Skaičių ir laipsių eilutės

1.SKAČIŲ EILUTĖ IR JOS SUMA Duota a1+a2+a3+…+an jei šios sekos narius sudėsim gausim skaičių eilutę. a1+a2+a3+…+an+… (1) an – vadinamas eilutės bendruoju nariu. Žinodami eilutės bendrajį narį galime parašyti bet kurį eilutės narį ir tuo pačiu visą eilutę. Kadangi eilutėje narių skaičius yra neaprėžtas tai tokias eilutes vadiname begalinėmis. Imkime pirmosios (1) eilutės pirmųjų n narių sumą. Sn=a1+a2+a3+…+an Ši suma vadinama begalinės eilutės daline suma. Apibrėžimas: Jeigu egzistuoja baigtinė riba lim Sn kai n yra lygi S tai sakoma, kad pirmoji eilutė konverguoja o baigtinis skaičius S yra pirmosios eilutės suma a1+a2+a3+…+an=S. Jeigu riba lim Sn kai n yrabegalinė arba visai neegzistuoja tai sakom, kad eilutė diverguoja. Diverguojanti eilutė sumos neturi. 2.PAGRINDINĖS EILUČIŲ SAVYBĖS Konverguojančias eilutes galima sudėti panariui. Teorema: Jeigu S=a1+a2+a3+…+an+…, T=b1+b2+b3+…+bn+… tai (a1b1)+(a2b2)+…+(anbn)+… =ST. Įrodymas: Jeigu eilutė a1+a2+a3+…+an+…konverguoja ir jos suma yra skaičius S tai riba Sn kai n lygi S kur Sn=a1+a2+a3+…+an (1) suma pirmųjų n narių. Jei b1+b2+b3+…+bn+…(2) konverguoja ir jos suma yra T tai riba Tn kai n lygi T; Tn=b1+b2+b3+…+bn . Tada turėsime, kad eilutės (a1b1)+(a2b2)+…+(anbn)+…(3) dalinė suma n=(a1b1)+(a2b2)+…+(anbn) bus lygi n=(a1+a2+a3+…+an) (b1+b2+b3+…+bn) =ST Tada riba n kai n lygi ribaiSnTn kai n lygu ST. Gavome, kad trečiosios (3) eilutės n riba n kai n lygi ST baigtiniam skaičiui. Tai reiškia, kad (3) eilutė konverguoja ir skaičius ST yra šios eilutės suma. Teorema: Jeigu eilutė a1+a2+a3+…+an +…(1) konverguoja ir jos suma lygi skaičiui S tai ir eilutė k*a1+k*a2+k*a3+…+k*an +…(4) konverguos ir jos suma bus skaičius k*S. Įrodymas: Imkime pirmos (1) ir ketvirtos (4) eilutės dalines sumas Sn=a1+a2+a3+…+an ; Rn=k*a1+k*a2+k*a3+…+k*an arba Rn=k*(a1+a2+a3+…+an). Rn=Sn Kadangi (1) eilutė konverguoja ir jos suma lygi Sn tai jops riba lim Rn kai n  lygi lim k*Sn kai n lygi k*lim Sn kai n lygi k*S. Gavom (4) eilutės dalinės sumos Rn riba lygi baigtiniam skačiui k*S tai reiškia, kad (4) eilutė konverguoja ir jos baigtinė suma lygi k*S. 3.BŪTINA EILUČIŲ KONVERGAVIMO SALYGA Teorema: Kad nepabaigiama skaičių eilutė konverguotų būtina salyga, kad jos bendrasis narys artėtų prie nulio kai n neaprėžtai didėja S=a1+a2+a3+…+an+…(1) Riba lim an=0 kai n. Įrodymas: Turime eilutę konverguojančia Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an; Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1; Sn=Sn-1+an (2) Jeigu (1) eilutė konverguoja ir turi sumą lygia S tai riba lim Sn kai n lygi S; lim Sn-1 kai n lygi S. Tada iš (2) lygybės turėsim an=Sn-Sn-1; lim an kai n lygi lim (Sn-Sn-1) kai n ; lim an kai n lygi lim Sn kai n minus lim Sn-1 kai n; lim an kai n lygi S-S=0; lim an kai n lygi 0. Įrodytoji teorema nusako tik būtina bet ne pakankama eilutės konvergavimo salyga. 4.HARMONINĖ EILUTĖ Eilutė kurios bendrasis narys an=1/n kur n kinta nuo 1 iki , (an=1+1/2+1/3+…+1/n+…) vadinama harmonine eilute. Ši eilutė patenkina būtina eilučių konvergavimo salygą lim 1/n kai n lygi 0. Tačiau įrodysim, kad ši eilutė diverguoja. Harmoninę eilutę užrašom taip an=1+1/2+1/3+…+1/n+…=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+…+1/16)+…Pirmuosiuose skliaustuose 21 narių, antruose 22 narių, trečiuose 23 narių. Jeigu skliaustuose esančias trupmenas pakeisim tų skliaustų paskutiniosiomis trupmenomis. an>1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+1/16+1/16…; an>1+1/2+1/2 +1/2+1/2+…vadinasi lim Sn kai n lygi . Vadinasi harmoninė eilutė diverguoja. 5.GEOMETRINĖS PROGRESIJOS EILUTĖ Duota eilutė kurios nariai sudaro geometrinę progresiją a+a*q+a*q2+a*q3+…a*qn-1+a*qn+…(1). Parodysim, kad ši eilutė konverguoja kai q 0; an  0; bn  0 tai konverguojant eilutei (B) konverguos eilutė (A), ir diverguojant eilutei (B), diverguos eilutė (A). Įrodymas: pagal ribos apibrėžimą turėsim, kad kiekvienam  >0 galima rasti tokį skaičių N, kad imant n >N. an/bn - 1. 