Funkcijų eilutės

1.2 Funkcijų eilutės 1.2.7 Funkcijų eilutės konvergavimo sritis Tarkime, kad turime aibėje apibrėžtų funkcijų seką , , tuomet kaip ir skaičių eilutės atveju formali suma (7) vadinama funkcijų eilute, o funkcijos šios eilutės nariais, suma - funkcijų eilutės n – tąja daline suma. 8 apibrėžimas. Taškų kuriuose konverguoja skaičių eilutė aibė vadinama funkcijų eilutės (7) konvergavimo sritimi, o srities E taškuose apibrėžta funkcija vadinama funkcijų eilutės (7) suma. 9 apibrėžimas. Jeigu aibėje E konverguoja eilutė , tai sakome kad (7) eilutė konverguoja absoliučiai aibėje E. Akivaizdu, jeigu funkcijų eilutės konverguoja absoliučiai aibėje E, tai ji šioje aibėje konverguoja. Norėdami nustatyti funkcijų eilutės konvergavimo sritį taikome skaičių eilučių konvergavimo požymius. 1 pavyzdys. Nustatykime eilutės konvergavimo sritį ir raskime jos sumą.  Kaip žinome funkcijos apibrėžtos , tačiau skaičių eilutė konverguoja absoliučiai tiktai kai , o visais kitais atvejais skaičių eilutė diverguoja, todėl funkcijų eilutės konvergavimo sritis yra intervalas ir , .  2 pavyzdys. Nustatykime funkcijų eilutės konvergavimo sritis.  Nustatome aibę, kurioje išpildoma būtina eilutės konvergavimo sąlyga - konverguoja. Kai pasinaudosime palyginimo požymiu . Eilutė , kai todėl eilutė konverguoja absoliučiai . Taigi eilutė konverguoja absoliučiai .  3 pavyzdys. Nustatykime eilutės konvergavimo sritį ir raskime jos sumą.  Pastebėsime, kad jeigu , tai visi eilutės nariai lygūs ir , jeigu , , taigi eilutė konverguoja visuose intervalo taškuose ir jos suma  1 pastaba. Jeigu egzistuoja riba arba , tai eilutė konverguoja absoliučiai ir diverguoja . 1.2.8 Tolygusis funkcijų sekų ir eilučių konvergavimas Kaip matome iš pavyzdžių neaišku kaip eilutės sumos savybės susijusios su jos narių savybėmis, nes nors anksčiau minėtuose pavyzdžiuose eilučių nariai buvo intervale apibrėžtos, begalo tolydžiai diferencijuojamos funkcijos apie pačių eilučių sumas to pasakyti negalime. Situacija supaprastėja kai eilutės konverguoja tolygiai. 10 apibrėžimas. Funkcijų seka vadinama konverguojančia tolygiai aibėje prie funkcijos , jeigu . (8) 1 lema. Tam kad funkcijų seka aibėje G tolygiai konverguotų prie funkcijos būtina ir pakankama, kad .  Būtinumas. Sakykime, kad , , tuomet . Pakankamumas. Tarkime, kad , t.y. , , .  1 išvada. Jeigu egzistuoja nykstanti seka , tai seka tolygiai konverguoja prie funkcijos f aibėje G.  Jeigu , , tai ir ir .  1 pavyzdys. Įrodykime, kad konverguoja tolygiai aibėje R.  Pastebėsime, kad , todėl , taigi remiantis lemos išvada |x|, .  19 teorema. (Koši tolygaus konvergavimo kriterijus f – jų sekoms) Tam, kad funkcijų seka tolygiai konverguotų aibėje G prie funkcijos būtina ir pakankama, kad: , , . (9) • Būtinumas. Tarkime, kad , , tuomet remiantis tolygaus konvergavimo apibrėžimu fiksuotam >0, , t.y. išpildoma (9) sąlyga. Pakankamumas. Pastebėsime, kad, jeigu išpildoma (9) sąlyga, tai iš vienos pusės koks bebūtų skaičių seka konverguoja, nes jai išpildomos Koši konvergavimo kriterijaus sąlygos skaičių eilutėms, t.y. Iš kitos pusės koks bebūtų , , (10) Perėję nelygybėje (10) prie ribos kai , gauname, kad , t.y. , .  