Tikimybių teorijos medžiaga ir formulės

 1. Tikimybių erdvė 1.1. Elementariųjų įvykių erdvė Elementariųjų įvykių erdvė Ω; jos elementai elementarieji įvykiai ω;. Elementariojo įvykio sąvoka yra pirminė todėl neapibrėžiama. Ω – eksperimento visų galimų baigčių aibė. 1.2. Atsitiktiniai įvykiai Intuityviai: Jei realizavus sąlygų kompleksą K įvykis gali įvykti arba neįvykti, tai jis vadinamas atsitiktiniu. Žym.: A,B,C, Ω – būtinas, Ø – negalimas įvykis. Elementariųjų įvykių aibės bet kurį poaibį vadinsime atsitiktiniu įvykiu. 1) Nesutaikomi įvykiai: sankirta negalimas įvykis . 2) Pilnoji įvykių grupė: įvykiai A1,A2,...,An sudaro pilnąją įvykių grupę, jei , (t.y. įvykiai poromis neustaikomi). 3) Morgano formulės: . 4) Įvykį vad priešingu įvykiui A. Tarkime, kad turime elementariųjų įvykių erdvę Ω (baigtinė). Imkime visus jos poerdvius ir apjunkime į klasę F, reikalaudami, kad ši klasė būtų algebra, t.y.: 1) 2) 3) Klasės (sistemos) F elementą vad atsitiktiniu įvykiu, . 1) Negalimas įvykis , nes 2) , nes 3) , nes Algebra yra uždara operacijų su atsitiktiniais įvykiais atžvilgiu. Tarkime, kad elementariųjų įvykių erdvė Ω nėra baigtinė. Tada σ-algebra. F vadinama σ-algebra, jeigu: 1) 2) 3) Jei , tai jis vadinamas atsitiktiniu įvykiu. 1.3. Statistinis tikimybės apibrėžimas Fiksuojam sąlygų kompleksą K. Kartojame eksperimentą n kartų. Įvykis A pasirodo k kartų. k=k(A) – dažnis, W(A) – santykinis dažnis, Santykinio dažnio savybės: 1) 2) 3) , kai (A ir B nesutaikomi įvykiai). Jeigu kartojant eksperimentą daug kartų santykiniai dažniai telkiasi apie tam tikrą skaičių P, tai tą skaičių vad tikimybe, apibrėžta statistiniu būdu. 1.4. Aksiominis tikimybės apibrėžimas Ap.: Tikimybe P vad skaitinę f-ją, tenkinančią šias aksiomas: 1) (neneigiama) 2) (normuota) 3) , jei (adityvumas) Elementariosios išvados: 1) 2) , jei (poromis nesutaikomi). Jei Ω nėra baigtinė, apibrėžiame σ-algebrą F ir tikimybės apibrėžime adityvumo savybė keičiama visiško adityvumo savybe: 3’) , jei . vad tikimybine erdve (tikimybinio eksperimento matematiniu modeliu). Tolydumo aksioma: Jeigu įvykių seka monotoniškai mažėjanti ir , tai . 1.5. Klasikinis tikimybės apibrėžimas (atskiras aksiominio apibrėžimo atvejis) Reikalavimai: 1) elementariųjų įvykių erdvė Ω yra baigtinė: 2) elementarieji įvykiai vienodai tikimi: (simetriškumas). Algebra F, - elementarusis įvykis. , , Pastaba: Tarkime, kad elementarieji įvykiai nėra vienodai patikimi, o elementariųjų įvykių erdvė Ω baigtinė arba skaičioji. Jei žinome , , tai (Klasikinio apibrėžimo plėtinys). 1.6. Geometrinis apibrėžimas (atskiras aksiominio apibrėžimo atvejis) Ω – baigtinio mato n-matės erdvės poerdvis. Ω – elementarusis įvykis – taškas priklausantis Ω. Vienodo galimumo principas: tikimybė patekti į sritis, turinčias vienodą matą, yra vienodos. (tai atskiras aksiominio apibrėžimo atvejis). 2. Fundamentaliosios tikimybės teoremos 2.1. Tikimybių sudėties teorema Turime , įvykiai A, B,... Jei įvykiai A ir B nesutaikomi, t.y. , tai yra aksioma: . Tarkime, kad įvykiai A ir B yra bet kokie (nebūtinai nesutaikomi), tuomet: 1t.: ►Galioja lygybė . , A ir (B\AB) nesutaikomi įvykiai, nes . ◄ 1t. Galima apibendrinti baigtiniam įvykių skaičiui. 