2) Košį radikalinis požymis. Jei teigiamai eilutei a1+a2+a3+…+an+…egzistuoja riba C=lim n-tojo laipsnio šaknis iš an kai n ; tai eilutė konverguoja kai C1. Kai C=1 ir D=1 apie eilutės konvergavimą nieko negalime pasakyti ir šiuo atveju reikia eilutę ištirti kitu būdu. 3) Košį integralinis požymis. Jeigu eilutė a1+a2+a3+…+an+…teigiami ir monotoniškai mažėjantys nariai sutampa su teigiamos tolydžiai ir monotoniškai mažėjančios funkcijos f(x) rekšmėmis tai duotoji eilutė konverguojanetiesioginiu integralu I= f(x) dx kai kinta nuo 1 iki , priešingu atveju duotoji eilutė diverguoja. 8.ALTERNUOJANTI EILUTĖ Skaičių eilutė kurioje narių ženklai eina pakaitomis vadiname alternuojančia eilute. Šios eilutės konvergavimui nustatyti naudojamas Leibnico požymiais. Jeigu alternuojančios eilutės c1-c2+c3-c4…(1) nariai absoliutiniu didumu mažėja c1>c2>c3>c4>… ir riba lim Cn=0 kai n tai eilutė konverguoja. Įrodymas: imkime (1) eilutės dalinę sumą S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…-c2k Norėdami parašyti dalinę sumą S2k+2 turėsime prie dalinės sumos S2k pridėti (c2k+1-c2k+2) Vadinasi didėjant k didėja ir dalinė suma S2k, be to dalinė suma yra aprėžta nes S2k=c1-(c2-c3)-(c4-c5)… o tai yra mažiau negu c1>S2k. Jeigu dalinė suma S2k yra aprėžta ir didėjanti, tai egzistuoja baigtinė riba lim S2k=S kai k. Be to S2k+1=S2k+c2k+1 Vadinasi riba lim Sn=S kai n o to pakanka, kad eilutė konverguotų. 9.ABSOLIUTUS KONVERGAVIMAS Duota skaičių eilutė a1+a2+a3+…+an (1) turinti be galo daug + ir daug – (nebutinai alternuojanti). Tokios eilutės konvergavimą nustatome tokia teorema: Jeigu konverguoja eilutė sudaryta iš (1) eilutės absoliutiniu didumu a1+a2+a3+…(2) tai konverguoja duotoji (1). Įrodymas: Kai an 0; an+an=2an, kai an 1+ ½+ (1/4+ ¼)+(1/8+ 1/8+ 1/8+ 1/8)+ , n=1 1/n> 1+ 1/2+ ½+ ½+ ½+ . Iš čia matom kad: n  lim Sn= . Vadinasi harmoninė eil diverguoja. 5) Geometrinės progresijos eilutė. Turim eil kurios nariai sudaro geom progres: a+ aq+ aq2+ aq3+ +aqn-1+ (1). Įrodysim kad (1) konverg kai |q| 0, nes an 0, bn 0) tai konverg (2) konverg ir (1) ir diverg (2) diverg (1). Įrodymas: pagal ribos apibrėž turėsim kad kiekvienam skaičiui > 0, galim rasti tokį N, kad n> N, turėsim |an/bn – | an/bn 1. 2) Koši požymis: jeigu teig skaič eilutėj a1+ a2+ +an+ (1) egzistuoja riba C= n  lim nan, tai (1) konverg kai C 1. pastaba: kai D= 1 ar C=1 apie eilutės konverg nieko negalime pasakyt ir tokiu atveju tiriam ją pagal kitus požymius. 3) Koši integralinis pož: jei eil a1+ a2+ +an+ (1) teigiami ir monotoniškai mažėjanti nariai sutampa su tolydžios teigiamos ir monotoniškai mažėj f–jos f(xs) reikšmėmis [1, ), t.y an= f(n) tai (1) eilutė konverg tada kai konverg netiesioginis intergralas: I= 1 f(x) dx, jei šis netiesiogis integral diverg tai ir eilutė diverg. 8) Alternuojanti eilutė. Leibnico požymis. Eilutės kuriose ženklai eina pakaitomis vad alternuojančiom. Šių eil konverg nustatyti naudojam Leibnico požymį: jeigu altern eil c1+ c2– c3+ c4– (1) nariai absoliutiniu didumu mažėja c1> c2> c3> ir n  lim cn= 0, tai eil konverg. Įrodymas: imkim (1) dalinę sumą S2k= (c1– c2)+ (c3–c4)+ +(c2k-1– c2k) Norėdami parašyt dalinę sumą S2k+2 prie S2k turim pridėt teigiamą narį (c2k+1– c2k+2) vadinasi didėjant k didėja ir dalinė suma S2k, be to dalinė suma S2k yra aprėžta, nes S2k= c1–(c2– c3)– (c4– c5)– –c2k R, diverg. Kai eilutė konverg x= 0, tai konver spindulys R= 0. kai eil konverg visoms x reikšmėms tai R= . Laipsninių eil konverg spinduliai aps taikant teoremą: jeigu laipsninė eil a0+ a1x+ a2x2+ +anxn+ (L) patenkina sąlyg, kad n  lim |an+1/ an|= , tai eil konverg spindulys R= 1/. Įrodymas: eilutei (L) pritaikę Dalambero požymį turėsim, kad ji konverg kai D= n  lim |(an+1xn+1)/ (anxn)|

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!