Nelygybės ir jų taikymas

Tikslai 1. susisteminti žinias apie nelygybes. 2. Pakartoti nelygybių rūšis ir jų sprendimo būdus. 3. Gilinti žinias ruošiantis valstybiniam matematikos egzaminui. 4. Įgyti patirties rašant projektinius darbus. 5. Išmokti rinkti, sisteminti ir analizuoti medžiagą. 6. Gilinti darbo su kompiuterinėmis programomis įgūdžius Iš nelygybių istorijos Pirmą kartą nelygybių ženklai ( >, ) arba kairėje ( = ( ne mažiau) arba arba = ir 0 ir ebe. Kartais praverčia šios teoremos, apibendrinančios 2 ir 3 teoremas. 4. Jei abi nelygybės puses padauginsime arba padalysime iš to paties reiškinio, kuris su visomis kintamojo reikšmėmis įgyja teigiamąsias reikšmes, tai gausime nelygybę, ekvivalenčią duotajai. 5. Jei abi nelygybes puses padauginsime arba padalysime iš to paties reiškinio, su visomis kintamojo reikšmėmis įgyjančio neigiamąsias reikšmes, ir nelygybės ženklą pakeisime priešingu, tai gausime nelygybę, ekvivalenčią duotajai. Jeigu prie abiejų nelygybės pusių pridėtume po tą patį reiškinį, turintį prasmę visoje nelygybės apibrėžimo srityje, tai taip pat gautume ekvivalenčią nelygybę. Tačiau jeigu reiškinys su kuriomis nors nežinomojo reikšmėmis iš nelygybės apibrėžimo srities yra neapibrėžtas, tai naujoji nelygybė gali būti neekvivalenti pradinei. Tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju Tiesine nelygybe vadiname nelygybę (atitinkamai ). Kai , tai nelygybė ekvivalenti nelygybei , todėl jos sprendinių aibė yra intervalas . Kai , tai nelygybė ekvivalenti nelygybei , todėl jos sprendinių aibė yra intervalas. Kai, tai nelygybė virsta tokia: . Ji neturi sprendinių, kai , ir teisinga su visais x, kai . Daugelis nelygybių, jas pertvarkius, pakeičiamos tiesinėmis. Pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Atskliaudžiame : Toliau, (1) Remiantis aukščiau minėta teorema nr.1, ši nelygybė ekvivalenti duotajai. Dabar padalykime abi (1) nelygybės puses iš neigiamo skaičiaus -9 ir pakeiskime nelygybės ženklą. Gauname (1) nelygybei ekvivalenčią:. Todėl duotosios nelygybės sprendinių aibė yra intervalas . Atsakymas: Racionaliosios nelygybės Išnagrinėsime keletą tokių nelygybių pavyzdžių. 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybę Sprendimas: Trupmena teigiama, kai jos skaitiklis ir vardiklis turi tą patį ženklą, t.y. kai jie abu teigiami arba abu neigiami. Taigi gauname dvi nelygybių sistemas: arba Iš pirmosios randame t.y. Iš antrosios t.y. Vadinasi, radome tokius duotosios nelygybės sprendinius: Atsakymas: Šią nelygybę galime išspręsti ir kitokiu būdu (intervalo metodu): Atsakymas: 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybę Sprendimas. Nuosekliai pertvarkome: Padauginame abi nelygybės puses iš -1 ir pakeičiame nelygybės ženklą: Trupmena mažesnė už nulį arba lygi nuliui dviem atvejais: 1) kai skaitiklis mažesnis už nulį arba lygus nuliui, o vardiklis didesnis už nulį; 2) kai skaitiklis didesnis už nulį arba lygus nuliui, o vardiklis mažesnis už nulį. Taigi gauname dvi nelygybių sistemas: Iš pirmosios randame t.y. Iš antrosios t.y. sistema neturi sprendinių. Atsakymas: Šią nelygybę taip pat galime išspręsti intervalų metodu. Racionaliųjų nelygybių sprendimas