Matematikos formulės ir teorija

KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS ALGEBRINĖ FORMA. z =x+iy , x,y € R i –menamas vienetas; x =Re z –realioji komp. sk. dalis.; y=Im z –menamoji komp. sk. dalis; Jei 1)z1=z2 x1=x2; y1=y2; 2)z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2); z1*z2=(x1*x2–y1*y2)+i(x1*y2 +x2* y1) ; 3) –z–=x–iy -komp junktinis sk.z+–z–=2x; z*–z–=x2+y2, tai z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22)+i[(x2y1–x1y2)/(x22+y22)]. KOMPLEKSINIO SKAIČIAUS TRIG. FORMA z=x+iy=r(cosφ+isin)=reiφ. Oilerio formule: eiφ=cosφ+isinφ. Komp sk. modulis r=|z|=sqrt(x2+y2), Kompl sk. argumentas φ=argz. argz={1)arctg(y/x), x>0; 2) arctg(y/x)+π, x0; 3) arctg(y/x)–π, xz0lim f(z)=A)(ε>0, ∂=∂(ε), z:z≠0 => |f(z)–A|z0 ir jei ta riba yra kompl sk. A, ir ta ribine reiksme bus ta pati nepriklausant nuo to kaip z=>z0 (ar is kaires ar is desines) tai reiskia funkcija turi riba taske z0. Jeigu pazimesim: f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=B+iC, z=x+iy, z0=x0+iy0; tai is ribos apibrezimo isplaukia: (z=>z0limf(z)=A)(x=>x0; y=>y0lim u(x,y)=B; x=>x0; y=>y0lim v(x,y)=C); Savybes: 1) z=>z0lim(f(z)g(z))= z=>z0limf(z) z=>z0limg(z); 2) z=>z0lim(f(z)*g(z))= z=>z0limf(z)* z=>z0limg(z); 3) z=>z0lim(f(z)/g(z)0= z=>z0limf(z)/ z=>z0limg(z), z=>z0limg(z)≠0. komp kint funk tolidumas z0€S sryciai , tai z=>z0limf(z0)=f(z0); (f(z) tolid funk, z0=x0+iy0) (ε>0, ∂=∂(ε)>0, : |z–z0||f(z)–f(z0)|0lim w/z= z=>0lim(u+iy/z), kuri nepriklauso nuo to , kaip z=>0. Isnagrinekim du variantus. a) tarkim,kad z=>0 tiese, lygiegrecia realiai asiai Ox. tada z=x+iy=x+i*0=x, todel f(z0)= x=>0lim[(u+iv)/x]= x=>0lim(u/x)+i x=>0lim(v/x) =∂u/∂x+i∂v/∂x. b) tarkim, kad z=>0 tiese, lygiagrecia menamai asiai Oy. Tada z=x+iy=0+ +iy =iy, todel f(z0)= y=>0lim[(u+iv)/y]= 1/i*y=>0lim(u/y) +y=>0lim(v/y)=1/i2*∂u/∂y+ +∂v/∂y. Suligine israiska gauname Kosi ir Rymano salygas: ∂u/∂x=∂v/∂y; ∂u/∂y= –∂v/∂x∂ Pakankumas: Sakikim kad funkcijos u(x,y) ir v(x,y) diferencijuojamos taske (x0,y0) bei ju dalines isvestines siame taske susietos Kosi ir Rymano salygomis. Siu funkciju pilnieji pokyciai tada bus u=(∂u/∂x)*x+(∂u/∂y)*y+α; v=(∂v/∂x)*x+(∂v/∂y)*y+β, {cia z=>0lim(α/z)=0; xz=>0lim(β/z)=0}; z=>lim[(∂u/∂x)*x+(∂u/∂y)*y+α+(∂v/∂x)*x+(∂v/∂y)*y+β]/z= {∂u/∂x=∂v/∂y; ∂u/∂y= –∂v/∂x∂}= z=>lim[(∂u/∂x+i∂v/∂x)*(x+iy){prastinasi su z}+(α+iβ)/z]= =z=>lim[∂u/∂x+i∂v/∂x]+ z=>lim(α/z){=0}+z=>lim(β/z){=0}=∂u/∂x+i(∂v/∂x)=f (z). Teorema irodita pilnai. PVZ: reikia istirti ar w=f(z)= –z– diferencijuojama. –z– =x–iy=u(x,y)–iv(x,y); u(x,y)=x, v(x,y)= –y, tikrinam kosi rymano salygas: ∂u/∂x=1, ∂u/∂y=0, ∂v/∂x=0, ∂v/∂y= –1; gauname 1≠–1 ir 0=0 => funkcija nediferencijuojama nei viename plokstumos taske. Analizine funkcija. Apibr: komplek kint funk w=f(x) yra vadinama analizine taske z, jeigu ji yra diferencijuojama ne tik tame taske, bet ir tam tikroje , nors ir labai mazoje tasko aplinkoje. Funkcija vadinama analizine srytije, jei ji yra analizine visuose sryties