Tiesinės algebros pagrindai

Pastaba.
Skaliarinė sandauga (19) formulės kairėje pusėje skaičiuojama unitarioje erdvėje , o dešinėje pusėje – unitarioje erdvėje .
15 teorema. Tarkime, kad ir – unitariosios erdvės ir A. Jungtinis operatorius A* visada egzistuoja ir apibrėžiamas (19) formule vienareikšmiškai.
 Vienatis. Tarkime, pradžioje, kad A* egzistuoja. Imkime kokį nors . Jo vaizdas yra tiesinėje erdvėje ir gali būti išdėstytas bazėje, kurią pasirinkime ortonormuotąja. Kadangi kiekvienas elementas ortonormuotoje bazėje gali būti užrašomas , tai A*.
.
Tuo pačiu . Šitai reiškia, kad bet kurio vaizdas, vaizduojant A*, vienareikšmiškai nusakomas, kai nurodomas A poveikis baziniams elementams , parinkus fiksuotą bazę, ir elementas .
Egzistavimas. Kiekvienam elementui priskirsime elementą tokia taisykle (ją žymėkime A*): A*: .
Parodysime, kad šis vaizdavimas – tiesinis. Turime
Iš to, kas pasakyta, išplaukia, kad lygybė yra teisinga. Pakanka remtis skaliarinės sandaugos savybėmis ir bazės ortonormuotumu:
ir
nes . 
Tokiu būdu, (19) lygybė nusako vaizdavimą iš vienos tiesinės tiesinių operatorių erdvės į tiesinę tiesinių operatorių erdvę. Nurodysime šios operacijos * kai kurias savybes:
10. . (A*x,y)=(x,(A*)*y); B=A*; (Bx,y)=(x,B*y)=(x,(A*)*y); tai (A*)*=A.
20. (vaizdavimas * nėra tiesinis).
Remiantis jungtinio vaizdavimo vienatimi, gauname .
30. . ((A+B)x,y)=(Ax,y)+
+(Bx,y)=(x,A*y)+(x,B*y)=(x,A*y+B*y)=(x,(A*+B*)y), tai (A+B)*=A*+B*.
40. Jeigu ir , tai . ((BA)x,y)=(B(Ax),y)=(Ax,B*y)=(x,A*(B*y))=(x,(A*B*)y).
50. Jeigu , tai ir . Aα(V,V), A*=A-T, pagal determinantų savybes detAT=detA, , rangA=rangA*=>A*=A-T.
60. Jeigu operatorius A neišsigimęs, tuomet . (Ax,y)=(x,A*y); (A-1Ax,y)= (A-1x,Ay); (x,y)=(x,A*(A-1)*y); A*(A-1)*=I; A*(A*)-1=I, tai (A-1)*=(A*)-1
20. Tiesinių lygčių išsprendžiamumas.
Nagrinėkime lygtį A. Čia A: – tiesinis operatorius, – žinomas erdvės elementas, – ieškomasis elementas. Erdvės V ir W – unitariosios. Homogeninę lygtį A* vadinsime jungtine lygčiai A.
Įrodysime tokią Fredholmo alternatyvą: arba lygtis A išsprendžiama su kiekvienu ; arba jungtinė lygtis turi nenulinį sprendinį.
 Tarkime, kad A išsprendžiama su bet kuria dešine puse . Tai reiškia, kad A. Kadangi A, tuomet gauname, jog .
Imkime dabar, kad jungtinė lygtis A* turi nenulinį sprendinį. Reiškia, kad branduolys A* nėra trivialus. Tuomet vėlgi iš to, kad A* išplaukia, kad erdvėje W yra elementas , nepriklausantis A....

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!