu egzistuoja skaičius a toks, kad lim y′→∞ F (a, y′) = 0, tai x = a yra (1.59) lygties sprendinys. Beje, jis gali būti ir ypatingas. 3. Nagrinėsime lygti ‘ , kurioje nėra nepriklausomo kintamojo: F (y, y′) = 0. Skirsime du atvejus: a) y′ = fk(y), k = 1, . . . ,m. Tada, kaip ir auksčiau aptartu atveju, galime atskirti kintamuosius ir integruoti. Gausime, kad x+ c = ∫ dy fk(y) , k = 1, . . . ,m. b) Aptarsime atveji ‘ , kai duota ‘ ja ‘ lygti ‘ galime parametrizuoti, t.y. egzistuoja funkcijos φ(t) = y ir θ(t) = y′. Tada teisingi sa ‘ ryšiai dy = y′dx, φ′(t)dt = θ(t)dx, dx = φ′(t)dt θ(t) . Iš pastaru ‘ ju ‘ sa ‘ ryšiu ‘ gauname, kad { x = ∫ φ′(t)dt θ(t) + c, y = φ(t). 1.12 Lagranžo ir Klero lygtys Apibrėžimas Lygti ‘ y = ξ(y′)x+ φ(y′) (ξ(y′) 6= y′) (1.60) vadinsime Lagranžo dif. lygtimi. Aptarsime šios lygties integravimo metoda ‘ . Pasižymėkime y′ = p, čia p yra parametras. Tada na- grinėjamoji (1.60) lygtis gali būti perrašyta taip: y = ξ(p)x+ φ(p). (1.61) Skaičiuodami paskutiniosios lygybės abieju ‘ pusiu ‘ diferencialus gauname lygybe ‘ pdx = ξ(p)dx+ (ξ′(p)x+ φ(p))dp arba (ξ(p)− p)dx+ (ξ′(p)x+ φ(p))dp = 0. Tarkime, kad ξ(p) 6= p. Tada padaline ‘ abi paskutiniosios lygybės puses ǐs skirtumo ξ(p) − p gauname tokia ‘ tiesine ‘ lygti ‘ : dx dy + ξ′(p) ξ(p)− p x = φ(p) p− ξ(p) . Kadangi lygtis tiesinė, tai jos sprendini ‘ galime užrašyti tokiu būdu: x = A(p)c+B(p). I ‘ raše ‘ gauta ‘ x reikšme ‘ i ‘ (1.61) gauname funkcijos y reikšme ‘ . Tada Lagranžo diferencialinės lygties bendrasis sprendinys užrašomas parametrinėje formoje: { x = A(p)c+B(p), y = E(p)c+ F (p). Tada, kai ξ(p) = p mes gauname algebrine ‘ lygti ‘ , kuria ‘ ǐssprende ‘ randame p = pi, i = 1, . . . ,m. I ‘ raše ‘ gauta ‘ sias reikšmes i ‘ (1.61) gauname sprendiniu ‘ šeima ‘ y = xpi + φ(pi), i = 1, . . . ,m. Pastebėsime, kad šios tiesės gali būti ypatingi Lagranžo dif. lygties sprendiniai. 28 Apibrėžimas Lygti ‘ y = xy′ + φ(y′), (φ(y′) 6= ay′ + b) vadinsime Klero dif. lygtimi. Rasime šios dif. lygties bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ . Elgdamiesi tokiu pat būdu, kaip ir ieškodami Lagranžo dif. lygties bendrojo sprendinio parametrizave ‘ Klero lygti ‘ y = xp+ φ(p), (1.62) gauname lygybe ‘ pdx = pdx+ (x+ φ′(p))dp arba (x+ φ′(p))dp = 0. (1.63) Iš paskutiniosios lygybės gauname dvi lygtis: dp = 0, ir x + φ′(p) = 0. Iš pirmosios ǐsplaukia, kad p = c. Šia ‘ parametro reikšme ‘ i ‘ raše ‘ i ‘ (1.62) lygybe ‘ gauname y = xc + φ(c). Paskutinioji tiesiu ‘ šeima yra Klero dif. lygties bendrasis sprendinys. Iš pastarojo