Matematikos egzamino teorijos santrumpa

 1. Matricos. Veiksmai su matricomis. Matrica – skaičių lentelė, turinti m eilučių ir n stulpelių vadiname stačiakampe matrica. MATRICŲ ĮVAIROVĖ. Jei matrica turi m eilučių ir n stulpelių, tai sakoma, kad jos matavimas arba formatas yra m x n. Matrica, sudaryta iš vienos eilutės, vadinama vektoriumi – eilute. Matrica, sudaryta iš vieno stulpelio, vadinama vektoriumi – stulpeliu. Matrica, kurios visi elementai nuliai, vadinama nuline matrica. Matrica, kurios eilučių ir stulpelių skaičius yra vienodas (m=n), vadinama kvadratine n – tosios eilės matrica. VIENARŪŠĖS MATRICOS. Matricos vadinamos vienarūšėmis jeigu jos turi po vienodą eilučių ir stulpelių skaičių. TRANSPONUOTOS MATRICOS. Jeigu matricos A eilučių elementus sukeisime vietomis su atitinkamų stulpelių elementais, tai gausime transponuotą matricą. MATRICŲ SUDĖTIS. Sudėti ir atimti galima tik to pačio matavimo matricas. DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS. Norint matricą padauginti iš skaičiaus reikia kiekvieną jos elementą padauginti iš to skaičiaus. MATRICŲ DAUGYBA. Sudauginti galima tik tokias matricas, kurių pirmosios stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui. Matricos C=AxB elementas Cij lygus matricos A-tosios eilutės ir matricos Bj-tojo stulpelio elementų sandaugų sumai. 2. Determinantai. Jų savybės ir skaičiavimas (antros eilės, trečios eilės, bet kurios eilės). Determinantu vadinamas skaičius, kuris pagal tam tikrą taisyklę priskiriamas kvadratinei matricai: • pirmosios eilės matricos (a11) determinantas yra skaičius a11; • antrosios eilės matricos determinantu vadinamas skaičius: • trečiosios eilės determinantas DETERMINANTŲ SAVYBĖS. • sukeitus determinanto visas eilute ir visus stulpelius vietomis, determinanto reikšmė nesikeičia • sukeitus dvi eilutes (stulpelius) vietomis, determinanto reikšmės absoliutinis didumas nesikeičia, o jos ženklas keičiasi į priešingą (pakinta determinanto ženklas) • bendrąjį kurios nors eilutės (stulpelio) elementų daugiklį galima iškelti prieš determinanto ženklą • jei visi kurios nors determinanto eilutės (stulpelio) elementai lygūs nuliui, tai toks determinantas lygus nuliui • determinantas, kurio dvi eilutės (stulpeliai) turi vienodus elementus, lygūs nuliui • jei prie kurios nors determinanto eilutės elementų pridėsime kitos eilutės elementus, padaugintus iš to paties skaičiaus, nelygaus nuliui, tai determinanto reikšmė nepakis (elementariųjų pertvarkymų savybė) MINORAS. Determinanto A elemento aij minoru Mij vadiname determinantą, kuris lieka išbraukus pradinio determinanto i – tąją eilutę ir j – tąjį stulpelį. ADJUNKTAS. Determinanto A elemento aij adjunktu Aij vadinsime reiškinį Determinanto skaičiavimas, skleidžiant eilutės (stulpelio) elementais. Determinantas yra lygus kurios nors jo eilutės (stulpelio) elementų ir jų adjunktų sandaugų sumai. 3. Gauso metodas. GAUSO METODAS Bendrasis pavidalas. Išplėstoji sistemos matrica. Tiesinių lygčių sistemą sprendžiame pertvarkydami į išplėstąją matricą (A|B) sudaryta iš koeficientų prieš nežinomųjų matricos A ir laisvųjų narių matricos B. Laiptuota sistemos matrica. Ši matrica pertvarkoma tol kol gaunama laiptuota matrica. Pertvarkant išplėstą matricą galima: bet kurią eilutę dauginti iš skaičiaus ir sudėti su kita eilute; eilutę padauginti arba padalinti iš bet kokio nelygaus nuliui skaičiaus; sukeisti matricos eilutes vietomis; pašalinti nulinę eilutę. 