Šperos

Tikimybių teorija

10   (1 atsiliepimai)
Tikimybių teorija 1 puslapis
www.nemoku.lt
www.nemoku.lt
Aukščiau pateiktos peržiūros nuotraukos yra sumažintos kokybės. Norėdami matyti visą darbą, spustelkite peržiūrėti darbą.
Ištrauka

1.1. ELEMENTARIEJI ĮVYKIAI Tikimybių teorija - atsitiktinių reiškinių (dydžių, įvykių, procesų) matematinių modelių sudarymo ir jų analizės teorija. Elementarus įvykis žymimas raide ω (dažnai su indexu). Šių įvykių visumą vadiname elementariųjų įvykių erdvė ir žymime raide Ω. Elementariojo įvykio sąvoka yra pirminė, neapibrėžiama. PVZ.: Ω={ω1, ω2, …ωN} – erdvė; ωi=”iškrito i akių” Monetai: Ω={HH; HS; SH; SS} 1.2. ATSITIKT ĮVYKIAI. VEIKSMAI. Apibrėžimas. Atsitiktinis įvykis A—bet kuris elementariųjų įvykių erdvės poaibis, ty A  Ω. Apibrėžimas. Įvykis A yra įvykio B atskiras atvejis (įvykis), jei kiekvienas elementarusis įvykis, priklausantis A, priklauso ir B. ty AB arba BA. Apibrėžimas. Du įvykiai vadinami lygiais, jei juos sudaro tie patys elementarūs įvykiai. A=B. Apibrėžimas. Dviejų įvykių A ir B sąjunga (suma) vadiname įvykį, sudarytą iš elementariųjų įvykių, priklausančių bent vienam iš įvykių A ir B. A+B arba AB. Apibrėžimas. Dviejų įvykių A ir B sankirta (sandauga) vadiname įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių abiems įvykiams A ir B. A*B arba AB. Apibrėžimas. Įvykius A ir B vadiname nepriklausomais (nesutaikomais), jei jų sankirta yra negalimas įvykis: AB=ø. Apibrėžimas. Pilnas įvykis—kuris visuomet įvyks. Apibrėžimas. A/B –Papildymas-tox įvykis-skirtumas, kuris nepriklauso įvykiui B, o priklauso įvykiui A. Apibrėžimas. Ā-priešingas įvykis-tox įvykis, kuris įvyx tada ir tik tada, kai neįvyx įvykis A. Apibrėžimas. Įvykiai A1, A2, …AK sudaro pilnąją įvykių grupę, jei jie poromis nesutaikomi ir jų suma lygi Ω. Įvykių veixmai turi tas pačias savybes, kaip ir aibių veixmai: Papildymo dėsniai: AĀ=Ω, AĀ=, Ω=, =Ω, Ā=A. Komutatyvumo dėsniai: AB=BA, AB=BA. Asociatyvumo desniai: (AB)C= A(BC), (AB)C=A(BC). Distributyv desniai: A(BC)= (AB) (AC);A(BC)= (AB)(AC). Morgano formules (dualumo principas): AB=AB, AB=AB. 1. 3. STATISTINĖ TIKIMYBĖ Santykinis dažnis: W(A)=k/n, cia k—pasirodymų skaičius, kai atliekame n bandymų. Apibrėžimas. Tikimybe vadiname tokią skaitinę funkciją P, tenkinančią šias axiomas: 1) P(A)≥0; 2) P(Ω)=1; 3) P(AB)=P(A)+P(B), kai AB=. Apibrėžimas. Įvykio A tikimybe vadinama tokia skaitinė funkcija, kad ji yra griežtai teigiama, normuota. Ir jeigu įvykiai nepersikerta, tai jų sumos tikimybė lygi lygi tikimybių sumai. Klasikinė schema: Ω={ω1; ω2…ωN}; A={ωj1; ωj2…ωjK}. Apibrėžimas. Elementarūs įvykiai yra palankūs