Išsami matematikos teorija ir formulės

 1. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas. Tankiai tenka ieškoti funkcijos , kai žinoma funkcijos išvestinė arba diferencialas . Apibr.: Funkcija vadinama funkcijos pirmykšte funkcija atkarpoje , jeigu visuose šios atkarpos taškuose x teisinga lygybė arba Analogiškai apibrėžiama funkcijos pirmykštė funkcija begaliniame bei atvirame intervale. Teorema. Jeigu yra dvi funkcijos f(x) pirmykštės funkcijos atkarpoje , tai jos viena nuo kitos skiriasi tik konstanta C: Pagal pirmykštės funkcijos apibrėžimą visuose atkarpos taškuose x teisingos lygybės iš čia gauname su kiekviena x reikšme iš . O tai reiškia, kad funkcijos kurių išvestinės lygios viena nuo kitos skiriasi tik konstanta. Išvada. Jeigu F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių atkarpoje funkcijų, tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė šioje atkarpoje išreiškiama suma F(x)+C; čia C – laisvoji konstanta. Apibrėžimas. Jeigu funkcija F(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė funkcija, tai visuma funkcijų F(x)+C (čia C – konstanta) vadinama funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima . Ženklas vadinamas integralo ženklu. Funkcija f(x) vadinama pointegraline funkcija, f(x)dx – pointegraliniu reiškiniu, x – integravimo kintamuoju. Veiksmas, kuriuo randama duotos funkcijos pirmykštė funkcija, vadinamas integravimu. Šis veiksmas atvikščias diferencijavimui. Ne kiekviena funkcija apibrėžta kuriame nors intervale turi pirmykštę. Tačiau, kai f(x) yra tolydi atkarpoje , tai jos pirmykštė funkcija (kartu ir neapibrėžtinis integralas) egzistuoja visada. 2. Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės. Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės: 1) Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai . 2) Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus pointegraliniam reiškiniui . 3) Funkcijos diferencialo neapibrėžtinis integralas lygus difetencijuojamos funkcijos ir konstantos sumai . 4) Neapibrėžtinio integralo tiesiškumo savybė Įrodymas. Randame dešinės pusės išvestinę . Randame kairės pusės išvestines . Abiejų pusių išvestinės lygios, todėl ši lygybė teisinga konstantos tikslumu. Iš tiesiškumo savybės galima daryti išvadas: a) funkcijų sumos integralas lygus tų funkcijų integralų sumai. b) Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą. 3. Tiesioginis integravimas. Integravimo formulių invariantiškumo savybė. Jeigu – funkcija, turinti tolydžią išvestinę, tai . Įrodymas. kadangi , tai arba . Imkime sudėtinę funkciją . Žinome, kad pirmos eilės diferencialui būdinga invariantiškumo savybė, todėl . Tuomet . Vadinasi pagrindinių integralų formulės visada yra teisingos, nesvarbu ar integravimo kintamasis yra nepriklausomas, ar bet kuri diferencijuojama to kintamojo funkcija. Neapibrėžtinių integralų skaičiavimas, taikant integravimo formulesir savybes ( taip pat formulių invariantiškumo savybę), vadiname tiesioginiu integravimu. a) Kadangi , tai prie reiškinio,esančio už diferencialo ženklo, pridedant arba atimant konstantą integralas nesikeičia. Pvz.: . b) Kadangi , tai reiškinį , esantį už diferencialo ženklo dauginant iš konstantos, integralą, kad jis nepasikeistų, reikia padalinti iš šios konstantos. Pvz.: . c) Pointegralinio reiškinio kurio nors daugiklio nukėlimas už diferencialo reiškia to daugiklio suintegravimą. Kadangi , tai iš integralo apibrėžimo . Pvz.: a. , b. , c. , d. e . 4. Integravimas keičiant kintamąjį. Sakykime, kad, norėdami rasti integralą , kintamąjį pakeičiame pagal formulę . Tarkime kad funkcijos yra tolydžios, o funkcija turi atvikštinę funkciją. Tada Įrodysime, kad teisinga lygybė (1) Išdiferencijavę kairiąją (1) lygybės pusę, gauname: . Dešiniąją (1) lygybės pusę diferencijuojame kaip sudėtinę funkciją, kintamąjį t laikydami tarpiniu argumentu. Todėl , nes pasinaudojus atvirkštinės funkcijos išvestine. Kadangi abiejų pusių išvestinės lygios tai ( 1 ) lygybė teisinga Kintamasis keičiamas: a) kai po integralo ženklu yra daug šaknų su vienodais pošakniais,tai atliekamas keitimas , kur laipsnio rodiklių bendras vardiklis b) , , . d) integruojant : 1) kai 2) kai 3) kai 4) Kai netinka 1) 2) 3) atvėjai keitinys . 