Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija

KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJŲ TEORIJA. EGZAMINO KLAUSIMAI 1. Kompleksiniai skaičiai, jų algebrinė, trigonometrinė ir rodyklinė formos. Kompleksinių skaičių geometrinis vaizdavimas ir jų išplėstinė aibė. Apibrežimas: Sutvarkyta pora (a,b) skaičių vadinama pora, kutioje nurodyta, kuris iš šių skaičių yra pirmasis ir kuris antrasis. Kompleksinių sk. aibe yra realiųjų skaičių sutvarkytų porų aibė: Z=(x,y), , kurių sudėtis bei daugyba yra: z1+z2=[(x1+x2),(y1+y2)], z1●z2=[(x1,y1)●(x2,y2)]= [(x1,x2-y1y2),(x1,y2+x2,y1)]. Šios aibės elementai z=(x,y) yra vad. kompleksiniais skaičiais. Algebrine f.: Iš operacijos k.s. apibrežimo seka: . Tokiu būdu poros (x,0)- yra aibe R, ir joje apibrežtos algebrines operacijos, t.y. RC poaibis aibės C. ir žymim (x,0)=x. k.sk. (0,1) žym raide i, t.y. i=(0,1) vadinamas menamuoju vienetu. ; K. skaiciaus Z iskaiska vadinama algebrine k.sk. forma. K.sk. trigon. ir rod. forma: r=|z| ir φ=ArgZ yra taško (x,y) polinės koordinatės. x=rcosφ, y=rsinφ => z=x+iy => z=r(cosφ+isinφ) – trigonometrine kompl.sk.forma. Žinoma Oilerio formulė cosφ+isinφ=eiφ. Tada k.sk Z= reiφ – rodikline k.sk.forma. 2. Kompleksinių skaičių sudėtis, daugyba, dalyba reiškiami skirtingomis formomis Atimtis: ¥Z1>Z2 vienintelis Z, toks kad Z1=Z2+Z Skaičius Z vadinamas skaičių Z1 ir Z2 skirtumu ir žymimas Z=Z1-Z2 = [(x1-x2),(y1-y2)]. Lygių kompleksinių skaičių skirtumas yra skaičiųs (0,0) žymimas „0“ (aibės C nulis). ¥Z€C, -Z (priešingas sk. Z), -Z=(-x,-y), kuris tenkinaZ+(-Z)=0 Dalyba: ¥Z1,Z2€C;(Z2≠0)Z€C toks, kad Z1=Z2Z=> (x1>y1)=(x2,y2)(x,y) (*) Šis skaičius Z yra vienintelis. Įrodymas: Iš (x) gaunama lygčių sistema: (x1,y1)=(x2,y2)(x,y)=[(x2x-y2y),(x2y+xy2)] x1=x2x-y2y y1=y2x+x2y x=∆x/∆, y=∆y/∆ ∆=x22+y22≠0 (Z2≠0) x=x1x2+y1y2 / x22+y22 ; y=x2y1-x1y2 / x22+y22 Tokiu būdu: Z=Z1/Z2 = (x, y) 1) Aibėje C vienetas e=(1,0) toks, kad ¥Z€C Ze=eZ=Z 2) Aibėje C ¥Z€C, Z-1 toks, kad Z·Z-1=e Z-1=e/Z=(x / x2+y2 , -y / x2+y2) – atvirkštinis elementas elementui Z. Trigonometrinė ir rodyklinė formos yra patogios dauginant ar dalinant kompleksinius skaičius. Daugyba: Z1●Z2=r1(Cosφ1+iSinφ1)●r2(Cosφ2+iSinφ2)=r1r2[(Cosφ1Cosφ2-Sinφ1Sinφ2)+i(Cosφ1Sinφ2+Sinφ1Cosφ2)]=r1r2[Cos(φ1+φ2)+iSin(φ1+φ2)] Arba: : Z1●Z2=r1eiφ1● r2eiφ2= r1 r2 ei(φ1+φ2) Dėsnis: Dauginant komp. Skaičius, jų modeliai sudauginami, o argumentai sudedami. Z1●Z2 ●... ●Zn= r1 r2… rn[Cos(φ1+φ2+...+φn)+iSin(φ1+φ2+...+φn)] 3. Kompleksinio skaičiaus pakėlimas laipsniu. Kompleksinio skaičiaus šaknis. Oilerio formulė. 