sa ‘ ryšio gauname, kad norint rasti Klero dif. lygties bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ pakanka ǐsvestinės vietoje i ‘ rašyti c. Gri ‘ žkime prie (1.63) lygybės antrojo sa ‘ ryšio x + φ′(x) = 0. Bet pastaroji lygybė kartu su Klero dif. lygtimi parametrinėje formoje (1.62) reǐskia Klero dif. lygties sprendini ‘ užrašyta ‘ parametrinėje formoje{ x = −φ(p), y = −φ′(p)p+ φ(p). (1.64) Pastebėsime, kad šis sprendinys paprastai yra ypatingas. I ‘ sitikinkime tuo. Rasime Klero dif. lygties diskriminantine ‘ kreive ‘ . Ieškodami šeimos y = xc+ φ(c) diskriminantinės kreivės sudarome sistema ‘{ x+ φ(c) = 0, y = −φ′(c)c+ φ(c). Matome, kad pastaroji sistema sutampa su (1.64) sistema, jeigu parametro vietoje i ‘ rašytume konstanta ‘ c. Dar daugiau, jeigu funkcija φ′′(c) nekeičia ženklo (funkcija neturi perlinkio tašku ‘ ), tai diskriminantinė kreivė yra gaubiamoji. Ir pabaigai, Klero dif. lygties bendrasis sprendinys gaunamas lygtyje y′ pakeitus konstanta c, o ypatingas sprendinys randamas ieškant šeimos y = cx+ φ(c) gaubiamosios. 1.13 Lygtys, ǐssprendžiamos laisvojo kintamojo arba funkcijos atžvilgiu. Aptarsime keleta ‘ atveju ‘ , kai diferencialines lygtis pavyksta ǐsspre ‘ sti taikant tam tikrus keitinius. Tarkime duota dif. lygtis y = φ(x, y′). (1.65) Pastara ‘ ja ‘ lygti ‘ kartais pavyksta pertvarkyti i ‘ jau žinomas lygtis atlikus keitini ‘ y′ = p. Tada diferencijuodami abi (1.65) lygybės puses gauname: φ′xdx+ φ′pdp = pdx. Tarkime, kad gauta ‘ ja ‘ lygti ‘ pavyksta ǐsspre ‘ sti kvadratūromis, kai p yra ieškomoji funkcija, o x laisvas kin- tamasis. Tada bendrasis sprendinys užrašomas p = ω(x, c); x = θ(p, c). I ‘ raše ‘ ši ‘ sprendini ‘ i ‘ (1.65) lygties parametrine ‘ forma ‘ gauname y = φ(x, ω(x, c)). Tada pradinės lygties sprendinys gaunamas parametrinėje formoje:{ x = θ(p, c), y = φ ( θ(p, c), p ) . 29 Tuo atveju, kai lygtis yra ǐssprendžiama laisvojo kintamojo atžvilgiu, tai turime x = φ(y, y′). Parametri- zave ‘ y′ = p gauname x = φ(y, p), y′ = p. (1.66) Naudodami funkcijos diferencialo formule ‘ gauname, kad dy = p(φ′ydy + φ′pdp). Jei pastaroji lygtis integruojama kvadratūromis, tai tada galime rasti ir (1.66) lygties bendra ‘ ji ‘ sprendini ‘ . Keli taikymai ir pavyzdžiai Kreive ‘ L vadinsime izogonalia ‘ ja kreiviu ‘ šeimos Φ(x, y, a) = 0 (( a parametras) trajektorija, jeigu pas- taroji kreivė visas šeimos kreives kerta tuo pačiu kampu. Tada, kai α = π/2, tai izogonalia ‘ ja ‘ kreive ‘ vadinsime ortogonalia ‘ ja trajektorija. Norint rasti izogonalia ‘ sias kreiviu ‘ šeimos trajektorijas reikia 1) sudaryti duotosios šeimos diferencialine ‘ lygti ‘ , 2) gautoje diferencialinėje lygtyje funkcijos ǐsvestine ‘ y′ reikia pakeisti dydžiu y′ − k 1 + ky′ , k = tgα, jeigu α 6= π/2 ir dydžiu −1/y′, jeigu α = π/2. Jeigu kreiviu ‘ šeima apibrėžta polinėje koordinačiu ‘ sistemoje, tarkime lygtimi Φ(r, θ, a) = 0 , tai sudare ‘ šios šeimos diferencialinėje lygtyje r′(θ) keičiame dydžiais 1 + k r r′ r r′ − k , k = tgα, α 6= π 2 ir −r2/r′ jeigu α = π/2. Sakoma, kad jėgos laukas sukurtas jėgos F, kurios potencialas yra U(x, y), jeigu jėgos F projekcijos i ‘ koordinatines ašis yra lygios Fx = U ′x, Fy = U ′y. Kreivės U(x, y) = c yra vadinamos lygio linijomis. Kreivės, kuriu ‘ liestiniu ‘ kryptys, lietimosi taške, sutampa su jėgos lauko kryptimi, vadinama jėgos lauko kryptimis (linijomis). Išspre ‘ skite duota ‘ sias diferencialines lygtis ir kur nurodyta, ǐsspre ‘ skite Koši uždavini ‘ 1. yy′2 − (xy + 1)y′ + x = 0; M(1, 1). 2. y′2 − 4y = 0; M(1, 0). 3. y′2 = 1 |x| . 4. yy′2 − (xy + 1)y′ + x = 0; M(1, 1). 5. x2y′2 + 3xyy′ + 2y2 = 0. Raskite pateiktu ‘ diferencialiniu ‘ lygčiu ‘ bendruosius sprendinius bei ǐsskirkite ypatingus sprendinius, jei jie egzistuoja: 6. (xy′ + y)2 + 3x5(xy′ − 2y) = 0. 7. y′2 − 2yy′ + x2 = 0. 8. y′3 − 4yy′ − y′2 + 4y = 0. 9.y′2 − 4y = 0. 10. Sudarykite kreiviu ‘ šeimos ( √ y − x2 − c)2 − x2 4 = 0 diferencialine ‘ lygti ‘ . 11. Raskite visas kreives, kuriu ‘ liestinės atkerta ašyje Ox atkarpas, lygias vektorio, lietimosi taške, ilgiui. 30 Išspre ‘ skite duotas dif. lygtis: 12. y′3 + 1 = 0; 13. xy′3 = 1 + y′;14. 2y′3 + y′2 = y; 15. y = y′2 2 + ln y′;16. x3 − y′3 = xy′; 17. 2yy′ = x(y′2 + 4); 18. y = −xy′ + y′2; 19. y = x+ y′2 − y′;20. x = y y′ + 1 y′2 ; 21. y = xy′ 2 + y′2 x2 ;22. x = y y′ ln y − y′2 y2 ; 23. y′3 − 4xyy′ + 8y2 = 0; 24. Raskite visas kreives, kuriu ‘ liestinės koordinatinėse ašyse atkerta atkarpas, kuriu ‘ ilgiai lygūs 4. 25. Raskite visas kreives, kuriu ‘ atstumu ‘ tarp liestiniu ‘ ir dvieju ‘ fiksuotu ‘ tašku ‘ sandauga yra pastovi. 26. Raskite apskritimu ‘ x2 + y2 = R2 šeimos ortogonalia ‘ sias trajektorijas. Padarykite brėžini ‘ . 27. Raskite kreives, kurios kerta spindulius, ǐseinančius ǐs koordinačiu ‘ pradžios, kampu π/4. Padarykite brėžini ‘ . 28. Parodykite, kad lauko jėgos linijos, sudarytos jegu ‘ , su potencialo funkcija U(x, y) yra lygio kreiviu ‘ šeimos ortogonaliosios kreivės. 29. Raskite jėgos lauko kreives, kuri ‘ sukuria jėgos su potencialo funkcija U = x2 + y2. 31

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!