Tikimybių teorijos užduotys

1. Savo pavardės raides atsitiktinai sudėkite į eilę. Kokia tikimybė, kad gausite savo pavardę? Sprendimas Maizonis Viso raidžių 8 Pasikartojančios raidės i – 2 kartus Viso galimų įvykių ieškoma tikimybė (A – įvykis, kad bus sudėta pavardė) 2. Išspręskite: n žmonių atsitiktinai sodinami už apvalaus stalo. Apskaičiuokite tikimybę, kad du žmonės A ir B atsisės greta. Sprendimas A žmogaus padėtis nėra svarbi. B pasodinti už stalo yra yra būdų (visų įvykių skaičius) Palankus atvejis – B atsisėda iš kairės arba dešinės šalia A (2 palankūs įvykiai), Ieškoma tikimybė 3. Atkarpoje, kurios ilgis m, atsitiktinai žymime tašką. Kokia tikimybė, kad šio taško atstumas iki atkarpos galų bus didesnis už 1/k? Čia: m = 4, k = 2 Sprendimas: Visų galimų įvykių aibė yra visas atkarpos ilgis m. Palankių įvykių aibė yra atkarpa , kurios ilgis lygus (pažymėta raudona spalva) todėl . Ieškoma tikimybė lygi : Ats,.: 0,5 4. Ryšio kanalu nepriklausomai vienas nuo kito siunčiami trys signalai. Jų teisingumo (be klaidų) priėmimo tikimybės yra p1 = 0,65, p2 = 0,70 ir p3 = 0,70. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: A – visi signalai priimti teisingai, B – bent vienas signalas priimtas teisingai, C – du signalai priimti teisingai, D – bent vienas signalas priimtas klaidingai Sprendimas A) Signalai vienas nuo kito nepriklauso, todėl . B) Įvykis B (“bent vienas signalas priimtas teisingai”) bus priešingas įvykiui “visi signalai priimti klaidingai”. Todėl C) Įvykis C – “du signalai priimti teisingai” tapatus įvykiui “vienas signalas priimtas neteisingai”. D) Įvykis D – “bent vienas signalas priimtas klaidingai” yra priešingas įvykiui “visi signalai priimti teisingai” (o šio įvykio tikimybė jau apskaičiuota “ tai įvykis A). Todėl 6Pirmoje urnoje yra m1 = 1 baltų ir n1 = 2 juodų, antroje – m2 = 3 baltų ir n2 = 1 juodų, o trečioje – m3 = 2 baltų ir n3 = 2 juodų rutulių. Iš pirmos urnos traukiame k1 = 1, o iš antros – k2 = 2 rutulių ir dedame į trečią urną, o po to iš trečiosios urnos traukiame vieną rutulį. Kokia tikimybė, kad jis bus baltas? Sprendimas Trečioje urnoje iš pradžių buvo 4 rutuliai, pridėjome 2 Sudarome lentelę Hipotezės Nr. Hipotezė (traukimo rezultatai) Baltų skaičius 3 dėžėje Po abiejų traukimų H1 Pirma - juodas, antra - 2 balti 4 H2 Pirma - baltas , antra 2 balti 5 H3 Pirma - juodas, antra – juodas+baltas 3 H4 Pirma –baltas , antra –juodas+ baltas 4 Tikimybė iš pirmos ištraukti baltą , ištraukti juodą: Tikimybė iš pirmos ištraukti baltą+baltą, ištraukti juodą+baltą: Apskaičiuosime kiekvienos hipotezės tikimybę: Po traukimo trečiojoje dėžėje bus 6 rutuliai. Remiantis jau sudaryta lentele, apskaičiuojame sąlygines tikimybes: Įvykis A – iš trečios dėžės ištraukiamas baltas rutulys. Pagal pilnos tikimybės formulę: 7. Du žaidėjai vienas po kito (A – pirmas, B – antras) traukia po vieną rutulį (grąžinamoji imtis) iš urnos, kurioje yra m = 2 baltų ir n = 1 juodų rutulių. Laimi tas, kuris pirmas ištraukia baltą rutulį. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: a) laimi A, dar netraukęs k = 4 kartu; b) laimi A, traukęs ne daugiau kaip k = 4 kartu; c) laimi B, traukęs ne mažiau kaip k = 4 kartu. Palyginkite žaidėjų A ir B laimėjimų galimybes, kai žaidimas begalinis. Sprendimas Viso yra 3 rutuliai, tikimybė ištraukti baltą 2/3, ištraukti juodą – 1/3. a) laimi A, netraukęs 4 kartų. Vadinasi baltas žaidėjas laimi pirmu, antru arba trečiu traukimu. Pažymėkime įvykį Ai – i-tuoju traukimu žaidėjas A ištraukia baltą rutulį, Bi - i-tuoju traukimu žaidėjas B