Vektorių daugyba

§ 9. Vektorių skaliarinė daugyba Sakykime, kad turime du vektorius a ir b. Atidėkime juos nuo vieno taško O: ,  (pav. 1) Pav. 1 Orientuotas kampas AOB vadinamas kampu tarp vektorių a ir b. Sąvoka: orientuotas kampas reiškia, kad kampas turi kryptį. Susitarta kampo kryptį prieš laikrodžio rodyklę laikyti teigiama, o pagal laikrodžio rodyklę – neigiama. Kampai AOB ir BOA yra skirtingi: . Kampas tarp vektorių  apibrėžiamas intervale , žymima . Kadangi kampas orientuotas, tai . Jei turime bet kokią tiesę a ir kokį nors tai tiesei kolinearų vektorių e, tai sakoma, kad turime ašį (pav. 2) Pav.2 Vektoriaus e kryptis nurodo ašies kryptį. Tegul turime ašies vektorių e ir bet kokį vektorių a, tokį, kad . Tuomet iš vektoriaus a galo nuleisime statmenį į tiesę a, kertantį ją taške B. Tuomet orientuota atkarpa nustato vektorių, vadinamą vektoriaus a projekcija į vektorių e ir žymimą , be to , nes , ; , – smailus, tuomet , tai yra OB = pre a (pav. 3) Pav. 3 PASTABA: Jei , o jei . Analogiškai randame vektorių b ir c projekcijas ašyje: jei , tai pre b = 0. Kadangi – bukas, tai vektoriui c: , , , tuomet ir , tai yra OD = – pre c. Vadinasi vektoriaus projekcija ašyje – tai įprasta jį generuojančios orientuotos atkarpos ortogonalioji projekcija į tiesę su ženklu: jei kampas tarp vektoriaus ir ašies krypties smailus – ženklas + , o jei bukas – ženklas – . Vektoriaus projekcija nepriklauso nuo taško, iš kurio atidedamas projektuojamas vektorius. Iš tikrųjų (pav. 4) Pav. 4 Tegul vektorius a atidėtas iš taško O, tai yra ir ( e , a ) = BOA = φ. Tuomet iš taško A brėžiame statinį tiesei a: ABa ir tuomet pre a = OB. Tegul vektorius a yra atidėtas iš taško P, tai yra . Iš vektoriaus galo, taško Q brėžiame statinį tiesei a: QSa. Analogiškai, iš vektoriaus pradžios taško P: PRa. Tegul PT || a ir TPQ = φ. Kadangi PQ || OA , be to PT = PQ cosφ = | a | cosφ ir RS = | a | cosφ, tai RS = OB = pre a. Be to pre (a + b) = pre a + pre b. Tai yra: vektorių sumos projekcija lygi dėmenų projekcijų sumai. Tikrai, atidėkime nuo taško O: , , (pav. 5). Pav.5 Vektoriai su vektoriumi e gali sudaryti įvairius kampus. Panagrinėkime keletą atvejų: 1) Tuomet, jei a, b, a + b su vektoriumi e sudaro smailius kampus, tai nuleidę statmenis , , pagal vektoriaus projekcijos į ašį apibrėžimą, gauname: pre a = OA’, pre b = A’B’, pre (a + b) = OB’. Kadangi OB’ = OA’ + A’B’ tai: pre (a + b) = pre a + pre b. 2) Analogiškai, jei ( e , a ) – smailus, ( e , b ) ir ( e , a + b ) – buki, tai (pav. 6). Pav. 6 pre a = OA’, pre b = – A’B’, pre (a + b) = – OB’. Kadangi OB’ = A’B’ – OA’, tai pastarąją lygybę padauginę iš – 1, gauname: – OB’ = – A’B’ + OA’, tuomet pre (a + b) = pre b + pre a Visi kiti atvejai įrodomi analogiškai. APIBRĖŽIMAS. Tegul turime du vektorius a ir b, kurie sudaro kampą φ. Tuomet skaičius a·b = | a | · | b | cos φ yra vadinamas vektorių a ir b skaliarine sandauga. Iš apibrėžimo išplaukia, kad jei bent vienas iš dauginamųjų vektorių yra nulinis, tai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui. Be