2.t.: Įvykiamas galioja sąryšis . ►Pasižymime: . Galioja lygybė . , A ir (B\AB) nesutaikomi įvykiai, nes . ◄ 3.t.: Jei sutaikomi įvykiai, tada ►◄ 4.t.: ►◄ 5.t.: Tarkime, kad įvykiai sudaro pilnąją įvykių grupę. Tada ►(būtinas įvykis). . Iš 3,2 aksiomų gauname ◄ 2.2. Sąlyginės tikimybės Turime . Atsitiktinis įvykis . P(A) žinoma – tai įvykio A besąlyginė tikimybė. Tarkime, kad įvyko . Kaip keisis įvykio A tikimybė P(A), kai įvyko įvykis B? P(A/B) – sąlyginė įvykio A, kai įvykęs įvykis B, tikimybė. Ap.: , 2.3. Tikimybių daugybos teorema Iš sąlyginės tikimybės apibrėžimo išplaukia tikimybių daugybos teorema. 1.t.: , Šią teoremą matematinės indukcijos metodu galima apibendrinti ir didesniam baigtiniam įvykių skaičiui. 2.t.: ► 1. n=2 2. Tarkime, kad kai n=k formulė teisinga 3. Įrodysime, kad teisinga ir kai n=k+1. ◄ Formulė teisinga Sąlyginėms tikimybėms galioja aksiomų sistema: 1) ► Įrodymas išplaukia iš sąlyginės tikimybės apibrėžimo ◄ 2) ►◄ 3) lygi sąlyginių tikimybių sumai, kai . ►Pagal sąlyginės tikimybės apibrėžimą . Kadangi įvykiai A ir B nesutaikomi, tai ir ir C nesutaikomi. Iš visiško tikimybės adityvumo išplaukia, kad ◄ 2.4. Pilnosios tikimybės formulė. Bejeso formulė 1.t.(Pilnosios tikimybės formulė): Tarkime, kad įvykiai sudaro pilnąją įvykių grupę, o įvykis A bet kuris. Tada ►. A ir Hk poromis nesutaikomi: . ◄ čia Hk – hipotezės 2.t.(Bejeso teorema): Tarkime, kad galioja 1t sąlygos. Tada . ► Iš tikimybių daugybos ir pilnoios tikimybės foremulės . . Belieka pritaikyti pilnosios tikimybės formulę.◄ Hipotezių tikslinimo formulė: - apriorinės tikimybės, - aposteriorinės tikimybės 2.5. Nepriklausomi įvykiai Turime . . 1.Ap.: Įvykius A ir B vad nepriklausomais, jeigu jų sankirtos tikimybė lygi tikimybių sandaugai: . Elementariosios išvados: 1) A ir Ω yra nepriklausomi ► ◄ 2) A,B – nepriklausomi įvykiai. Tada ir bus nepriklausomi. ► . . . ◄ Apibendrinsime nepriklausomumo sąvoką 2.Ap.: vad nepriklaisomais ( visumoje nepriklausomais), jeigu su visais . vad visumoje nepriklausomais, jei: 2.6. Nepriklausomieji eksperimentai. Bernulio formulė Atlikus eksperimentą E1 gali pasirodyti įvykiai , . Eksperimentus E1,E2 vad nepriklausomais, jei visi Aj, , nepriklauso nuo Bj, . Paprasčiausia nepriklausomų eksperimentų schema – Bernulio eksperimentai. 1Ap.: Nepriklausomuis eksperimentus vad Bernulio eksperimentais, jeigu kiekvieno eksperimento metu gali pasirodyti A arba su nekintančia tikimybe . Teorema(Bernulio formulė): ►žym.: , . . . Visų skirtingų situacijų skaičius , tada iš aksiomos ◄ Apibendrinsime Bernulio eksperimentų schemą. Tarkime, kad atliekame eksperimentus, kurių metu gali pasirodyti įvykiai su nekintančiomis tikimybėmis . Tokią nepriklausomų eksperimentų schemą vad apibendrinta Bernulio schema. Žym.: . Apibendrinta Bernulio formulė: , čia . Atskiru atveju, kai : , . 3. Atsitiktiniai dydžiai 3.1. Atsitiktinio dydžio sąvoka Turime . .Atsitiktiniai dydžiai žymimi X,Y,Z, . Ap.: Realiąją vienareikšmę elementariojo įvykio ω f-ją vad atsitiktiniu dydžiu, jeigu . . 3.2. Skirstinio f-ja Ap.: Atsitiktinio dydžio X skirstinio f-ja F vad nelygybės X

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!