Kompleksinių skaičių teorija

1Kompleksinio skaičiaus apibrėžimai. Kompleksinė plokštuma. 1.ap. Kompleksiniu skaičiumi vadinamas reiškinys zxyi; čia x,y – realieji skaičiai, I-menamasis vienetas, turįs savybę i2-1.xRe(z)Rez, yIm(z)Imz Visa kompleksinė aibė žymima C. C{xyix,yR}.Vienas kompleksinis skaičius atitinka taška ir atvirkščiai. Viskas kas tinka kompleksiniams skaičiams tinka ir realiems.Vaizdavimo būdas vektoriai. z(x2y2) Kompleksinio sk. Modulių vadiname kvadratų šaknis realios dalies kvadrato plius menamosios dalies kvadrato. Komp. Skaič. Argumentas sudarantis kampą pargz, kurį sudaro komp. skaič.vaizduojantis vektorius su realiųjų skaič. ašimi. Matuojamas laipsniais , radijanais. Kopm. skaič.sudaro be galo daug argumento reikšmių, kuris skiriasi per 2. [0; 2], [-; ] Reali dalis z yra visada lygi: xRezzcos , yImzzsin Du komp. skaič.vadinami jungaisiais jeigu jų realios dalys sutampa, menamosios skiriasi tik ženklu. zx-iy , zx+iy Du komp. skaič.z1x1+iy1 ir z2x2+iy2I vadinami lygiais tada ir tik tada, kai Rez1 Rez2 ir Imz1Imz2. Taigi z1z2  x1x2 y1y2 2Algebriniai veiksmai su komp.skaič. 1ap.Suma toks komp.skaič. kai realiosios ir menamosios dalys sudedmos. zz1+z2(x1+x2)+i(y1+y2)2ap.Atimtis(analogiškai)zz1-z2(x1-x2)+i(y1-y2) 3ap.DaugybaDauginami pagal algeb. vaiksmų taisyklę. zz1z2(x1+x2)i(y1+y2) x1x2+iy1x2+x1iy2+iy1iy2(i2-1)(x1x2-y1y2)+ i(x1y2+x2y1)4ap.Dalyba vadiname dviejų komp.skaič. z1z2 dalmenį jeigu zz1/z2 z1zz2 z(x1+iy1)/(x2+iy2)(x2-iy2)/(x2-iy2)(x1x2+iy1x2-x1iy2-iy1iy2) / (x22+y22). (x2+iy2)( x2-iy2)x22-(iy22) x22-i2y22x22+y22z22Kėlimas natūriniu liaipsniu komp. skaič.dauginame n kartų. znzzz…..z(x+iy) Pagal Niutono Binomo taisykles: i2-1,i3i2i-1i-i; i4i2i21z2(x+iy)2x2+2xiy+(iy)2x2-y2(Rez2) + i2xy(Imz2); z3(x+iy)3 x3+3x2iy+3x(iy)2+(iy)3x2-3xy2(Rez3) +i(3x2y-y3) (Imz3); Pirmas narys ir kas antras realus narys priklausys(+,-,+,-,+,-…) Menama dalis su + irgi eis pakaitomis. i5i; i4k+1=i; kN, lN,i4k+l=ie 3.Komplek.skaič.trigonometrinė išraiška ir jos naudojimas atliekant daugybą , dalybą ir kėlimą laipsniu. xzcos, yzsin, Argz zx+iyzcos+izsinz(cos+ isin), z1x1+iy1z1(cos1+isin1)su- dauginti su z2x2+iy2z2(cos2+isin2) Daugyba.zz1z2(x1+iy1) (x2+iy2)z1z2 z1z2(cos1cos2+cos1 isin2+cos2isin1+isin1isin2) z1z2(cos1cos2-isin1isin2 {cos(1+2)}+i(cos1cos2+ cos1cos2){sin(1+2); z1z2 z1z2( cos(1+2) + sin(1+2)) Dalybaz=z1/z2=z1(cos1+isin1)/ z2( cos2+isin2)  ( cos2-isin2)/ ( cos2-isin2)= z1 (cos1cos2- cos1isin2+ isin2cos2+isin2sin2/cos22-cos2isin2 + isin2cos2- isin2sin2= cos1cos2+ sins1sin2+i(sin1cos2- cos1isin2)/ cos21+sin22. z1/z2=z1/z2(cos(1-2)+isin(1-2)) z=z1n=[z1(cos1+sin1)]n=z1n(cos1+sin1)n;z12=z12(cos21+2isin1cos1+ (isin)2) =(cos21-sin21+ i2sin1cos1) =z12(cos21+isin21); z13=z12+z1=z12z1(cos(21+)+isin(21+1))=z13(cos31+isin31)Pasinaudoję matematinės idukcijos metodu nesunkiai įrodome šią lygybę:z1n=z1n-1=…=z1n(cosn1+isinn1)Skaičių keliant laipsniu padauginti tuo laipsniu.