įvykiui A, jei jie įeina į jo sudėtį. P(A)=k/N. Klasikinėje schemoje visi įvykiai laikomi vienodai galimais. P(A)=P(ki=1ωji)=i=1kP(ωji)= k/N. Gretiniai—tokie elementų junginiai, kurie skiriasi vienas nuo kito arba pačiais elementais arba jų tvarka. Amn=n(n-1)…(n-m+1)=n! / (n-m)!; jie naudojami skaičiuti junginių skaičiui, kai elementų tvarka yra svarbi. Deriniai—tokie elementų junginiai, kurie skiriasi bent vienu elementu. Jie skirti skaičiuti, kai elementų tvarka nėra svarbi. Cmn=n! / m!(n-m)! Kėliniai iš n elementų yra junginiai, sudaryti iš visų n elementų, kurie skiriasi vienas nuo kito tik elementų tvarka. Jie nusako, kiek galima sudaryti junginių iš n elementų besiskiriančių išsidėstymo tvarka. Kn=n! 2. PAGRINDINS TIKIMYBIŲ SAVYB P(A)≥0 P(AB)=P(A)+P(B) P(Ω)=1 AB= Savybės: 1) P()=0; A=Ω B=; AB=; P(Ω)=P(Ω)+P()=P(Ω)=1 2) Jeigu įvykis A yra įvykio B poaibis, tai B yra skirtumas ir P(B\A)=P(B)-P(A); P(A)≤P(B); B=A+B\A; A(B\A)=; P(B)=P(A(B\A))=P(A)+ +P(B\A); P(B\A)=P(B)--P(A); P(A)≤P(B) 3) P(A)=1-P(A); A=Ω\A; AA=; P(AA)=P(Ω)=P(A)+P(A)=1 4) Kiekvienai A: 0≤P(A)≤1; AΩ; P(A)≤P(Ω) 5) Jeigu įvykiai A1,…An poromis nepersikerta, tai AiAj=, ij; jų sumos tikimybė lygi tikimybių sumai: P(ni=1Ai)=ni=1P(Ai). 2. 1. TIKIMYBIŲ SUDĖTIES TEORE. 1 teorema: P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) Įrodymas: AB=A(B\AB); A(B\AB)=; P(AB)=P(A)+P(B\AB); ABB; P(B\AB)=P(B)-P(AB). Analogiskai:P(ABC)=P(A)+P(B)+ +P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).2 teorema: Jeigu įvykiai A1, A2…An sudaro pilną įvykių grupę, tada: ni=1P(Ai)=1; ni=1Ai=Ω; AiAj= (ij) ir jie poromis nepersikerta, tai jų sumos tikimybė lygi jų tikimybių sumai: 1=P(Ω)=P(ni=1Ai)= ni=1P(Ai). 3 teorema: P(ni=1Ai)=1-P(ni=1Ai). Įvykių sumos tikimybė lygi 1 minus priešingų įvykių sumos tikimybė.2. 2. SĄLYGINĖS TIKIMYBĖS.Tarkime, kad turime sudarytą tikimybinio experimento matematinį modelį: (Ω, F, P). Nagrinėsime: Ω={t; 0≤t≤∞}—experimento veikimo laikas. A={t; 0≤t≤T}; nesugedo per laikotarpi T; B={t; 0≤t≤T1}.P(A\B)nAB/nB=(nAB/n) / (nB/n)P(AB)/P(B).Sakykime P(B)>0.Apibrėžimas: Įvykio A sąlygine tikimybe, tarę, kad įvykis B įvyko, vadiname įvykių sankirtos ir įvykio B tikimybių santykį: P(A\B)=P(AB)/P(B); P(A\B)≥0; P(Ω\B)=P(ΩB)/P(B)=1.Jei AC0 nepersikertantys, tai P(AC\B)=P(A\B)+ +P(C\B)=P((AC)B) / /P(B)= =P((AB)+CB) / P(B)=(P(AB)+P(CB)) / P(B); P(B\B)=1.Sąlyginė tkimybė—yra tox pat tikimybinis matas, tik kitoje erdvėje. Ω*=ΩB; F*={A, ABF}; P*P(A\B). 2. 3. TIKIMYBIŲ DAUGYBOS TEOREMA. Teorema: Dviejų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno įvykio tikimybei, padaugintai iš antrojo įvykio sąlyginės tikimybės, kai įvykęs pirmasis įvykis: P(AB)=P(A)P(B\A)= =P(B)P(A\B), kai P(B)>0 ir P(A)>0.Jei n≥2, tai: P(A1A2…A­n) = P(A1) P(A2\A1) P(A3 \ A1A2)…P(An \ A1…An-1) .2. 