Tikimybių teorijos platus pasiruošimas egzaminui

1. ATSITIKTINIŲ ĮVYKIŲ SĄVOKA. Įvykiu vadiname kiekvieną faktą, kuris gali įvykti arba neįvykti, atlikus eksperimentą. Eksperimentu (bandymu, potyriu) vadiname kokių nors sąlygų realizavimą. Įvykius skirstome į būtinus, negalimus ir atsitiktinius. Imkime loginę schemą: realizavus sąlygų kompleksą K, įvyksta įvykis A. Pvz:sujungiame pakrauto akumuliatoriaus gnybtus laidininku (sąlygų komplekso K realizavimas). Laidininku teka elektros srovė (įvykis A). Tokie įvykiai vadinami būtinais (sąlygų komplekso K atžvilgiu). Kalbant apie kokio nors įvykio būtinumą, visada reikia turėti galvoje tų sąlygų kompleksą, kurio atžvilgiu įvykis nagrinėjamas. Pakeitus sąlygų kompleksą, įvykis gali tą savybę prarasti. Galima ir tokia schema: realizavus sąlygų kompleksą K, įvykis A neįvyksta. Tada įvykis A vadinamas negalimu (sąlygų komplekso K atžvilgiu). Teiginys, kad koks nors įvykis yra negalimas duoto sąlygų komplekso atžvilgiu, logiškai yra tolygus teiginiui, kad jam priešingas įvykis yra būtinas to komplekso atžvilgiu. Tačiau ne visi įvykiai yra būtini arba negalimi. Yra ir kitokių įvykių, kurių loginė schema yra tokia: realizavus sąlygų kompleksą K, įvykis A gali įvykti, gali ir neįvykti. Pvz: Išmetus monetą (sąlygų komplekso K realizavimas), herbas gali atsiversti arba ne; pirkome loterijos bilietą. Tiraže jis gali laimėti, bet dažniausiai gali ir nieko nelaimėti. Tokius įvykius, kurie, realizavus duotą sąlygų kompleksą, gali įvykti, bet gali ir neįvykti, vadiname atsitiktiniais (to sąlygų komplekso atžvilgiu). TIKIMYBĖ. Tarkime, kad turime sąlygų kompleksą K, kurį galime realizuoti daug kartų. Kiekvieną kartą, jį realizavus, gali įvykti arba neįvykti atsitiktinis įvykis. Pažymėkime įvykių A skaičių, atlikus n eksperimentų. Santykis yra vadinamas įvykio A statistiniu dažniu. Pvz: XVIII a. Biufonas metė monetą 4040 kartų. Herbas atsivertė 2048 kartus. Jo gautas herbo atvirtimų statistinis dažnis ~0,51. Panašius eksperimentus atliko K.Pirsonas. Visi jie gaudavo panašius rezultatus. Iš pavyzdžių matome, kad herbo atsivertimo statistinis dažnis, kai bandymų skaičius yra didelis, svyruoja nedideliame intervale. Sakome, kad statistinis dažnis yra stabilus. Tą patį pastebėsime ir tirdami kitus atsitiktinius reiškinius. Kai eksperimentų skiačius nėra didelis, statistinis dažnis gali svyruoti intervale [0,1]. Tačiau kai eksper. skaičius didelis, jis paprastai svyruoja labai nedaug ir turi tendenciją artėti prie kokio nors pastovaus skaičiaus. Pateiktas pavyzdys ir kasdieninė praktika leidžia mums teigti, kad atsitiktinio įvykio A statistinis dažnis svyruoja apie tam tiką konstantą. Tą konstantą vadinsime įvykio tikimybe ir paprastai žymime P(A). Taigi herbo atvirtimo tikimybe galime laikyti 0,5. Tikimybių teorija nagrinėja tik atsitiktinių įvykų su stabiliais statistiniais dažniais dėsnius.Elementarieji įvykiai. Pasirinkime kokį nors atsitiktinį eksperimentą ir nagrinėkime visų su juo susijusių galimybių įvykių aibę. Kai kuriuos iš tų įvykių galėsime