(cos+isin)n= cosn+isinn 4Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus Komplek.skaič. w vadiname n-tojo laipsnio šaknimi iš kompleksinio skaič. z jeigu skaičiu z pakėlę n-uoju laipsniu kompl.skaič. w w=n(z); wn=z ; nN z=r(cos+isin), r=z,=Argz w=p(cosQ+isinQ) įstatę į duotają salygą wn= pn(cosQ+isinQ) pn(cosQ+isinQ)= r(cos+isin)pn=r, nQ=+2k, kZ p=n(r) , Q=+2k/n wk=n(z)= n(r)(cos(+2k/n)+ isin(+2k/n)) Norėdami gauti visas galimas skirtingas wk reikšmes, turime imti k=0,1,…n-1. 5.Kompleks. skaič. rodyklinė formulė Tokia kompleks. Skaič.forma gaunama panaudojant Oilerio formule. ei=cos+isin Panaudojus kompleks.skaič galime išreikšti rodykline forma. z=r(cos+isin)=re z1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2))= r1r2ei(1+2) z1/z2=r1/r2(cos(1+2)+isin(1+2))= r1/r2ei(1+2) zn=rn(cosn+isinn)=rnein (nz)=(nr)(cos(+2k/n)+isin(+2k/n))=(nr)ei(+2k/n), k=0,1,…(n-1) 6.Kompleksinio kintamojo f-josf savoka.Skykime , kad yra dvi kompleksines isplestines plokstumos, ir pirmosios pl. bet kuri taska z vad. kompleksinio kintamojo z reiksme. Antrosios pl. taskus zymesime w. 1 apibrezimas. Jei yra zinomas desnis f , priskiriantis kiekvienam elementui z vieninteli(daugiau kaip viena) kompleksini skaiciu w = u + iv , tai sakoma, kad apibrezta vienareiksme (daugiareiksme) kompleksinio kintamojo funkcija f : w:=f(z) = u ( x, y ) + iv ( x , y ). Funkcijos u(x,y) ir v (x,y) vadinamos funkcijos f ( z ) realiaja ir menamaja dalimis. Tuomet taskas w = f (z) vadinamas tasko z atvaizdu . 7.Tiesinė kompleksinio kintamojo f-ja. y= ax + b – realaus kintamojo tiesine f- ja x , y , a , b – realus skaiciai , W = az +b kompleksinio kintamojo tiesine f-ja. a =  + i b=  + i a, b  C , z= x + y , w = u + iv, ,  , ,  R , x, y, u, v,  R. u + iv = x + i + ixy - y +  + i.. u = x - y + v= x + y + .. w = az +b Rew = Rea Rez – Ima .Imz+ Reb . Imw = Ima *rez + Rea Imz + Imb w= iz , a = i , b = 0. u+ iv = i ( x+ iy ) = ix – y. Rew = Imz u = -y Imw = Rez v = x 8. Kai kurios elementarios kompleksinio kintamojo funkcijos Pateiksime keleta algebriniu kompleksiniu elementariuju funkciju payzdziu. Pastovioji funkcija f(z)a kiekviena kompleksines plostumos taska z vaizduoja i kompleksini taka a. Jungtinis atvaizdis w = z ( paneigtas ) kiekviena taska z = x + iy vaizduoja i taska z = x – iy. Laipsnine funkcija apibreziama kaip kompleksinio kintamojo z funkcija w = zn, nN. Si funkcija yra vienareiksme, taciau jos atvirkstine funkcija w =nz kiekviename baigtines plokstumos taske z0 igyja lygiai n kompleksiniu reiksmiu, kuriu argumentai skiriasi dydziu 2n Polinomu arba daugianariu vad. f-ja w= Pn(z)= anzn+an-1zn-1+...