Atsitiktiniai įvykiai - teorija

1.Atsitiktiniai įvykiai .Veiksmai su atsitiktiniais įvykiais. Ekspermentrai :1)determinuoti 2)atsitiktiniai.jei atliekant ekspermentą negalima numatyti to ekspermento rezultatų – jį vad. Atsitiktiniu.jei prieš atliekant žinome rezultatą tai bus determinuotas .Reiškiniai kurie yra susieja su atsitiktiniais vad . atsitiktiniais reišk. O determinuotu – determinuotais reišk. Elementarus įvykis – pagrindinė sąvoka .Ji paaiškinama tik pavyzdžiais : Elementarius įvykius žymime K .Jų aibę vad . elementarių įvykių erdve =w=(w) elementarūs įvykiai – tai nedalomi ir poromis nesutiakomi įvykiai .Atsitiktinis įvykis susiejusius su duotuoju ekspermentu žymime A,B,C.Įvykį kuris stebimas stebimas visada vadinamas būtinu įvykiu .įvykiai aprašomi iš pradžių žodžiais :A=iškrito lyginis akučių skaičius =(w2,w4,w6) B={iskrito bent viena akute}= būtini įvykiai žymimi .Negalimas įvykis – tai toks įvyksi , kurį sudarančių elementarių įvykių aibė tuščia.Atsitiktiniu įvykiu A vad . bet kokį elementarų įvykį erdvės poaibį .=(w1,w2,…w6), B=(w1,w3,w5)c ,C=(w1,w2)c .Kadangi įvykius galime traktuoti kaip elementarių įvykių erdvės poaibius , tai ir veiksmus su įvykiais galime atlikti panašiai kaip ir veiksmus su aibėmis .Ryšį tarp įvykų ir veiksmų vaizduosime Veno diagramomis .Elementarių įvykių erdvę sutapatinam su stačiakampiu . Ac , Bc Įvykį A vad. Įvykio B atskiru atveju arba , jei elementarų įvykiai įeinatntys į A , įeina ir į B . AcB Du įvykiai A ir B vad . lygiais , jei elementarių įvykių aibės priklausančios vieman ir kitam įvykiui yra lygios .[A=B](AcB ,BcA).Dviejų įvykių A ir B sąjunga yra vad . toks įvykis ,kurį sudaro elementarūs įvykiai , priklausantys bent vienai iš įvykių aibių .Žymime C=AB=ww Aarba wB  Dviejų įvykių A ir B sankirta vad . įvyksi , kurį sudaro elementarūs įvykiai , priklausantys abiems įvykiaims .AB=ww Aarba wB  Galima įvykį apibendrinti ir didesniam įvykių skaičiui:ABC Įvykiai A ir B vad. Nesutaikomais ,jeigu jų sankirta yra negalimas įvykis AB= Imkime įvykių seką A1,A2,......An susiejusiu su nagrinėjamu eksprmentu.sakysime , kad tai įvykiai sudaro pilną įvykių grupę , jei : 1) tie įvykiai yra poromis nesutaikomi AkAm= , kai Km 2) k=1n Ak= visų jų sąjunga sudaaro būtiną įvykį.Turi būti užpildytas visas stačiakampis . Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadiname įvykį sudarytą iš elementarių įvykių priklausančių įvykiui A ir nepriklausančių įvykiui A .Žymime A\B (A be B ) A\B=ww Aarba wB  ,A=(w1,w2,w3) B=(w3,w4) A\B = (w1,w2) Būtino įvykio ir įvykio A skirtumas yra vad . įvykiui priešingu įvykiui A .Ā=\A , Ā={w|wA} Veiksmai su įvykiais pasižymi analogiškomis savybėmis kaip ri veiksmai su aibėmis . Papildymo dėsniai :AĀ= , A Ā= Ω=  = Ā=A . Komutatyvumo dėsniai : AB=BA ,AB=BA Asiciatyvumo desnis: (AB)C=A(BC) , (AB)C=A(BC) . Distruktyvumo desnis: A(BC)=(AB)(AC) , A(BC)=(AB)(AC) Morgano formules (desniai): AB=ĀB AB=ĀB , žymėjimai: ABA+B , ABAB , A\BA-B. Sprendžiant tikimybinį uždavinį yra sudaromas jo matematinis modelis .Jį sudarant reikia atlikti tokius veiksmus : 1)surasti elementarių įvykių erdvę priklausančią ekspermentui 2)rasti visus elementarius įvykius erdvės poaibius .Poaibių aibė žymima F .Tai atsitiktiniai įvykiai susieję su 3) gauti visų atsitiktinių įvykių (F)pasirodymo galimybių tikimybes .(,F,P)- tikimybinė erdvė – ekspermento matematinis modelis. 