Apibrėžtinis integralas - medžiaga egzaminui

Integralai Apibrėžimai ir Teoremos Apibr. Integralinė suma S(P, f), jos sudarymas, pvz. Sakykime, kad funkcija f(x) yra apibrėžta kokiame nors intervale [a, b]. Suskaidykime tą intervalą bet kuriuo būdu į dalis, įrašydami tarp a ir b dalinimo taškus. Didžiausią iš visų skirtumų toliau žymėsime raide . Imkime kiekviename daliniame intervale laisvai tašką : , Ir sudarykime sumą, ši suma yra vadinama funkcijos f(x) integraline suma: Įveskime šios sumos (baigtinės) ribos sąvoką: Apibr. Viršutinis ir apatinis integralai, Rymano Integralo apibrėžimas Jeigu egzistuoja (baigtinė) sumos riba, kai , tai ji vadinama funkcijos f(x) apibrėžtiniu (Rymano) integralu intervale nuo a iki b ir žymima simboliu: Funkcijos f(x) tiksliuosius apatinį ir viršutinį rėžius i-tąjame intervale atitinkamai pažymėkime ir . Ir sudarykime sumas: Šios sumos atitinkamai yra vadinamos apatine ir viršutine sumomis arba Darbu sumomis. Iš savaime suprantamos lygybės, , padauginę abi puses iš ir susumavę pagal i, gauname: Išvada: kai suskaidymas yra fiksuotas, tai sumos U ir L yra pastovūs skaičiai, ir yra atitinkamai tikslusis apatinis ir viršutinis integralinių sumų rėžiai. Ap. Funkcijos svyravimas Funkcijos svyravimu i-tajame daliniame intervale vadiname tokį skirtumą Pvz. Sinusoide, Kosinusoidė. Teorema (Rymano Integralas kaip integralinių sumų riba) Jeigu egzistuoja tai ši riba yra vadinama Rymano integralu. . Pažymėkime Arba Taip pat žinome, jog Viską surašę po viena nelygybe, gauname: Taigi funkcija yra integruojama Rymano prasme. Teorema. Apibrėžtinis Integralas egzistuoja tada ir tik tada kai Būtinumas: Tarkime, kad egzistuoja integralas . Tada, bet kuriam atsiras toks , kad būtų , arba , kai tik visi , nepriklausomai nuo to, kaip atitinkamuose intervaluose yra parenkami . Tačiau sumos U ir L, kai intervalo skaidymas yra pastovus, intergalinėms sumoms yra atitinkamai tikslieji apatinis ir viršutinis rėžiai; todėl jiems turėsime: Taigi , ir , o iš čia išplaukia, kad . Pakankamumas: Tarkime, kad ; tada iš savybės, jog bet kuri apatinė Darbu suma nervišija bet kurios viršutinės sumos, nors ir atitinkančios kitą skaidymą, turime, jog . Pastebime, jog mūsų atveju, kadangi išpildyta ribos sąlyga, tai turime, jog . Jų bendrą reikšmę pažymėkime I. Tada turime . Jeigu yra viena iš integralinių sumų, atitinkančių tą patį intervalo suskaidymą, kaip ir sumos U ir L, tai, kaip žinome . Pagal sąlygą, jog , laikant visus pakankamai mažais, sumos U ir L mažiau skiriasi viena nuo kitos, negu laisvai pasirinktas skaičius . Tačiau, tokiu atveju tai teisinga ir tarp jų iterptų skaičių ir I atžvilgiu: . Todėl I yra riba, t.y. apibrėžtinis integralas. Išvada Jeigu paimsime funkcijos svyravimą i-tajame intervale ; tai turime, Iš čia apibrėžtinio intergalo egzistavimo sąlyga galime perrašyti ir taip . Teorema. Integruojamų funkcijų klasės 1. Jeigu funkcija yra tolydi intervale [a, b], tai ji yra integruojama Rymano prasme. Jeigu f(x) tolydi, tai Remiantis Kantoro teoremos išvada, duotajam , atsiranda toks , kad visi , kai tik intervalas sukaidytas į dalis, kurių ilgiai . Iš čia: . Kadangi (b-a) yra pastovus skaičius, o yra kiek norima mažas, tai , o iš čia išplaukia, jog egzistuoja integralas . 2. Jeigu aprėžta funkcija f(x) intervale [a, b] turi tik baigtinį trūkio taškų skaičių, tai ji yra integruojama. Įrodysime tik tą atvejį, kai tarp a ir b yra vienas trūkio taškas x’. Imkime bet kurį , ir tašką x’ apsupsime aplinka , kuriuos galime paimti kiek norima mažus. Likusiuose dviejuose uždaruose intervaluose funkcija yra tolydi, todėl kiekviename iš jų funkcijas galime suintegruoti Rymano prasme. 