1. Zn=rn(Cosnφ+iSinnφ) – Muatro formulė Z= Z1●Z2 Y Z2 φ2 Z1 φ=φ1+φ2 φ1 x i0=1 i1=i i2=-1 i3=-i i4=1 i5=i i10=-1 4. Kompleksinių skaičių sekos jų konvergavimas. Kompleksinių skaičių eilutės ir šių eilučių sumos. Kompleksinių skaičių eilučių pakankamos konvergavimo sąlygos. K-nių skaičių sekos. Apibrėžimas: A. Jei kiekvienam kompleksiniam naturaliam skaičiui n yra priskiriamas koks nors kompleksinis skaičius Zn=(Xn, Yn), tai sunumeruota skaičių aibė Z1, Z2, .., Zn,n€N vadinama kompl skaičių seka ir žymima {Zn}. Patys Zn vadinasi sekos nariais arba elementais. B. Seka vadinama apibrėžtąja, jei egzistuoja toks realus skaičius R>0, kad /Zn/ ≤ R ¥n€N Zn C. Sakoma, kad seka Zn konverguoja į skaičių Z0 € C, jei kiekvienam ε>0 N(ε)€N, kad /Z-Z0/N(ε). Šiuo atveju Z0 vad sekos riba ir rašoma n->∞lim Zn = Z0 D. Jeigu ¥M€R, M>0, atitinka N(M)€N, kad /Zn/>M kai n>N(M), tai sakoma, kad n->∞limZn=∞ Galima įrodyti tokią teoremą: Seka {Zn} konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja sekos {ReZn} ir {ImZn}. Komp. skaičių eilutės. Jeigu {Zn} seka, tada galima gauti naująją seką Sn: Jeigu seka {Sn} turi ribą S, tai sakoma, kad (S-eilutės suma) => S=limSn= Skirtumą vadina liekamąja eilute. Kai S€C, tai sako, kad eilutė {Zn} konverguoja, kai S=∞ (riba S neegzistuoja), tai sako, kadji diverguoja. Įrodoma tokia teorema: Eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja eilutės ir , be to tenkinama: n->∞lim Sn = S = n->∞lim Xn + i n->∞limYn = X + i Y Apibrėžimas: Kompl. skaičių eilutė vadinama absoliučiai konverguojančia eilute, jeigu konverguoja jos narių modulių eilutė Teorema: Kiekviena absoliučiai konverguojanti eilutė konverguoja. 5. Kompleksinio kintamojo funkcijos jų algebrinė bei rodyklinė formos. Apibrėžimas: Jeigu yra žinomas dėsnis f, priskiriantis kiekvienam aibės Е€С elementui Z vienintelį (daugiau nei vieną) kompl skaičių W, tai sakoma, kad aibėje E apibrėžta vienareikšmė(daugiareikšmė) kompleksinio kintamojo f-ja f. Vienareikšmė f-ja dar vadinama aibės E atvaizdžiu G€C. Žymima: f: E G arba W=f(Z) arba G=f(E) W – yra kompleksinis sk, todėl: W=U+iW;U=U(x,y); V=V(x,y) Pav: W=Z2 => W=(x-iy)2=x2-y2+i2xy => u=x2-y2; v=2xy. Apibrėžimas: Tolydumas: F-ja W=f(z) vad tolydžiąja f-ja taške Z0€E, jei ¥ε>0, δ(ε)>0, kad /f(Z) – f(Z0)/0, δ(ε)>0, tokios, kad /U(x,y)-U(x0,y0)¥Z=x+iy=>W=x+iy c) laipsninė f-ja y=xn=>w=zn W=Zn¥n€N, ¥Z€C atvirkštinėW(-n)= d) Polinomas. Vad f-ja W=Pn(Z)= e) Racionalioji f-ja: čia Pn(Z), Qm(Z) - polinoma B. Transindentinės f-jos. a) Rodyklinė f-ja (eksponentinė) W=eZ=eX(COSy+iSiny) Nesunku pasteb4ti, kad 6i f-ja yra periodinė, periodas 2Пi