Konspektai

Diferenciavimo formulės ir teorija

9.6   (2 atsiliepimai)
Diferenciavimo formulės ir teorija 1 puslapis
Diferenciavimo formulės ir teorija 2 puslapis
Diferenciavimo formulės ir teorija 3 puslapis
Diferenciavimo formulės ir teorija 4 puslapis
Diferenciavimo formulės ir teorija 5 puslapis
Diferenciavimo formulės ir teorija 6 puslapis
www.nemoku.lt
www.nemoku.lt
Aukščiau pateiktos peržiūros nuotraukos yra sumažintos kokybės. Norėdami matyti visą darbą, spustelkite peržiūrėti darbą.
Ištrauka

1.Pirmykstės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo savokos. Neapibrėžtinio integralo savybės 1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija atkarpoje [a;b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose x teisinga lygybė arba Analogiškai apibrėžiama funkcijos f(x) pirmykštė funkcija begaliniame bei atvirame intervale (a;b). Teorema. Jei F1(x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f(x) pirmykštės funkcijos atkarpoje [a;b], tai jos viena nuo kitos skiriasi konstanta C, t.y. . Remiantis pirmykstės funkcijos apibrežimu, visuose atkarpos [a;b] taškuose x teisingos lygybes: Iš šių lygybių gauname, kad , , . Toliau pasiremsime anksciau įrodytu teiginiu: jeigu funkcijos išvestinė kuriame nors intervale lygi nuliui, tai funkcija shiame intervale yra pastovi. Vadinasi, , . Išvada. Kai F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų atkarpoje [a;b], tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė funkcija šioje atkarpoje išreiškiama suma F(x)+C, čia C=const. 2 apibrežimas. Aibė visų duotossios funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C, čia C=const., vadinama funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima simboliu . Funkcija f(x) vadinama pointegraline funkcija, sandauga f(x)dx — pointegraliniu reiškiniu, ženklas — integralo ženklu, x — integravimo kintamuoju. Vadinasi, , C=const, kai . Veiksmas, kuriuo surandama duotosios funkcijos pirmykštė funkcija, vadinamas integravimu. Jo rezultatas — pirmykščių funkcijų begalinė aibė. Tuo šis veiksmas skiriasi nuo jam atvirkštinio diferencijavimo veiksmo, nes funkcijos išvestinė apskaičiuojama vienareikšmiškai. Geometriškai neapibėžtinis integralas nusako šeimą (aibę) kreivių y=F(x)+C, kurių kiekviena gaunama lygiagrečiai pastumiant funkcijos y=f(x) grafiką Oy ašies kryptimi į viršų, kai C>0, ar į apačią, kai C 0 atkarpoje [a;b], tai Įrodymas: Kadangi bet kuriame atkarpos [a;b] taškeir ,tai. Tuomet ir . Perėję prie ribos, kai , gauname reikiamą lygybę. 6. Jei atkarpoje [a;b], tai . Įrodymas: Iš lygybėsišplaukia . Tuomet, remiantis 5 ir 1 savybėmis, , t.y. . 7. Apibrėžtinio integralo įvertinimas. Tarkime, kad m =, M =. Tada . Įrodymas: Kadangiir, tai. Apskaičiuosime sumą ==. dabar aišku, kad, perėję prie ribos nelygybėse, teoremą įrodome. 8. Vidutinės reikšmės teorema. Kadangi ši savybė dažnai naudojama, tai ją suformuluosime kaip teoremą. Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja tos atkarpos taškas c, kuriame =. Įrodymas: Kadangi funkcija tolydi atkarpoje [a;b], tai ji šioje atkarpoje įgyja savo mažiausią ir didžiausią reikšmes m ir M, todėl . Tuomet teisingos nelygybės. Padaliję jas iš b - a > 0, gausime. Kadangi dydis yra tarp funkcijos f(x) mažiausios ir didžiausios reikšmių m ir M, tai šis dydis, remiantis teorema apie tolydžios atkarpoje funkcijos tarpinę reikšmę, yra funkcijos f(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pavyzdžiui, kuriame nors taške c (a 0 geometriškai reikštų kreivinės trapecijos aAXx turinčios kintamą kraštinę xX, plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas irgi bus kintamas ir priklausys nuo x. Todėl=. Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], =, tai =šios atkarpos taškuose. Įrodymas: Kintamajam x suteikiame pokytįir apskaičiuojame pokytį:====. Integralui taikome vidutinės reikšmės teoremą:===; čia . Tuomet ==. Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu:==. Kadangi , kai , tai dėl f(x) tolydumo:== f(x). Taigi = f(x). Iš to išplaukia svarbi išvada: kiekviena tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją= 5.Niutono ir Leibnico formulė Išvesime formulę, kuri apibrėžtinį integralą susieja su pointegralinės funkcijos pirmykšte funkcija. Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b] ir F(x) – kuri nors jos pirmykštė šioje atkarpoje, tai =. Įrodymas: Remiantis integralo su kintamu viršutiniu rėžiu teorema, galime teigti, kad tolydi atkarpoje [a;b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią . Kadangi pagal sąlygą F(x) irgi yra funkcijos f(x) pirmykštė, tai jos turi skirtis tik konstanta, todėl=. Įrašę į šią lygybę x = a, gauname: =, . Taigi =. Įrašę į šią formulę x = b, turime =,=. Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą įprasta žymėti . 6.. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimasStačiakampės koordinatės: Tarkime, kad stačiakampėse koordinatėse duota kreivė, kurios lygtis . Rasime šios kreivės lanko AB ilgį. Pirmiausia apibrėšime, ką vadiname kreivės lanko ilgiu. Tuo tikslu lanką AB bet kaip taškais padalykime į n dalių. Sakykime, kad šių abscisės yra . Per gautus taškus išveskime stygas . Stygos ilgį pažymėkime . Tuomet laužtės, įbrėžtos į lanką AB, ilgis bus lygus . Pažymėkime . Apibrėžimas: Kreivės lanko AB ilgiu L vadinama riba, prie kurios artėja įbrėžtos į tą kreivę ilgis, kai . Taigi . Dabar tarkime, kad funkcija f(x) ir jos išvestinė atkarpoje [a;b] tolydžios. Pažymėkime: . Pagal Pitagoro teoremą . Skirtumui pritaikome Lagranžo teoremą. Tuomet . Todėl ir . Vadinasi, . Kadangi f‘(x) tolydi atkarpoje [a;b[, tai irgi tolydi, todėl egzistuoja parašytos integralinės sumos riba, kuri lygi apibrėžtiniam integralui: ; čia . Dydis ds vadinamas kreivės lanko ilgio diferencialu. 7. Išveskite formulę kreivės lankui apskaičiuoti, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Tarkime, kad kreives lygtys yra tokios: x = x (t), y = y(t),t priklauso [t1; t2 ]; čia x (t) ir y (t) tolydžios atkarpoje [t1;t2] funkcijos, turinčios tolydžias išvestines.Tuomet Ir (sqrt(1+y,2))dx=(sqrt(x,2t+y'2t))dt. Vadinasi, jeigu x (t1)=a, x(t2)=b, tai L=a ]b(sqrt(1+ y'2)) dx=t1 ]t2 (sqrt(x't2 +y't2)) dt. 8. Kreivės lanko ilgio apskaičiavimas Polinėse koordinatėse: Tarkime, kad kreivės lygtis polinėje koordinačių sistemoje yra , . Šią lygtį galima pakeisti parametrinėmis lygtimis, naudojant ryšio tarp stačiakampių ir polinių koordinačių formules . Tuomet, įrašę į šias lygtis vietoje dydį , gauname ; čia parametras vaidina parametro t vaidmenį. Tuomet . Randame: , todėl ir ; čia