2 pavyzdys. Ištirkite sekos , konvergavimą ir tolygų konvergavimą.  Akivaizdu, kad , iš kitos pusės parinkus , turime, kad , taigi jeigu , bus neišpildytas Koši tolygaus konvergavimo kriterijus funkcijų sekoms, t.y. seka konverguoja, tačiau netolygiai intervale . 11 apibrėžimas. Funkcijų eilutė vadinama konverguojančia tolygiai aibėje G, jeigu šioje aibėje apibrėžta funkcija , prie kurios tolygiai konverguoja seka . 20 teorema. (Būtina f – jų eilutės tolygaus konvergavimo sąlyga) Jeigu eilutė konverguoja tolygiai aibėje , tai jos narių seka šioje aibėje konverguoja tolygiai prie nulinės funkcijos.  Jeigu S(x), , tai ir S(x), , t.y. , 0, .  2 išvada. Jeigu . 21 teorema. (Koši tolygaus konvergavimo kriterijus f – jų eilutėms) Eilutė konverguoja tolygiai aibėje G tada ir tik tada, kai , , .  Įrodymas išplaukia iš f –jų eilutės tolygaus konvergavimo apibrėžimo ir Koši tolygaus kriterijaus f – jų sekoms.  22 teorema. (Vejerštraso tolygaus konvergavimo požymis f – jų eilutėms) Jeigu , , ir eilutė konverguoja, tai funkcijų eilutė konverguoja absoliučiai ir tolygiai aibėje .  Teorema įrodoma remiantis Koši konvergavimo kriterijumi skaičių, bei tolygaus konvergavimo kriterijumi funkcijų, eilutėms ir akivaizdžia nelygybe , .  3 pavyzdys. Įrodykime, kad eilutė konverguoja tolygiai atkarpoje [0; 1].  Žinome, kad kai t  0 ln(1 + t), todėl . Eilutė konverguoja, todėl, remiantis Vejerštraso požymiu, eilutė atkarpoje [0; 1] konverguoja absoliučiai ir tolygiai.  4 pavyzdys. Ištirkime eilutės konvergavimą.  Pastebėsime, kad taigi intervale eilutė diverguoja. Funkcijos, = 0, kai x=0 ir . , taigi . Eilutė konverguoja, todėl, remiantis Vejerštraso požymiu, eilutė konverguoja absoliučiai ir tolygiai, kai .  5 pavyzdys. Ištirkime eilutės konvergavimą intervale .  Pastebėsime, kad fn(0) = 0, o kai x  0 . Eilutė konverguoja, taigi, remiantis palyginimo požymiu, eilutė konverguoja absoliučiai , tačiau , todėl neišpildoma būtina eilutės tolygaus konvergavimo sąlyga fn(0)0 intervale . Eilutė intervale konverguoja absoliučiai, tačiau netolygiai.  6 pavyzdys. Ištirkime eilutės konvergavimą intervale .  Akivaizdu, kad kai . Eilutė konverguoja , todėl remiantis palyginimo požymiu, intervale konverguoja ir eilutė , tačiau , taigi neišpildomos Koši tolygaus konvergavimo kriterijaus sąlygos. Eilutė konverguoja intervale (0; 1], tačiau netolygiai.  1.2.9 Tolygiai konverguojančių funkcijų eilučių savybės 23 teorema. (Eilutės sumos tolydumo.) Jeigu eilutės nariai yra tolydžios srityje G funkcijos, o eilutė šioje srityje konverguoja tolygiai, tai ir jos suma S(x) – tolydi funkcija srityje G.  Kadangi Sn(x) S(x) , tai . Pasirenkam n0  N(), tuomet dalinė suma - tolydi funkcija, todėl bet kuriam fiksuotam , todėl  > 0 ir  1 išvada. Galiojant 23 teoremos sąlygoms , t. y. tolygiai konverguojančioje tolydžių f – jų eilutėje galima pereiti prie ribos panariui. 1 pavyzdys. Apskaičiuokime .  