Pagrindinės matematinės analizės temos

1.skaičių eilutė,eilutės konvergavimas. Apb. tarkim,kad seka yra realiųjų skaičių aibė. Reiškinį vadiname skaičių eile k=1,2.... Skaičius vadiname eilutės nariais. Sumą žymime ir vadiname eilutės n-aja daline suma. Apb. jei egzistuoja eilutės dalinių sumų sekos ,sakome,kad eilutė konverguoja ir dalinių sumų sekos ribą S= vadiname skaičių eilutės suma. Rašome:S=. Jei neegzistuoja tai sakome kad eilutė diverguoja. T-ma. (Koši kriterijus) eilutė konverguoja tada ir tik tada,kai bet kokio ε>0 egzistuoja numeris N є IN ,kad bet koks n ≥N ir bet koks p є IN yra teisinga lygybė Įr. tereikia taikyti Koši kriterijų sekai,naudojantis lygybe Past.Būtina eilutės konvergavimo sąlyga.jei eilutė konverguoja ,tai →0,k→∞. iš t-mos turime kad bet koks ε>0 yra toks nєIN,kad bet koks n≥N arba bet koks n>N,,o tai ir reiškia, kad . 2.Teigiamoji eilutė,absoliučiai konverguojanti eilutė. Apb. eilutę vadiname konverguojančia ansoliučiai jei eilutė konverguoja. T-ma. Jei eilutė konverguoja absoliučiai tai ji konverguoja. Įr.kadangi eilutė konverguoja,tai ε>0 pagal t-ma egzistuoja numeris Nє|N,kad bet koks n≥N ir bet koks p є IN turime jog ,bet ir todėl pagal t-ma eilutė konverguoja. Apb.skaičių eilutę vadiname teigiamaja jei jos nariai ≥0 k=1,2,3.... 3.Teigiamų eilučių konvergavimo požymiai. T-ma.teigiamoji eilutė konverguoja tada ir tik tada,kai jos dalinių sumų seka yra aprėžta. Įr.pastebėsime kad ≥0 n=1,2,3,... ir seka yra nemažėjanti. Belieka pasinaudoti faktu,kad kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta ir kiekviena nemažėjanti aprėžta seka konverguoja. T-ma. Tegu ir dvi teigiamosios eilutės ir k=1,2,3,... tada jei eilutė konverguoja tai konverguoja ir eilutė . Ir jei eilutė diverguoja tai diverguoja ir eilutė . Įr. Pastebėsime,kad eilučių minimumų teoremos formuluotėjė dalinėms sumoms ir atitinkanmai teisinga ≤. Belieka pasinaudoti t-ma. T-ma. Tegu ir dvi griežtai teigiamosios eilutės ir , k=1,2...tada jei eilutė konverguoja tai konverguoja ir . Ir jei diverguoja,tai diverguoja ir eilutė . Įr. Iš t-mos formuluotės kai k=1,2..,n-1 turime . Panariui sudauginus šias nelygybes gauname . Kadangi paskutinėje nelygybėje dydis c= yra teigiama konstanta. 4. Dalambero ir Koši konvergavimo požymiai. T-ma.(Dalambero požymis) Turime griežtai teigiamą eilutę . Jei bet koks k=1,2...(ar pradedant nuo tam tikro numerio (kє|N)) yra teisinga lygybė tai eilutė konverguoja(diverguoja). Jei egzistuoja ,tai eilutė konverguoja kai L1. Įr. Pirmiausia įrodisime 1-ąjį dalį teoremos. Tegu tad, ir neligybę esančią teoremos formuoluotėje galime užrašyti , kadangi eilutė sutampa su leilute ,o |q|0, kad būtų L = 1-2ε ir tuo pačiu L + ε=1- ε. Iš sekos apibrėžimo seka, kad ε >0 atitinka numerius ,kad kai k≥N Pasinaudosime pirmąją šios teor. dalimi, laikydami L + ε = 1- ε = q, taigi eilutę konverguoja pagal pirmąją teoremos dalį. Jei L>1, tai galima rasti ε > 0, kad būtų L = 1+ ε ir L – ε = 1, tada remdamiesi nelygybe , kai k ≥ N ir eilutė diverguoja pagal pirmąją šios teor. dalį. T-ma.