laikyti sudarytais iš kitų – atskirų atvejų. Tarp įvykių bus ir tokių, kurie toliau neskaidytini ir negali įvykti kartu. Juos vadinsime elementariaisiais įvykiais. Aibė visų elementar. įvykių, susijusių su kuriuo nors atsitiktiniu eksperimentu, vadinama elementariųjų įvykių erdve. Elementariuosius įvykius žymėsime raide ω su indeksais arba be jų, o elementariųjų įvykių erdvę raide Ω. Pvz1: atsitiktinai metame monetą. Ji nukris ant stalo arba ant grindų. Laikysime, kad ji negali sustoti, atsirėmusi briauna į paviršių, ant kurio nukrinta, - nebent atsiremtų į stalo koją ar sieną. Tačiau tokie atvejai praktiškai neįmanomi, todėl laikysime galimais tik du atvejus:atsivers herbas arba skaičius, rodąs monetos vertę. Elementariųjų įvykių erdvė Ω bus sudaryta iš dviejų įvykių: a)herbo atsivertimo, b)skaičiaus atsivertimo. Pvz2: Kurio nuors būdu matuojame atstumą X tarp dviejų žemės paviršiaus taškų. Dėl įvairių atsitiktinių priežasčių, veikiančių matavimo prietaisus, gausime matavimo paklaidas. Aibę Ω galime sudaryti iš įvykių “X matavimo rezultatas yra x”; čia x prabėga tam tikrą reikšmių aibę. Imdamiesi matematiškai nagrinėti kurį nors atsitiktinį eksperimentą, turime sudaryti jo matematinį modelį. Tam pirmiausia reikia sudaryti jo elementariųjų įvykių erdvę Ω. Atsitiktiniai įvykiai, susiję su tuo eksperimentu, bus sudaryti iš erdvės Ω elementariųjų įvykių, t.y. bus aibė Ω poaibiai. Koks nors įvykis A įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta kuris nors iš elementariųjų įvykių, iš kurių sudaryta aibė A. Įvykis, kuris visada įvyksta, kai įvyksta bet kuris iš erdvės Ω elementar. įvykių, yra būtinas. Todėl būtinas įvykis žymimas Ω. Negalimą įvykį atitinka tuščia elementariųjų įvykių aibė,todėl jis žymimas Ø. Veiksmai su įvykiais. Sakykim, duota fiksuota elementariųjų įvykių erdvė Ω ir sist. jos poaibių, laikytinų įvykiais. Panagrinėsime kai kuriuos ryšius tarp įvykių. Sakysime, kad įvykis A yra įvykio B dalis, arba atskiras atvejis, jei, įvykus įvykiui A, kartu įvyksta ir įvykis B. Tai reiškia, kad kiekvienas elementarusis įvykis, įeinantis į įvykį A, įeina ir į įvykį B, t.y. elementariųjų įvykių aibė A yra elementariųjų įvykių aibės B poaibis, t.y. arba. Pvz: Metame lošimo kauliuką. A – dviejų akučių pasirodymas, B – lyginio akučių skaičiaus pasirodymas. Aišku, kad.Tarkime, kad atsitiktinai parenkame bet kurį kvadrato tašką. Elementariųjų įvykių aibę Ω atitiks visų kvadrato taškų aibė. Toliau tarkime, jog įvykis A yra taško parinkimas iš srities, pažymėtos taip pat raide A, o įvykis B – iš srities B. Jei įvykis A yra įvykio B dalis, tai sritis A telpa srityje B. Bet kuriam įvykiui A yra teisingos formulės: Ø , . Jei A, B, C – įvykiai ir , , tai (ženklo tranzityvumo savybė). Du įvykiai yra lygūs, jei juos sudarančios elementariųjų įvykių aibės yra lygios. Teisingas teiginys: jei, įvykus įvykiai A, įvyksta ir įvykis B, o įvykus įvykiui A, įvyksta ir įvykis B, o įvykus įvykiui B, įvyksta ir įvykis A, tai tie įvykiai yra lygūs, t.y. jei ir ,tai B = A. Įvykių lygybė