eZ=eX+iY=eX(COSy+iSINy)=eX[COS(y+2Пn)+iSIN(y+2Пn)]=eX●ei(y+2Пn)=eX+i(2Пn+y)=eZ+2Пin eZ=eZ+2Пin => 2Пi – periodas b) Logaritminė f-ja : atvirkštinė f-ja rodyklinei f-jai W=eZ vadinama logaritmine f-ja. Ji žymima: W=lnZ  : W=eZ => Z=lnW c) Trigonometrinės: 7. Kompleksinio kintamojo išvestinė. Koši ir Rymano sąlygos (algebrinė ir rodyklinė formos). Kompleksinio kintamojo analizinės funkcijos. Analizinės f-jos. A. Apibrėžimas išvestinės. Tegul atviroje aibėje E duota f-ja f: E  C F-ja f(Z) vadinama diferencijuojama (kompleksine prasme!) taške Z0€E, jeigu egzistuoja riba: (NESIMATO); Z->Z0lim (NESIMATO)/Z-Z0 €C;Z€E Ši riba žymima f / (Z0) arba df(Z0)/dz ir vad f-jos f išvestine taške Z0 F-ja diferencijuojama visuose aibės E taškuose vad. analizine (holomorfine, reguliarąja) aibėje F. Koši ir Rymano sąlygos. Teorema: f-ja f(z)=U(x,y)+iV(x,y) yra diferencijuojama (C prasme!) kiekviename atviros aibės taške tada ir tik tada, kai ji diferencijuojama aibėje E (R prasme) ir tenkina sąlygas: ! Šios sąlygos yra vad Koši ir Rymano (rečiau Dalambero ir Oilerio) lygybėmis. Įrodymas: būtinumas : Tarkime f-ja f=U+iV yra diferencijuojama aibėje E (C prasme) Tegul Z=x+iy€E ir ∆Z=∆x+i∆y≠0 toks, kad taškas Z+∆Z€E. Taške Z egzistuoja riba: ∆Z->0limf(z+∆z) –f(z)/∆z=∆Z->0lim∆f/∆z=∆Z->0lim∆u+i∆v/∆z=f/(z0)=a+ib. Ši riba nepriklauso nuo to, kaip ∆z  0, todėl imame 2 atvejus: ∆z=∆x , ∆z=i∆y t=∆x+i0->0lim ∆t / ∆z = ∆x->0lim ∆u/∆x + i∆v/∆x = ∂u/∂x+i ∂v/∂x = t=0+i∆y-> 0lim ∆t / ∆z = ∆y->0lim (∆u/i∆y + i∆v/i∆y) = - i ∂u/∂y+ ∂v/∂y = Sulyginę, gausim: Pakankamumas: Tarkime, kad f-jos u ir v yra diferencijuojamos (R prasme) ir tenkin. Koši ir Rymano sąlygos, tada: ∆f(z)=∆u+i∆v= {panaudoję Koši ir Rymano sąlygas}= Iš čia gauname ∆f/∆z= Tokiu būdu: df/dz= ∆z->0 lim ∆f/∆z = (egzistuoja išvestinė) df/dz = Jeigu kompleksinis sk teikiamas rodykline forma, Z=reiφ, tai Koši ir Rymano sąlygos yra: 8. Kompleksinio kintamojo išvestinės argumento ir modulio geometrinės interpretacijos. Konforminiai atvaizdžiai. Teorema apie analizinių funkcijų atvaizdžius. Harmoninės funkcijos. Isvestines geometrine interpretcija: Jeigu imsime glodzia kreive γ tai kiekviename jos taske Z(t), t€[a,b] egzistuoja išvestine: ; Nepriklausomai nuo ∆t artėjom prie nulio išvestine yra liestine Glaudžios kreives γ, kuria kinta parametras t. Harmonines funksijos: Realioji f-ja (u(x,y) vad. Harmonine srityje DR2, jei ; ir jie tenkina Laplaso lygtis: Teorema: Analizine srityje G ∆U=0, ∆V=0. Irodymas: Analizine funkcija tenkino Kosi ir Rymanto salygas Ux’=Vy’; Uy’= -Vx’; … -> ∆U=∆V=0 9. Rodyklinės ir jai atvirkščiosios funkcijos atvaizdžiai. Rymano paviršius. Inversijos atvaizdis. 