(Koši požymis) tegu yra teigiamoji eilutė. Jei visiems numeriams kєIN,ar pradedant kuriuo nors numeriu teisinga .tai eilutė konverguoja (diverguoja). Jei egzistuoja ,tai eilutė konverguoja kai L1. Įr. Iš pradžių įrodysime 1-ąją t-mos dalį. imkime ,tada iš nelygybės esančios t-mos formuluotėje ,gauname . kadangi eilutė konverguoja(diverguoja),tai iš paskutiniųjų nelygybių gauname kad eilutė konverguoja (diverguoja). 5.Eilutės Koši-Makloreno konvergavimo požymis. t-ma. Tegu f-ja f(x) yra nedidėjanti ir neneigiama intervale[m;∞),čia mєIN . skaičių eilutė konverguoja tada ir tik tada kai egzistuoja sekos ,čia riba,kai . Įr. Tarkime kag k toksai kad k≥m+1 (kєIN) ir xє[k-1;k] . pagal t-mos sąlygą f-ja f(x) nedidėja intervale [k-1;k] ,todėl f(k)≤f(x)≤f(k-1) .kadangi f-ja f(x) yra aprėžta ir monotoniška,tai ji yra integruojama intervale [k-1;k] . be to . pastarosios nelygybės teisingos bet kokiam k tokiems kad k≥m+1. parašykime jas imdami k reikšmes lygias m+1,m+2...,n,čia nєIN,n>m. taigi gauname: Sudėjus šias nelygybes panariui gauname: . pažymėkime . tada paskutiniąsias nelygybes galime užrašyti Iš apibrėžimo seka, kad seka nemažėja vadnasi, konverguoja tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta. Pagalk t-mos formuluotėje nurodyta eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta seka. Iš paskutiniųjų nelygybių seka,kad seka yra aprėžta tada ir tik tada,kai yra aprėžta seka ,t.y.tada ir tik tada kai seka konverguoja. 6.Absoliučiai ir reliatyviai konverguojančios skaičių eilutės. Rymano t-ma. Apb.eilutė vadiname absoliučiai konverguojančia,jei eilutė konverguoja. T-ma.jei eilutė konverguoja absoliučiai,tai ji konverguoja. Įr. Pasinaudosime Koši kriterijumi. Reikia įrodyti kad bet koks ε>0 atitinka numeris NєIN,kad bet kokiems numeriams n:n≥N ir bet kokiam pєIN . Pasirinkime ε>0. kadangi eilutė konverguoja tai egzistuoja toks numeris NєIN,kad parinkus bet kokį numerį n≥N ir bet kokį pєIN turėtume kadangi. Apb. eilutė vadiname reliatyviai konverguojančia jei ji konverguoja bet atitinkama eilutė sudaryta uš jos narių modulių diverguoja. T-ma.rymano. tarkime kad eilutė konverguoja reliatyviai. Tada,kad ir kokį painmtume skaičių L eilutės narius galima sukeisti vietomis taip kad pertvarkytoje eilutėje konverguotų i skaičių L. Įr.nagrinėkime reliatyviai konverguojančią eilurtę .šios eilutės teigiamus narius surašytas iš eilės kaip jie eina eilutėje pažymėkime . tos pačios eilutės neigiamų nerių modulius surašytus iš eilės taip kaip jie eilutėje pažymėkime pastebėsime kad eilutėje yra be galo daug tiek teigiamų tiek neigiamų narių,nes jei kurio nors ženklo narių skaičius būtų baigtinis, tai atmetę tam tikrą baigtinį pirmųjų arių skaičių ,gautume eilutę,kurios visi nariai būtų to paties ženklo, o tokia eilutė turint omenyje t-mos formuluotę konverguotų absoliučiai. Taigi nagrinėjamąją eilutę atitinka dvi begalinės teigiamosios eilutės .pirmąją jų pažymėkime P o antrąją Q. Įrodysimekad eilutės P ir Q diverguoja. Nagrinėjamosios eilutės n-ąją dalinę sumą pažymėsime .