taskuose (diferencij visuose taskuose). Harmonines funkcijos. apibrez: reali dvieju kintamuju funkcija u(x,y) vadiname harmonine srytije D, jei ji kartu su savo pimos ir antros eiles dalinemis isvestinemis yra tolidi srytije D ir tenkina laplaso likti: ∂2/∂x2+∂2u/∂y2=0, Teorema: Srytije D analizines funkcijos f(z)=u(x,y)+iv(z,y) realioji ir menamoji dalys yra harmonines funkcijos toje srytyje. Irodimas: analizinei funkcijai f(z) srytije D galioja Kosi ir Rymano salygos: {∂u/∂x=∂v/∂y (1);∂u/∂y= –∂v/∂x; (2); isdifirencijave (1) lygybe x, o (2) y atzvilgiu gauname: ∂ 2u/∂x2=∂ 2v/(∂y∂x); ∂ 2u/∂y2= –∂ 2v /(∂x∂y). Kadangi desinej esancios misrios isvestines yra lygios, tai ∂ 2u/∂x2+∂ 2u/∂y2=∂ 2v/(∂y∂x)–∂ 2v/(∂x∂y)=0 gaunu kad funkcija u(x,y) tenkina laplaso likti. Kartu ji yra harmonine srytije D. Taip pat galim irodit kad ir reali funkcija v(x,y) harmonine sryty D. KOMPLEKSINIO KINTAMO FUNKCIJOS. 1) laipsnine funkcija w=zn, n=2,3,.. Si funkcija yra vienareiksme , kai z=>, tai w=zn=>, nes |z|n =>. Taip pat si funkcija analizine visoje kompleksineje plokstumoje z ir w=nzn–1. 2) Rodikline funkcija. w=f(z)=zM, cia M– betkoks komplek skaic. eZ=ex+iy=ex*eiy=ex(cosy +isiny), kadangi w=eZ=u+iv, gauname u=u(x,y)=Rew=eXcosy, v=v(x,y)=Imw=eXsiny. Funkcija w=eZ tenkina Kosi ir Rymano salygas, todel ji yra analizine funk. visoje kompl plokstumoj. 3) Trigonometrines funkc. Pakeite Oilerio formuleje eiZ=cosz+i*sinz (1) skaiciu z skaiciumi –z, gauname: e–iZ=cos(–z)–i*sin(–z), kadangi cos(–z)=cosz, o sin(–z)=–sin(z), tai gauname e–iZ=cosz–i*sinz (2). Sudejus ar atemus (1) ir (2) formules, isju isreiskiam: cosz= (eiZ+e–iZ)/2; sinz=(eiZ+e–iZ)/2i. tgz=sinz/cosz; ctgz=cosz/sinz; (cosz)=–sinz, (sinz)=cosz, T=2π; cos2z+sin2z=1; cos(z1z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2; sin(z1z2)=sinz1*cosz2 cosz1* *sinz2. 5)Hiperboliniai cos sin. chz= (eZ+e–Z)/2; shz=(eZ-e–Z)/2. Ju sarysis su trigonometrinem: sh(iz)=i*(eiZ+e–iZ)/2i=i*sinz; ch(iz)= (eiZ+e–iZ)/2=cosz; th(iz)=i*tgz; sin(iz)=i*shz; cos(iz)=chz; tg(iz)=i*thz. Savybes: ch2z–sh2z=1. Atvirkstines trigonometrines hiperb funk. 1) z=sinw, tai w=Arcsinz; w=Ar chz. 2)z=cosw, tai w=Arccosz; w=Ar chz. 3)z=tgw, tai w=Arctgz; w=Ar thz. 4) w=ctgz, tai w=Arcctgz; w=Arcthz. Visas sias funkcijas galime isreiksti ogaritmine kompleksinio kintamojo funkcija, kuria remiantis ieskosim realios ir menamos dalies.PVZ: w=Arccosz, kai z=cosw=ei w+e–i w. Sprendms: cosw=(ei w+e–i w)/2 padauginam is (eiw/eiw)=(ei2w+1)/(2eiw); e i 2w– 2zeiw+1=0; (eiw)2–2eiwz+z2–z2+1=0 ; (eiz–z)2=z2–1; eiz–z=sqrt(z2–1); eiz=z+ sqrt(z2–1) logaritmuodami gauname: iw=Ln(z+ sqrt(z2–1)), w=1/i* Ln(z+ sqrt(z2–1)), cia Lnz=ln|z|+i*argz+i*2πk. kitos formules: 1)Arccosz=1/i* Ln(z+ sqrt(z2–1)) 2)Arcsinz=1/i*Ln(iz+sqrt[1–z2]); 3)Arctgz=1/2i*Ln([1+iz]/[1–iz]); 4)Arcctg=–1/2i*Ln([iz+1]/[iz–1]); 5)Archz=Ln(z+sqrt[z2–1]); 6)Arshz=Ln(z+sqrt[z2+1]); 7)Arthz=1/2*Ln[(1+z)/(1–z)]; 8)Arcthz=1/2*Ln[(z+1)/(z–1)]; Kompl funk