10. Kompleksinio kintamojo funkcijos integralas it jo paprasčiausios savybės. Integralo apibrėžimas. Tarkime kompleksinėje plokštumoje C yra duota ištiesiama orientuota kreivė γ, parametrizuota perametru t € [a,b], t.y. ¥Z€C€γ yra ζ(t)η(t) – duotos f-jos. Tarkime, kad ζ2(t)+η2(t)≠0 ¥, t€[a,b]. (kreivė γ yra reguliarioji) Tada ¥t€[a,b] priskiriamas kreivės γ taškas ζ(t)=ζ(t)+i η(t) Tegul ¥ kreivės taške ζ duota f-ja f(ζ). Sudarykime integralinę sumą. Tam kreivę γ padalinkime į daug taškų ζ 1 , ζ2 , ..., ζn  (t1, t2, ..., tn) Pažymėkime ∆ζi = ζi - ζii1 ir sudarykime sumą (integralinę): S(ζi, ζ*i ) = Čia ζ*i yra laisvai parinktas intervalo (ζi-1, ζi) taškas. Apibrėžimas: Jeigu egzistuoja integralinių sumų riba, nepriklausanti nuo to, kaip suskaldyta kreivė γ į intervalo ir taškų ζ*i(t) NESIMATO šiuose intervaluose, tai ši riba vadinama f-jos f(z) kreiviniu integralu ir žymima simboliu: max/∆ζi/0 Nesunku pastebėti, kad šio integralo egzistavimas reikalauja egzistavimo dviejų integralų realių kintamųjų. 11. Koši teoremos apie analizinės funkcijos integralą ir integralą kai analizinė funkcija turi baigtinį skaičių ypatingųjų taškų. Apibendrintoji Koši teorema. 12. Neapibrėžtasis kompleksinio kintamojo funkcijos integralas. Koši formulė. Analizinės funkcijos išvestinės. Koši teorema. Jeigu f-ja f(z) yra analyzinė vienajungėje srityje D, o γ – bet kuri ištiesiamoji kreivė, γ€D, tai kreivnis integralas lygus nuliui: Įrodymas: Kreivinis integralas pateikiamas forma: (*) Jeigu pasinaudoti žynoma Grino f-lę: Čia G – sritis, kurią riboja uždara kreivė γ. Pasinaudodami Grino formulę, bei Koši ir Rymano sąlygomis, gauname: Šios formulės ir įrodo teoremą. Ši teorema apibendrinama, kai kontūras γ yra kai kuriuose taškuose. 13. Analizinių funkcijų eilutės. Teiloro eilutės. Elementariųjų funkcijų Teiloro eilutės. 14. Lorano eilutės ir jų konvergavimas. Vienareikšmės analizinės funkcijos ypatingųjų taškų klasifikacija. Lorano eilutės. Eilutė vad Lorano eilute. f1(z) φ(z) Pirma eilutė konverguoja srityje /z-z0/ R2, tai egzistuoja žiedas, kuriame Lorano eilutė konverguoja. 15. Reziduumas. Pagrindinė teorema apie analizinių funkcijų, srityje turinčių baigtinį skaičių ypatingųjų taškų, reziduumus. 16. Laplaso transformacijos. Originalo ir įvaizdžio atitiktys. Elementariųjų funkcijų įvaizdžiai. 17. Kai kurios įvaizdžių savybės. Originalo suradimas. Mallino formulė. 18. Analizinių funkcijų taikymas hidrodinamikoje. 19. Analizinių funkcijų taikymas elektrostatikoje.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!