Įeinančių į visų teigiamų narių sumą pažymėkime,o į įeinančių neigiamų narių modulių sumą . aišku,kad =-. kadangi duotoji eilutė konverguoja į tam tikrą skaičių S,tai . kita vertus eilutė nėra absoliučiai konverguojanti todėl .matome, kad . taigi abi eilutės P ir Q diverguoja. Kadngi jos diverguoja net ir atmetus bet kurį baigtinį narių skaičių iš likusių kiekvienos eilutės narių galima paimti jų tiek daug, kad suma būtų didesnė už bet kurį iš anksto pasirinktą skaičių. Remdamiesi šiuo faktu įrodysime jog galime taip sukurti pradinės eilutės narius ,kad gautume eilutę konverguojančią į iš anksto pasirinktą skaičių L. iš tikrųjų reikiamą eilutę galima gauti taip:pradžioje iš duotosios eilutės imame lygiai tiek teigiamų narių ,kad jų suma būtų didesnė už L . po to pridėkime prie paimtų narių lygiai tiek neigiamų narių ,kad bendra suma pasidarytų mažesnė už L. po to vėl pridėkime tiek teigiamų narių ,kad bendra suma pasidarytų didesnė už L ir toliau taip samprotaudami gausime begalinę eilutę į kurią įeina visi pradinės eilutės nariai,nes kiekvieną kartą mums teks pridėti bent vieną teigiamą arba bent vieną neigiamą pradinės eilutės narį. Belieka įrodyti ,kad šitaip gauta eilutė konverguoja į L. pastebėsime, kad šioje eilutėje paeiliui keičiasi teigiamų ir neigiamų narių grupės. Jei gautosios eilutės dalinė suma baigiasi visa grupe,tai tos dalinės sumos nuokrypis nuo skaičiaus L nėra didesnis už paskutinį jos nario modulį. Jei dalinė suma baigiasi ne visa grupe,tai jos nuokrypis nuo sjaičiaus L nėra didesnis už priešpaskutinės grupės paskutiniojo nario modulį. Norint įrodyti jog eilutė konverguoja į skaičių L užtenka įsitikinti kad grupių poaskutinių narių moduliai sugaro nykstamą seką,o tai tiesiog išplaukia iš pradinės eilutės būtinosios konvergavimo sąlygos. 7.Absoliučiai konverguojančios eilutės. Koši t-ma T-ma.Koši.tarkime ,kad duotoji eilutė konverguoja absoliučiai tada bet kuri eilutė gauta iš duotosios kaip nors sukeitus narius taip konverguoja absoliučiai o jos suma yra tokia pat kaip ir duotosios eilutės. Įr.tegu (*)yra absoliučiai konverguojanti eilutė kurios suma lygi S .eilutę gautą iš eilutės (*) kaip nors sukeitus narius pažymėkime (**). Iš pradžių įrodysime kad eilutė (**) konverguoja ir jos suma lygi S. pakanka įrodyti jog bet kuri ε>0 atitinka toks numeris N kad bet koks n≥N,nєIN teisinga nelygybė: (***)pasirinkime fiksuotą ε>0 . kadangi eilutė (*) konverguoja absoliučiai ir jos suma lygi S tai pasirinktąjį ε>0 atitinka tok numerisN0єIN ,kad yra teisingos nelygybės numerį N0 pastarosiose dviejose nelygybėse laikome tuo pačiu nes parašius iš pradžių abi nelygybes su skirtingais numeriais N0, po to galime paimti iš jų didesnįjį. Dabar imsime tokį disdelį numerį NєIN ,kad bet koks eilutės (**)dalinė suma ,kurios numeris n>N apimtų visus pirmuosius N0(*)eilutės narius .nelygybės (***) kai kurios pusės skirtumą perrašysime įrodysime kad nagrinėjamas skirtumas kai n≥N tenkina nelygybę (***) turime: matome,kad tam jog įrodyti nelygybę(***) pakanka imant n≥N įrodyti nelygybę .