intervalų metodu Racionaliosios nelygybės (vietoj ženklo > gali ir bet kuris kitas nelygybės ženklas), kurių x ir daugianariai, sprendžiamos remiantis tokiu saprotavimu. Nagrinėkime funkciją . Kai , tai kiekvienas iš dauginamųjų teigiamas, todėl ontervale turime . Kai , tai , o visi kiti dauginamieji, kaip ir anksčiau, teigiami. Vadinasi, intervale turime . Analogiškai intervale bus ir t.t. Funkcijos ženklų kitimą patogu iliustruoti kreive (ją vadiname „ženklų kreive“), kuri brėžiama iš dešinės į kairę, pradedant nuo viršaus. 87 pav. Šią iliustraciją suprasti reikia taip: tuose intervaluose, kuriuose ta kreivė eina virš koordinačių tiesės, teisinga nelygybė ; tuose intervaluose, kuriuose kreivė eina po tiese, turime . Šitame samprotavime visai nesvarbu, kiek tiesinių dauginamųjų yra skaitiklyje ir vardiklyje ir kaip koordinačių tiesėje tarpusavy išsidėsčiusios trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknys. Todėl taip samprotaujame ir kai turime funkciją O skaičiai nelygūs. Funkcijos ženklų kitima čia taip pat galima pailiustruoti ženklų kreive. Ją vėl brėžiame iš dešinės į kairę, pradėdami nuo viršaus, ir vedame per visus koordinačių tiesėje pažymėtus taškus . Tuo ir remiasi intervalų metodas, kuris labai patogus sprendžiant racionaliąsias nelygybes. 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Pertvarkykime nelygybės kairiąją pusę: ir abi nelygybės puses padauginkime iš 8; gausime nelygybę , ekvivalenčią duotajai. Funkcijos ženklų kreive 88 pav. Tos x reikšmės, su kuoriomis (subrūkšniuota), tenkina nelygybes: . Tai ir yra pradinės nelygybės sprendiniai. Atsakymas: . 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Pertvarkome nelygybę: , , , , . Brėžiame funkcijos ženklų kreivę 89 pav. Ja remdamiesi randame nelygybės sprendinius: Atsakymas: 3 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Reiškinys virsta nuliu, kai ir , o su kitomisx reikšmėmis jis teigiamas. Reikšmės ir tenkina duotąją negriežtąją nelygybę, taigi yra jos sprendiniai. Dabar sakykime, kad , , tada . Padaliję abi pradinės nelygybės puses iš ir palikę jos ženklą, gauname nelygybę , ekvivalenčią pradinei . gautos nelygybės sprendiniai yra 90pav. Į atsakymą reikia įjungti ir minėtą sprendinį . Atsakymas: Antrojo laipsnio nelygybės Kvadratines nelygybes galima spręsti grafiniu ir algebriniu metodu. Nagrinėsime nelygybes arba , kai . Jas spręsti galima taip: išskaidyti kvadratinį trinarį dauginamaisiais remiantis formule, po to nelygybės (arba ) abi puses padalyti iš skaičiaus ir palikti nelygybės ženklą tą patį, kai , pakeisti priešingu, kai , t.y. pereiti prie nelygybės (arba ). Dabar reikia tik remtis tuo, kad dviejų skaičių sandauga teigiama (neigiama), kai dauginamieji vienodų (skirtingų) ženklų. 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybę. Sprendimas. Raskime trinario sprendinius. Iš lygties gauname: ; . Vadinasi, , ir gauname nelygybę arba Reiškiniai ir turi būti vienodų ženklų. Taigi gauname dvi nelygybių sistemas: Iš pirmosios randame , o iš antrosios Atsakymas: Antrojo laipsnio nelygybių grafinis sprendimas Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos aukštyn, kai. , ir žemyn, kai. Galimi trys atvejai: 1. parabolė kerta ašį (t.y. lygtis turi dvi skirtingas šaknis), 2. parabolės viršūnė yra ašyje (t.y. lygtis turi vieną šaknį), 3. parabolė nekerta ašies (t.y. lygtis neturi šaknų). Taigi yra galimos šešios parabolės – funkcijos grafiko – padėtys ašies atžvilgiu. Jos pavaizduotos žemiau pateiktuose paveiksluose. Remaintis šiomis grafinėmis iliustracijomis, galima spręsti kvadratines nelygybes. 