+a1z+a0; Pn(; n>=1, cia koeficientai akk = 0,1,....,n – kompleksiniai skaiciai , z- kompleksinis kintamasis , n – polinomo lapsnis. Nulines eiles polonomas yra pastovioji f-ja; pirmos eiles polinomas vadinamas tiesine f-ja w= az+b.Dvieju polinomu santykis w = Pn(z)/Qm­(z) vad. racionaliaja funkcija , Ji apibrezta visoje baigtineje plokstumoje , isskyrus taskus , kuriuose vardiklis Qm(z)lygus nuliui.Ji apibrezta visoje visoje baigtineje plokstumoje , isskyrus taskus , kuriose vardiklis Qm(z)= 0. Kompleksinio kintamojo z = x +iy funkcija ex(cos y + i sin y). vadinama rodikline arba eksponentine funkcija ir zym. ez= ex(cos y + i sin y) Si f-ja yra apibrezta ir vinereiksme visoje beigtineje kompleksineje pl. Be to is trigonmentriniu f-ju periodiskumo gauname , kad rodykline f-ja yra periodine o jos pagrindas periodas lygus 2n : ez=ex+iy­= ex(cos y + i sin y ) = ex(cos ( y+2n)+i sin (y + 2n ))= ex+i(y+2n)=ez +i2n Rodiklines f-jos atvirkstine f-ja vad. logaritmu ir zym. z = Ln w.Is lygybes w lygu ex +iy gauname,kad w= ex. Is rodiklines f-jos periodiskumo isplaukia , kad menamoji dalis y yra daugiareiksme , tuomet z = Lnw = ln w+ i arg w + 2ki , k  z. Is oilerio f – liu ei=cos  + i sin  ir e-i= cos  - i sin  isplaukia : cos  = ( e i + e -i ) / 2 , bei sin = (e i- e-i)/2i, - bet kuris realusis sk.Analogiskai apibreziamas kompleksinio kintamojo z f- jos kosinusas ir sinusas : cos z = (eiz+e-iz)/2 bei sin z = (eiz – e-iz)/2i . F-jos sin z ir cos z – yra vienareiksmes f- jos baigtineje kompleksineje pl. taske z = , jos kaip ir f- ja ez, neapibreztos. Pvz. Rasime f-jos w = z3 – 2z realiaja ir menama dalis.Pazymesime z = x + iy, w = u + iv . Tada u + iv = ( x3 + 3x2.iy – 3xy2 – i y3)- 2(x+iy). u = x3-3xy2-2x v = 3x2y – y3- 2y 10.Neapibreztiniu integralu lenteles: 1)x' = 1   1 dx = x +c 2)(x n + 1) | = x n ( x n + 1/n +1)|=a  xn dx = x n + 1/n +1 3) ln ( x ) | = 1/x, kai x > 0 (ln | x | )| = 4)(ex)| = ex  ex dx = ex + c 5) ( ax )| = ax ln aax dx = ax/ln a 6)(sin x)| = cos x  cos x dx = sin x + c 7) (cos x)| = -sin x  sin x dx = - cos x + c 8) (tg x)| = 1/cos2x  dx /cos 2x = tg x +c 9) ( ctg x)| = 1/- sin2x  dx / sin2x = - ctg x +c 10) (arcsin x)| = 1/(1-x2) = arcsinx + c 11) (arctg x)| = 1/ 1+x2   dx /1+x2 = arctg x + c 9.Pirmykste f-ja ir neapibreztinis integralas. 1apibrezimas : f-ja F (x) vad f – jos f(x) – pirmykste f- ja atkaroje [a:b]jeigu visose sios atkarpos taskuose x taisinga lygybe F ` (x) = f (x) arba dF(x)= f(x)dx. Analogiskai apibreziama f- jos f(x) pirmykste f – ja begaliniame bei atvirame intervale (a:b) .