3. Monotoninė ir aprėžta funkcija f(x) yra integruojama. Tarkime, jog f(x) yra monotoniškai didėjanti funkcija. Tada jos svyravimas intervale bus . Imame bet kurį ir tarkime, jog . Kai tik , turėsime . Iš čia f(x) integr. Apibr. Apibendrinta pirmykštė funkcija Funkcija F(x) duotame intervale [a, b] vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija, jeigu visame šiame intervale f(x) yra funkcijos F(x) išvestinė, arba tuo pačiu f(x)dx yra funkcijos F(x) diferencialas: ir . Kadangi , tarkime jog yra bet kuri pirmykštė funkcija funkcijai f(x). Kadangi ir tai . Reiškinys vadinamas funkcijos f(x) apibendrinta pirmykšte funkcija Žymime Pvz. Kai f(x) = x. Teorema. Koši ir Buniakovskio nelygybė Čia Pastaba: Dviejų integruojamų Rymano prasme funkcijų sandauga yra integruojama Rymano prasme funkcija: Jei f ir g integruojamos Rymano prasme, tai jos aprėžtos ir beveik visur tolydžios, todėl ir jų sandauga bus aprėžta ir beveik visur tolydi. Iš šios pastabos išplaukia jog taip pat integruojamos Rymano prasme funkcijos. Pastebime, jog reiškinys yra absoliučiai teisingas tik tuo atveju, kai Diskriminantas yra mažesnis nulį.: Pertvarkome šią lygtį, padaliname iš 4 ir gauname Koši ir Buniakovskio nelygybę. Teorema. Vidurinės reikšmės teorema Tarkime, kad f(x) yra integruojama intervale [a, b], ir visame tame intervale , tada , čia . Jeigu a Jeigu f(t) yra tolydi funkcija taške t = x, tai tame taške , turėtų išvestinę lygią . Tarkime, kad , toks kad x + h neišeina už intervalo [a, b] ribų. Pagal vidurinės reikšmės teoremą: , čia . Tačiau dėl funkcijos tolydumo f(t) taške t = x, kiekvienam atsiras toks , kad Visoms t reikšmėms iš intervalo [x, x+h], kai . Tokiu atveju galioja ir nelygybės , todėl ir ,arba . Dabar aišku, kad: Teorema. Niutono ir Leibnico formulė Jeigu yra funkcijos f(x) pirmykštė funkcija, tai žinome, jog . Kai x = a, tai . Taigi . Atskiru atveju, kai x = b, gauname Teorema. Funkcijos modulio integruojamumas Jeigu f(x) yra integruojame intervale [a, b], ir a Pirmiausia įsitikinsime ar funkcijos |f(x)| integralas egzistuoja. Jei intervale paimtume bet kuriuos du taškus x’ ir x’’, tai . Todėl funkcijos svyravimą intervale pažymėję , iš svyravimo apibrėžimo turėsime, kad ; todėl ( daugiau už nulį, nes a iš sąlygos , turime: Kadangi integralas konverguoja, tai . Kadangi , tai Gavome, jog , su visais y iš srities [c, d]. Tai reiškia, kad netiesioginis integralas konverguoja tolygiai ir absoliučiai. Teorema. Integralo diferencijavimas parametro atžvilgiu Tarkime, kad funkcija f(x,y) yra apibrėžta ir tolydi x atžvilgiu, kai , y priklauso intervalui [c,d], taip pat ji turi nurodytoms reikšmėms išvestinę , tolydžią abiejų kintamųjų atžvilgiu. Be to tarkime, kad integralas egzistuoja, imant bet kurį y iš [c, d], o integralas ne tik egzistuoja bet ir konverguoja tolygiai y atžvilgiu tame intervale. Tada bet kuriam y iš [c, d] galioja formulė: Taškui y iš intervalo [c, d] suteikime pokytį , tokį kad . Apskaičiuokime santykį Pagal Lagranžo teoremą: Čia yra tarp y ir . Tuomet . Imame ribą kai , ir gauname: Čia ribą galėjome sukeisti su integralo ženklu, nes išvestinė yra tolydi funkcija duotoje srityje. Bet kai , tai , taigi gauname: Apibr. Oilerio Integralai. Gama ir Beta funkcija Apibrėžtinis integralas, priklausantis nuo dviejų parametrų p> 0 ir q > 0, vadinamas Beta funkcija ir sutrumpintai rašomas B(p,q). Jo išraiška yra tokia: Savybės: a) B(p,q) = B(q,p) (Gauname įstatę keitini x = 1-t) b) . (Gauname integruodami dalimis) c) (Imame keitinį ) d) Apibrėžtinis integralas, priklausantis nuo parametro p > 0, vadinamas Gama integralu, sutrumpintai rašomas . Jo išraiška yra tokia: Gama ir Beta funkcijų ryšys: Turime. . Įvedame keitinį , kur , tada gauname: Iš čia , arba Pastarojoje lygybėje p pakeičiame į p+q, o po to padauginę abi jos puses iš , ir integruodami ribose nuo 0 iki , gauname: Skaičiuodami kairę pusę, įvedame keitinį: ; iš čia . Tuomet Apskaičiuojame dešinę pusę: Pastebime, kad: Iš lygties: , gauname: Sujungę kairę ir dešine puses, gauname: Teorema. Gama funkcijos savybės 1. Redukcijos formulė Integruodami dalimis integralą: , p>1 gauname: Pakartoję šią redukcijos formulę kartų, kur n