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Lygtis turi dvi šaknis: , . Parabolė – funkcijos grafikas – atorodo kaip pavaizduota paveiklse nr... Nelygybė teisinga su tomis x reikšmėmis, su kuoriomis parabolės taškai yra virš x ašies; taip yra, kai arba kai , t.y. kai arba kai . Atsakymas: , . 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Lygtis turi dvi šaknis: , . Parabolė funkscijos grafikas- atrodo kaip pavaizduota nr... paveiksle. Nelygybė teisinga su tomis reikšmėmis, su kuriomis parabolės taškai yra x ašyje arba po ja. Tai bus tos x reikšmės, kurios priklauso intervalui . Vadinasi, nelygybės sprendinių aibė yra intervalas . Atsakymas: 3 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Lygtis turi vieną šaknį . Parabolė – funkcija grafikas – atrodo kaip pavaizduota nr... paveiksle. Nelygybė teisinga su tomis x reikšmėmis, su kuriomis parabolės taškai yra virš ašies. Ar isspresti? 4 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Lygtis neturi šaknų. Parabolė – funkcijos grafikas – atrodo kaip pavaizduota paveiksle nr... paveiksle. Nelygybė teisinga su tomis reikšmėmis, su kuoriomis parabolės taškai yra po ašimi. Kadangi visa parabolė yra po ašimi, tai nelygybė teisinga su visomis reikšmėmis. Nelygybių su vienu kintamuoju sistemos Sakome, kad kelios nelygybės su vienu kintamuoju sudaro sistemą, kai reikia rasti nelygybių visus bendrus sprendinius. Kintamojo reikšmę, su kuria kiekviena sistemos nelygybė virsta teisinga skaitine nelygybe, vadiname nelygybių sistemos sprendiniu. 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybių sistemą Sprendimas. Pirmą sistemos nelygybę pertvarkome į ekvivalenčią nelygybę: (1) Dabar padalykime abi nelygybės (2) puses iš skaičiaus 2 ir gauname . Tą patį padarome su antrąja nelygybe: (2) Padalykime nelygybės (3) abi puses iš neigiamo skaičiaus -4 ir pakeiskime nelygybės ženklą. Gauname (3) nelygybei akvivalenčią:. Taigi reikia išspręsti sistemą Randame sistemos sprendinių aibę. Tai intervalas . Atsakymas: 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybių sistemą Sprendimas. Pertvarkykime kiekvieną sistemos nelygybę atskirai: Tokių reikšmių, kurios vienu metu tenkintų nelygybes ir , nėra, todėl nelygybių sistema neturi sprendinių. Atsakymas: nėra sprendinių. Nelygybės su dviem kintamaisiais ir jų sistemos Imkime nelygybę . Nelygybės su dviem kintamaisiais sprendiniu vadiname porą tokių kintamųjų reikšmių, su kuriomis nelygybė virsta teisinga skaitine nelygybe. Bet realiųjų skaičių pora vienareikšmiškai nusako koordinačių plokštumos tašką. Todėl nelygybės ir nelygybių su dviem kintamaisiais sistemos sprendinius galima vaizduoti geometriškai, kaip tam tikrą koordinačių plokštumos taškų aibę. 1 pavyzdys. Pavaizduokime koordinačių plokštumoje