Tikimybių teorijos

Elementarieji įvykiai: Elementarūjį įvykį žymime raide e su indeksu. Šių įvykių visumą vadinsime elementariųjų įvykių erdve ir žymėsime raide E. Elementariųjų įvykių erdvė gali būti baigtinė arba begalinė, skaičioji arba neskaičioji. Baigtinę ir skaičiąją erdvę vadinsime diskrečiąja elementariųjų įvykių erdve. Atsitiktiniai įvykiai, veiksmai: Jei atlikus eksperimentą įvykis gali pasirodyti arba nepasirodyti, tai jį vadinsime atsitiktiniu. Žymėsime A,B,C, ... dažnai su indėliais.Bet kurį diskrečiosios elementariųjų įvykių erdvės E poaibį A vadinsime atsitiktiniu įvykiu. O įvykį atitinkantį visą elementariųjų įvykių erdvę E – būtinu įvykiu, o tuščią E poaibį negalimu įvykiu. Būtinąjį įvykį žymėsime kaip ir elementarųjį, t.y. raide E. Negalimą įvyki žymėsime tuščios aibės ženklu - Ø.Bet kurios erdvės E atveju atsitiktiniais įvykiais laikysime ne visus šios erdvės poaibius, bet tik tuos, kurie priklauso tam tikrai erdvei E poaibių klasei F, nes kitaip būtų sunku apibrėžti įvykių tikimybę.Kadangi atsitiktiniai įvykiai yra elementariųjų įvykių erdvės aibės, tai algebriniai įvykių veiksmai sutampa su aibių veiksmais. Skiriasi tik terminologija ir interpretacija. Įvykių algebra: Elementariųjų įvykių erdvės E poaibių sistemą F, vadiname įvykių algebra, kai ji tenkina šias savybes:E ϵ F,A ϵ F, Ac ϵ F,A ϵ F ir B ϵ F , A U B ϵ F. A bus atsitiktinis įvykis, jei A ϵ F.Iš įvykių algebros apibrėžimo seka šie teiginiai: ØϵF, nes Ø = Ec ϵ F,AϵF ir BϵF; A ɅB ϵF, AɅB =(AcɅBC) ϵF,AϵF ir BϵF; A\B ϵF , nes A\B =AɅ Bc ϵF,Ak ϵ F , (k =1....n ) ,.Elementariuju ivykiu erdves E poaibiu sistema F, vadinsime ivykiu vykių sigma algebra, jei ji tenkina sąlygas : EϵF,A ϵ F, Ac ϵ F,Ak ϵ F , k=1…n Įvykių sigma algebros F elementus vadinsime atsitiktiniais įvykiais, A – atsitiktinis, jei AϵF. Statistiniai dažniai, statistinė tikimybė: Įvykio A pasirodymo skaičiaus K santykį su visų atliktų eksperimentų skaičiumi n , vadinsime įvykio A pasirodymo statistiniu dažniu. Žymėsime W(A) t.y. W(A) = k/n (1.1)Statistinis dažnis turi šias savybes: 0 ≤ W(A) ≤1 ,W(Ø) =0 ,W(E) = 1,W(A U B ) = W(A) + W(B), kai AɅB = Ø. Grupuojasi apie tam tikrą pastovų intervalo [0;1] skaičių. Skaičių apie kurį grupuojasi įvykio A statistiniai dažniai, kai n didelis, vadinsime to įvykio statistine tikimybe. Žym : P(A) t.y. P(A)=k/n . Aksiominis tikimybės apibrėžimas Įvykio tikimybė vadiname skaitine funkcija P apibrėžta įvykių algebroje F tenkinančią aksiomas : 1) P(A)0, 2) P(E)= 1, 3) P(AB)= P(A) + P(B), kai AB=. Klasikinis tikimybės apibrėžimas.