5. Integravimas dalimis, kam tai taikoma. Tarkime, kad a – kintamojo x funkcijos, turinčios tolydžias išvestines.Tuomet šių funkcijų sandaugos diferencialą galima užrašyti ; iš čia . Integruodami šios lygybės abi puses gauname: . Tai integravimo dalimis formulė. Kad galėtume tinkamai ją panaudoti, privalome pointegralinį reiškinį suskirstyti į du dauginamuosius taip, kad pavyktų suintegruoti diferencialinius reiškinius – iš pradžių dv, po to vdu. Dauguma integralų, apskaičiuojamų šiuo metodu, galima suskirstyti į tris grupes. 1. Integralai ; čia P(x) – daugianaris ; Žymime 2. Integralai , čia a – realusis skaičius, P(x) – daugianaris. Žymima . 3. Integralai ; žymine . Šios grupės integtalai integruojami du kartus dalimis it gauname pirmo laipsnio lygtį integralo atžvilgiu. 6. formulės išvedimas. 7. formulės išvedimas. Analogiškai integruojama ir integralas , taikant pakeitimą . Arba integruojama naudojant sekantį pakeitimą: 8. integravimas. Integruojama išsivadavus iš įracionalumo skaitiklyje ir išskaidžius į du integralus: Dešinėje pusėje gavome integralą , kurį integruojame. Pasirašome lygti iš kurios rasime ieškomą integralą. iš čia 9. integravimas. Integruosime išsivadavus iš įracionalumo skaitiklyje ir išskaidžius į du integralus. Galima integruoti taikant trigonometrinį pakeitimą: Gavome 10. ir integravimas. 11. Apibrėžtinis integralas. Integralinė suma.(Kaip susiję šios sąvokos). Sakykime, kad atkarpoje apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija . Apibr.: Figūra, apribota iš apačios abscisių ašimi, iš šonų tiesių , iš viršaus funkcijos grafiku, vadinama kreivine trapecija. Apskaičiuosime šios kreivinės trapecijos plotą. Atkarpą taškais bet kaip padaliname į n dalių. Kiekvienoje dalyje bet kur pasirinkime po tašką ir suraskime funkcijos reikšmes šiuose taškuose . Kiekvieną atkarpą laikydami kraštine, nubraižykime stačiakampius, kurių pagrindai lygūs , o aukštinės lygios . gauname laiptuotą figūrą (žr.brėž.). Apskaičiuojame jos plotą. Kiekvieno stačiakampio plotas lygus , todėl visos laiptuotos figūros plotas lygus visų stačiakampių plotų sumai . Aišku, kad laiptuotos figūros plotas bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos plotui,kuo bus mažesnės atkarpos . Pažymėję , . Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos ribą, kai ( tuonet n neaprėžtai didėja). Vadinasi . ( 1 ) Aprašytą procedūrą pritaikę bet kuriai tolydžiajai funkcijai apibrėžtai atkarpoje : 1) Sudarykime sumą , kuri vadinama integraline suma; 2) Apskaičiuokime šios sumos ribą, kai : . Apibrėžimas. Baigtinė integralinės sumos riba, kai , nepriklausanti nuo atkarpos skaidymo būdo bei nuo taškų parinkimo, vadinama funkcijos f(x) apibrėžtiniu integralu atkarpoje . Apibrėžtinis integralas žumimas simboliu . Taigi . ( 2 ) Skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais. ( 2 ) formulė parodo koks yra ryšis tarp integralinės sumos ir apibrėžtinio integralo. Integralinėje sumoje : a) ribos ir sumos ženklus pakeitus simboliu , b) funkcijos reikšmę tarpiniame taške pakeitus į f(x), c) o intevalo ilgį pakeitę diferencialu dx. Gaunamas apibrėžtionis integralas. Iš ( 1 ) formulės turime, kad kreivinės trapecijos plotas . Tai ir yra apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė. 12. Apibrėžtinio integralo savybės (5). Sakykime, kad – integruojamos atkarpoje funkcijos. Tuomet teisingi šie teiginiai: 1) a , čia bet kokie realieji skaičiai. Įrodymas. pritaikę integralo apibrėžimą gauname: 2) . Ši savybė išplaukia iš apibrėžtinio integralo apibrėžimo, nes integravimo atkarpos ilgis ir integralinė suma taip pat lygi nuliui 3) Kai a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!