turi savybes: A = A (refleksyvumas); jei A=B, tai B =A (simetriškumas); jei A=B ir B=C, tai A=C (tranzityvumas). Dviejų įvykių A ir B sąjunga arba suma vadinsime įvykį, kai pasirodo bent vienas iš įvykių A ir B, t.y. įvykių A ir B sąjunga yra įvykis, sudarytas iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių bent vienam iš įvykių A ir B ( A U B). Analogiškai apibrėžiama ir didesnio įvykių skaičiaus sąjunga. Bet kurios baigtinės arba skaičios įvykių sistemos sąjunga vadiname įvykį, kai įvyksta bent vienas iš tos sistemos įvykių, t.y. . Sistemos sąjungą žymima arba . Skaičios įvykių sistemos sąjungą žymima arba . Pats veiksmas vad. įvykių jungimu arba sudėtimi.Jungimo savyb.: A U B=B U A (komutatyvumas), (asociatyvumas). Jeigu , tai ;specialiais atvej. Ø U A = A, A U Ω = Ω, A U A = A. Dviejų įvykių A ir B sankirta (pjūviu) vadiname įvykį, kai kartu įvyksta abu įvykiai A ir B, t.y. įvykių A ir B sankirta yra įvykis, sudarytas iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių ir A, ir B (A∩B). Bet kurios baigtinės arba skaičios įvykių sistemos sankirta vad. įvykį, kai kartu įvyksta visi tos sistemos įvykiai. Ji yra atitinkamų elementariųjų įvykių aibių sistemos sankirta . Baigtinės įvykių sistemos sankirtą žymima arba , o skaičios įvykių sistemos sankirtą – arba . Kirtimosi sav.:A∩B=B∩A (komutatyvumas), (A∩B)C=A∩(B∩C) (asociatyvumas). Jei , tai ; specialiais atvejais Ø∩A=Ø, A∩Ω=A, A∩A=A. Jungimosi ir kirtimosi veiksmai susieti lygybėmis (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C) ir (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) (distributyvumas). Šios lygybės yra teisingos ir bendresniais atvejais. Jei yra kokia nors (baigtinė arba skaiti) įvykių sistema, B – bet kuris įvykis, tai teisingos lygybės: , . Įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jeigu jie negali įvykti kartu, t.y.jų sankirta yra negalimas įvykis A∩B= Ø. Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadiname įvykį, kai įvykis A įvyksta, o įvykis B neįvyksta, t.y. A ir B skirtumas yra įvykis, sudarytas iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių A, bet nepriklausančių B. V, įvykių A ir B skirtumas yra elemen. įvykių aibių A ir B skirt. (A/B). Patį šį veiksmą vad. atimtimi. Atimties sav.: A/B=A/(A∩B); jeigu ,tai A/B=Ø; specialiu atv. Ø/A= Ø, A/ Ω= Ø, A/A= Ø; jeigu A∩B= Ø (įvykiai nesutaik.), tai A/B=A; (A/B)UB=AUB; (A/B)UB=A t.t.t., kai ; distributyvumo sav.: (A/B)∩C=(A∩C)/(B∩C) Dviejų įvykių sankir. galima išreikšti atimtimi: A∩B=A/(A/B). Įvykis Ω/A yra vad. įvykiu, priešingu įvykiui A, žym. Ac. Įvykis Ac yra elemem. įvykių aibės A papildinys iki Ω. Aišku, kad (Ac)c=A, t.y.