integralas. Kompleksinej plokstumos (z) srytije D apibrezta vienareiksme tolidi funkcija w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Pradeje nuo tasko A, kreive l tarpiniais taskais A=z0,z1,z2...zk–1,zk,..zn–1,zn=B bet kaip padalijam i n daliu. Kiekvienoje tokioje dalyje, apribota taskais zk–1 ir zk , (k=1,2,..n), laisvai pasirenkame po taska ξ k=ξ k +iη k ir apskaiciuojam duotos funkcijos reiksmes f(ξ k). Tada sudarome integraline suma: Sn= k=1Σnf(ξ k)z k. cia Z k=Zk–Zk–1 vektorius jungiantis tasku Zk ir Zk–1 Apibrezims: Jei egzistuoja integraliniu sumu Sn baiktine riba, kai λ=Kmax |Zk|=>0, nepriklausanti nuo tasku ξ k pasirinkimo ir kreives l padalijamo i dalis budo, tai ja vadiname funkcijos f(z) integralu kreive γ (γ=AB) ir zymim: γ ∫f(z)dz, pagal apibrezima: γ ∫f(z)dz=λ=>0lim k=1Σnf(ξ k)z k. Is cia γ∫f(z)dz= γ∫(udx–vdy) +i*γ∫(vdx+udy), cia u=u(x,y); v=v(x,y). Kadangi komplek kint funkcijos integralas yra isreiskiamas realiu funkciju kreiviniais integralais, tai ir savybes yra panasios:1) γ∫[f1(z)+ f2(z)]dz= γ∫f1(dz)+ γ∫f2(z)dz; 2) γ∫c*f(z)dz=c* γ∫f(dz); 3) γ+∫f(dz)=– γ–∫f1(dz). Kreive keis zenkla, jei pvz integruosim is A=>B tai bus γ+, jei B=>A, tai γ–. 4) γ∫f(dz)= γ1∫f(dz)+ γ2∫f(dz), cia γ=γ1+γ2. 5) Integralo ivertinimo teorema: Jei f(z)tolydi kreives γ taskuose, tai |γ∫f(dz)|z)lim |f(ξ)–f(z)|/ξ–z =0; kai (ξ=>0)=>(r=>0)=> [f(ξ)=>f(z)]. Isvada: Reiskinys max|f(ξ)–f(z)| gali buti padarytas kiek norim mazu, mazinant spinduli r. Taciau kairioji puse nuo r nepriklauso, tai reiskia kairioji puse =0. f(z)=1/2πi* *f(ξ)/(ξ–z)dξ. Irodyta. KOSI integralo apibendrinims. Jei f(z) yra analizine sryti D ir tolidi srytije –D–, tai tada tos funkcijos isvestines reiksme taske z gali buti isreikstaintegralu: f(n)(z)=n!/2πni*[f(ξ)dξ]/[(ξ–z)n+1]; kai n=1, tai f (z)= 1/2πi* *[f(ξ)dξ]/[(ξ–z)2]; Kompleksiniu skaiciu eilutes. C0+C1+..Cn+..=n=0ΣCn, – kompleksiniu skaiciu eilute. Cn=an+ibn –kompl skaicius (an ir bn R). Sn= k=0ΣnCk ntoji daline suma. Eilute konverguoja jei egzistuoja baiktine eilutes suma {n=>}limSn= S jei{n=>}limSn= , tai diverg. Jei 1) {n=1Σ|Cn| konv}=> n=0ΣCn konverg absoliuc. 2) {n=0ΣCn konv}{ n=0Σan ir n=0Σbn konverg}. kompl funkciju eilutes. n=0Σfn(z)=f0(z)+f1(z)+..fn(z)+.., Sn(z)= k=0Σnfk(z). Jei {n=>}limSn(z)= S(z), zD tai si eilute konv sryti D. Sakikim {n=0Σf n(z) konv D}{>0 ir zD, N=N(,r): nN =>|Rn(z)|{>0 N=N(): nN ir zD=> |Rn(z)|z2–z0| Irodimas: zinom kad n=0ΣCn(z–z0)n konverg, nes ispildyta but konv salyga: n=>lim[Cn(z–z0)n]=0. Is cia isplaukia, kad kompl sk. seka sudaryta is tos eil nariu ir yra aprezta. Tai galim uzrasyti toki iverti: |Cn(z–z0)n|K, n=0,1,2.. z: |z–z0|rR=|z1–z0|; |(z–z0)/(z1–z0)|r/R=q|z2–z0| diverguos. Darome prielaida, kad yra taskas z3, kuriame eilute konverguoja |z3–z0|>|z2–z0|, tuo atveju remiantis A dalimi, galim sakyt, kad apskritimo viduje z3 konverg. Tai priestaravimas! Eilut diverg. Paaiskinimas kaskoks: |z–z0|

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!