to, jei a b, t. y. φ = 90º, tai cos φ = cos 90º = 0, ir vektorių a ir b skaliarinė sandauga yra lygi nuliui. Ir atvirkščiai, iš to, kad nenulinių vektorių sandauga yra lygi nuliui seka, kad cos φ = 0, o tai reiškia, kad φ = 90º ir tuomet ab, t. y. ab ab = 0, a ≠ 0, b ≠ 0. Skaliarinė sandauga pasižymi tokiomis savybėmis: 1) ab = ba, t. y. skaliarinė vektorių sandauga yra komutatyvi. Tikrai, jei ( a , b ) = φ, tai ( b , a ) = – φ, tuomet b a = | b | · | a | cos ( – φ) = | b | · | a | cosφ = ab. 2) λ ab = λ ( ab ), t. y. skaliarinė sandauga yra asociatyvi daugybos iš skaliaro atžvilgiu. Iš tikrųjų, jei λ = 0, tai abiejuose lygybės pusėse gauname nulius, o jei λ ≠ 0, tai (pav. 7) Pav. 7 a) Tegul | λa | = | λ | | a | be to λ > 0, tuomet λab = | λa | | b | cos( λa, b ) = = | λ | | a | | b | cosφ = λ ( | a | | b | cosφ) = λ (ab). b) Jei λ 0, nes jie abu teigiami, o pagal matricų sandaugą det (C-1D) = det C-1 · det D > 0. Analogiškai įrodome, kai B1 ir B2 yra antram poaibyje. Kai turime dvi bazes skirtinguose poaibiuose, t.y. B1 – pirmame (teigiamame), o B2 – antrame (neigiamame) poaibyje, tai perėjimų matricos yra: B0 → B1, matrica C, det C > 0, B0 → B2, matrica D, det D 0, B1 → B2, matrica C-1D, det (C-1D) = det C-1 · det D 0, o B0 → B1 ir perėjimo matrica D. Tuomet, pereinant iš B'0 → B1 ir perėjimo matrica yra CD, kurios determinanto ženklas priklauso nuo matricos D determinanto ženklo, t.y. jeigu B0 ir B1 tame pačiame poaibyje, tai ir B'0 ir B1 bus tame pačiame poaibyje, o jei B0 ir B1 skirtinguose, tai ir B'0 ir B1 bus skirtinguose poaibiuose, (pav. 2) Pav. 2 Tarkime, kad bazė B'0 yra pirmame poaibyje, tai perėjimo iš B'0 į B0 matrica C > 0. Ir vėl imkime bet kokią bazę B1 ir tokį patį perėjimą (pav. 2), tuomet gausime, kad B0 → B1 perėjimo matrica D, ir B'0 → B1 matrica CD, kurios determinanto ženklas priklauso nuo matricos D determinanto ženklo. Jeigu det D > 0, t.y. B0 ir B1 – pirmame poaibyje, tuomet det CD 0, o tai reiškia, kad B'0 → B1 yra tame pačiame poaibyje, kai prieš tai buvo skirtinguose. Taigi įrodėme, kad ir pradedant nuo kitos bazės B'0 gaunami tie patys du poaibiai. Sakome, kad vektorinė erdvė yra orientuojama, jeigu jos bazių aibę galime suskirstyti į du poaibius taip, kad bet kurioms bazėms iš pirmo poaibio jų perėjimo matricos determinantas būtų teigiamas, o bet kurioms bazėms iš skirtingų poaibių – neigiamas. Tada sakome, kad bazės iš vieno poaibio yra vienodai orientuotos, o bazės iš skirtingų poaibių yra priešingai orientuotos. Iš jau įrodyto seka, kad erdvės (plokštumos) linealas yra orientuojama vektorinė erdvė (plokštuma). Paprastai orientuojamose vektorinėse erdvėse vieno iš tų poaibių bazės turi teigiamą orientaciją arba yra teigiamai orientuotos, tada kito poaibio bazės turi neigiamą orientaciją arba yra neigiamai orientuotos. Aišku, susitarimas, kurio poaibio bazės bus teigiamai orientuotos, o kurio – neigiamai, yra pasirinkimo reikalas. Paprastai teigiamai orientuotomis vadinamos tokios erdvės bazės (e1, e2, e3), kad atidėjus vektorius nuo vieno taško