įvykis, priešingas Ac, yra pats įvykis A. Įvykiams A ir Ac tinka lygybės AUAc= Ω, A∩Ac= Ø (A ir Ac – nesutaikomi). Dviejų įvykių skirtumą galima išreikšti šitaip: A/B=A∩Bc. 2. KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS Įvairius įvykius galima palyginti pagal galingumo laipsnį. Jei, sakysime, tarp loterijos laimėjimų yra 5 automobiliai ir 200 radijo aparatų, tai išlošti radijo aparatą yra daugiau galimybių (labiau tikėtinas įvykis), negu išlošti automobilį. Kiekvienam įvykiui galime priskirti skaičių,kuris apibūdintų jo galimybės laipsnį, būtų jo atsitiktinumo matas. Klasik.tikimybės apibrėžimas yra pagrįstas įvykių vienodo galingumo arba vienodo tikėtinumo, sąvoka. Tarkime,kad kokio nors eksperimento elementariųjų įvykių aibė Ω yra sudaryta iš s vienodai galimų elementariųjų įvykių. Atlikus didelį skaičių n bandymų, konkretus ele. įvykis įvyks maždaug n/s kartų. Jo statistinis dažnis svyruos apie 1/s. Todėl kiekvieno konkretaus elem. įvykio tikimybe galime laikyti skaičių 1/s. V, jei, atliekant eksperimentą, gali įvykti s elentariųjų įvykių, tai ekvivalentūs yra teiginiai: a) tie įvykiai vienodai galimi; b) jų tikimybė yra 1/s. Metant monetą, herbo ir skaičiaus pasirodymo tikimybės lygios ½. Metant lošimo kauliuką, akučių 1, 2, 3, 4, 5, 6 atsivertimo tikimybės lygios 1/6. Jei dėžėje yra 10 vienodų rutulių, kurie skiriasi tik spalva, tai, atsitiktinai traukiant iš dėžės rutulį, konkretaus rutulio ištraukimo tikimybė yra 1/10. Tarkime, kad, atliekant eksperimentą, gali įvykti s vienodai galimų elementariųjų įvykių. Imkime įvykį A, sudarytą uš r elementariųjų įvykių. Pastarieji dažnai palankiais įvykiui A. Aišku, šio įvykio statistinis dažnis svyruos apie skaičių r/s. Jo tikimybe P(A)=r/s. Taigi įvykio A tikimybė yra lygi palankių įvykiui A įvykių skaičiaus ir visų vienodai galimų elementariųjų įvykių sk. santykiui. Iš apibrėžimo išplaukia šitokios tikimyb. savybės. 1. įvykio A tikimybė tenkina nelygybes 0≤P(A)≤1.2.Būtino įvykio tikimybė P(Ω)=1. 3.Negalimo įvykio tikimybė P(Ø)=0. 4.Jei įvykis A yra įvykio B atskirasis atvejis:, tai P(A)≤P(B). Kad įrodutėme nelygybę, pakankama pastebėti, jog skaičius elementariųjų įvykių, palankių įvykių A, yra ne didesnis už skaičių įvykių, palankių įvykiui B. 5.Jei įvykis A yra dviejų nesutaikomų įvykių ir sąjunga:, tai P(A)=P()+P() (tikimybių sudėties teorema). Lengvai įrodoma, nes skaičius elementariųjų įvykių, palankių A, yra elem. įvykių, palankių ir, skaičių suma. Šis teiginys yra teisingas ir keliems kas du nesutaikomiems įvykiams. Įrodoma taip pat. Jį galima įrodyti, rem. ką tik įrodyta lygybe ir matematinės indukcijos metodu. 6.Teisinga lygybė P(Ac)=1-P(A). Įvykiai A ir Ac yra nesutaik., be to, A U Ac= Ω.Todėl P(A)+P(Ac)=P(Ω). Pvz1:Tarkime, kad dėžėje yra įvairių spalvų rutuliai. Jie visiškai vienodi, skiriasi tik spalva.Rutuliai sumaišyti. Nežiūrėdami traukiame 1 rutulį. Neturime jokio pagrindo manyti, kad yra daugiau galimybių ištraukti kurį nors rutulį. Vadinasi,galime laikyti, kadrutulio ištraukimas yra vienodai galimas. Pvz2: Tarkime, kad lošimo kauliukas yra tiksliai simetriškas geom. kūnas, padarytas iš vienalyties medžiagos, be to, akutės jame pažymėtos taip, kad negadintų simetriškumo (pvz, pažymėtos nesvariais dažais, o jų sluoksnis yra nulinio svorio). Atsitiktinai metant kauliuką, sienelės atsivertimo galimybės visiškai vienodos. V, galime laikyti, kad 1,2...6 akučių pasirodymai – vienodai