4. NEPRIKLAUSOMI ĮVYKIAI.Turime (Ω; F; P). Sąlyginė tikimybė P(A\B)=P(AB)/P(B). Jeigu įvykis A nuo įvykio B nepriklauso, tai sąlyginė tikimybė turėtų priklausyti tik tai nuo įvykių: P(A\B)=P(A).Apibrėžimas: įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei galioja P(A\B)=P(A), tuomet P(AB)=P(A)P(B) sandaugos tikimybė lygi tų tikimybių sandaugai.1 teorema: bet kuris įvykis A ir būtinas įvykis Ω yra nepriklausomi: P(A)=P(AΩ). Įrodymas: P(A)=P(AΩ)=P(A)P(Ω), kur P(Ω)=1.2 teorema: bet kox įvykis A ir negalimas įvykis  yra nepriklausomi. Įrodymas: P(A)=P()=0= P(A)P()=0.3 teorema: jei A ir B nepriklausomi, tai nepriklausomi ir A su B; A su B; A su B. Įrodymas: P(AB)=P(A)P(B); =P(A)=P(A(BB))= =P((AB)(AB))= =P(AB)+P(AB)==P(A)P(B)+P(AB), tai: P(AB)=P(A)-P(A)P(B)= =P(A)(1-P(B))=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(A)P(B). Jei yra daugiau nepriklausomų įvykių: įvykiai A1,…,AnP(Aj1Aj2…Ajm)=P(Aj1)P(Aj2)… P(Ajm); j1,j2…jm=1,n; m=2,n.Įvykių sandaugos tikimybė lygi jų tikimybių sandaugai.Jeigu yra trys įvykiai: A,B,C; P(ABC)=P(A)P(B)P(C). 2. 5. PILNOSIOS TIKIMYBĖS F-LĖ.Jei įvykiai H1, H2…Hk sudaro pilnąją įvykių grupę, tai bet kokio įvykio A tikimybė P(A)=ki=1P(Hi)P(A\Hi), P(Hi)>0, i=1,k. Įrodymas: kadangi H1,…Hk sudaro pilną įvykių grupę, tai: A=A(ni=1Hi)=ni=1(AHi); ki=1Hi=Ω; HiHj=; P(A)=P(ki=1AHi)= =ki=1P(AHi)=ki=1P(Hi) P(A\Hi); AHi AHj=. 2. 6. BEJESO TEOREMA.Bejeso teorema: P(Hj\A)=P(Hj)P(A\Hj) / ki=1P(Hi)P(A\Hi).Irodymas: P(Hj\A)= P(HjA) / P(A)=P(Hj)P(A\Hj) / ki=1P(Hi)P(A\Hi). 2. 7. NEPRIKLAUSOMI EKSPERIMENTAI. BERNULIO FORMULĖ.Experimentai vadinami nepriklausomais, jei jų rezultatai vieni nuo kitų nepriklauso. Experimentai vadinami Bernulio, kuriuose galimos dvi išeitys. (A ir A).Pn(k)—tikimybė, kad atlikus n experimentų, įvykis įvyx k kartų. Tada P(A)=p priešingų įvykių tikimybė: P(A)=1-p=q.Teorem (Bernulio f-le): Pn(k)=Cnk pk qn-k.Irodymas: Pn(k)=P(ni=1Ai1Ai2…Aik Aj1…Ajn-k)Ai—i-tojo experiment metu įvyx įvykis A.P(A1A2…AkAk+1…An)=p(1-p)n-k=pkqn-k;Pn(k)=P(ni=1Ai1Ai2…Aik Aj1…Ajn-k)=Cnk pk qn-k.Bernulio f-le išreikštos tikimybės vadinamos binominiu pasiskirstymo dėsniu. Bernulio experimento metu galime apibendrinti A1, A2…Ak P(Aj)=Pj; p1+…+pk=1; Pn(k1,k2,…,kk)=(n!/k1!k2!… kk!)*p1k1p2k2…pkkk. 2. 8. BERNULIO FORMULĖS ASMPTOTIKA. Sakykime, kad atliekame n experimentų, kuriuose np ir p labai maža. Pn(k)=Cnk pk qn-k; Puasono teorema: Jei n∞ ir pn0, be to taip, kad npn=nx1, tai F(x1)≤F(x2). Irodymas: F(x2)=P{