įrodysime ją.pastebėsime kad paskutiniosios nelygybės kairiosios pusės pirmoje suma,kai n≥N apima visų N0 pirmųjų (*)eilutės narių . todėl skirtumas yra (*) eilutės(n-N0) kurių suma ,o visi tų narių numeriai yra didesni už N0. imkime tokį didelį pєIN ,kad numeris N0+p būtų didesnis už pastoviosios sumos visų (n-N0) narių numerius . tada nagrinėjamasis skirtumas tikrai įtenkina nelygybę ≤ iš pastarosios nelygybės seka tokiu būdu nelygybė (***) įrodyta ir eilutė (**) konverguoja o jos suma lygi S. belieka įrodyti kad eilutė (**) konverguoja absoliučiai , o tai seka iš t-mos pir mojo teiginio pritaikius jį eilutėms .taip įrodytume kad antroji šių eilučių konverguoja,t.y.,kad eilutė (**) konverguoja absoliučiai. 8.Bet kokių eilučių konvergavimas. Leibnico požymis. Teorema. (Leibnico požymis). Jeigu alternuojančios eilutės narių moduliai sudaro nedidėjančią nykstančią seką, tai ta eilutė konverguoja. Įrodymas. Tarkime, kad alternuojančią eilutę atitiktų seka nedidėja ir nyksta. Tos eilutės lyginio numerio dalinę sumą galima užrašyti: Kadangi paskutianiajame reišinyje kiekvienose skliaustuose esantis skirtumas yra ne neigiamas, tai aišku, kad numeriui didėjant seka nemažėja. Kita vertus galima užrašyti ir šitaip: Iš to aišku, kad bet kuris numeriu bus teisinga nelygybė . Taigi lyginių dalinių sumų seka nemažėja ir yra aprėžta iš viršaus. Todėl ši seka konverguoja į tam tikrą skaičių S, t.y., . Iš lygybės ir iš lygybės seka, kad ir nelyginių sumų seka konverguoja į tą patį skaičių S, t.y., . Taigi seka visa konverguoja į S. Teiginys. Tegu ir bet kokie skaičiai , o n ir p bet kokie numeriai. Tada yra teisinga tapatybė. (*) Įrodymas. Pastebėsime, kad ir įrašysime šią reikšmę į (*) kairiąją pusę, gausime: Paskutinėje sumoje indeksą sumažinę 1, gausime: . 9. Torema 3.2 (Dirichlė-Abelio požymis) Eilutė konverguoja, jei: (i) seka nedidėja n nyksta; (ii) eilutės dalinių sumų seka yra apibrėžta. Įrodymas. Eilutės n-ąją dalinę sumą pažymėkime . Pagal sąlygą yra toks skaičius M>0, kad bet koks ir bet kuriam . Pasirinkime . Kadangi seka nyksta ir nedidėja, tai teigiamą skaičių atitinka toks numeris , kad , kai . Norėdami įvertinti dydį taikysime teig. 3.1 tapatybę: Gautosios nelygybės dešiniąjai pusei taikysime nelygybę , kuri teisinga n=1,2..., gausime: Pastebėsime, kad pastarosios nelygybės suma: , todėl ji virsta tokia nelygybe: . Dabar pritaikę nelygybę , gausime: bet koks n>N, n bet koks . 10. F-jų eilučių ir sekų konvergavimas. Tarkime kad turime tam tikrą skaičių aibę A ir joje appibrėžtų f_jų aibę. Be to šias f-jas galime sunumeruoti netūraliais skaičiais . tuomet šią f-jų aibę vadiname f-jų seka. Atskiras f-jas vadiname sekos nariais arba elementais,o aibe A apibrėžimo sritimi. Apb. tegu turime f-jų apibrėžtų aibėje A seką . iš šios sekos narių formaliai sudarytą sumą (x)= vadiname f-jų eilute. Apibrėžime minima aibė A yra vadinama f-jų eilutės apibrėžimo sritimi. Pirmųjų n eilutės narių sumą vadinsime tos eilutės n-ąja daline suma. Pastebėsime kad f-jų eilučių tyrimas ekvivalentus f-jų