(pvz reikia) Jei f-ja f(x) atkarpoje [a:b]turi viena pirmykste f-ja F (x) tai ji turi be galo daug pirmyksciu f-ju , kuriu tarpusavio rysi nusako si teorema : T: Jei F 1(x) ir F 2(x) yra dvi f-jos f(x) pirmykstes f-jos atkarpoje [a:b] tai jos viena nuo kitos skiriasi konstanta c , t.y. F1(x) – F2(x) = c. Remiantis pirmykstes f-jos apibrezimu , visose atkarpos [a:b] taskuose x teisingos lygybes F1`(x) = f(x) F2`(x) = f(x) is siu lygybiu gauname , kad F1`(x) – F2(x) = f(x) –f(x) = 0 , x[a:b] , ( F1(x) – F2(x) )` = 0. Pasiremsime anksciau irodytu teiginiu : jeigu f- jos isvestine , kuriame nors intervale = 0 tai f- ja siame intervale yra pastovi , vadinasi , F1(x)- F2(x) = c , su visais x prikl. [a:b]. Isvada: kai F (x) yra viena f- jos f(x) pirmyksciu f-ju atkarpoje [a:b] tai kiekviena , kita tos f-jos pirmykste f-ja , sioje tkarpoje , isreiskiama suma F(x) + c , c – const. 2 apibrezimas : aibe , visu duotosios f-jos f(x) pirm,yksciu f-ju F ( x) + c , vad . f-jos f ( x) neapibreztiniu integralu ir zym simboliu f(x)dx. F, ja f ( x) vad pointegraline f – j a, sandauga f(x)dx – pointregraliniu reiskiniu , zenklas  - integralo zenklu , x – integravimo kintamuoju . Vadinasi , f(x)dx = F(x) + c , c – const ,, kai F`(x) = f(x). Veiksmas , kuriuo surandama duotosios f-jos pirmykste f-ja , vad. integravimu. Jo rezultatas , pirmyksciu f-ju bregaline aibe. Geometriskai neapibretinis integrlas nusako seima , kreiviu y = F (x) + c , kuriu kiekviena gaunama lygigreciai pastumiant f-jos y = F(x) grfika , Oy asies kryptimi i virsu , kai c > 0, ir i apacia kai c 0; b,c – realieji skaičiai. Pertvarkykime vardiklyje esantį kvadratinį trinarį, išskirdami dvinario kvadratą : ax2+bx+ca(x2+b/ax+c/a) a(x2+2*b/(2a)x+(b/2a)2+c/a-(b/2a)2) a((x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a2)a((x+b/2a)2+-k); čia (4ac-b2)/4a2+-k20. Pliuso ženklą rašome tada, kai reiškinys (4ac-b2)/4a2 > 0 arba kai trinaris ax2+bx+c neturi realiųjų šaknų; minuso priešingu atveju. Tada I1dx/( ax2+bx+c) 1/adx/( a((x+b/2a)2+-k2). Parinkę keitinį x+b/2at, dxdt, turėsime: I11/adt/(t2+-k2). 17. Paprasčiausių trupmenų integravimas Racionaliąja trupmena vadinamas dvieju daugianarių santykis P(x)/Q(x)=aoxn+ a1xn-1+…+ an-1x+ an / boxm+ b1xm-1+…+ bm-1x+ bm čiaP(x) ir Q(x) – daugianariai, neturintys bendrų šaknų, a00, b00. Racionaliąja trupmena vadinama taisykingąją, kai skaitiklyje esančio daugianario laipsnis n yra mažesnis už vardiklyje esančio daugianario laipnį m . Priešingu atveju racionalioji trupmena yra netaisyklingoji. Jeigu racionalioji trupmena netaisyklinga, tai , padaliję skaitiklio daugianarį iš vardiklio daugianario, šią trupmeną galime išreikšti naujo daugianario S(x) ir taisyklingosois trupmenos suma: P(x)/Q(x) = S(x)+R(x)/Q(x), čia R(x)/Q(x)- jau taisyklingoji