Funkcijos tolydžios intervale , be to , todėl remiantis Vejerštraso tolygaus konvergavimo požymiu galime tvirtinti, kad eilutė konverguoja tolygiai intervale [0; + ), vadinasi galime pereiti prie ribos panariui  24 teorema. (Eilutės integravimo) Jeigu funkcijos fn(x) yra tolydžios srityje G , o eilutė konverguoja tolygiai šioje srityje, tai bet kurioje atkarpoje [a, b]  G eilutę galima integruoti panariui.  fn(x) – tolydžios, o Sn(x)S(x) srityje G, todėl S(x) – tolydi srityje G ir tuo pačiu integruojama funkcija. Sn(x)S(x) srityje G, todėl koks bebūtų intervalas [a, b]  G, taigi  2 išvada. Galiojant 24 teoremos sąlygoms Sn(t)dtS(t)dt, [x0, x]  G , t.y. eilutė konverguoja tolygiai srityje G. 2 pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija yra tolydi intervale ir apskaičiuokime .  Funkcijos yra tolydžios intervale , be to . Mažoruojanti eilutė konverguoja, todėl remiantis Vejerštraso tolygaus konvergavimo požymiu, eilutė konverguoja tolygiai intervale taigi jos suma yra tolydi ir eilutę galima integruoti panariui:  25 teorema. (Eilutės diferencijavimo) Jeigu funkcijos fn(x) yra tolydžiai diferencijuojamos atkarpoje [a; b], eilutė konverguoja tolygiai intervale [a; b], o eilutė konverguoja nors viename šio intervalo taške x0 [a, b], tai ji konverguoja tolygiai šiame intervale ir ją galima diferencijuoti panariui, t. y. .  Pažymime . Žinome, kad šią eilutę galime integruoti panariui, bet kurioje atkarpoje [x0; x]  [a; b]. Eilutė konverguoja tolygiai srityje G, o eilutė konverguoja, todėl taigi , ir matyti, kad eilutė konverguoja tolygiai atkarpoje [a; b]. Diferencijuodami lygybę gauname .  3 pavyzdys. Įrodykime, kad eilutę galima diferencijuoti panariui intervale .  Akivaizdu, kad taške x0 = 0 eilutė konverguoja. - tolydi intervale . , . Mažoruojanti eilutė konverguoja, nes konverguoja integralas , taigi remiantis Vejerštraso palyginimo požymiu, eilutė konverguoja tolygiai intervale , o tai reiškia, kad išpildomos visos 25 teoremos sąlygos ir eilutę galime diferencijuoti panariui.  Pastebėsime, kad atitinkamos eilutės tolygaus konvergavimo sąlyga yra tik pakankama, bet ne būtina eilutės sumos tolydumo, integravimo arba diferencijavimo panariui sąlyga. Yra eilučių, kurios nors ir konverguoja netolygiai, tačiau jų sumos yra tolydžios f – jos, jas galima diferencijuoti arba integruoti panariui. 1.2.10 Laipsninės eilutės sąvoka. Abelio teorema 12 apibrėžimas. Funkcijų eilutė , (11) vadinama laipsnine eilute. Skaičiai cn, n = 0, 1, 2, ..., vadinami eilutės koeficientais. Aišku, kad laipsninė eilutė konverguoja bent viename taške x = x0 . Šios eilutės konvergavimo sritis apibūdina tokia teorema. 26 teorema. (Abelio) Jeigu laipsninė eilutė konverguoja taške x1  x0, tai ji konverguoja absoliučiai bet kuriai x reikšmei, tokiai, kad |x - x0 | |x2 - x0|.  Tarkime, kad (11) eilutė konverguoja taške x1, tuomet eilutė turi tenkinti būtinąją eilutės konvergavimo sąlygą, t. y. . Pastebėsim, kad, kai |x - x0 | |x2 -x0|, nes priešingu atveju gautume prieštaravimą pirmajam teoremos teiginiui.  1 išvada. Jeigu (11) eilutė konverguoja taške x1  x0, tai intervale |x – x0 | r R eilutė diverguoja. Intervalas vadinamas eilutės konvergavimo intervalu. 