ir žiūrint iš e3 galo posūkis nuo e2 į e1 būtų pagal laikrodžio rodyklę, (pav. 3) Pav. 3 Tada bazė (e1, e2, -e3) bus orientuota priešingai, t.y. neigiamai, nes perėjimo matrica turi neigiamą determinantą. Analogiškai galima orientaciją apibrėžti ir plokštumoje, (pav. 4) Pav. 4 Teigiamai orientuota bazė bus tada, kai posūkis nuo e2 į e1 bus pagal laikrodžio rodyklę, tuomet (e1, -e2) bus neigiamai orientuota bazė. Kuri kryptis – pagal laikrodžio rodyklę ar prieš bus teigiama yra susitarimo reikalas. § 12. Plokštumos Dekartinių koordinačių keitimas Panagrinėkime plokštumos stačiakampes Dekarto koordinačių sistemas O X Y ir O` X` Y`. Sakykime, kad taškas A jose turi atitinkamai ( x, y ) ir ( x`, y` ) koordinates, rasime ryšį tarp jų. Išnagrinėsime tris atvejus. Tarkime, kad sistema O` X` Y` gauta nekeičiant bazinių vektorių, o tik pakeitus koordinačių sistemos pradžią (1 pav.). Tegul taškas O` sistemoje O X Y turi koordinates ( x0, y0 ). Tuomet O A = O O` + O` A. Bet O A = x i + y j, O O` = x0 i + y0 j, O` A = x`i + y` j. Tada ... ( 1 ) šios lygybės rodo, kaip keičiasi taško koordinačių pradžia, o baziniai vektoriai nesikeičia. Pav. 1 Dabar nagrinėkime atvejį, kai koordinačių pradžia nesikeičia, o keičiasi tik ašių kryptys ( 2 pav.). Jei koordinačių sistemos vienodai orientuotos, tai kampas tarp O X ir O` X` ašių yra α, toks pat ir tarp O Y ir O Y`. Tegu A ( x, y ) sistemoje O X Y ir A ( x`, y` ) sistemoje O X` Y`. Tuomet OA = x i + y j, OA = x` i` + y` j` arba x i + y j = x` i` + y` j`. Padauginame šią lygybę skaliariškai iš i. Gausime x = x`i i`+ y` j` i. Kadangi i i` = cos α, j i` = cos (900 + α) , tai x = x` cos α – y` sin α. Padauginę minėtą lygybę skaliariškai iš j, gauname y = x` i` j + y` j` j. Kadangi i` j = cos ( 900 - α ), j` j = cos α, tai y = x` sin α + y` cos α. Taigi formulės rodo koordinačių keitinius, kai reperiai vienodai orientuoti. Pav. 2 Kai reperiai orientuoti skirtingai ( 3 pav. )  ( OX, OX` ) = α,  ( OY, OY` ) = Tuomet i i` = cos α, j` i = cos ( 900 – α ), i` j = cos ( 900 – α ), j` j = cos ( 1800 – α ). Todėl analogiškai kaip ir anksesniu atveju gauname Pav. 3 Šias abi formules galima užrašyti viena formule: ... ( 2 ) Kai  = 1, gauname, kad abi koordinačių sistemos vienodai orientuotos, kai  = - 1 priešingai orientuotos. Bendras dekartinių plokštumos koordinačių pakeitimas gaunamas ( 4 pav. ), pirmiausia pagal formules ( 1 ) pereikime nuo reperio ( O, i, j ) prie reperio ( O`, i, j ), o po to pagal formules ( 2 ) nuo (O`, i, j ) prie reperio ( O`, i`, j` ). Jei A ( x, y ) reperyje O X Y, A ( ) reperyje O` X Y, tada pagal ( 1 ) formules ... ( 3 ) Dabar pereikime nuo reperio ( O`, i, j ) prie reperio ( O`, i`, j` ), pagal ( 2 ) formules ... ( 4 ) Įsistatę iš ( 3 ) lygybės į ( 4 ) gausime formulę, kuri rodo kaip keičiasi taško A koordinatės pereinant nuo reperio O X Y prie reperio O` X` Y` Pav. 4 § 13. Vektorių vektorinė daugyba Tegul turime du erdvės linealo vektorius a, b. Šių vektorių vektorine sandauga vadinamas vektorius c, tenkinantis tris sąlygas: 1) ca, cb; 