sekų tyrimui,nes kiekvieną f-jų eilutę (x) vienareikšmiškai atitinka jos dalinių sumų seka ir atvirkščiai kiekvieną f-jų seką vienareikšmiškai atitinka f-jų eilutę kurios nariai yra ir kurios dalinių sumų seka sutampa su f-jų seka Tarkime kad turime f-jų seką (ar eilutę)apibrėžtą aibėje A . fiksuokime kad bet kurį aibės A tašką (єA) ir imkime visus sekos (ar eilutės)narių reikšmes taške .gausime skaičių seką (eilutę) jei gautoji skaičių seka(ar eilutė)konverguoja,tai sakoma,kad f-jų seka(ar eilutė)konverguoja taške aibė visų taškų kuriuose nagrinėjamoji seka(ar eilutė)konverguoja,vadinama tos sekos ar eilutės konvergavimo sritimi. Atskiru atveju konvergavimo sritis gali sutapti su apibrėžimo sritimi,tačiau gali būti ir jos dalimi ar būti iš viso tuščia aibė. Tarkime kad f-jų seka konvergavimo sritis yra A ,visos ribos atitinkančios visas kintamojo x reikšmes iš aibės A sudaro tam tikrą f-ją f(x) apibrėžtą aibėje A,ši f-ja vadinama sekos ribine f-ja. Kai f-jų eilutė (x) konverguoja ,kurioje nors aibėje A tai panašiai toje aibėje apibrėžiama f-ja F(x),tos eilutės dalinių sumų sekos ribinę f-ją,kuri vadinama nagrinėjamosios eulutės suma. Apb.tarkime kad f-jų seka aibėje A konverguoja į ribinę f-ją f(x). Sakysime,kad duotoji f-jų seka konverguoja į f-ją f(x)tolydžiai aibėje A ,jei bet koks ε>0 atitinka toks numeris NєIN,kai bet koks x єA,kai n≥N būtų teisinga . Apb.f-jų eilutė vadinama tolygiai konverguojančia aibėje A į sumą S(x),kai jos dalinių sumų seka tolydžiai konverguoja aibėje A į ribinę f-ją S(x) 11.F-jų sekų tolygaus konvergavimo požymis. t-ma. F-jų seka aibėje A konverguoja tolygiai į kokią nors ribinę f-ją tada ir tik tada kai bet koks ε>0 atitinka toks numeris NєIN kai bet kokiam xєA būtų teisinga nelygybė ,kur n≥N.o pєIN. Įr.būtinumas,tarkime kad seka aibėje A konverguoja tolygiai į kokią nors ribinę f-ją f(x). Fiksuokime ε>0. teigiamą skaičių atitinka toks numeris NєIN,kad bet koks x єA kai n≥N būtų teisinga nelygybė jeigu pєIN,tai bet koksxєA .kai n≥N yra patenkinta nelygybė: .taigi ši nelygybė teisinga pєIN,tai bet koksxєA .kai n≥N. pakankamumas. Iš nelygybės ir Koši kriterijaus skaičių sekai,seka,kad seka konverguoja kiekviename fiksuotame aibės A taške x,ir tokiu būdu egzistuoja ribinė f-ja f(x). Kadangi ankstesnioji nelygybė teisinga kai bet koks pєIN tai perėjus toje nelygybėje prie ribos,kai p→∞ gauname jog bet koks xєA kai n≥N yra teisinga nelygybė . Taigi Koši kriterijus ir pakankamas požymis. T-ma. F-jų eilutė (x)aibėje A konverguoja tolygiai į kokią nors sumą tada ir tik tada kai bet koks ε>0 atitinka numeris N kad bet koks xєa yra teisinga nelygybė ,kai n≥N, o p єIN. Apb. F-jų seka vadinama tolygiai aprėžta aibėje A jei egzistuoja toks MєR kad bet koks xєA ir bet koks nєIN teisinga nelygybė: 12.F-jų eilutės Dirichlė-Abelio ir Vejerštraso požymiai. Teorema. 1.4. Funkcijų eilutė konverguoja tolygiai aibėje A, kai: (i) seka aibėje A nedidėja ir tolygiai konverguoja į 0; (ii) eilutės dalinių sumų seka tolygiai apibrėžta aibėje A. Įrodymas. Beveik pažodžiui sutampa su teor. 3.2 iš ankstesnio skyriaus įrodymų. Teorema. 