nelygybės sprendinių aibę. Sprendimas. Nelygybę parašykime taip: . Koordinačių plokštumoje nubrėžkime tiesę (92 pav.) Kiekvieno taško, esančio virš tiesė , ordinatė yra didesnė už ordinatę taško, turinčio tą pačią abscisę, bet esančio tiesėje. Todėl aibė plokštumos taškų, esančių virš tos tiesės, ir yra duotosios nelygybės sprendinių geometrinis vaizdas. Atsakymas: 2 pavyzdys. Pavaizduokime koordinačių plokštumoje nelygybės sprendinių aibę. Sprendimas. Pertvarkome nelygybę taip: . Koordinačių plokštumoje nubraižykime parabolę – funkcijos grafiką (93 pav.). Kiekvieno taško, esančio virš parabolės , ordinatė yra didesnė už ordinatę taško, turinčio tą pačią abscisę, bet esančio parabolėje. Kadangi nelygybė negriežta, tai duotos nelygybės sprendinių geometrinis vaizdas yra aibė plokštumos taškų, esančių parabolėje ir virš jos. 3 pavyzdys. Pavaizduokime koordinačių plokštumoje nelygybių sistemos sprendinių aibę. Sprendimas.nelygybių sistemos sprendinių geometrini vaizdas yra pirmojo koordinatinio kampo taškų aibė. Nelygybės , arba sprendinių geometrini vaizdas yra aibė taškų, esančių po tiese – funkcijos grafiku Pagaliau nelygybės , arba (kadangi ) nelygybės sprendinių geometrinis vaizdas yra aibė taškų, esančių virš hiperbolės šakos – funkcijos grafiko Nelygybė su moduliais Spręsdami nelygybes, kuriose kintamųjų yra po modulio ženklu, remiamės modulio apibrėžimu: Kartais pravartu remtis realiojo skaičiaus modulio geometrine interpretacija: reiškia koordinačių tiesės taško a atstumą iki atskaitos pradžios 0, o reiškia atstumą tarp koordinačių tiesės taškų a ir b. Žr. 30psl Be to, galima nelygybės abi puses kvadratu remiantis tokia teorema. Jeigu reiškiniai ir su visomis reikšmėmis įgyja tik neneigiamąsias reikšmes, tai nelygybė ir yra ekvivalencios. 1 pavyzdys. Išpręskime nelygybę . Sprendimas. Pirmas būdas. galima laikyti atstumu tarp koordinačių tiesės taškų x ir 1. Vadinasi, koordinačių tiesėje reikia nurodyti visus taškus x, kurie nutolę nuo taško 1 mažiau kaip per 2 vienetus. Pasinaudoję koordinačių tiese nustatome, kad nelygybės sprendinių aibė yra intervalas . Atsakymas: Antrasis būdas. Pekėlę abi duotosios nelygybės puses kvadratu gauname ekvivalenčią nelygybę . Spręsdami pastarąją nelygybę, gauname ; iš čia . Sprendimas Trečias būdas. Remiantis skaičiaus modulio apibrėžimu, Todėl nelygybę galima pakeisti dviem nelygybių sistemomis: Sprendimas Iš pirmos sistemos randame , iš antros . Sujungę šiuos sprendinius, gauname intervalą . Atsakymas: 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Turime . Mums reikia nurodytis visus tokius koordinačių tiesės taškus , kurie nuo taško -2,5 nutolę atstumu, didesniu už 3,5 ar lygiu jam. Pasinaudoję koordinačių tiese 125psl 85pav., randame sprendinius: Atsakymas: 3 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Pakėlę abi nelygybės puses kvadratu, gauname nelygybę ekvivalenčią duotajai. Pertvarkę paskutinę nelygybę, gauname iš čia randame: ; . Atsakymas: ; . 