yra sveikas teigiamas skaičius, gauname: Tuomet bet kuriam natūraliam skaičiui n gauname: 2. Gama funkcija visoms a > 0 reikšmėms yra tolydi ir turi visų eilių tolydžias išvestines Pagal leibnico taisykle, šitas integralas gaunamas irgi tolygiai konvereguojantis a atžvilgiu, todėl galime rasti ir antros eilės išvestinę, ir tt. 3. Gama funkcijos kitimo eiga Tarkime, kad a didėja nuo 0 iki . Iš redukcijos formulės matome, kad Tada, pagal Rolio teoremą, intervale (1,2) turi būti išvestinės šaknis . Ši išvestinė monotoniškai didėja, nes antroji išvestinė, yra visada teigiama. Vadinasi, kai , išvestinė ir funkcija mažėja, o kai , todėl čia didėja. Taigi taške turėsime funkcijos minimumą. Nustatome ribas, kai a artėja į 0 arba į : Iš kitos pusės , kai . Kitaip sakant , kai . 4. Papildinio formulė Imame , (), gauname: Kai a = 1/2, iš čia gauname . Apibr. Jakobiano sąvoka ir prasmė Tą pačia sritį galima atvaizduoti skirtingai. Jeigu norime tarp atvaizdavimų gauti abipus vienareikšmę atitiktį, (kiekvienam taškui (x,y) yra priskiriamas tik vienas taškas (u,v) ). Tai turi galioti tokios sąlygos: Tarkime, kad šios funkcijos ne tik tolydžiosios,bet taip pat turi tolydžias išvestines. Tada funkcinis determinantas , funkcinis determinantas dėl savo tolydumo turės pastovų ženklą. Šis funkcinis determinantas yra vadinamas Jakobianu. Kiekvieno taško padėtį galime fiksuoti spindulio vektoriumi Imame šių vektorių diferencialus: Iš diferencialų sukonstruojame lygiagretainį. Išskleidžiame determinantą: Iš čia gaunama Jakobiano sąvokos prasmė: Gavome, jog Tarkime, kad Tada jakobianą galime apibūdinti ir taip: Šis užrašas atstoja situaciją Išvada: Lygiagretainio plotas artėja prie kreivinio paviršiaus ploto. Todėl jakobianas yra atvaizdžio plokštumoje (u,v) deformacijos (ištempimo) koeficientas. Jeigu Jakobianas egzistuoja, tai: Gauname, kad figūros plotas yra lygus . Jeigu keičiame (x,y) į kitą sritį, tai: Jeigu Jakobianas yra tolygi funkcija, tai gauname, , kur Teorema. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu Tarkime, kad išpildytos tokios sąlygos: a) sritis D yra aprėžta ir uždara; be to kiekviena tiesė, lygiagreti y ašiai, tos srities kraštą kerta ne daugiau nei dviejuose taškuose, kurių ordinatės yra ir , kur . b) Egzistuoja funkcijos f(x,y) dvilypis integralas , ir kai x – bet koks fiksuotas skaičius, egzistuoja vienlypis integralas . Tada egzistuoja kartotinis integralas: , (čia ir yra mažiausia ir didž. srities D taškų abscisės) ir yra teisinga lygybė: Stačiakampį, kurio kraštinės yra lygiagrečios koordinačių ašims ir kuriame yra sritis D, žymėsime raide R. Funkciją, kuri srities D taškuose sutampas su f(x,y), o kituose stačiakampio R taškuose lygi nuliui, žymėsime F(x,y). Taigi turimę funkciją apibrėžtą stačiakampėje srityje Stačiakampį R taškais ir padaliname į np dalinių stačiakampių kur , o . Tarkime, kad , o . Funkcijos f(x,y) tiksliuosius rėžius daliniame stačiakampyje pažymėkime ir . Tada kiekviename to stačiakampio taške Sakykime, kad , bet kuris intervalo taškas. Tada šioje nelygybėje vietoje x įrašome , ir gautąją nelygybę integruokime y atžvilgiu, nuo iki . Gauname: Susumavę visas tokias nelygybes panariui l atžvilgiu nuo 1 iki p, gauname: Šias lygybes dauginame iš ir gautąsias nelygybes panariui susumuojame k atžvilgiu nuo 1 iki n. Gauname: Tarkime, kad didžiausias dalinių stačiakampių skersmuo artėja prie nulio. Tada didžiausias iš ilgių taip pat artėja prie nulio. Tuomet pirmasis ir paskutinis pastarosios lygybės nariai – apatinė ir viršutinė sumos – artėja prie dvilypio integralo . Todėl egzistuoja ir vidurinio šios lygybės nario riba, kuri iš vienlypio integralo apibrėžimo yra lygi: O iš čia viso to išplaukia, kad Taigi funkciją F(x,y) galime užrašyti tokia formule. Iš jos, atsižvelgę į tai, kad F(x,y) lygi nuliui šalia srities D, o srityje D sutampa su f(x,y), gauname: .

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!