trupmena. Dabar išnagrinesiu, kaip integruojamos paprasčiausios racionaliosios trupmenos . Jos yra 4 tipų : 1.A/x-a; 2. A/(x-a)k; 3. Mx+N/x2+px+q; 4.Mx+N/(x2+px+q)k , čia A,N,M,a,p,q – realieji skaičiai, k – natūrinis skaičius , be to, k 2, diskriminantas D= p2- 4q p/2t; xt-p/2; dxdt; suvedami į integralą: dt/(t2+a2) arba dt/(t2+a2)N; 14) Kvadratinių dvinarių integravimas. Šio tipo reiškiniai yra arba integralinės funkcijos vardiklyje arba pošaknyje( ir skaitiklyje ir vardiklyje) 1. 2. 3. kiti būdai: 1, cost > 0, 2. 3. 4. > sinatsin(2arcsinx/a) 2sintcostx/a(1-sin2t)2x/a(1-x2/a2 ) 2x/a2 (a2 –x2); I4 {xasint; dxacostdt; tarcsinx/a } (a2 –a2 sin2 t)*acostdta2 cos2 tdt a2 cos2 dta2 (1+cost)/2dta2 /2[1dt + +1/2cos2td2t]a2 /2[t+1/2sin2t]+C   a2 /2arcsin x/a+x/2 (a2 – x2 ) + C 5. (x2 –a2 )dx{u(x2 –a2 ); du(x-a)/ (x2 –a2 )dx; dvdx; vx } x(x2 –a2 )-(x*xdx)/ (x2 –a2 ) x(x2 –a2 )-(x2 –a2 +a2 )/ (x2 –a2 )dx  x(x2 –a2 )-(x2 –a2 )/ (x2 –a2 )dx  x(x2 –a2 )-I5 –a2 dx/(x2 –a2 ); (x2 –a2 )x-t; t  (x2 –a2 ) +t; dt-tdx/ (x2 –a2 ); 6. I6 dx/(x2 –a2 )dt/t-ln|t|+C -ln| x-(x2 –a2 )|+Cln|1/( x-(x2 –a2 ))+ +Cln|( x+(x2 –a2 ))/x2 - (x2-(x2 –a2 )2)| +Cln|x+ (x2 –a2 )|-lna2 +C  ln|x+ (x2 –a2 )| +C I7 (x2 –a2 )dxx/2(x2 –a2 )- a2/2 ln(x2 –a2) + C I8  dx/(x2+a2 )ln|x+(x2 –a2 )|+C 18.Racionalųjų trupmenų skaidymas ir integravimas. 18.1 Rcionaliųjų trupmenų skaidymas Kekvieną racionaliają trupmeną galime išskaidyti paprasčiausių trupmenų suma. Sakykime , kad P(x)/Q(x) yra taisyklingoji racionalioji trupmena ,kurios skaitiklyje ir vardiklyje esantys dugianariai P(x) ir Q(x) neturi bendrų šaknų. Trupmenos vardiklio daugianario Q(x) šaknys gali būti realios ir skirtingos , kai kurios realios ir kartotinės , jungtinės jungtinės kompleksinės skirtingos ir jungtinės kompleksinės kartotinės.Realią nekartotinę šaknį  vardiklio Q(x) skaidinyje atitinka gauginamasis x-, n-tojo kartotinumo realią šaknį  atitinka dauginamasis(x-)n,jungtinių kompleks. šaknų nekrtotinę porą – dauginamasis x2+px+q, kurio diskriminantas neigiamas, k- tojo kartotinumo jungtinių komleksinių šaknų porą – dauginamasis (x2+px+q)k. Tuomet trupmenos P(x)/Q(x) skaidymą paprasčiausiųjų trupmenų suma apibūdina tokia teorema : Teorema: Jei P(x) / Q(x) - taisyklingoji raconalioji trupmena, kurios vardiklis išskaidytas šitaip Q(x)= (x-)…(x-)n… (x2+px +q)… (x2+px +q)k, tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma: P(x) / Q(x)=A / x -  + … + Bn / (x - )n + Bn-1/(x-)n-1+…+B1/x-+…+ Cx+D/x2+px+q+…+Mkx+Nk/ (x2+rx+s)k + + Mk-1x+Nk-1/ (x2+rx+s)k-1+…+M1+N1/ x2+rx+s; čia A,B1,…,Bn,C,D,M1­,…,Mk,Nk - realieji neapibrėžti koeficientai(jie gali būti ligūs ir nuliui). Norėdami apskaičiuoti šiuos koeficientus, sudedame trupmenas esančias dešinėje lygybės