4 pavyzdys. Išspęskime nelygybę . Sprendimas. Kai , tai , todėl nelygybė virsta nelygybe . Kai , tai , ir nelygybė virsta tokia: . Taigi pradinę nelygybę galima pakeisti dviem nelygybių sistemomis: sprendimas Iš pirmos sistemos randame , antra sistema neturi sprendinių. Vadinasi, nelygybės sprendinių aibė – spindulys . Atsakymas: . Rodiklinės nelygybės Sprendžiant tipo nelygybes reikia atsiminti, kad rodiklinė funkcija didėja, kai , ir mažėja, kai . Todėl kai , iš nelygybės gauname tos pačios prasmės nelygybę . Kai , iš nelygybės gauname priešingos prasmės nelygybę . 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Kadangi laipsnio pagrindas didesnis už 1, rašome tos pačios prasmės nelygybę: . Ją išsprendžiame: , . 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Kadangi , tai nelygybę galima užrašyti taip: . Kadangi , tai rašome priešingos prasmės nelygybę . Turime: , , , , ; , . Išspręsti (intervalas) Išsprendę paskutinę nelygybę, randame . Taigi pradinės nelygybės sprendinių aibė yra intervalas . Atsakymas: . Logaritminės nelygybės Sprendžiant tipo nelygybes reikia atsiminti, kad logaritminė funkcija didėja, kai , ir mažėja, kai . Todėl kai , iš pradinės nelygybės gauname tos pačios prasmės nelygybę . Kai , tai iš pradinės nelygybės gauname priešingos prasmės nelygybę . Be to, reikia atsiminti, kad logaritminė funkcija apibrėžta tik teigiamųjų skaičių aibėje. Vadinasi, turi būti teisingos nelygybės ir . Vadinasi, iš nelygybės gauname nelygybių sistemą arba Beje, pirmą sistemą galima suprastinti taip: nelygybė išplaukia iš nelygybių , , todėl nelygybę galima praleisti, t.y. sistemą parašyti taip: Analogiškai antrą sistemą galima parašyti taip: 1 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Kadangi , tai nelygybę galima parašyti taip: . Toliau, iš čia . 2 pavyzdys. Išspręskime nelygybę . Sprendimas. Kai visi logaritmai turėtų prasmę, turi būti teisingos nelygybės ir . Taikydami logaritmų savybes, nelygybę pertvarkome: , Kadangi , tai nelygybę galima parašyti šitaip: Vadinasi, pradinė nelygybė ekvivalenti nelygybių sistemai Turime (sprendimas) Naudodamiesi koordinačių tiese (91pav.), nustatome, kad paskutinės sistemos, taigi ir pradinės nelygybės sprendinių aibė yra intervalas . Atsakymas: Uždavinių sprendimas naudojant nelygybes 1pvz.: Rasime reiškinio apibrėžimo sritį. Sprendimas. Randame visas argumento reikšmes, su kuriomis abu pošaknyje esantys reiškiniai įgyja neneigiamas reikšmes. Reiškinio apibrėžimo sritia – nelygybių sistemos sprendiniai. Išspręsime kikevieną sistemos nelygybę. Randame abiejų sistemos nelygybių bendruosius sprendinius: Atsakymas: 2pavyzdys. Išspręsime funkciją . Sprendimas. Randama sprendinius : Toliau sprendžiame intervalų metodu: Kadangi daugiau už 0, tai sprendiniai priklauso intervalams : Atsakymas: Išvados Rašydamos šį kursinį darbą rinkome teoriją ir uždavinius apie nelygybes iš vadovėlių ir kitos literatūros. Surinkę medžiagą, ją sisteminome pagal uždavinių sprendimo tipus ir nelygybių rūšis. Taigi atlikdamos šį darbą, mes pakartojome viską apie nelygybes. Ši patirtis mums padės ruoštis valstybiniam matematikos egzaminui. Rašydamos projektą pagilinom darbo su kompiuteriu įgūdžius. Dirbom su MS Word, MS PowerPoint programomis. Šiuo darbu galėtų naudotis ir mokytojai, ir moksleiviai, mokydamiesi nelygybes arba jas kartodami.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!