Integralų teorija ir formulės

Apibrėžtinis integralas. Jo geometrinė interpretacija. Jeigu egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba kada λ→0 nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skaidymo būdo ir pasirinktų ci, tai ta riba vadinama funkcijos apinrėžtiniu integralu atkarpoj [a;b]. Integralas žymimas tada skaičiai a ir b yra apatinis ir viršutinis integralo rėžis. Geometrinė prasmė yra ta, kad kreivinės trapecijos plotas funkcijos f≥0, x=a, x=b; S=. Jei funkcija f≤0, tai S=. Jei atkarpoje [a;b] funkc kelis kartus keičia ženklą, tai atkarpą [a;b] išskaidome į S=-+ arba dar kitaip S=. . Kaip ribojama dviem grafikais užrašyti galim taip: S=. Apibrėžtinio integralo savybės. Kada integralas integruojamas atkarpoje [a;b], tai jam galim pritaikyti tokias savybes. 1) . λ ir β bet koki realieji skaičiai. 2) tokiam integralui darome prielaida, kad a>b, o kai aa. Tada integralas turės ribą, kai b→∞. Jei egzistuoja šio integralo baigtinė riba, kai b→+∞, tai ji vadinama funkcijos f(x) netiesioginiu integralu intervale [a;+∞] arba pirmojo tipo netiesioginiu integralu ir žymima . Netiesioginis integralas konverguoja. Antro tipo netiesioginis integralas , trecio tipo netiesioginis integralas Kreivinės trapecijos plotas. Kreivinio sektoriaus plotas polinėse kordinatėse. Imkim, kad atlarpoje [a;b] yra apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija f(x). Figūra apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų tiesių x=a, x=b, iš viršaus – funkcijos f(x). Tai vadinama kreivine trapecija. Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę gausime apskaičiavę sumos σ ribą, kai λ→0. Vadinasi S=. Tai galima taikyti bet kokiai tolyd=iai funkcijai f(x) apibr4=tai intervale [a;b]. Pirmiausia sudarom Rymano integralinę sumą , o tada apskaičiuojame ribą, kai λ→0; . Plotas polinėse kordinatėse. . (ρφ); ρ=f(φ). α=φ01, eilutė yra diverguojanti. Dalambero požymis taikomas tuomet, kai eilutės bendrojo nario išraiškoje yra faktorialas arba laipsnis . Koši požymis. Tarkime, kad . Jei K1, eilutė yra diverguojanti. Koši požymis taikomas ne tik tuomet, kai iš eilutės bendrojo nario galima ištraukti n-ojo laipsnio šaknį, bet ir kai bendrojo nario išraiškoje yra tiesinė funkcija an+b, nes . Integralinis požymis. Jei teigiamosios eilutės nariai = f(n) sudaro mažėjančiąją seką, tai eilutė yra konverguojanti ar diverguojanti kartu su netiesioginiu integralu . Alternuojančiųjų skaičių eilutė. Leibnico požymis. Alternuojančiąja vadinama skaičių eilutė . Leibnico požymis. Alternuojančioji eilutė yra konverguojanti, kai išpildytos dvi sąlygos: 1) seka yra mažėjanti, t. y. 2) sekos riba yra 0, t. y. . Jei konverguojančios alternuojančiosios eilutės sumą S išreikšti daline suma ir liekana S = Sn+ Rn, tai liekanai teisin­ga tokia nelygybė: . Kitaip sakant, jei eilutės suma S pakeičiama daline suma Sn, tai absoliučiąjai paklaidai teisin­ga nelygybė . Konverguojanti alternuojančioji eilutė vadinama absoliučiai konverguojančia, jei jos absoliučiųjų didumų eilutė yra konverguojanti; konver­guo­jan­ti alternuojančioji eilutė vadinama reliatyviai konverguojančia, jei jos absoliučiųjų didu­mų eilutė yra diverguojanti. Laipsninių eilučių konvergavimo sritis. Laipsnine eilute vadinama eilutė arba . Aibė tų x reikšmių, kurioms atitinkamos skaičių eilutės yra konverguojančios, sudaro konvergavimo sritį arba . R vadinamas konvergavimo spinduliu. Jis gali būti: 0, tei­gia­mas skaičius ir . Laipsninės eilutės konvergavimo intervalas nustatomas iš pradžių užrašant absoliučiųjų didumų laipsninę eilutę: arba . Šių teigiamųjų eilučių konvergavimo intervalai randami pri­tai­kius Dalambero arba Koši požymius. Intervalai gaunami iš nelygybių D

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!