1,4(Vejerštraso požymis). Jeigu funkcijų eilutė yra apibrėžta aibėje A ir egzistuoja tokia konverguojanti skaičių eilutė , kad bet koks ir bet koks k = 1;2;... (numeriai) tenkina nelygybę: . Tai duotoji fukcijų eilutė aibėje A konverguoja tolygiai. Įrodymas. Taikant Koši kriterijų teigiamai skaičių eilutei turime, jog bet koks atitinka numeris , kad bet koks ir bet koks yra teisinga nelygybė . Naudodamiesi šia ir teoremos formuluotėje esančią nelygybe, gauname, kad . Pagal Košį kriterijų duotoji funkcijų eilutė konverguoja aibėje A tolygiai. 13. F-jų sekos tolygaus konvergavimo Dinio požymis. Tegu seka bet koks intervalo [a;b] taške nemažėja (nedidėja) ir tame intervale konverguoja į ribinę funkciją f(x). Jei visi funkcijų sekos elementai ir ribinė funkcija f(x) yra tolydūs intervale [a;b], tai sekos konvergavimas intervale [a;b] yra tolydus. Įrodymas. Apibrėžtumo dėliai tarkime, jog seka nemažėja aibėje [a;b]. tarkime funkcija , tuomet seka turi šias savybes: 1) visos funkcijos yra neigiamos ir tolydžios intervale [a;b]; 2) seka intervale [a;b] nedidėja; 3) kiekviename intervalo [a;b] taške egzistuoja riba . Mums pakanka parodyti, kad seka intervale [a;b] tolygiai artėja prie 0, o tam pakanka įrodyti, kad bet koks atitinka bet vienas toks numeris , kad bet koks tenkintų nelygybę (to pakanka, kadangi seka nedidėja ir nelygybė bus teisinga ir bet koks m>n). Sakykime, kad kokio nors neatitinka nė vienas toks numeris , kad nelygybė tenkintų visas kintamojo x reikšmes . Tada bet koks numeris atitiks intervalo [a;b] taškas tenkinantis nelygybę . Pagal Bolcano-Vjerštaso teoremą iš sekos galima išskirti posekį (dalinę seką) konverguojanti į kokį nors intervalo [a;b] tašką . Visi funkcijos m=1;2;… yra tolydžios taške x0, todėl fiksavus bet kokį m, turėsime . Kitą vertus turint fiksuotą numerį galima rasti už jį didesnį numerį nk. Tada dėl sekos nedidėjimo . Pastarąją nelygybę su nelygybe gauname, kad kai fiksuotas , o nk didesnis už jį numeris . Sugretinę šią nelygybę su lygybe , gauname , čia m bet koks numeris. Gautoji nelygybė prieštarauja tam, kad seka taške x0 konverguoja į 0. iš šio prieštaravimo gauname, kad teoremos teiginys teisingas. 14. tolygiai konverguojančių f-jų eilučių ir sekų ribų teoremos. Teorema 1.6. tegu a yra aibės A sankaupos taškas. Tarkime funkcijų eilutė tolygiai konverguoja aibėje A į sumą S(x), be to taške a egzistuoja kiekvieno tos eilutės nario ribinė reikšmė . Tada egzistuoja ir f-jos S(x) ribinė reikšmė taške a. Būtent , t.y., ribos simbolį lim ir sumos simbolį Σ galima sukeisti vietomis. Kitaip sakant prie ribos galima pereiti panariui. Įrodymas. Pirmiausia padarysime, kad skaičių eilutė konverguoja. Pagal Košį kriterijų taikomą duotajai f-jų eilutei bet koks atitinka numeris , kad bet koks teisinga ,kai , o . Paskutinėje nelygybėje perėjus prie ribos, kai x→a gauname , čia , o . Vadinasi, skaičių eilutė tinka Koši kriterijus, todėl jie konverguoja. Dar įvertinsime skirtumą S(x)- , kai x reikšmės imamos