27 teorema. (Apie konvergavimo spindulį). Jeigu egzistuoja baigtinė arba begalinė riba , tai (11) eilutės konvergavimo spindulys , (12) o jeigu egzistuoja baigtinė arba begalinė riba , tai . (13)  Įrodysime (12). Taikydami Koši radikalųjį konvergavimo požymį gauname, kad eilutė konverguoja, kai . Kai t. y. kai , , taigi eilutė diverguoja, todėl skaičius yra (11) eilutės konvergavimo spindulys. Analogiškai, taikant Dalambero konvergavimo požymį, gauname (13).  Pastebėsime, kad konvergavimo intervalo galuose (taškuose x0  R) eilutės konvergavimą reikia tirti papildomai, tiktai tuomet rasime eilutės konvergavimo sritį. Patogumo dėlei toliau nepriklausomai nuo to konverguoja taške x eilutė ar ne ją žymėsime S(x), t. y . 1 pavyzdys. Nustatykime eilutės konvergavimo sritį.  Duotoji eilutė yra laipsninė, todėl pirmiausiai rasime konvergavimo spindulį . Taigi eilutė konverguoja absoliučiai, kai | x – 1| 0, tai koks bebūtų teigiamas skaičius r 0, tai jos koeficientai išreiškiami formule , n = 0, 1, 2, 3, ... . (14)  Jeigu , kai tai: 1) S(x0)=c0 , taigi ; 2) ; 3) indukcijos pagalba įrodome, kad kai , todėl .  32 teorema. Laipsninę eilutę galima integruoti panariui bet kurioje konvergavimo intervalui priklausančioje atkarpoje. 1 pastaba. Pastebėsime, kad visos šiame skyrelyje paminėtos laipsninių eilučių savybės taikytinos ir apibendrintoms laipsninėms eilutėms, t. y. eilutėms . 1 pavyzdys. Apskaičiuokime eilutės sumą.  Pastebėsime, kad pažymėjus x2 = t gauname laipsninę eilutę . Eilutės tn konvergavimo spindulys R1=1, taigi ši eilutė konverguoja absoliučiai kai Nesunkiai galime įsitikinti, kad ši eilutė konverguoja absoliučiai ir taškuose , taigi, remiantis Vejerštraso tolygaus konvergavimo požymiu, ji konverguoja tolygiai atkarpoje [-1; 1], todėl eilutė S(x)=S1(x2) konverguoja absoliučiai ir tolygiai, kai ir ją intervale (-1; 1) galima integruoti bei diferencijuoti kiek norima sykių panariui. Pastebėsime, kad S(0)=0; ; ; Dabar integruodami gauname, kad taigi , todėl , taigi Atsižvelgę į tai, kad eilutė konverguoja atkarpoje [-1; 1] gauname, kad šios eilutės suma , x[-1; 1].  Pasinaudoję gauta lygybe galime pastebėti, kad . 1.2.13 Teiloro eilutė 14 apibrėžimas. Sakysime, kas funkcija f(x) gali būti išreikšta intervale (x0 + R; x0 – R) laipsnine eilute, jeigu egzistuoja laipsninė eilutė konverguojanti šiame intervale prie funkcijos f(x). 15 apibrėžimas. Jeigu f(x) yra be galo diferencijuojama taško x0 aplinkoje (x0 – h; x0 + h), h > 0 funkcija, tai eilutė (15) vadinama šios funkcijos Teiloro eilute taške x0 (kai x0=0 Teiloro eilutė vadinama Makloreno eilute). Iš 31 teoremos 2 išvados išplaukia, kad, jeigu funkcija gali būti išreikšta taško x0 aplinkoje laipsnine eilute, tai ši eilutė yra Teiloro eilutė taške x0 , tačiau ne visuomet be galo diferencijuojama funkcija gali būti išreikšta Teiloro eilute, t. y. ne visuomet Teiloro eilutė konverguoja prie funkcijos. 1 pavyzdys. Užrašykime funkcijos Teiloro eilutę taške x0 = 0.  