2) Vektorių trejetas (a, b, c) sudaro bazę, vienodai orientuotą su baze (i, j, k); 3) | c | = | a | | b | sin(a, b). Vektorių vektorinė sandauga žymima: c = ab arba c = [a, b]. Taigi, tarkime, kad bazėje (i, j, k) vektoriai a, b turi koordinates: a = l1i + m1j + n1k, b = l2i + m2j + n2k. Rasime, kaip išsireiškia vektorius c su koordinatėm c = li + mj + nk per vektorių a ir b koordinates, kitaip sakant, rasime vektorinės sandaugos vektorinę išraišką. Pagal pirmą apibrėžimo sąlygą: ca => ll1 + mm1 + nn1 = 0, cb => ll2 + mm2 + nn2 = 0. Iš šių lygybių galime gauti: ll1 + mm1 = – nn1 ll2 + mm2 = – nn2 Pagal Kramerio taisyklę: , , iš kur gauname: , vadinasi: , (1) kur λ – proporcingumo koeficientas. Remdamiesi trečiąją vektorių vektorinės daugybos sąlyga: | c | = | a | | b | sin(a, b), randame, kad kadangi sin(a, b) = , tai tuomet | c | == Iš (1) lygybės gauname kad | c |: ir sulyginę gautas | c | išraiškas gauname, kad | λ | = 1. Pasinaudoję antrąją vektorių vektorinės daugybos apibrėžimo savybe, mes gauname, kad determinantas turi būti teigiamas, kadangi bazės ( a, b, c ) ir ( i, j, k ) vienodai orientuotos. Įstatę l, m, n koordinates, turime: . Skleisdami pagal trečiąją eilutę: gauname, kad λ > 0. Taigi gavome, kad λ = 1 ir vektorius c = ab =. Pastaroji lygybė yra vektorinės sandaugos koordinatinė išraiška per dauginamų vektorių koordinates, kurią galima užrašyti taip: c = ab = (2) Vektorinės daugybos savybės analogiškos trečios eilės determinanto savybėms: 1) Jei bent vienas iš dauginamųjų vektorių nulinis, tai ir jų vektorinė sandauga yra nulinis vektorius (nes pagal (2) formulę gaunamas daterminantas, kurio viena eilutė nulinė). 2) Nenulinių vektorių vektorinė sandauga lygi nuliniam vektoriui tada ir tiktai tada, kai tie vektoriai yra kolinearūs. (Pagal (2) formulę vektorinė sandauga yra nulinis vektorius tada ir tik tada, kai determinanto antra ir trečia eilutės yra proporcingos, o tai reiškia, kad vektorių a ir b koordinatės yra proporcingos, tai yra jei vektoriai yra kolinearūs.) 3) Vektorinė daugyba yra antikomutatyvi, t. y. sukeitus dauginamuosius vektorius vietomis vektorinė sandauga keičia kryptį. (Dauginamųjų vektorių sukeitimas vietomis (2) formulėje reiškia determinanto antros ir trečios eilučių sukeitimą vietomis, dėl ko pasikeičia determinanto ženklas.) 4) λ ab = λ (ab) – asociatyvumo dėsnis. Iš tikrųjų, jeigu a koordinatės a {l1, m1, n1}, tai λa koordinatės λa {λl1, λm1, λn1}. Tada: λab == λ(ab) Lygiai taip pat įrodomas asociatyvumo dėsnis ir antrojo nario atžvilgiu, t. y.: ab λ = (ab) λ 5) (a1 + a2)b = a1b + a2b – vektorinės sandaugos distributyvumo dėsnis. Iš tikrųjų jeigu , , , tai (a1 + a2)b = ir, remiantis determinanto savybėmis, šį determinantą galima užrašyti dviejų determinantų suma, t. y.: a1b + a2b. Analogiškai įrodomas distributyvumo dėsnis antrojo nario atžvilgiu, tai yra: a(b1 + b2) = ab1 + ab2. Iš įrodytų savybių išplaukia, kad jeigu vektoriškai dauginame vektorių tiesines kombinacijas, tai mes jas galime dauginti kaip daugianarius, aišku, atsižvelgiant