Paprastosios diferencialinės lygtys - paskaitų teorija ir formulės

1.Praktikos uždaviniai, kurių sprendimas susijęs su diferencialinės lygties sprendimu.
III. pvz.: Radžio (arba kitos radioaktyvios medžiagos) skilimo greitis yra proporcingas tos medžiagos kiekiui.
IV. pvz.: Materialus taškas (masės m) juda x-ašimi. Išorinė jėga f(t), x – atstumas nuo koordinačių pradžios.
Spyruoklės pasipriešinimas – bx
(Huko dėsnis)
Inercijos jėga
gauname
2. Diferencialinės lygties apibrėžimas ir pagrindinės sąvokos.
Paprastoji n-tosios eilės diferencialinė lygtis turi tokį pavidalą:
n-tosios eilės lygties sprendiniu (atskiruoju) vadinama funkcija y(x), kuri tam tikrame intervale (a,b) turi išvestines iki n eilės imtinai ir tenkina (1) lygtį. Tai reiškia, kad tenkinama tapatybė pagal x:
Ieškosime realaus (1) l. sprendinio, nors kai kada teks naudoti ir kompleksinius sprendinius.
n-tosios eilės diferencialinės lygties sprendinio grafiką vadinsime integraline kreive.
Diferencialinės lygties integravimas.
Toliau nagrinėsime I eilės diferencialines lygtis.
Lygtis vadinsime ekvivalenčiomis srityje , jeigu yra ekvivalenčios atitinkamos algebrinės lygtys.
Koši (Cauchy) uždavinys: Rasti diferencialinės lygties (2) sprendinį, tenkinantį sąlygą (t.y., atitinkama integralinė kreivė eina per tašką ).
Lygtys, išreikštos išvestinės atžvilgiu užrašomos
Yra teisinga teorema, kuri tvirtina, kad Koši uždavinys turi vienintelį sprendinį bet kuriam plokštumos srities G taškui, , jeigu toje srityje yra tolydžios funkcija ir jos dalinė išvestinė .
Pavyzdys.
Tegul duota lygtis , kur - tolydžios.
(2) lygties bendruoju integralu vadinsime kreivių šeimą, priklausančią nuo parametro c, aprašomą lygybe
kur - tolydžiai diferencijuojama tam tikroje taškų srityje ir pasižymi tokia savybe: jeigu pradiferencijuoti (4) pagal x, laikant, kad
ir eliminuoti c iš lygčių (4), (5), tai gausime diferencialinę lygtį, ekvivalenčią (2).
Pavyzdys. kur c – bet koks parametras
Ar bendrasis lygties integralas apima visus lygties sprendinius?
Teorema – jeigu b. integralas turi pavidalą
ir - tolydžiai diferencijuojama savo argumentų funkcija, tai bet kuris dif. lygties sprendinys įeina į bendrąjį integralą.
1.pvz.
2.pvz.
b. integr.
funkcija nėra diferencijuojama ašyje , todėl teoremos sąlygos nėra patenkintos
. Krypčių laukas
Pvz. apibrėžta visur, išskyrus ašį y.
Izoklinos geometrinės vietos taškų, kuriuose integralinės kreivės liestinė išlaiko pastovią kryptį.
Pvz.
Izoklinų lygtis
izoklinos – apskritimai
2. Paskaita. Kai kurių pirmosios eilės diferencialinių lygčių sprendimas
1. diferencialinių lygčių su atsiskiriančiais kintamaisiais sprendimas
2. Homogeninių diferencialinių...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!