iš mažos taško a aplinkos. Kadangi visose aibės A taškuose , tai su bet kuriuo numeriu n teisinga tapatybė: . Iš šios tapatybės gauname bet koks teisingą nelygybę: . Pasirenkame bet kokį . Kadangi eilutė konverguoja, o duotoji f-jų eilutė konverguoja tolygiai, tai pasirinktąjį atitinka numeris , kad visuose aibės A taškuose x, teisingos nelygybės: . Kadangi baigtinės sumos riba lygi dėmenų ribų sumai, tai pasirinktąjį ir rastąjį numerį atitinka toks δ(delta), kad nelygybė: yra teisinga bet koks tenkinantiems sąlygą: . Atsižvelgus į gautuosius įverčius trime, kad nelygybė: , bet koks tenkinantiems sąlygą: . Taigi taške a f-ja S(x) turi ribą: . 15. F-jų sekos ir eilučių integravimas panariui Teorema 2.1. Jei f-jų seka intervale [a;b] konverguoja tolygiai į ribinę f-ją f(x), o kiekviena f-ja yra integruojama tame intervale, tai ir ribinė f-ja f(x) integruojama intevale [a;b], be to tą seką intervale [a;b] galima integruoti panariui, t.y., egzistuoja riba ir ji yra lygi . Įrodymas. Pasirinkime skaičių . Kadangi seka konverguoja į f-ją f(x) tolygiai, tai pasirinktą atitinka toks numeris , kad visiems yra teisinga nelygybė: (1) Jei, įrodytume, kad ribinė f-ja f(x) yra integruojama intervale [a;b], tai pasiremiant integralo savyvybėmis ir (1), nelygybę gautume: ; Taigi būtų įrodyta, kad egzistuoja ir yra lygi . Tokiu būdu mums belieka įrodyti, kad f-ja f(x) yra integruojama intervale [a;b]. pasirenkame tam tikrą intervalą [a;b] skaidinį . Tuomet intervalas [a;b] bus suskaidytas į m dalinių intervalų k=1;2...m. f-jos f(x) (ar f-jos fn(x)) k-ajame dalineme intervale pažymėkime wk(f) (wk(fn(x)). Parodysime, kad kiekvieną ir kiekvieną k=1,2...m atitinka numeris kuriam teisinga nelygybė. . pastebėsime, kad bet kurie intervalo taškai x‘ ir x‘‘ tenkina nelygybę (3) kadangi seka į f-ją f(x) konverguoja tolygiai, tai kiekviena atitinka toks nr. , kad visiem yra teisinga nelygybė (1). Pasirinkę tokį numerį gauname . todėl remaintis nelygybę (3) turime: . iš paskutiniosios nelygybės, turint omenyje, kad taškai x‘ ir x‘‘ pasirinkti laisvai įsitikinome, kad nelygybė (2), kai formulė yra rastasis nr. yra teisinga. Toliau f-jos f(x) viršutine ir apatinę sumas atitinkančias tam tikro intervalo [a;b] skaidinį žymėsime Sir s, o f-jos viršutinės ir apatinės sumas žymėsime . padaugine visus (2) nelygybės narius iš k-ojo dalinio intervalo ilgio ir gautasias nelygybes sudėję bet kokius k=1,2,...m gauname nelygybę . šią nelygybę gavome pasirinkę bet kokį intervalo [a;b] skaidinį. Kadangi kiekviena f-ja yra integruojama intervalais [a;b] ,t.y., toks intevalo [a;b] skaidinys, kad . iš nelygybės (4) gauname: S-s0 atitinka numeris NєIN: Be to antrąją iš nelygybių (5) tenkina visi . tarkim kad laisvai pasisrinktas taškas. F-ja kai n ir pєIN intervale atitinka visas langarnžo t-mos sąlygas todėl egzistuoja toks taškas kad . iš pastarosios lygybės ir nelygybių (5)atsižvelgus į tai, kad gauname .iš nelygybių teisinga visiems ,kiekvienam n≥N,visiems pєIN ir reiškia kad seka intervale [a;b]. tolygiai konverguoja į kokią