į tai, kad keičiant dauginamuosius vietomis, reikia pakeisti sandaugos kryptį. Be to, išvesdami vektorinės daugybos koordinatinės išraiškos formulę, gavome tokią lygybę: |ab| =, įgalinančią vektorinės sandaugos modulį išreikšti per dauginamųjų vektorių skaliarines sandaugas. Šią lygybę galime užrašyti ir taip: . Ši lygybė vadinama Grammo formule, o jos dešinėje pusėje esantis determinantas vadinamas vektorių a ir b Grammo determinantu. Iš vektorinės daugybos apibrėžimo (3) sąlygos išplaukia, kad lygiagretainio ABCD, kur , , plotas lygus jo kraštinių generuojamų vektorių vektorinės sandaugos moduliui: S = | ABAD | (pav. 1) Pav. 1 Kadangi SΔABC = SABCD, tai tuomet SΔABC = | ABAD |, t. y. trikampio plotas lygus dviejų jo kraštinių generuojamų vektorių vektorinės sandaugos modulio pusei. Jeigu turime bet kokį keturkampį ABCD, kurio įstrižainės AC ir BD sudaro kampą , tai iš mokyklos matematikos kurso žinome, kad: SABCD = AC · BD · sin (pav. 2) Pav. 2 Pasinaudoję vektorių vektorinės daugybos apibrėžimo (3) sąlyga gauname: SABCD = | ACBD |, t. y. keturkampio plotas yra lygus jo įstrižainių generuojamų vektorių vektorinės sandaugos modulio pusei. Reiktų atkreipti dėmesį į šios formulės praktinį taikymą, tai yra ją taikant pirmiausia reikia nustatyti, kurios iš atkarpų yra keturkampio kraštinės, o kurios įstrižainės. Sakykime, kad turime tiesę a, tai jos krypties vektoriumi vadinamas kiekvienas vektorius a, kolinearus tiesei a. Akivaizdu, kad visi vektoriai, kolinearūs duotai tiesei a sudaro vektorių erdvę, nes, jei a || a, b || b, tai ir a + b || a. Jei a || a, tai ir λa || a, λR. Be to ta vektorinė erdvė yra vienmatė, nes tik vienas vektorius gali būti tiesiškai nepriklausomas. Ši vektorinė erdvė yra vadinama tiesės linealu. Sakykime, kad turime tiesę a, einančią per tašką A, atidėkime nuo taško A tiesės krypties vektorių a (pav. 3) Pav. 3 Imkime tai tiesei nepriklausantį tašką B. Nuleidžiame statmenį BH į tiesę a. Tuomet to statmens ilgis vadinamas atstumu nuo taško B iki tiesės a. Žymima BH = ρ (B, a) Konstruojame lygiagretainį ABCM. Žinome, kad iš vienos pusės: SABCM = | ABAM | = | ABa |, Bet iš kitos pusės: SABCM = | AM | · BH = | a | · BH. Iš šių išraiškų gauname: . Vadinasi atstumą nuo taško iki tiesės galime rasti pagal formulę: , kur a – tiesės krypties vektorius, Aa. § 14. Trijų vektorių mišrioji daugyba Tegul erdvėje turime stačiakampią Dekarto koordinačių sistemą ( O, i, j, k ), kuri turi teigiamą orientaciją ir tris erdvės vektorius a, b, c. APIBRĖŽIMAS. Trijų erdvės linealo vektorių a, b, c mišriąja sandauga vadiname skaičių, kuris lygus pirmųjų dviejų vektorių vektorinei sandaugai, skaliariškai padaugintai iš trečiojo vektoriaus. Žymime: ( a, b, c ) = ( a b ) c. Sakykime, kad erdvės ortonormuotame reperyje R ( i, j, k ) vektoriai , , . Tuomet (pagal § 13 esančią formulę) vektoriaus a b koordinatės . Šį vektorių skaliariškai padauginę iš vektoriaus c, gausime . Taigi - trijų vektorių mišriosios sandaugos koordinatinė išraiška. Iš šios formulės seka mišriosios sandaugos savybės: 1) Jei bent vienas dauginamasis nulinis, tai mišrioji sandauga lygi nuliui. 