4. Kramerio metodas. KRAMERIO METODAS Tiesinių lygčių sistema. • Lygtis vadinama tiesine, jeigu joje visi kintamieji yra tik pirmojo laipsnio ir nėra kintamųjų sandaugos. • Sistema, sudaryta iš tiesinių lygčių, vadinama tiesinių lygčių sistema. Tiesinių lygčių sistemos bendrasis pavidalas: Pagrindinis tiesinių lygčių sistemos determinantas. Iš lygčių sistemos koeficientų sudarytas determinantas D vadinamas pagrindiniu lygčių sistemos determinantu: DETERMINANTAI Di Pagrindinio determinanto i-tąjį stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, gaunamas determinantas Di: KRAMERIO TEREOMA. Jeigu tiesinių lygčių sistemos pagrindinis determinantas D = 0, tai sistema turi vienintelį sprendinį. Jeigu D = 0, o bent vienas Di = 0 tai lygčių sistema sprendinių neturi (nesuderinta). Jeigu D = 0 ir visi Di = 0, tai lygčių sistema turi labai daug sprendinių. Tokius atveju rekomenduojama spręsti gauso metodu ir surasti visų galimų sprendinių matematinę išraišką. 5. Atvirkštinės matricos metodas. Kai lygčių sistema turi n lygčių ir n nežinomųjų ir pagrindinis sistemos determinantas nelygus 0, sistemos sprendinius galima rasti naudojant atvirkštinės matricos metodą. Jei turime matricinę lygtį A*X=B, tai šios lygties sprendimo matricinė išraiška yra X=A-1xB 6. Veiksmai su vektoriais. TIESINIAI VEKTORIŲ VEIKSMAI • Sudėtis ir atimtis • Daugyba iš skaliaro • Skaliarinė dviejų vektorių sandauga Vektorių a ir b skaliarinė sandauga, kai žinomas jų vektorių koordinatės stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje, skaičiuojama • Vektorinė sandauga Vektorių a ir b vektorine sandauga vadiname vektorių c tenkinantį tris sąlygas: 1) c a ir c b, taigi vektorius c statmens vektorių a x b plokštumai 2) vektoriaus c modulis (ilgis) yra lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais a ir b plotui 3) vektorius c nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo atrodytų, kad vektorius a pasuktas mažiausiu kampu ϕ prieš laikrodžio rodyklę sutampa su vektoriaus b kryptimi. • Mišrioji vektorių sandauga (a b c) Trikampis piramidės. Kai vektoriai a, b ir c yra komplanarieji, tai mišrioji sandauga lygi 0. Mišrioji sandauga lygi trečiosios eilės determinantui. Tiesinė vektorių priklausomybė Jeigu iš vektorių koordinačių sudarytas determinantas nelygus 0, tai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi ir sudaro bazę. Vektorius a toje bazėje išreiškiamas taip: Reikia išspręsti vektorinę lygtį 7. Tiesės lygtis plokštumoje. Lygiagretumas ir statmenumas. TIESĖS LYGTIS PLOKŠTUMOJE. Kai žinomas tiesės taškas M(x0; y0) ir nenulinis vektorius n = (a;b), statmenas tiesiai (vadinamas tiesės normaliniu vektoriumi arba tiesiog normale) tai naudojame formulę Kai žinomas vienas taškas M(x0; y0) ir nenulinis vektorius, lygiagretus tiesei s = (l;m) tai tiesė apibūdinama kanonine lygtimi , bei pertvarkę galime gauti bendrąją tiesės lygtį Kai žinomi du tiesės taškai M1 (x1; y1) ir M2 (x2; y2) tai tiesės lygtis užrašoma bei pertvarkę gauname bendrąją tiesės lygtį Kai žinomas vienas tiesės taškas M(x0; y0) ir kampas , kurį tiesė sudaro su teigiama Ox ašies kryptimi, tiesės lygtį galima užrašyti taip arba ir pertvarkę lygtį gauname kryptinę tiesės lygtį k- tiesės krypties koeficientas arba polinkis Dviejų tiesių tarpusavio padėtis. Dviejų tiesių y= k1x + b1 ir y= k2x + b2 plokštumoje lygiagretumo sąlyga k1=k2 Dviejų tiesių y= k1x + b1 ir y= k2x + b2 plokštumoje statmenumo sąlyga: 8. Funkcijos riba. Ribų skaičiavimo savybės. Neapibrėžtumų naikinimas (receptai). FUNKCIJŲ RIBŲ SKAIČIAVIMAS Apibrėžimas. Realus skaičius A yra vadinamas funkcijos y = f(x) riba taške X0 ir žymimas lim f(x) = A jeigu bet kokiam teigiamam skaičiui egzistuoja toks teigiamas skaičius , kai bet kokiam skaičiui x , tenkinančiam nelygybę ir , galioja Apibrėžimas: funkcija f(x) vadinama tolydžia taške X0, jeigu lim f(x) = f(x0). Kai funkcija tolydi kiekviename aibės X taške, ji vadinama tolydžia funkcija aibėje X. RIBŲ SAVYBĖS: Tarkime, kad egzistuoja lim u(x) = A ir lim v(x) = B. Tada galioja tokios šių ribų savybės: 1. Konstantos riba lygi tai pačiai konstantai: 2. lim (u(x) + v(x) ) = A+B; 3. lim c u(x) = C A, čia C – konstanta; 4. lim ( u(x) v(x)) = A B; 5. lim NEAPIBRĖŽTUMAI Apskaičiuoti funkcijų ribas remiantis savybėmis neįmanoma kai pasitaiko neapibrėžtumai: Šiuos neapibrėžtumus pašaliname atlikdami matematinius veiksmus ir pertvarkydami reiškinius 1 Receptas: jeigu yra neapibrėžtumas ir funkcijos yra laipsninės reikia skaidyti dauginamaisiais tol kol kažkas išsiprastins 2 Receptas: jeigu yra neapibrėžtumas skaitiklį ir vardiklį kiekvieną narį daliname iš didžiausio X laipsnio 3 Receptas: jeigu yra ir kvadratinės šaknys reikia skaitiklį ir vardiklį dauginti iš jungtinio reiškinio toliau pertvarkyti tol kol kažkas išsiprastina 9. Funkcijos išvestinė. Išvestinių skaičiavimo taisyklės. Funkcijos išvestinės radimas vadinamas funkcijos diferencijavimu. Tarkime, kad funkcija y = f(x) yra apibrėžta tam tikrame intervale ir tolydi taške X=X0. Argumentui suteikiame pokytį Tada atitinkamas funkcijos pokytis Apibrėžimas. Jei egzistuoja baigtinė funkcijos pokyčio ir argumento pokyčio santykio riba, kai artėja prie nulio, tai ji vadinama funkcijos y= f(x) i6vestine argumento x atžvilgiu taške X0, t.y. Dar žymima FUNKCIJOS DIFERENCIJAVIMO TAISYKLĖS Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) turi išvestines taške x, tai funkcijos c u (c-konstanta), u+v ir irgi turi išvestines šiame taške, be to teisingi SUDĖTINĖS FUNKCIJOS DIFERENCIJAVIMAS Tarkime, kad funkcija u= u(x) taške x0 turi išvestinę ux, o funkcija y= f(x) atitinkamame taške u0 = u(x0) – išvestinę Tada sudėtinė funkcija taške taip pat turi išvestinę lygią išvestinių ir sandaugai: NEIŠREIKŠTINIŲ FUNKCIJŲ DIFERENCIJAVIMSA Funkcija y=f(x) paprastai vadinama i6reik6tine, nes kintamasis y išreikštas kintamuoju x. Tarkime, kad kintamieji x ir y susieti tam tikra lygtimi F(x,y) = 0 ir ši lygtis apibrėžia neišreikštinę funkciją. Ne kiekviena neišreikštinę funkciją galima pakeisti išreikštine, nes kartais neįmanoma kintamojo y išreikšti kintamuoju x. Pavyzdys Neišreikštinės funkcijos išvestinė ieškoma tarp: lygtį F(x,y) = 0 panariui diferencijuojame argumento x atžvilgiu, kartu turėdami galvoje, kad y yra argumento x funkcija. FUNKCIJŲ DIFERENCIJAVIMAS LOGARITMUOJANT Kartais prieš diferencijuodami funkciją, ją išlogaritmuojame, ypač kai toji funkcija yra sudėtinė rodiklinė funkcija , kai u(x)>0. Jos išvestinė randama, tą funkciją logaritmuojant ir pritaikant sudėtines funkcijos bei funkcijų sandaugos taisykle išvestinei rasti. 10. Funkcijos diferencialas. Liopitalio taisyklė. Tarkime, funkcija y= f(x) yra diferencijuojama kiekviename intervalo (a;b) taške X0, taigi egzistuoja jos išvestinė Apibrėžimas. Reiškinys vadinamas funkcijos y=f(x) pokyčio pagrindine dalimi arba funkcijos y= f(x) diferencialu taške X0 ir žymimas dy. Taigi, LIOPITALIO TAISYKLĖ. Tarkime, kad funkcijos f(x) ir g(x) yra tolydžios ir diferencijuojamos taško x=a aplinkoje, galbūt išskyrus patį tašką a ir kai a – bet koks realus skaičius arba + , tuomet teisinga lygybė Iš formuluotės aišku, kad Liopitalio taisyklė taikytina neapibrėžtumams ir Jeigu pritaikius vieną kartą Liopitalio taisyklę, neapibrėžtumas neišnyksta, taisyklė taikoma dar kartą. Jeigu ribose yra logoritmai ir eksponentė tai galima taikyti tik Liopitalio taisyklę. 11. Funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai. Ekstremumo taškai. Jei diferencijuojama intervale (a;b) funkcijos išvestinė yra teigiama tai funkcija tame intervale didėja. Jei funkcijos išvestinė neigiama funkcija tame intervale mažėja. Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi 0 arba neegzistuoja, vadinami kritiniais taškais. Taškas X0 yra funkcijos maksimumo (minimumo) taškas, jei reikšmė f(x0) yra didžiausia (mažiausia) iš visų reikšmių, įgytų tam tikroje taško x0 aplinkoje. Minimumo ir maksimumo taškai kartu vadinami funkcijos ekstremumo taškais. Teorema. Kai didėjant x ir pereinant per kritinį tašką x0 , funkcijos y= f(x) išvestinė pliuso ženklą keičia į minuso ženklą, tai taške X0 funkcija turi maksimumo tašką. Kai funkcijos y= f(x) išvestinė minuso ženklą keičia į pliuso ženklą, tai funkcija turi minimumo tašką. 12. Funkcijos įgaubtumo ir išgaubtumo intervalai. Vingio taškai. Kreivė vadinama iškilia aukštyn intervale (a;b), jeigu visi tos kreivės taškai yra po liestine, nubrėžta per bet kurį kreivės tašką tame intervale. Kreivė vadinama iškilia žemyn kai visi tos kreivės taškai yra virš liestinės. FUNKCIJOS KREIVĖS IŠKILUMAS. Teorema. Jeigu intervale (a;b) funkcija y=f(x) turi antrąją išvestinę y (x), kuri yra neigiama, tai funkcijos kreivė tame intervale yra išgaubta. Jeigu funkcijos y = f(x) antroji išvestinė y (x) teigiama, tai funkcijos kreivė tame intervale – įgaubta. FUNKCIJOS KREIVĖS VINGIO TAŠKAS Teorema. Jeigu funkcijos y= f(x) antroje išvestinėje f (x0), eidama per tašką x0 keičia ženklą, tai taškas x0 yra funkcijos y= f(x) vingio (perlinkio taškas) 13. Neapibrėžtinis integralas. Savybės. Integravimo metodai. PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA. Apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykštė funkcija atkarpoje (a;b), jeigu visuose šios atkarpos taškuose yra teisinga lygybė arba diferencialas Pirmykščių funkcijų galima parašyti be galo daug ir visos jos skirsis tik konstanta. Todėl užrašoma F(x) + C NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS. Apibrėžimas. Jeigu funkcija F(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė funkcija, tai reiškinys F(x) + C vadinamas funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima ženklas vadinamas integralo ženklu; f(x) vadinama pointegraline funkcija: f(x) dx – pointegralinis reiškinys; x- integravimo kintamasis NEAPIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS. INTEGRAVIMO METODAI. 1. TIESIOGINIO INTEGRAVIMO METODAS Metodas naudojamas kai tiesiogiai galima taikyti formulę ir integravimo kintamasis gali būti x arba bet kuri diferencijuojama x kintamojo funkcija. Dažnai dx galima pakeisti , tai yra, po diferencialo ženklu jei reikia galima pridėti bet kokią konstantą, nes jos išvestinė yra 0 ir padauginus kintamąjį x iš daugiklio a, prieš diferencialą parašome daugiklį 2. KINTAMOJO KEITIMO METODAS. Naudojant šį metodą, įvedamas naujas kintamasis, kuris gali būti žymimas bet kokia nauja raide t,m,n ir pan. Integruojame , o kintamąjį x pakeičiame . Apskaičiuojame diferencialą ir pakeitimus įvedame į sąlygą 3. INTEGRAVIMO DALIMIS METODAS. Šis metodas dažniausiai taikomas, kai integralo nepavyksta suintegruoti tiesiogiai ar pakeitus kintamąjį. Dažnai šiuo metodu integruojame dviejų skirtingų funkcijų sandaugą ir funkcijos nėra viena kitos išvestinės. Integravimo dalimis formulė Pointegralinis reiškinys yra skirstomas į du dauginamuosius u ir dv taip, kad pavyktų suintegruoti iš pradžių reiškinį dv, o po to vdu. Skirstomi į tris dalis. 14. Apibrėžtinis integralas. Niutono – Leibnico formulė. Integravimas dalimis ir kintamojo keitimas apibrėžtiniame integrale. NIUTONO LEIBNICO TAISYKLĖ. Tarkime, kad atkarpoje (a;b) yra apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija y= f(x). Figūra, apribota iš apačios abcisių ašimi, iš šonų tiesėmis x=a ir x=b , o iš viršaus funkcijos y=f(x) kreive, yra vadinama kreivine trapecija. Šios kreivinės trapecijos plotas skaičiuojamas apibrėžtiniu integralu. Skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais. Apibrėžtinis integralas skaičiuojamas taikant Niutono – Leibnico formulę APIBRĖŽTINIO INTEGRALO SAVYBĖS. 1. 2. Pakeitus integravimo rėžius, pasikeičia integralo ženklas 3. Jeigu a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!