Diferencialinės lygtys - teorija atsiskaitymui

 Pirmosios eilės dif.lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Koši uždavinys. M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 lygtis vadinama dif.lygtimi su atskirtais kintamaisiais, jei M(x,y)=φ(x), x(a,b) (M(x,y)=ξ(y), y(c,d)), N(x,y)=ξ(y), y(c,d) (N(x,y)=φ(x), x(a,b)). Čia funkcijos φ(x) ir ξ(y) yra tolydžios. Pažymėkime .Tarkim, kad y=y(x) yra dif. lygties φ(x) dx + ξ(y) dy =0 (1)sprendinys, apibrėžtas intervale (α,β) Tada teisinga lygybė: φ(x) dx = - ξ(|y(x)|) dy(x), x( α,β). Integruojant gauname: Pažymėkime funkcijų φ(x) ir ξ(y) pirmykštes Φ(x) ir Ψ(y), gauname, kad bet koks diferencialinės lygties sprendinys, apibrėžtas stačiakampyje Δ, yra lygties F(x,y)=Φ+Ψ (2) sprendinys. Funkcija F(x,y) yra tolydi ir diferencijuojama stačiakampyje Δ, ir Fy’= ξ(y), Fx’= φ(x). Diferencijuodami (2) lygybę x atžvilgiu gauname Ši lygtis sutampa su (1), todėl (2) yra (1) lygties bendrasis integralas. Remdamiesi teorema gauname, kad visi (2) sprendiniai y=y(x) yra lygties (1) sprendiniai ir atvirkščiai. Sakysime, kad diferencialinė lygtis yra integruojama (išsprendžiama kvadratūromis), jei jos sprendinys φ(x) yra išreikštas elementariosiomis funkcijomis. Diferencialinę lygtį y’=g(x)/h(y),(x,y)  Δ,(3)vadinsime lygtimi su atskiriamais kintamaisiais, čia g ir h yra tolydžios apibrėžimo srityje funkcijos, be to h(y)≠0, kai y(c,d).Jei integruojama lygtis yra tokia:Jei atliksime keitimą z=ax+by, tai gausime diferencialinę lygtį su atskiriamais kintamaisiais. Pirmosios eilės dif.lygtys su homogeniniais koeficientais. Funkciją M(x,y) vadinsime m-tojo laipsnio homogenine funkcija, jei visiems x,y,t > 0 teisinga lygybė M(tx, ty)=tmM(x,y).Jei funkcijos M(x,y), N(x,y) yra m-tojo laipsnio homogeninės funkcijos, tai diferencialinė lygtis M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 vadinama m-tojo laipsnio homogenine diferencialine lygtimi. Homogeninės lygtys keitiniu pertvarkomos į lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Panagrinėkime lygtį . Ši lygtis būtų homogeninė, jei a3=c3=0. Kai šie laisvieji nariai nelygūs nuliui, reikia rasti sistemos sprendinį ir pakeisti kintamuosius x ir y naujais kintamaisiais Tuomet lygtis jau bus homogeninė. Tačiau, jei , tai minėta sistema neturės sprendinio. Tokiu atveju nagrinėjamą lygtį keitiniu z=a1x+a2y pertvarkome į lygtį su atskiriamais kintamaisiais. Diferencialinę lygtį M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 (1) Vadinsime apibendrinta, m-tojo laipsnio homogenine lygtimi, jei egzistuoja racionalus skaičius k, toks, kad (1) lygties kairioji pusė tampa x, y, dx, dy atžvilgiu m-tojo laipsnio homogenine lygtimi, kada x laikomas l-tojo matavimo dydžiu, y – k-tojo matavimo dydžiu, dx, dy yra laikomi 0-inio ir 1-ojo matavimo dydžiais. Apibendrintą homogeninę lygtį keitiniu y=zx-m pertvarkome į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.3. Pirmosios eilės tiesinės dif.lygtys. Koši uždavinys. Lygtį ; (a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!