Kompleksiniai skaičiai. Kompleksinių skaičių geometrinis vaizdavimas

1 Kompleksiniai skaičiai. Kompleksinių skaičių geometrinis vaizdavimas.
Kaip žinome, realiųjų skaičių aibėje net paprasčiausia kvadratinė lygtis, kurios diskriminantas neigiamas, neturi sprendinių. Norėdami išspręsti lygtį x2+1═0 turime įvesti tam tikrą naują skaičių ir laikyti jį tos lygties sprendiniu. Tą naująjį skaičių žymėsime simboliu i. Taigi, skaičius i tenkina lygtį i2+1═0, iš kur i2═-1. Šia lygybe apibrėžtas skaičius i vadinamas menamuoju vienetu, o skaičiai pavidalo a+bi ( a ir b – realieji skaičiai) vadinami kompleksiniais skaičiais. Realusis skaičius a vadinamas kompleksinio skaičiaus realiąja dalimi, o b – menamąja dalimi. Skaičiai pavidalo 0+bi vadinami grynai menamais skaičiais.
Du kompleksiniai skaičiai a1+b1i ir a2+b2i yra lygūs tada ir tik tada, kai a1=a2 ir b1=b2.
Skaičiai a+bi ir a-bi vadinami jungtiniais kompleksiniais skaičiais.
Kompleksinį skaičių z=a+bi priimta vaizduoti plokštumos tašku, kurio koordinatės (a;b).
Čia kiekvienam plokštumos taškui priskiriamas tik vienas kompleksinis skaičius. Ši atitiktis yra abipus vienareikšmė.
Realiuosius skaičius vaizduoja abscisių ašies taškai, todėl ši ašis vadinama realiąja ašimi. Grynai menamus skaičius vaizduoja ordinačių ašies taškai, todėl ši ašis vadinama menamąja ašimi.
Kiekvieną plokštumos tašką, kurio koordinatės (a;b), atitinka vienintelis vektorius, kurio pradžia yra taškas O(0;0) ir galas – taškas M(a;b). Todėl kompleksinį skaičių z=a+bi galima pavaizduoti vektoriumi .
Kompleksinio skaičiaus moduliu vadinamas tą skaičių atitinkančio vektoriaus ilgis. Skaičiaus z modulis žymimas . Pagal Pitagoro teoremą gautume, kad .
Kompleksinio skaičiaus argumentu vadinamas kampas tarp realiosios ašies teigiamos krypties ir vektoriaus . Dažnai kompleksinio skaičiaus z=a+bi argumentas žymimas argz arba arg(a+bi). Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Bet kurių dviejų kompleksinio skaičiaus argumentų skirtumas yra kartotinis.
Pavyzdžiai
1. Kokia turi būti reali x reikšmė, kad kompleksiniai skaičiai z1x2+9xi-7x ir z2x2i-12+20i būtų lygūs?
Sprendimas. Du kompleksiniai skaičiai laikomi lygiais, jei lygios jų realiosios ir menamosios dalys. Pirmiausiai išskiriame šių skaičių realiąsias ir menamąsias dalis z1(x2-7x)+9xi ir
z2-12+(x2+20)i ir jas lyginame:
2. Kokios turi būti realiosios x reikšmės, kad kompleksinis skaičius z3x2+x2i-12-9i būtų:
a) realus; b) grynai menamas?
Sprendimas. Kompleksinį skaičių užrašome pavidalu...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!