2) Jei vienas vektorius užrašytas kaip dviejų vektorių suma, tai trijų vektorių mišri sandauga išsiskaido į dviejų mišrių sandaugų sumą. ( a1 + a2, b, c ) = ( a1, b, c ) + ( a2, b, c ); ( a , b1 +b2, c ) = ( a, b1, c ) + ( a, b2, c ); ( a, b, c1 + c2 ) = ( a, b, c1 ) + ( a, b, c2 ); Šios lygybės gaunamos iš tokios algebroje žinomos tapatybės: +. 3) Teisingos lygybės ( a, b, c ) = ( a, b, c ); ( a, b, c ) = ( a, b, c ); ( a, b, c ) = ( a, b, c ); Jų teisingumas išplaukia iš tokios determinantų savybės: . 4) Bet kuriuos du dauginamuosius sukeitus vietomis, mišrioji sandauga keičia ženklą. ( a, c, b ) = - ( a, b, c ); ( b, a, c ) = - ( a, b, c ); ( c, b, a ) = - ( a, b, c ). 5) Nenulinių vektorių mišrioji sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai jie komplanarūs. Jei bent vienas vektorius nulinis, tai mišrioji sandauga lygi nuliui, o vektoriai tiesiškai priklausomi, t.y. jie komplanarūs. Jei , tai . Pagal 2, 3, 4 savybes daugindami, užrašome sandaugą ( a, b, c ) kaip daugianarių sandaugą. Pagal 5 savybę sandaugos, kuriose bus vienodų vektorių, bus nulinės, nes jei iš trijų vektorių du vienodi, tai tie trys vektoriai komplanarūs. Vadinasi, reikia nagrinėti tik tas sandaugas, į kurias įeina visi trys vektoriai e1, e2, e3. Taigi ( a, b, c ) x1 y2 z3 ( e1 , e2 , e3 ) + x1 z2 y3 ( e1 , e3 , e2 ) + y1 x2 z3 ( e2 , e1 , e3 ) + y1 z2 x3 ( e2 , e3, e1 ) + z1 x2 y3 ( e3 , e1 , e2 ) + z1 y2 x3 ( e3, e2 , e1 ) ( e1 , e2 , e3 ) ( x1 y2 z3 - x1 z2 y3 - y1 x2 z3 + y1 z2 x3 + z1 x2 y3 – z1 y2 x3 ), o skliaustuose esantis reiškinys yra kaip tik ir lygus formulėje nurodytam determinantui. Tegul turime tris nekomplanarius vektorius a, b, c ir tokį gretasienį ABCDA`B`C`D` ( 1 pav. ), kad Sakykime, kad A`H yra aukštinė, nuleista į sieną ABCD. Tada . Bet a b  a, a b  b, vadinasi a b yra statmenas plokštumai ABCD, t.y. a b = , h=HA`. Gretasienio tūris V=SABCD h, a b  ( h c ) =, taigi . Bet , todėl . Tokiu būdu gretasienio tūris . Pav. 1 Taigi gretasienio tūris lygus jo trijų briaunų, išeinančių iš vienos viršūnės, generuojamų vektorių mišrios sandaugos moduliui. Ši formulė nusako geometrinę mišrios sandaugos prasmę. Iš jos gauname formules trikampės piramidės ( 2 pav. ) ir trikampės prizmės ( 3 pav. ) tūriams skaičiuoti. ; Pav. 2 Pav. 3 Tarkime, kad erdvėje yra dvi prasilenkiančios tiesės, tiesė a einanti per tašką A vektoriaus a kryptimi ir tiesė b einanti per tašką B vektoriaus b kryptimi (4 pav. ). Išveskime per a plokštumą , lygiagrečią su tiese b ir per b plokštumą , lygiagrečią su tiese a. Tada atstumas tarp jų yra lygus atstumui tarp tiesių a ir b. Konstruokime gretasienį ABCDA`B`C`D`, čia ABCD yra plokštumoje ir , o taškai C`, D`, E` yra plokštumoje . Tuomet šio gretasienio tūris , o pagrindo ACDE plotas bus . Gretasienio aukštinė h lygi atstumui tarp plokštumų ir , t.y. atstumui tarp tiesių a ir b. Kadangi V = S h, tai . Tada , tai atstumo tarp dviejų prasilenkiančių tiesių formulė. Pav. 4 § 