Įvykio A tikimybė yra elementarių įvykių sudarančių įvykį A skaičių santykis su elementarių įvykių skaičiumi erdvėje F. Klasikiniame apibrėžime visi elementarūs įvykiai sudarantys E vadinami visais galimais atvejais. Įvykio A tikimybė yra palankių įvykių A atvejų skaičių santykis su visų galimybių atvejų skaičiumi.Tikimybė apibrėžta klasikiniu būdu patenkina visas 3 Kolmogorovo aksiomas ir klasikinis apibrėžimas yra atskiras bendrojo aksiominio tikimybės apibrėžimo atvejis. Kombinatorikos elementai. (Pagrindinė kombinatorikos arba daugybos taisyklė) Tegu vienas po kito reikia įvykdyti k veiksnių.Jei pirmą veiksmą galima įvykdyti n1 būdų,antrą n2 ir t.t.., o k-tą veiksmą nk būdų,tai visus k veiksmus kartu galima atlikti n1 · n2 ·…·nk.AP. Tegu Ω aibė turinti n elementų.Deriniu iš n elementų po k yra vadinamas, bet kuris, tos aibės poaibis sudarytas iš k elementų. Visų derinių iš n po k elementų skaičių žymėsime . Visų derinių iš n po k elementų skaičių =. Visų elementų aibės gretinių iš n elementų po k skaičių žymime . Geometrinės tikimybės.Geometrinės tikimybės apibrėžimas naudojamas tuo atveju, kai tikimybė patekti į bet kurią srities dalį yra proporcinga šios dalies matui: ilgiui,plotui,tūriui ir neprikaluso nuo šios srities padėties ir formos.Sakykime, kad sritis q yra srities Q dalis. Jei srities Q matas yra |Q|, o q matas yra|q|. Tai tikimybė patekti į sritį q apibrėžiama : P(A)=, tai geometrinė tikimybė yra ilgių, plotų, tūrių atitinkančių sritis q ir Q savybės. Sąlyginės tikimybės.Skaičiuojama įvykio A tikimybė esant papildomai sąlygai, kad įvykio B, turintis teigiamą tikimybę. Šią įvykio A tikimybę vadinsime sąlygine tikimybe ir žymėsime P(A/B) arba PB(A). Įvykio A sąlyginis statistinis sažnis apskaičiuojamas taip: -> Ivykio A sąlyginė tikimybė esant sąlygai, kad įvykio įvykis B, vadinsime įvykių A ir B sankirtos tikimybės santykį, su įvykio B tikimybe -> . Įvykių sankirtos tikimybė P(A/B)=P(A)(P(B/A))=P(B)(P(A/B)). Jei n2, tai Nepriklausomi įvykiai. Įvykis A nepriklausomas nuo įvykio B, jei galioja lygybė P(A)=P(A/B). Du įvykius A ir B vadiname nepriklausomais, kai yra išpildyta lygybė P(AB)=P(A)P(B). Priešingu atveju jie vadinami priklausomais. Įvykius A1,A2,...,An vadinsime nepriklausomus visumoje, jei tikimybė P(Ai1Ai2...Ai)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aim), (AE)=P(A)=P(A)P(E), o tai reiškia, kad A ir E nepriklausomi. A ir  ø nepriklausomi.Įrodymas. P(A/ ø)=P(ø)=P(A)P(ø). Jei įvykiai A ir B nepriklausomi, tai nepriklausomi Ac bei B.Įrodymas. P(B)=P(B(AAc))=P(AB)+P(AcB)=P(A)P(B)+ P(AcB).P(AcB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)= P(Ac)P(B) Jei įvykiai A1, A2,...,An yra poromis nesutaikomi, B bet koks įvykis ir kiekvieno dvejetų A1B;...;AnB įvykiai yra nepriklausomi, tai įvykiai A1A2...An ir B taip pat nepriklausomi. Įvykių sąjungos tikimybėP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). Iš Teor.1 seka:1. P(AB)≤P(A)+P(B) 2. P(AB)=P(A)+P(B), jei