Geometrinė progresija

• Mokėti ir taikyti sudėtinių procentų formulę uždaviniams spręsti
Geometrinė progresija
Apibrėžimas. Geometrine progresija vadiname skaičių seka, kurios pirmasis narys nelygus nuliui, o kiekvienas narys, pradedant antruoju, yra lygus prieš jį esančiam nariui, padaugintam iš to paties, nelygaus nuliui, skaičiaus.
Šis pastovus skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu ir žymimas raide q.
Vadinasi, jei b1,b2,b3,…,bn,… yra geometrines progresijos nariai, tai, pagal apibrėžimą,
q=b2:b1=b3:b2=…=bn:bn-1=…
Geometrinę progresiją žymime taip:
b1, b2, b3, …, bn, …
Kaip ir aritmetinė progresija, geometrinė progresija gali būti ir begalinė, ir baigtinė.
Narint apibudinti geometrinę progresiją, pakanka žinoti jos pirmąjį narį b1 ir vardiklį q. pavyzdžiui, kai b1=4, q=2, tai turime progresiją
4, 8, 16, 32, 64, …
Geometrines progresijos n-tasis narys išreikiamas formule
bn=b1qn-1, (1)
o jos n pirmųjų narių suma – formule:
(2)
. (3)
Geometrinė progresija yra didėjanti, kai q > 1, ir mažėjanti, kai 0 < q < 1.
Jei bk-1, bk, bk+1 – trys vienas po kito einantys geometrinės progresijos teigiamieji nariai, tai, remdamiesi apibrėžimu, gauname:
. (4)
Vadinasi, bet kuris baigtinės geometrinės progresijos, kurios nariai yra teigiamieji skaičiai, narys lygus šalia jo esančių narių geometriniam vidurkiui.
Teisingas ir atvirkščias teiginys: jei teigiamieji skaičiai bn-1, bn, bn+1 tenkina sąlygą, tai jie sudaro geometrinę progresiją.
Savybė. Apjungę abu šiuos teiginius, galime suformuluoti charakteringąją geometrinės progresijos savybę: seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus geometriniam vidurkiui.
Baigtinė geometrinė progresija turi dar ir tokią savybę: vienodai nutolusių nuo jos pradžios ir galo narių sandaugos yra lygios.
,
.
Pavyzdžiai
1 pavyzdys. Raskime geometrinę progresiją, jei jos ketvirtasis narys lygus 16, o penktojo ir šeštojo narių suma lygi 320.
Sprendimas. Pagal sąlygą
Pritaikę (1) formulę, gauname sistemą
Antrąją lygtį padaliję panariui iš pirmosios , turime
;
Iš čia . Tuomet iš lygties randame arba . Taigi gauname dvi progresijas:
2 pavyzdys. Raskime 7-tajį geometrinės progresijos narį, jeigu
Sprendimas. Pritaikę (2) formulę, turime
Iš čia 31q = 62, todėl q = 2.
Vadinasi ,
3...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!