galimi įvykiai. Pvz3: Dėžėje yra 4 balti ir 6 juod rutuliai, kurie skiriasi tik spalva. Traukiame atsitiktinai 1 rutulį. Rasime tik., kad ištrauktas rutulys bus baltas. Elem. įvykių aibė sudaryta iš 10 vienodai galimų įvykių, o tiriamasis įvykis – iš 4. Tikimybė lygi 4/10=2/5. Pvz4: Metame lošimo kauliuką. Apskaičiuosime lygynio akučių sk. atsivertimo tikimybę. Visi 6 elementarieji įvykiai yra vienodai galimi. Palankių įvykių yra 3: kai atsiverčia 2, 4 arba 6. Ieškomoji tikimybė lygi 3/6 = 1/2. 3. KOMBINATORIKOS FORMULĖS Tarkime, kad turime keletą elementų . Bet kuris duotųjų elementų rinkinys yra vad. junginiu (kombinacija). Tarp parinktųjų elementų gali būti ir pasikartojančių; jų tvarka gali būti svarbi, gali ir neturėti reikšmės. Dažnai tenka skaičiuoti, kiek junginių galima sudaryti is duotuju elementu pagal kokia nors taisykle. Tokius uždav. vad. kombinatoriniais, o juos nagrinėjantį mat. sk. – kombinatorika. Pagrindinės junginių rūšys yra gretiniai, kėliniai ir deriniai. Jie gali buti su pasik.(kai kurie elem. junginiuose pasikartoja) ir be jų (visi junginio elem.yra skirtingi).1. Elementų junginiai iš įvairių aibių. Tarkime,kad turime r baigtinių aibių: pirmojoje aibėje yra elem. , ant.– el. ir t.t., paskutinėje r-oje aibėje–el. Visi junginiai po r el. taip sudaromi, kad į jungini įeitų po vieną el. išaibės:pirmasis junginio el. turi būti iš pirmosios, antrasis – iš antrosios ir t.t., r-asis – iš r-osios aibės. Pirmąjį junginio el. , galime parinkti iš pirm. aibės būdų, antrąjį galime parinkti iš antr. aibės būdų ir t.t., paskutinį galime parinkti būdų. Todėl visų junginių sk. yra . Pažymėkime duotąsias el. aibes . Imkime tų aibių Dekarto sandaugą .Sandaugos el. sudaryti iš visų galimų ką tik nagrinėtų junginių, taigi jų sk. yra .Kai aibės ir aibė A turi n el. . Iš aibės A išrenkame kurį nors el. . Jį grąžiname atgal. Po to renkame kita el. . Vėl grąžiname atgal. Taip tęsdami, po r operacijų gausime junginį . Tokie junginiai vad. gretiniais su pasikartoijimais iš n el. po r el. Jų sk. . Gretinių su pasikartojimais sk. yra lygus aibių sandaugos elem skaičiui. 2. Gretiniai be pasikartojimu. Duota aibė iš n el. . Gretiniai be pasikartojimų iš n el. po r el. vad.bet kuris sutvarkytas duotosios aibės poaibis iš r el. ; du gretiniai skiriasi arba pačiais el.,arba jų tvarka; el.negali pasikartot tame pačiame gretinyje. Gretinius be pasikartojimų galime gauti ir šitokiu būdu. Iš pradžių bet kaip parenkame iš n el. ir jo negraziname. Po to renkame antrąjį gretinio el. iš likusių n-1 aibės el, jo taip pat negrąžiname, ir t.t. Pagaliau renkame r-ąjį gretinio el. iš likusių n-r+1 duotosios aibės el. Taigi visų gretinių be pasikartojimų iš n el. po r el. sk. yra , t.y. . Kai r=n, naudosimės lygybe 0!