AB= ø. Jei poromis nesutaikomų įvykių seka Ai, i=1,...,n sudaro pilnąją įvykių grupę, tai šių įvykių tikimybių suma lygi 1, t.y. Bent vieno iš įvykių Ai, i=1,…,n įvykio tikimybė apskaičiuojama Pilnosios tikimybes formule ir Bejeso.. Jei įvykiai H1,H2,...,Hn sudaro pilnąją poromis nesutaikomų įvykių grupę, tai įvykio A tikimybė yra lygi: P(A)=(Hk)P(A/Hk). Įrodymas. . Šioje sąlygoje įvykiai nesutaikomi, nes Įvykis Hi vadinamas hipotezėmis. (Bejeso). Jei įvykiai H1,H2,...,Hn sudaro pilnąją poromis nesutaikomų įvykių grupę ir P(A)≠0, tai P(Hi \A) i=1,2,...,n.Įrodymas. . . Pasinaudoję pilnosios tikimybės formule gauname įrodomąją formulę. Neriklausomi eksperimentai.Bernulio formule.Eksperimentus vadiname nepriklausomais, kai jų metu įvyksta nepriklausomi įvykiai. Nepriklausomus eksperimentus, kurių kiekvieno metu gali įvykti tik įvykis A ar jam priešingas įvykis Ac vadiname Bernulio eksperimentais. Teorema(Bernulio formulė). Atlikus n nepriklausomu eksperimentu, kuriu kiekvieno metu įvykiai A ir Ac gali ivykti su tikimybėmis P(A) = p ir P(Ac) = 1-q = q. Tikimybe, kad ivykis A ivyks lygiai k kartu apskaičiuojame pagal formule: Bernulio eksperimenta galime apibendrinti. Sakysime, kad atliekame n nepriklausomu eksperimentu ir kiekvieno ju metu gali pasirodyti įvykiai A1, A2,...,Am su tikimybėmis P(A1)=p1, P(A2)=p2, ..., P(Am)=pm . Tikimybe, kad ivykis A1 ivyks k1 kartu, ivykis A2 ivyks k2 kartu ir t.t. Pazymeję Pn(k1,k2,...,kn), gauname apibendrinta Bernulio formule: Pn(k1,k2,...,kn). Tiketiniausio ivykiu skaicius Bernulio eksperimentuose.Ivykio A n nepriklausomuose eksperimentuose pasirodymo skaiciu k0 , kuriam tikimybe Pn(k0) yra didžiausia vadiname jo pasirodymu tiketiniausiu skaičiumi. Tiketiniausiu įvykio A pasirodymu skaiciu k0 galime rasti skaičiuojant visas tikimybes: P(x=0), P(x=1),...,P(x=n). Nurodome paprastesnio įvykio A pasirodymu skaičiaus k0 skaiciavimo algoritma. Tiketiniausiu sio įvykio A pasirodymu skaiciu randame is dvigubos nelygybes np-q≤≤np+p. Todel jei vienas trupmeninis, tai ir antrasis trupmeninis. Tuomet tures viena reiksme lygia skaičiaus np+p sveikajai daliai, t.y. =[np+p]. Jei vienas is siu skaiciu sveikas tai ir antras sveikas. Tuomet tiketiniausi pasirodymo skaičiai bus du: =np-q ir +1=np+p. Bernulio formules asimptotika. (Muavro-Laplaso lokaline) Jei k ir n tokie, kad yra apreztos tai pakankamai dideliems n . Funkcija φ(x) – lygine. (Muavro-Laplaso integraline) Jei k ir n tokie, kad yra apreztos, k=k1, k2 tai pakankamai dideliems n kur (Puasono) Jei kiekviename is n nepriklausomu eksperimentu įvykio A tikimybe maza ir np=x pastovus skaičius, tai yra (*)Formule (*) vadinama asimptotine Puasono formule. Kai n pakankamai didelis ir 0

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!