pusėje ir sulyginame skaitikliuose esančius daugianarius . Kadangi du daugianariai tapačiai lygūs tik tada, kai lygūs jų koeficientai, esantys prie vienodų xlaipsnių , tai galime sulyginti šiuos koeficientus .Gausime tiesinių lygčių sistemą, kurią išsprendę gausime koeficientus . Šis metodas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodu .Kartais koeficientus galima apskaičiuoti paprasčiau .Kadangi, sulyginę skaitiklius , dešinėje ir kairėje lygybės pusje gauname tapačiai lygius daugianarius, tai ir jų reikšmės su bet kuriomis x reikšmėmis turi būti lygios . Įrašę tam tikras reikšmes, gauname lygtis, iš kurių galime rasti minetus koefcientus .Geriausia parinkti x reikšmes lygias realiosioms vardiklio šaknims. 18.2 Racionaliųjų trupmenų integravimas Nagrinėkime integraląP(x)dx/Q(x).Jeigu racionalioji trupmena P(x)/Q(x) netaisyklinga,tai pirmiausia ją išreiškiame tam tikro daudianario S(x)ir taisyklingos racionaliosios trupmenos R(x)/Q(x) suma: P(x)/Q(x) = S(x)+R(x)/Q(x). Suintegravę šią lygybę gauname: P(x)dx/Q(x) = S(x)+R(x)dx/Q(x). Kadangi S(x) – daugianaris ,tai jį nesunku suintegruoti.Lieka tik surasti integralą R(x)dx/Q(x). Išreiškę trupmeną R(x)/Q(x) paprasčiausių trupmenų suma, racionaliosios trupmenos interavimą pakeisime paprasčiausių trupmenų integravimu. 19.Iracionaliųjų funkcijų integravimas. Šiame klausime apžvelgsiu du tipus iracionaliųjų funkcijų ,kurių integralai pakeičiami racionaliųjų funkcijų integralais, kitais žodžiais, jų pointegraliniai reiškiniai racionalinami. 1)Nagrinėkime integralą R(x,xm/n,…,xr/s) dx.Simboliu R žymime kintamųjų x,xm/n,…,xr/s atžvilgiu racionaliąją funkciją.Integralo R(x,xm/n,…,xr/s)dx pointegralinis reiškinys racionalinamas naudojant keitinį Iš čia x=tk,dx=ktk-1dt, k lygus trupmenų m/n,…,r/s bendrajam vardikliui.Iš tikrųjų R(x,xm/n,…,xr/s)dx=R(tk,tmk/n,…,trk/s)ktk-1 dx=R(tk,tn1,…,ts1)ktk-1dt = R1(t)dt. Kadangi n1=mk/n,…,s1=rk/s yra sveikieji skaičiai,tai pointegralinė funkcija yra racionalioji. 2) Nagrinėkime integralą : R(x,(ax+b/cx+d)m/n,…, (ax+b/cx+d)r/s)dx Čia a,b,c,d – realieji skaičiai, ad-bc0. Šio integralo pointegralinis reiškinys racionalinamas naudojant keitinį ax+b/cx+d=tk; x=dtk-b/a-ctk, dx=(ad-bc/(a-ctk)2) ktk-1dt,čia k-trupmenų m/n,..,r/s bendrasis vardiklis.Tuomet (ax+b/cx+d)m/n =tkm/n = tn1,…, (ax+b/cx+d)r/s =tkr/s=ts1;čia n1,…,s1- sveikieji skaičiai.Įrašę juos į pradinį integralą gautume integrala R1(dtk-b/a-ctk,tn1,..,ts1)(ad-bc/a-ctk)2ktk-1dt =R2(t)dt,čia R2(t) – racionalioji funkcija. 20Trigonometrinių funkcijų integravimasNagrinėsime integralus R(sin x,cos x)dx; čia R-kintamųjų sin x ir cos x racionalioji –ja .