=1.3. Kėliniai be pasikartoj. Duota aibė iš n el. tu el. seka, sudaryta iš visų n el. be pasikartojimų, vad. kėliniu be pasikartoj. iš n el. Jų sk. yra lygus skaičiui būdų, kuriais galima sudaryti duotosios aibės elementus. Tai gretiniai iš n el. po n el. be pasikartojimų. Jų sk. 4. Deriniai be pasikatojimų. Duota n el. aibė. Deriniu iš n el. po r el. be pasikartojimų vad. bet kuris tos aibės poaibis, sudarytas iš r el. Cia el. tvarka nėra svarbi. Rasime deriniu be pasikartoji. iš n el. po r el. skaicių . Imkime kurį nors derinį be pasikar. iš r el. Perstatinėdami po el., galime gautio r! gretinių be pasikartojimų. Padarę tą patį su kitais deriniais, gausime visus gretinius iš n el. po r el. be pasikar. Vadinasi, , 5. Kėliniai su pasikartojimais. Duota aibė iš k el. . Tarkime, kad yra natūriniai sk., . Kėliniai su pasikar. iš n el., kuriuose pasikartoja kartų, pasikartoja kartų ir t.t., pasik. kartų, vad. gretiniai su pasikartoj., kuriuose tie el. pasikaroja nurodyta sk. kartų. Imkime k el. grupių, kurių pirmoji sudaryta iš el. , antroji – is el. ir t.t., k-oji – iš el. . Kadangi sk. būdų, kuriais elementus galima išdėstyti vietose, yra ir t.t., tai . Šis užd. yra ekvivalentus tokiam užd: turime n skirtingų objektų ir k dėžicių; reikia taip sudėlioti objektus į dėžutes, kad į j-ąją dėžutę (j =1,…,k) patektų objektų . Taip galima padaryti būdų. 6. Deriniai su pasikar. Duota n skirtingų el. Iš jų sudarome junginius po r el., leisdami elem kartotis. Elem tvarka junginiuose neturi reikšmės. Tokius junginius vad. deriniais su pasikartojimais iš n el. po r el. Rasime jų sk. Tarkime, kad el., is kurių sudaromi dariniai su pasikar., yra . Sudarykime lentele ... ... ... , kurioje yra r el. Iš pirmosios eilutės imsime kurį nors el; iš antr. imsime el., arba esanti po pirmuoju, arba į dešinę nuo jo; iš trečiosios imsime el., esantį arba po el., paimtu iš antrosios eilutės, arba į dešinę nuo jo, ir t.t. taip galime gauti bet kurį derinį su pasikart. iš n el. po r. Jų sk. bus lygus sk. derinių be pasikart., sudarytų iš lentelės ... ... ... ... el., imant po vieną iš eilutės. Taigi ieškomasis sk. yra . Naudodamiesi šia formule, galime išspręsti ir šitokį užd. Tarkime, kad turime n vienodų objektų, kuriuos reikia išdėlioti į r dėžučių. išdėstymas yra apibūdinamas skaičiumi objektų, patekusių į atitinkamą dėžutę, ir aprašomas kombinacija ; čia – objektų skaičius k-oje dėžutėje. Visų tokių išdėstymų sk. yra . Jei papildomai reikalautume, kad nė viena dėžutė nebūtų tuščia (t.y. >0, k=1,…,r; tada būtinai nr), tai išdėstymų sk. būtų . Kai el. sk. yra nedidelis, nesunku rasti įvairių sk. junginių skaitines reikšmes. Užd. pasunkeja, kai el. sk. yra didelis. Tada sk. faktorialams apskaičiuoti tinka apytiks. vad. Stirlingo form. Galima įrodyti, kad , kai n yra bet kuris natūralusis sk. Cia . Šie įvertinimai gana geri: pvz, naudod. pirmosiomis nelygybėmis ir keturženklėmis logaritmų lentelėmis, gauname 9,332*10157 AcA; 3) A,BA => ABA . PVZ: 1) Sist., sudaryta iš dviejų aibių  ir Ω, Ω=, yra aibių algebra. Sis. sudar. iš vienos aibės , yra algebra.2) T, kad AΩ, A, AΩ, sis. {,Ω,A, Ac} yra a.algebra; 3)  a.