15. Dviguba vektorinė daugyba. Lagranžo ir Jakobi formulės Tarkime, kad turime tris erdvės linealo vektorius a, b, c. Vektorius d , kuris lygus vektorių a ir b vektorinei sandaugai a  b vektoriškai padaugintai iš vektoriaus c, yra lygus trijų vektorių a, b ir c dvigubai vektorinei sandaugai. Žymima: . Pagal vektorinės daugybos apibrėžimą gauname, kad vektorinė sandauga statmena vektoriams a ir b, o dviguba vektorinė sandauga d = ( a  b )  c statmena vektorinei sandaugai . Gauname, kad vektorius a vektoriškai padaugintas iš vektoriaus b: yra statmenas trims vektoriamas a, b, d, t.y. vektoriai a, b, d yra komplanarūs. Iš čia gauname vektoriaus d tiesinę kombinaciją , nes vektoriai a ir b nekoliniarūs. Padauginkime vektoriaus d tiesinę kombinaciją iš vektoriaus c: Iš čia gauname, kad x =  ( b  c ), y =  ( a  c ). Taigi vektorius d yra lugus: d =  ( ( b  c )  a – ( a  c )  b ). (*) Dabar surasime . Specialiai pasirinkime koordinačių sistemą. Kadangi vektorinė sandauga nuo koordinačių sistemos nepriklauso, tai ji bus tokia pati visose koordinačių sistemose. Tarkime, kad pasirinktos koordinačių sistemos bazė yra vektoriai i, j, k. Tuomet vektoriai a, b, c šioje bazėje yra tokie: , , . Tai šioje koordinačių sistemoje vektorinė sandauga: , o dviguba vektorinė sandauga yra (1) (2) Įstatę (1) ir (2) dydžius į (*), kai λ = -1 gauname . Tai Lagranžo tapatybė, kuri sieja dvigubą vektorinę sandaugą su skaliarinėmis daugybomis. Analogiškai, keisdami vektorius a, b, c, galima užrašyti dar dvi lygybes: , . Šias tris lygybes sudėję, gauname Jakobi tapatybę: . Remiantis Lagranžo formule, įrodysime lygybę, siejančią vektorių mišrią daugybą su jų skaliarinėmis sandaugomis. Tarkime, kad turime vektorių a ir b skaliarinę ir mišriąją daugybas: , . Pakėlę šias lygybes kvadratu ir sudėję, gauname . Iš šios lygybės galima užrašyti tokią tapatybę, kur vektorius a pakeistas į vektorinę sandauga a  b, vektorius b pakeistas į vektorių c. Tada , , . Pagal Lagranžo formulę: , , . Gavome ieškomą formulę, siejančią mišriąją sandauga su skaliarinėmis sandaugomis. Šią formulę galima užrašyti taip: . Ši formulė vadinama Gramo formule, o dešinėje pusėje esantis determinantas  Gramo determinantu. Vektorinė daugyba erdvėje apibrėžiama dviem vektoriais, o mišrioji  trimis vektoriais. Galima apibrėžti vektorinę ir mišriąją daugybą plokštumoje. Plokštumoje vektoriškai dauginamas vienas vektorius, o mišriai  du vektoriai. Dauginant vektoriškai vieną vektorių a, gaunamas vektorius , ir , tai . Vektorių a ir a moduliai yra lygūs . Vektorius a yra statmenas vektoriui a. Padauginti plokštumoje vieną vektorių, reiškia jį pasukti 90 kampu. Du plokštumos vektorius galima dauginti mišriai pagal formulę, analogišką erdvės mišriajai daugybai . Nesunku patikrinti, kad vektorių a ir b mišriosios daugybos modulis yra lygus jų vektorinės daugybos moduliui . Dviejų plokštumos vektorių mišrios sandaugos modulis yra lygus lygiagretainio, kurio kraštinės tuos vektorius generuoja, plotui.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!