Daugiau informacijos...

Šį darbą sudaro 2384 žodžiai, tikrai rasi tai, ko ieškai!

★ Klientai rekomenduoja


Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!

Detali informacija
Darbo tipas
Failo tipas
Word failas (.doc)
Apimtis
1 psl., (2384 ž.)
Darbo duomenys
  • Kombinatorikos špera
  • 1 psl., (2384 ž.)
  • Word failas 251 KB
www.nemoku.lt Atsisiųsti šią šperą

www.nemoku.lt Panašūs darbai

Tikimybių teorija ir statistika

Tikimybių teorija ir statistika Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Tikimybių teorija egzaminui

Tikimybių teorija egzaminui Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Kombinatorika ir grafų teorija

Kombinatorika ir grafų teorija Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Tikimybių teorijos platus pasiruošimas egzaminui

Tikimybių teorijos platus pasiruošimas egzaminui Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Teorija apie tikimybes

Teorija apie tikimybes Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Atsitiktiniai įvykiai - teorija

Atsitiktiniai įvykiai - teorija Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Tikimybių teorijos pagrindinės temos

Tikimybių teorijos pagrindinės temos Kombinatorika Peržiūrėti darbą

www.nemoku.lt Kiti darbai

Tikimybių teorija

Tikimybių teorija Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Kombinatorikos įvadas

Kombinatorikos įvadas Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Tikimybių teorija egzaminui

Tikimybių teorija egzaminui Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Tikimybių teorijos platus pasiruošimas egzaminui

Tikimybių teorijos platus pasiruošimas egzaminui Kombinatorika Peržiūrėti darbą

The Game Of Nim

The Game Of Nim Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Kombinatorikos uždaviniai su sprendimais

Kombinatorikos uždaviniai su sprendimais Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Kombinatorikos temos

Kombinatorikos temos Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Atsitiktiniai įvykiai - teorija

Atsitiktiniai įvykiai - teorija Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Atsitiktiniai vyksmai

Atsitiktiniai vyksmai Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Tikimybių teorijos pagrindinės temos

Tikimybių teorijos pagrindinės temos Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Atsitiktiniai įvykiai

Atsitiktiniai įvykiai Kombinatorika Peržiūrėti darbą

Kėliniai. Gretiniai. Deriniai

Kėliniai. Gretiniai. Deriniai Kombinatorika Peržiūrėti darbą
Privalumai
Pakeitimo garantija Darbo pakeitimo garantija

Atsisiuntei rašto darbą ir neradai jame reikalingos informacijos? Pakeisime jį kitu nemokamai.

Sutaupyk 25% pirkdamas daugiau Gauk 25% nuolaidą

Pirkdamas daugiau nei vieną darbą, nuo sekančių darbų gausi 25% nuolaidą.

Greitas aptarnavimas Greitas aptarnavimas

Išsirink norimus rašto darbus ir gauk juos akimirksniu po sėkmingo apmokėjimo!

Atsiliepimai
www.nemoku.lt
Dainius Studentas
Naudojuosi nuo pirmo kurso ir visad randu tai, ko reikia. O ypač smagu, kad įdėjęs darbą gaunu bet kurį nemokamai. Geras puslapis.
www.nemoku.lt
Aurimas Studentas
Puiki svetainė, refleksija pilnai pateisino visus lūkesčius.
www.nemoku.lt
Greta Moksleivė
Pirkau rašto darbą, viskas gerai.
www.nemoku.lt
Skaistė Studentė
Užmačiau šią svetainę kursiokės kompiuteryje. :D Ką galiu pasakyti, iš kitur ir nebesisiunčiu, kai čia yra viskas ko reikia.
Palaukite! Šį darbą galite atsisiųsti visiškai NEMOKAMAI! Įkelkite bet kokį savo turimą mokslo darbą ir už kiekvieną įkeltą darbą būsite apdovanoti - gausite dovanų kodus, skirtus nemokamai parsisiųsti jums reikalingus rašto darbus.
Vilkti dokumentus čia:

.doc, .docx, .pdf, .ppt, .pptx, .odt