ištraukia baltą rutulį. (jei įvykis arba - tai reiškia priešingą įvykį – i tuoju traukimu žaidėjas ištraukė juodą). Tikimybė , kad žaidėjas A laimės pirmu traukimu, antru traukimu: , trečiuoju Sumuojame tikimybes: b) laimi A, traukęs ne daugiau kaip k = 4 kartu; Šis atvejis analogiškas a) – laimi dar netraukęs 4 kartų, tik reikia pridėti atvejį, aki laimi ketvirtuoju . Tikimybė c) laimi B, traukęs ne mažiau kaip k = 4 kartu. Tikimybė, kad laimės žaidėjas B i-tuoju ėjimu , lygi: Ieškoma tikimybė bus lygi atvejui,kai laimima 4-uoju, 5-uoju ir t.t. ėjimu: Tai yra geometrinė progresija (nykstanti), kurios pirmasis narys , o rodiklis .tokios geometrinės progresijos narių suma: Įvertinsime abiejų žaidėju galimybes, kai žaidimas begalinis. Laimėti i-tuoju ėjimu žaidėjui A tikimybė lygi ( tokią prielaidą galimą padaryti, pastebėjus dėsningumą iš a) ir b) atvejų). Sumuojame visas tikimybės (kad laimės A): (naudojomės nykstančios geometrinės progresijos sumos formule , mūsų atveju pirmasis narys , o rodiklis ). Žaidėjas A laimės su tikimybe 0,75. Žaidėjo B galimybės: 1-0,75=0.25. Ats.: a) 0,7489 b) 0,7498 c)0,00034 . Žaidėjo A galimybės laimėti 0,75 , B – 0,25. Pastaba – skaičiuojant B galimybes laimėti, kai žaidimas begalinis, galima eiti sudėtingesniu keliu: sumuoti tikimybes: 9 Radijo aparatūra sudaryta iš n = 400 elektroelementų. Vieno elemento sutrikimo per metus tikimybė lygi p = 0,01 ir nepriklauso nuo kitų elementų būsenos. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: a) per metus sutriko m = 2 elementų, b) per metus sutriko ne mažiau kaip m = 2 elementų. Sprendimas Puasono formulė taikoma kai n yra didelis, tikimybė p pakankamai maža, įvykiai nepriklausomi (pvz. Detalės genda nepriklausomai viena nuo kitos). Kadangi n yra pakankamai didelis, galime taikyti Puasono formulę: , kur a) Tikimybė, kad sutriks m=2 elementai, lygi: b) Tikimybė, kad sutriks mažiau kaip 2 elementai , lygi Šiam įvykiui priešingas įvykis “sutriks ne mažiau kaip 4 elementai” Priešingų įvykių tikimybių suma lygi 1. 10. Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį pasiskirstymo dėsnį, o jo parametrai yra m ir s. Apskaičiuokite tikimybes P(a £ X £ b), P(|X| > b). Užrašykite 2s taisyklę ir paaiškinkite jos geometrinę ir praktinę prasmes. Čia: m = 4, s = 1, a = 3, b = 5. Sprendimas Dydžio X pasiskirstymo dėsnis: 2s taisyklė: Nelygybė tai yra reikšmių x aibė: Geometrinė prasmė – tikimybė, kad lygi nuspalvotam plotui. Praktinė prasmė – tikimybė, kad reikšmės bus šiame intervale, lygi 0,95. 11. Parinkite parametrą g tokį, kad p(x) būtų tankio funkcija (grafikas). Užrašykite pasiskirstymo funkcijos analizinę išrašką, nubraižykite jos grafiką. Apskaičiuokite vidurkį, dispersiją ir tikimybę P(|X – MX| =0, ir Fx=0 kitur Vidurkis 13. Atsitiktinio dydžio X tankis apibrėžtas 12 užduotyje. Dydis Y = Xk +. Apskaičiuokite dydžio Y vidurkį ir dispersiją Čia  = 1,  = -1, k = 5.. Pagal vidurkio formulę: Standartiniai integralai Dispersija 15. Duota seka nepriklausomų atsitiktinių dydžių X1, X2,…, Xk,… Dydis Xk su vienodomis tikimybėmis gali įgyti tik dvi reikšmes ka arba -ka. Ar galioja šiai sekai didžiųjų skaičių dėsnis, kai parametras a = a1, a2? Jeigu galioja, užrašykite jį. Čia a1 = -7,5, a2 = 0,07. Sprendimas Kadangi sąlygoje nurodyta, kad tikimybės įgyti reikšmes ka arba -ka yra vienodos, tai jos lygios ½. Norint ištirti, ar sekai X galioja didžiųjų skaičių dėsnis, reikia paskaičiuoti sekos nario XK vidurkį ir dispersiją. Vidurkis: Dispersija: Didžiųjų skaičių dėsnis galioja, kai yra išpildyta bent viena iš šių sąlygų: arba . 