2.Atsitiktinio įvykio tikimybės nustatymas .Statistinis tikimybės apibrėžimas. Kartojame ekspermentą daug kartų prie fiksuotų sąlygų .Jei atlikome n ekspermentų , tai : įvykis A domina , jis įvyko k kartų W(A)=K/n santykiniui dažniui.Atliekant serijas dažnis didėja prie tam tikro skaičiaus iš intervalo 0...1.tas skaičius iš intervalo 0...1 prie kurio artėja įvykio A santykinis dažnis , kai ekspermentų skaičius serijoje neaprėžtai didėja vad . įvykio A tikimybe nustatyta statistiniu būdu.P(w1)1/6 , W(w1)→n→∞1/6 3.Aksiominis tikimybės apibrėžimas atsitiktinio įvykio A tikimybę vad . skaitinė funkcija , tenkinanti 3 sąlygas (aksiomas): 1)P(A)≥0 2)P()=1 3) P(AB)=P(A)+P(B) , kai AB=.Atsitiktinio įvykio tikimybė neneigiama ,skaitinė funkcija , apibrėžta visiems elementariems įvykiams su tuo ekspermentu susietiems .Išvados 1)Negalimo įvykio tikimybė lygi 0. P()=0 .Įrodymas :,,)=P(), P()+P()=P()P()=0 .2)tegu AcB (įvykisA yra B dalis) P(B\A)=P(B)-P(A) , B=A(B\A) , A ir B\A nesutaikomi įvykiai P(B)=P(A(B\A))=P(A)+P(B\A) iš to P(B\A)=P(B)-P(A) .3)  P(A)0 , AĀ= AĀ P(AĀ)=P() P(A)+P(Ā)=P()=1 P(A)0 P(Ā)0 Išplaukia 01. 4) Priešingo įvykio tikimybė yra : P(Ā)=1-P(A) P(A)=1-P(Ā) . 5)P(K=1nAk)=nK=1P(Ak) , jei AKAm= P(A1+A2+.....+An)=P(A1)+P(A2)+.....+P(An).Dažnai nagrinėjamos ir begalinės įvykių aibės :Pagal tai trečia aksioma : 3' ) AK ,k=1,∞ P(∞k=1)=∞k=1P(Ak) jei AkAm= Km Aksiominės tikimybės apibrėžimas yra bendras , tačiau jis nenurodo taisyklės , kuria rementis būtų galima apskaičiuoti atskiro įvykio tikimybę. 4.klasikinė tikimybė Imame :wk| k=1,n } erdvė baigtinė , 2)P(w1)=P(w2)=.......=P(wn)=1/n visi elementarūs įvykiai vieno galimi.Ac A=(wj1,wj2,.........wjk) , j1,j2,....jk=1,n , k=1,n , P(A)=P(wj1,wj2,.........wjk)=Pkm=1wjm)={kadangi elementarūs įvykiai nesutaikomi}=km=1P(wjm)=1/nkm=11=K/n .P(A)=K/n klasikinė skaičiavimo formulė (prei sąlygų 1) ir 2) ) , čia n-skaičius elementarių įvykių erdvėje S.K-sk. Elementarių įvykių , įeinančių į įvykį A. .  vad. Visais galimais atvejais .A- vad. Įvykiui palankiais atvejais. P(A)= įvykiui palankių atvejų skaičius/visų galimų atvejų skaičius 5,KOMBINATORIKOS ELEMENTAI Turime n elementų ir iš jų suskaičiuojame įvairius junginius. A Gretiniai iš n elementų po m vadinami tokie junginiai, sudaryti iš n elementų po m, kurie skiriasi arba pačiais elementais arba jų tvarka,. Bendrą skaičių žymėsime: Anm=n!/(n+m)!=(n-1)(n-2)…(n-m+1) A Deriniais iš n elementų po m vadinami tokie junginiai, sudaryti iš n elementų imant po m, kurie skiriasi tarpusavyje bent vienu elementu. Cnm=n!/m!(n-m)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/ 1*2*3*…*m; Cn0=1, Cn1=n, Cnm=Cnn-m A Kėliniais iš n elementų yra vadinami junginiai, sudaryti iš duotų n elementų imant po n, kurie skiriasi tvarka. Pn=n! A Gretiniai su pasikartojimais iš n po m yra junginiai, kurie skiriasi arba elementais arba jų tvarka ir gali pasikartoti. Bnm=nm A Deriniai su pasikartojimais (Dnm=Cn+m-1m) yra tokie junginiai, kurie skiriasi bent vienu elementu ir kuriuose elementai gali pasikartoti. 6,GEOMETRINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS Elementarių įvykių erdve laikysime tam tikrą euklidinės erdvės Rn (n=1,2,3…) dalį (tiesės, plokštumos, erdvės). Elementariu įvykiu laikysime taško parinkimą toje srityje . Atsitiktiniu įvykiu laikysime taško parinkimą iš srities  tam tikros dalies, taip pat pareikalausime kad būtų išlaikytos vienodos galimybės principas: tikimybė pasirinkti tašką iš tam tikros srities nepriklauso nuo tos srities padėties srityje  ir nuo jos formos, o priklauso tik nuo tos srities išmatavimų (mato). Išmatavimai (matai) žymimi: , A; P(A)=A/ 7)PAGRINDINĖS TIKIMYBIŲ SAVYBĖS T Tikimybių sudėties teorema. P(AUB)=? ; AUB=AU(B\AB)(nesutaikomi) P(AUB)=P(AU(B\AB))=P(A)+P(B\AB) ABB P(B\AB)=P(B)-P(AB) P(A)+P(B)-P(AB); P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) – tinka ir nesutaikomiems nes jų P(AB)=0 Apibendriname trims įvykiams: P(AUBUC)=P(DUC)=P(D)+P(C)-P(DC)=P(AUB)+P(C)-P((AUB)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P((A∩C)U(B∩C))=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC); P(A1UA2U…An)=P(A1+A2+…+An)=∑i=1nP(Ai)- ∑i,j=1;i

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!