1) Kai x 0 . Remiantis 33 teorema, funkcija skleidžiama bet kokiame baigtiniame intervale (-R; R), o tuo pačiu ir visoje skaičių tiesėje. Atsižvelgus į tai, kad f(n)(0) = 1, n = 0, 1, 2, …, gauname (16) 2. f(x)=sin x. Kadangi f(k)(x)=sin(x+k), k=0, 1, 2, …, tai , k=0, 1, 2, … . Atsižvelgus į tai, kad gauname (17) 3. f(x)=cos x. Atsižvelgus į 1.2.6 skyrelio pabaigoje esančią pastabą, gauname, (18) 4. f(x) = ln(1+x). Pasinaudoję tuo, kad laipsninę eilutę galima bet kurioje šio intervalo atkarpoje integruoti panariui, gauname, kad Eilutė konverguoja reliatyviai, todėl . (19) 5. f(x) = (1+x) , R. Jeigu  = 0, tai f(x) = 1, jeigu  = n  N, tai iš Niutono binomo formulės išplaukia . Kai   {0, 1, 2, …} f(n)(x) = (-1)…(-(n-1)(1+x) -n, taigi f(n)(0) = (-1)…(-(n-1), n  N. Šios funkcijos Makloreno eilutės konvergavimo spindulys , taigi Makloreno eilutė konverguoja absoliučiai intervale (-1; 1). Belieka įsitikinti kad ji konverguoja prie (1+x) . Tradiciniais metodais tai padaryti sudėtinga, todėl pasinaudosime diferencialinių lygčių savybėmis. Akivaizdu, kad funkcija f(x) = (1+x) yra Koši uždavinio , f(0) = 1 sprendinys, tačiau S(0) = 1 ir, kai x(-1; 1) iš laipsninių eilučių savybių išplaukia, kad Koši uždavinys turi vienintelį sprendinį, todėl S(x) = f(x), . Taigi . (20) Ši eilutė vadinama binomine eilute. Tyrimo kada binominė eilutė konverguoja taškuose čia nepateikiame. Pastebėsime kad skleidžiant funkciją Teiloro eilute patartina ją išreikšti funkcijų, kurių Teiloro eilutės žinomos suma, pasinaudoti kintamųjų keitimu, eilučių diferencijavimu bei integravimu panariui. 1 pavyzdys. Funkciją f(x) = ln(4+3x-x2) išreiškime Teiloro eilute taško x0=2 aplinkoje. Pastebėsime, kad Pasinaudoję (19) formule, gauname: t. y. x[0; 4); Pasinaudoję tuo, kad bendroje konvergavimo srities dalyje eilutes galima sudėti panariui, gauname taigi .  2 pavyzdys. Išreiškime funkciją Makloreno eilute.  Kadangi , tai, kai . Intervale (-1; 1) eilutę galima integruoti panariui, todėl Bet kurioje atkarpoje priklausančioje aibei (-1; 1) paskutinę eilutę galima integruoti panariui, nes ji konverguoja ir taške x=0, todėl Atsižvelgus į tai, kad eilutė konverguoja absoliučiai taškuose , turime .  1.2.15 Eilučių taikymai 1.2.9.1 Skaičių ir funkcijų eilučių taikymas apskaičiuojant ribą Iš skaičių eilutės būtinos konvergavimo sąlygos išplaukia, kad jeigu eilutė konverguoja, tai . 1 pavyzdys. Įrodykime, kad .  Tiriame eilutės (21) konvergavimą. Taikant Koši radikalųjį požymį gauname ribą . Tam, kad apskaičiuotumėme šią ribą, tiriame eilutės (22) konvergavimą. Taikydami Dalambero požymį gauname taigi (22) eilutė konverguoja, todėl ir (21) eilutė konverguoja, o tuo pačiu .  Jeigu ribos skaičiavimas naudojantis Liopitalio taisykle arba kitais metodais neduoda rezultatų, galima bandyti funkcijas skleisti Teiloro eilute. 2 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą .  Išreiškiame funkcijas Makloreno eilute ir pasinaudojame laipsninių eilučių savybėmis. , todėl . Todėl  1.2.9.2 Funkcijos bei apibrėžtinio integralo artinių skaičiavimas 3 pavyzdys. 10-3 tikslumu apskaičiuokime arctg 0,5.  Pasinaudosime 1.2.8 2 pavyzdyje gautu rezultatu . Taigi - alternuojanti eilutė. Pasinaudosime alternuojančios eilutės savybe |S – Sn |

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!