Matematinės analizės medžiaga egzaminui

 1. Funkcijos riba. „ε-δ“ Funkcija f: A→R turi ribą taške a, jei Ub  Ua :f(x) Ub, x Ua. „sekų“ Funkcija f turi ribą taške a, jei Xn→a (Xn≠a), f(Xn)→b, n→+. Pvz.: Įr. limx2x2 = 4  - fiksuojam, |x2 - 4|a =>  Ua N:Xn Ua,  nN => f(Xn)→b. Tarkime f turi ribą pgl. ” sekų”. Tarkime prieš.: tš.b nėra f-jos riba(“ε-δ”) => Ub,  Ua X Ua: f(x)Ub. Imame Xn→a,  N”:XnUak, n>N;  Uan  XnUan: f(x)Ub. Iš Uan sekos apibr. => Xn→a. Iš sąlygs f(x)Ub  f(Xn)→b. 3. Funkcijų ribų savybės. T. Jei f-ja g, f:A→R turi begalines ribas taške a, tai 1) lim(x→a)(f(x)+g(x))= lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x) 2) lim(x→a)(f(x)*g(x))= lim(x→a)f(x)*lim(x→a)g(x) 3) lim(x→a)(f(x)/g(x))= lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x), jei limg(x)≠0. 2 punkto įrodymas. Pažymėkim lim(x→a)f(x)=b, lim(x→a)g(x)=c Fiksuojam b-ε0:f(x)-b0:g(x)-c0 δ>0; f(x‘)-f(x‘‘)0 yf[a;b]: y=f(x)>n Iš Vajerštraso teoremos turim seką: aXnb, nN{Xnk}: Xnk →X* aXnb ir Xnk – konverguoja  aX*b f-tolydi  lim(k→+)f(Xnk)=f(X*)≠+ f(Xnk)>nk→+  f(Xnk)→+  f aprėžta iš viršaus. (-f) tolydi  -f aprėžta iš viršaus  +f aprėžta iš apačios. II. f: [a;b]→R, [a;b] – aprėžtas, f –tolydi int [a;b]. Tada kuriuose nors int [a;b] funkcija įgyja min ir max. Pvz. f(x)=1/x. Ar funkcija turės max intervale (0;1)? NE. Pvz.: f(x)  x2, kai 0x1 ir f(x)  2-x, kai 10. Imame tą intervalą, kurio galuose f-jos reikšmės yra skirtingų ženklų. Pažymim [a1;b1], f(a1)0. {[ an;bn]} [an;bn] [an+;bn+1] nN bn-an=(b-a)/2→0 f(an)0, f(bn)0 Iš įdėtųjų intervalų lemos  c[a;b]; c[an;bn] n, an→c, bn→c f(an)→f(c), nes an→c ir f tolydi; 0 f(an)  f(c)0; f(bn)→f(c), nes bn→c ir f tolydi; 0 f(bn)  f(c)0; Gaunam, kad f(c) 0 ir f(c)0, vadinasi f(c)=0. II. f: [a;b]→R, [a;b] – uždaras ir apibrėžtas, f-tolydi, f(a)=c, f(b)=d. Tada [c;d]f([a;b]). Pvz.: grafikas arba sin x =  n 7. Funkcijos išvestinė. Ap. Funkcijos f išvestine taške a vadinsime ribą lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a).Geometrinė interpretacija.f(x)-f(a)=tg*(x-a); tg=(f(x)-f(a))/(x-a); tg=lim(x→a)tg((x))=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)=f`(a) =arctgf(a). - kampas tarp liestinės taške a ir x ašies. Pvz.: (ln x)’  1/x 8. Funkcijų išvestinių savybės. T. Tarkime f ir g funkcijos turi baigtines išvestines taške a, turime skaičių cR. Tada c*f, f+g, f*g, f/g (g(a)≠0) turės baigtines išvestines ir: 1) (cf)(a)=cf(a) 2) (f+g) (a)=f(a)+g(a) 3) (f*g) (a)=f(a)g(a)*g(a)f(a) 4) (f/g) (a)=(f(a)g(a)-f(a)g(a))/(g2(a)). Įrodymas (3). (f*g) (a)=lim(x→a)((f*g)(x)-(f*g)(a))/(x-a)= lim(x→a)(f(x)g(x)-f(a)g(a))/(x-a)= lim(x→a)( f(x)g(x)-f(a)g(a)-f(x)g(a)+f(x)g(a))/(x-a)=lim(x→a)f(x)*lim (x→a)(g(x)-g(a))/(x-a)+g(a)lim (x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)={kadangi f tolydi}f(a)*g(a)+g(a)f(a). Pvz.: (sin (x2+1))’ cos(x2+1)*2x 9. Vidurinių reikšmių teoremos. Ferma. Jei funkcija f yra diferencijuojama intervale (a;b) ir intervale f turi didžiausią arba mažiausią reikšmę, tai c(a;b): f(c)=0. Įrodymas. Tarkime f turi didžiausią reikšmę. Tašką, kuriame funkcija įgyja didžiausią reikšmę pažymim C. f(x)f(c), x(a;b) Jei x>c, tai (f(x)-f(c))/(x-c)0  {x→c+} f(c+)=f(c)0 Jei x

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!