Tikimybių teorijos elementai

II. TIKIMYBIŲ TEORIJOS ELEMENTAI 1. Atsitiktiniai įvykiai ir jų tikimybės • 1.1. Atsitiktiniai įvykiai, jų veiksmai • 1.2. Įvykio tikimybės sąvoka • 1.3. Pagrindinės teoremos • 1.4. Nepriklausomų įvykių schema 1.1. Atsitiktiniai įvykiai, jų veiksmai • Eksperimentu (bandymu) vadiname kokio nors sąlygų komplekso realizavimą praktikoje. • Sąlygų kompleksu vadiname aplinkybes, nuo kurių kas nors priklauso. • Determinuotas įvykis – įvykis, kurio baigtis iš anksto žinoma tai: ▪ būtinas įvykis, kuris esamomis sąlygomis visada įvyksta, žymime raidėmis E, Ω(omega), U. ▪ negalimas įvykis, kuris esamomis sąlygomis niekada neįvyksta, žymime raide Λ arba Ø. • Atsitiktinis įvykis – įvykis, kuris tam tikromis sąlygomis gali įvykti arba neįvykti, t.y., jo baigtis iš anksto nežinoma, žymime raidėmis A, B, C. • Elementarieji įvykiai – įvykiai, kurie smulkiau neskaidytini, t.y., sudaryti tik iš vienos atsitiktinės baigties, žymime simboliais ω1, ω2,..., ωn. Visi galimi elementarieji įvykiai, sudaro elementariųjų įvykių erdvę, kurią žymime raide Ω={ω1, ω2,..., ωn}. Elementariųjų įvykių erdvė gali būti: • baigtinė, pavyzdžiui, egzamino pažymiai, darbo dienų skaičius per mėnesį; • begalinė skaičioji, pavyzdžiui, jei mėtome monetą tol, kol atsivers herbas, tai gali būti tokios baigtys Ω={H, SH, SSH, SSSH,...}; • begalinė neskaičioji, pavyzdžiui, jei stebime elektros lemputės ilgaamžiškumą, tai elementariųjų įvykių erdvė - visų galimų sugedimo momentų t aibė Ω={ω; ω=t, t[0;)}. Įvykiai, sudaryti ne iš visų, o iš dalies elementariųjų įvykių erdvės Ω įvykių, yra tos erdvės poaibiai, žymime A Ω, B Ω. • Įvykiai, sudaryti ne iš visų, o iš dalies elementariųjų įvykių erdvės Ω įvykių, yra tos erdvės poaibiai, žymime A Ω, B Ω. • Jei įvykis A yra įvykio B dalis, t.y., įvykus A įvyksta ir B, tai įvykis A vadinamas įvykio B poaibiu, žymime AB. • Du įvykiai lygūs (A=B), jei AB ir BA, t.y., jie susideda iš tų pačių elementariųjų įvykių. Įvykių veiksmai • Įvykių veiksmai • Įvykių A ir B suma (sąjunga) vadiname įvykį, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A arba B, žymime A+B arba AUB. • Įvykių A ir B sandauga (sankirta, pjūviu) vadiname įvykį, kai įvyksta abu įvykiai, žymime A∙B arba A∩B. • Įvykiai vadinami nesutaikomais, jei jie kartu įvykti negali, t.y., A∙B=Ø. • Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadinamas įvykis, kai įvyksta įvykis A, bet neįvyksta įvykis B, žymime A-B arba A\B. • Įvykis Ā=Ω-A vadinamas priešingu įvykiui A. • Jei turime n poromis nesutaikomų įvykių ir jų suma yra būtinas įvykis, t.y., jei A1+A2+...+An=Ω ir Ai∙Aj=Ø; i=1,2,…,n; j= 1,2,…,n (i≠j), tai šie įvykiai sudaro pilnąją įvykių grupę. Veiksmų su įvykiais savybės • A+A=A; • A∙A=A; • A-Ω=Ø; • A+Ω=Ω; • A∙Ω=A; • Ø-A=Ø; • A+Ø=A; • A∙Ā=Ø; • A-A=Ø; • A+Ā=Ω; • A∙Ø=Ø; • A-B=A-A∙B; • A+B=B+A; • A∙B=B∙A; • • A(B+C)=AB+AC; • (A+C)(B+C)=AB+C; • • Jei AB, tai A+B=B, A∙B=A, A-B=Ø. 1.2. Įvykio tikimybės sąvoka • Statistinis tikimybės apibrėžimas • Daug kartų kartodami eksperimentą stebime konkrečios baigties pasirodymų dažnį. Tarkime, kad atlikus n eksperimentų įvykis A (konkreti baigtis) įvyko m kartų, tai įvykio A pasirodymų statistinis dažnis bus • Jei, didinant eksperimentų skaičių, šis dažnis stabilizuojasi ties kokiu nors skaičiumi, tai tą skaičių ir laikome tiriamojo įvykio statistine tikimybe • Būtina, kad visi eksperimentai vyktų vienodomis sąlygomis ir būtų nepriklausomi, t.y., vieno eksperimento rezultatai neturėtų įtakos kito eksperimento rezultatams. Klasikinis tikimybės apibrėžimas • Klasikinis tikimybės apibrėžimas • Tarkime, turime baigtinę elementariųjų įvykių erdvę Ω={ ω1, ω2,..., ωn}, kurios visi elementarieji įvykiai ωi turi vienodas galimybes įvykti. Tegu įvykis A yra sudarytas iš dalies šių elementariųjų įvykių. • Klasikine įvykio A tikimybe vadinsime įvykiui A palankių elementariųjų įvykių skaičiaus santykį su visų elementariųjų įvykių skaičiumi, žymėsime • čia m – įvykiui A palankūs elementarieji įvykiai, o n – visi elementarieji įvykiai. Kombinatorikos formulės • Kombinatorinė sudėties taisyklė. Jei elementą galima pasirinkti iš aibės, turinčios n elementų, arba iš aibės , turinčios m elementų, o aibės bendrų elementų neturi, tai iš viso yra n+m pasirinkimo galimybių. • Kombinatorinė daugybos taisyklė. Jei pirmoje aibėje yra n elementų, o antroje aibėje m elementų, tai, renkantis po vieną elementą iš kiekvienos aibės, turime n∙m pasirinkimo galimybių. • Kėliniai be pasikartojimo – n elementų rinkinys iš n,visi elementai skirtingi, svarbi išrinkimo tvarka Pn = n! = 1∙2∙3∙...∙n. • Gretiniai be pasikartojimo – k elementų rinkinys iš n (k

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!