Ši f-ja visada racionalinama parinkus keitinį tg x/2 = t ,kuris vadinamas unversaliuoju.Iš sąlygos tgx/2=t turime :x=2arctg t ;dx = 2dt/1+t2,sin x =2t/1+t2, cos x = 1-t2/1+t2.Todėl R(sin x , cos x)dx = R(2t/1+t2,1-t2/1+t2)2dt/1+t2=R1(t)dt Nors universalus keitinys tg x/2 =t visada racionalina funkcijąR(sin x , cos x),tačiau kartais ją galima raionalinti paprastesniais keitiniais:1) Sakykime pointegralinė funkcija R(sin x , cos x) yra nelyginė funkcijos sin x ažvilgiu (pakeitus funkcijos ženklą pointegralinė funkcija irgi pakeičia ženklą),t.yR(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) Tokia pavyzdžiui yra R(sin x, cos x )= sin5x/2cos x+4,nes R(-sin x, cos x)= (-sin x)5/2cos x+4 = -sin5 x/2cos x+4 =-R(sin x, cos x).Tada tinka keitinys cos x =t , x= arccos t , dx =-dt/1-t2,sin x =1-t2 . 2)Tarkim pointegralinė funkcija R(sin x , cos x) nelyginė cos x atžvilgiu , t.y. R(sin x, -cos x) = - R(sin x, cos x). Šiu aveju tinka keitinys sinx =t;x= arcsin t dx=dt/1-t2, cos x =1-t2. 3)Sakykime, pointegralinė funkcija R(sinx,cos x) yra lyginė ir sin x ir cos x atžvilgiu,t.y.R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cos x). Tuomet tinka keitinys tg x = t ; t = arctg x dx=dt/1+t2 , sin x =t/1+t2; cos t=1/1+t2 Kai kurie integralai R(sin x, cos x)dx yra sunkiai suintegruojami naudojant šias formules .Kartais juos galima suintegruoti naudojant trigonometrines formules : Cos2x = 1+cos 2x /2 ; sin2x = 1-cos 2x /2 cosmx cosnx=1/2(cos(m+n)x+cos(m-n)x) sin mx cos nx=1/2(sin(m+n)x+sin(m-n)x) sin mx sin nx=1/2(cos(m-n)x-cos(m+n)x) 21. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis. Tolydžios funkcijos integralą ne visada galima išreikšti ele-mentariąja funkcija. Kai kurių elementa-riųjų funkcijų integralai gali būti neele-mentarios funkcijos. Tokius integralus va-diname “nesuintegruojamais”, turėdami galvoje, kad jų negalima išreikšti eleme-tariosiomis funkcijomis. Integralas neišreiškiamas elementariosiomis funk-cijomis, kai nei p, nei (m+1)/n, nei (m+1)/n+p nėra sveikieji skaičiai. Tokie pat integralai = si x (integralinis sinusas), nei integralinis kosinusas,nei integralinis logaritmas ir t.t., kurių irgi engalima išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi. Vadinasi, tokie integralai mineta prasme yra nesuintegruojami. Yra integralų, kurie neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis, tačiau daug kur naudojami. Pvz, toks integralas plačiai naudojamas tikimybių teorijoje. Integralas naudojamas šviesos difrakcijos klausimams spręsti. Prie neapibrėžtinių integralų, kurių nepavyksta išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi, priskiriami elipsiniai integralai. Su jais tenka susidurti apskaičiuojant elipsės lygtį. Elipsiniai integralai buna triju tipu: čia 0

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!