1. Tirsime atvejį, kai . Dispersijos: Tai yra mažėjanti seka, todėl pirmoji didžiųjų skaičių dėsnio sąlyga tenkinama. Visi nariai mažesni už 1 ar lygūs. Antroj sąlyga tenkinama, todėl , kai , galioja didžiųjų skaičių dėsnis. . 2. Tirsime atvejį, kai . Turime dispersijų seką , dispersijos neapibrėžtos. Tikriname antrąją sąlygą: , kai . Kai , sekai galioja didžiųjų skaičių dėsnis. Ats.: Galioja abiem atvejais. 17 Užrašykite imties dažnį ir santykinių dažnių pasiskirstymo eilutes. Apskaičiuokite skaitines imties charakteristikas. Nubrėžkite empirinės pasiskirstymo funkcijos ir santykinių dažnių histogramos grafikus. Atsižvelgdami į santykinių dažnių histogramos formą ir skaitines imties charakteristikas, iškelkite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo hipotezę. Raskite taškinius pasiskirstymo dėsnio parametrų įverčius (momentų arba maksimalaus tikėtinumo metodais). Pasinaudodami c2 arba Kolmogorovo suderinamumo kriterijais, patikrinkite neparametrinę empirinės pasiskirstymo funkcijos suderinamumo su teorine hipotezę. Paaiškinkite gautus rezultatus. Užrašykite generalinės aibės pasiskirstymo ir tankio funkcijų išraiškas. Duomenys: 2.06 1.79 2.16 2.55 2.64 2.21 2.32 1.92 1.94 1.37 1.07 1.80 2.18 1.46 2.01 2.69 1.94 2.83 1.28 3.36 2.05 1.99 2.03 2.16 2.86 1.80 1.49 2.21 2.35 2.12 2.88 2.17 2.48 1.79 2.86 2.23 1.58 1.96 2.74 1.48 1.71 1.93 2.60 2.42 2.45 1.83 2.16 1.70 2.27 2.66 1.23 2.98 3.20 2.00 2.08 2.20 2.51 1.17 1.23 2.05 2.09 1.78 1.40 1.99 1.26 1.60 1.98 2.29 2.61 2.83 1.32 2.61 1.82 1.73 2.46 2.15 1.30 1.70 2.15 2.06 1.25 2.51 2.65 2.00 2.10 2.48 1.46 1.63 2.13 1.64 2.81 1.91 1.75 2.26 1.98 3.03 2.01 1.54 1.73 1.75 Sprendimas Vidurkis 2,073 Dispersija 0,2398 Standartinis nuokrypis 0,489 Mediana 2,095 apatinis kvantilis 2,9 viršutinis kvantilis 1,435 Moda (kartojasi 3 kartus) 1,73 ir 2,16 (MathCad) Duomenų grupavimas pasirenkame 8 intervalus. Min= 1,07 Max= 3,36 Intervalo plotis Grupuoti duomenys Nr. Int. pradžia Int. pabaiga Int. vid. taškas ni Santykinis dažnis Pasiskirstymo funkcija F(x) 1 1,07 1,36 1,21 9 0,09 0,09 2 1,36 1,64 1,50 10 0,1 0,19 3 1,64 1,93 1,79 17 0,17 0,36 4 1,93 2,22 2,07 32 0,32 0,68 5 2,22 2,50 2,36 11 0,11 0,79 6 2,50 2,79 2,64 11 0,11 0,9 7 2,79 3,07 2,93 8 0,08 0,98 8 3,07 3,36 3,22 2 0,02 1 Grupuotų duomenų vidurkis: Grupuotų duomenų dispersija: Santykinių dažnių histograma Pasiskirstymo funkcijos grafikas: Brėžiame apytikslį tankio funkcijos grafiką, norit įvertinti priklausomybės tipą: Galima spėti, kad tankio funkcijos priklausomybė yra normalaus pasiskirtsymo. Keliame hipotezę Pagrindinė H0: x pasiskirstymas normalusis; Alternatyvi Ha : pasiskirstymas nėra normalusis. Eksponentinio pasiskirstymo vidurkis. Paruošiame duomenis statistikai: xi-1 xi ui-1 ui ni 1,07 1,36 -2,03 -1,45 -0,5000 -0,4271 0,0729 7,29 9 0,401 1,36 1,64 -1,45 -0,87 -0,4271 -0,3092 0,1179 11,79 10 0,271 1,64 1,93 -0,87 -0,30 -0,3092 -0,1162 0,1930 19,30 17 0,274 1,93 2,22 -0,30 0,28 -0,1162 0,1118 0,2280 22,80 32 3,715 2,22 2,50 0,28 0,86 0,1118 0,3060 0,1943 19,43 11 3,656 2,50 2,79 0,86 1,44 0,3060 0,4255 0,1194 11,94 11 0,074 2,79 3,07 1,44 2,02 0,4255 0,4784 0,0530 5,30 8 1,381 3,07 3,36 2,02 2,60 0,4784 0,5000 0,0216 2,16 2 0,011 9,783 Paskaičiuojame ekvivalentines reikšmes: - Laplaso funkcija, kurios reikšmės randamos iš lentelių. Gauname praktinę reikšmę Parenkame reikšmingumo lygį . Tada Teorinė kriterijaus reikšmė Kadangi , tai galime priimti hipotezę, kad skirstinys yra normalusis ,

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!