nors ribinę f-ją f(x). Toliau įrodysime kad ribinė f-ja f(x) kutiame intervalo [a;b]. taške turi išvestinę ir ta išvestinė yra ribinė sekos f-ja. Fiksuokime bet koks intervao [a;b]. tašką i.r atsižvelgę į jį parenkame tokį δ>0kad visa taško . δ aplinka būtų intervale [a;b]..tuo atveju, kai . yra kraštinis intervalo [a;btaškas δ aplinką laikysime taško a [a;a+δ) taško b [b-δ;b) ∆ . pažymėkime aibę sudarytą iš visų skaičių ∆x tokių,kad 00 atitinka toks numeris ,kad visiems xє[a;b] ,kai n≥N ,o bet koks yra teisinga nelygybė: (6) Fiksuokime bet kokį ∆xє∆ ir f-jai kai n ir p fiksuoti skaičiai intervale [x0;x0+∆x]pritaikykime lagranžo t-mą. Pagal šią t-mą egzistuoja skaičius Θ(teta):00; 3) seka (2) aprėžta ir turi viršutinę ribą L=0. Teorema 4.1 (Koši-Ademoro) (i) jei seka (2) neaprėžta, tai laipsninė eilutė (1) konverguoja tik taške x=0; (ii) jeigu seka (2) aprėžta ir turi viršutinę ribą L>0, tai eilutė (1) konverguoja apsoliučiai visuose taškuose x, kad ir diverguoja, kai x tokie, kad ; (iii) jei seka (2) aprėžta ir jos viršutinė riba L=0, tai eilutė (1) konverguoja bet kuriai x reikšmei. Įrodymas. (i) tarkime, kad seka (2) neaprėžta. Tuomet seka , kai taip pat neaprėžta, o reiškia kad šioje sekoje yra narių su kiek norima dideliais numeriais , kad būtų teisinga nelygybė arba . Tai reiškia, kad (1) eilutė netenkina būtinos konvergavimo sąlygos, t.y., eilutė (1), kai diverguoja. (ii) Tarkime, kad seka (2) yra aprėžta, o jos viršutinė riba L>0. įrodysime, kad eilutė (1) konverguoja absoliučiai, kai ir diverguoja . Iš pradžių pasirinkime bet kokį x, tenkinantį nelygybę . Galime rasti tokį ε>0, kad būtų teisinga nelygybė . Iš viršutinės ribos sąvybių seka, kad visi elementai pradedant kuriuo nors numeriu n yra teisinga nelygybė: . Remiantis Koši požymiu teor. 1.7 eilutė (1) konverguoja absoliučiai. Dabar fiksuokime bet kokį x tenkinantį nelygybę . Tuomet galima rasti tokį ε>0, kad būtų teisinga nelygybė: . Remiantis viršutinės ribos apibrėžimu iš sekos (2) galima gauti posekę konverguojanti į L. Tačiau tai reikštų, kad pradedant kuriuo nors numeriu yra teisinga nelygybė: . Vadinasi, padedant tuo numeriu teisinga nelygybė: arba , t.y., netenkinama būtina eilutės (1) konvergavimo sąlyga, todėl ta eilutė diverguoja. (iii) Dabar tarkime, kad seka (2) yra aprėžta, o jos viršutinė riba L=0. Įrodysime, kad (1) eilutė konverguoja apsoliučiai bet kuriame taške x. Pasirinkime bet kokį x≠0. Kadangi viršutinė riba L lygi 0, o seka (2) negali turėti neigiamų ribinių taškų, tai skaičius L=0 yra vienintelis ribinis taškas. Reiškia sk. L=0 yra tos sekos riba, t.y., seka (2) yra nykstama. Bet tuomet skaičių atitinka numeris, kuriuo pradedant . Vadinasi pradedant tuo numeriu . Remiantis Koši požymiu (1) eilutė konverguoja absoliučiai 18. laipsninės eilutės konvergavimas Teorema 4.2. Kiekvieną laipsninę eilutę jei ji nėra eilutė konverguojanti tik taške x=0 atitinka toks R>0, kuri gali būti ir begalybė, kad ta eilutė konverguoja absoliučiai, kai |x|

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!