Daugiau informacijos...

Šį darbą sudaro 1730 žodžiai, tikrai rasi tai, ko ieškai!

★ Klientai rekomenduoja


Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!

Detali informacija
Darbo tipas
Lygis
Universitetinis
Failo tipas
Word failas (.doc)
Apimtis
6 psl., (1730 ž.)
Darbo duomenys
  • Matematikos konspektas
  • 6 psl., (1730 ž.)
  • Word failas 472 KB
  • Lygis: Universitetinis
www.nemoku.lt Atsisiųsti šį konspektą
Privalumai
Pakeitimo garantija Darbo pakeitimo garantija

Atsisiuntei rašto darbą ir neradai jame reikalingos informacijos? Pakeisime jį kitu nemokamai.

Sutaupyk 25% pirkdamas daugiau Gauk 25% nuolaidą

Pirkdamas daugiau nei vieną darbą, nuo sekančių darbų gausi 25% nuolaidą.

Greitas aptarnavimas Greitas aptarnavimas

Išsirink norimus rašto darbus ir gauk juos akimirksniu po sėkmingo apmokėjimo!

Atsiliepimai
www.nemoku.lt
Dainius Studentas
Naudojuosi nuo pirmo kurso ir visad randu tai, ko reikia. O ypač smagu, kad įdėjęs darbą gaunu bet kurį nemokamai. Geras puslapis.
www.nemoku.lt
Aurimas Studentas
Puiki svetainė, refleksija pilnai pateisino visus lūkesčius.
www.nemoku.lt
Greta Moksleivė
Pirkau rašto darbą, viskas gerai.
www.nemoku.lt
Skaistė Studentė
Užmačiau šią svetainę kursiokės kompiuteryje. :D Ką galiu pasakyti, iš kitur ir nebesisiunčiu, kai čia yra viskas ko reikia.
Palaukite! Šį darbą galite atsisiųsti visiškai NEMOKAMAI! Įkelkite bet kokį savo turimą mokslo darbą ir už kiekvieną įkeltą darbą būsite apdovanoti - gausite dovanų kodus, skirtus nemokamai parsisiųsti jums reikalingus rašto darbus.
Vilkti dokumentus čia:

.doc, .docx, .pdf, .ppt, .pptx, .odt