Ω visų poaibių sis. yra a.al. 4) T, kad Ω=k=1sAk ir aibes Ak (k=1,..s) yra disjunkcios (t.y. kas dvi neturi bendru el).Sudarykim visas galimas tu a. sąjungas Ak1...Akr(tuscia sajunga =(tuscia aibe)). Visu tu sajungu sistema - algebra; 5) Imkime visus galimus int-lus (a,b) [a,b) [a,b] (a,b], a,b-baigtiniai sk. Integralu baigtines sajungos sudaro aibiu algebra. Aibiu alg. sav: 1) =A, nes =ΩcA. 2) Jei AA, BA => AB=(AcBc)cA; 3) A1,..As/A-baigtinis sk => k=1∞Ak/A (is 3ios aksiomos); 4) A1,..As/A => k=1sAk/A; 5) A,B/A, tai A\B=ABc/A; 6) Jei A1,..As/A, tai k=1sAk/A; 5 A1,..As/A-baigtinis sk => k=1∞Ak/A (is 3ios aksiomos); 4) A1,..As/A => k=1∞Ak=(k=1∞Akc)c/A. Aibiu algebra uzdara sistema \,c,, atzvilgiu. Jei atliksim be galo daug kartu operacijas, galim iseiti is algebros ribu. Ω poaibiu sistema A vad. aibiu σ algera, jei tenkina sąl: 1) ΩA; 2) AA => AcA; 3) A, A1,A2,...A => k=1∞AkA.-a sigma algebros (σ) t.p. yra algebros. Imkime A,BA. T, kad A-sigma algebra. Is 1) ir 2) sigma algebros (σ) aksiomu => A, nes =Ωc. Isrenkame seka AB... (rem 3)/A, o tai = AB/A (Ir., kad teisinga is 3 is aibiu algebros ap).Pvz.: 1,2,3,4 is aibiu yra sigma algebros (σ). Savybes: 1) -a baigtine algebra yra ir sigma algebra (σ). Ir., kad tenkina 3. Imkime A1A2A3... is sajungos pasikartojancias ismesim ir gausim baigtini. Tenkina 3 sav is algebros apibr.; 2) Imkime k=1∞Ak=(k=1cAkc)c - sigma algebra (σ). Sigma algebra (σ) uzdara jungimo ir  ap atzvilgiu begalinio op sk. atveju. 1teorema. T, turime {Aλ,λ} yra aibes Ω poaibiu algebru (sigma algebru (σ)) sistema. Visu sios sistemos algebru sankirta λAλ yra t.p. aibes Ω poaibiu algebra (sigma alg. (σ)).Įr:(irodysim sigma (σ) algebroms) paz.: A=λA. Ji tenkina 1) ΩAλ, λ=> ΩλA=A; 2) AA => AAλ, λ, taciau tada AcAλ λ. Vadinasi AcA; 3) T, jos A,BA, A,BAλ, λ => ABAλ, λ => ABA. 2teorema. T, S kuri nors aibes Ω poaibiu sis.. ! algebra a(S) (atitinkamai sigma (σ) algebra σ(S)), turinti sav: 1) Sa(S) (S yra a(S) posistemis); 2) jei S  kuriai nors aibes Ω poaibiu algebrai A (AS), tai Aa(S). Įr:(tirsime sigma (σ) algebru atveji)  bent viena aibes Ω poaibiu algebra, kuriai  sist. S. Aibes Ω visu poaibiu sistema AλS, kuri dengia S ir imkime λAλ=σ(S) (pazymejome). Pgl 1T σ(S) yra sigma (σ) algebra. Jei A yra kuri nors aibes Ω poaibiu sigma (σ) algebra, kuriai  S, tai jai turi  σ(S). Borelio aibes  visu int-lu sistemos generuotu sigma algebros (σ) uztenka paimti int-lus [a,b), nes ; (a,b)=[a,b)\[a,a]. 6. AIBIU MATAS. (A) savybes: 1) 0; 2) A=k=1sAk disjunkcijos, =k=1sk); 2‘)A=k=1∞Ak skaiscios sekos, =k=1∞k); 3) Atkarpos ab ilgis yra b-a; staciakampio su krastinemis a ir b matas lygus a*b; gretasienio a,b,c => a*b*c. F-ja su savybemis 1,2‘,3 ne, su 1,2,3 – tieseje is plokstumoje galime rasti, taciau 3matej erdveje ne. V, reikia ieskoti aibes f-jos, kuri butu nusakyta ne visoms, o tik kai kuriu, gana placiu, klasiu aibems. Apibrezkime f-ja φ:A->IR(su bruksniu)=[-∞,+∞]. Susitarkime del veiksmu su ∞: 1) +(+∞)=-(-∞)=+∞; +(-∞)=-(+∞)=-∞. 2) T, kad xIR: x+∞=∞+x=∞; x+(-∞)=-∞+x=-∞. 3) ∞+∞=∞; -∞+(-∞)=-∞; ∞-(-∞)=+∞; 4) ∞*x=x*∞={∞, x>0; 0, x=0; -∞, x0; 0, x=0; ∞, x0; -∞, x0; +∞, x =k=1∞Ak). 2! A0, 0 0=0+++... => 0=++... TR1. A1,..AsA disjunkcios, tai tada k=1sAk=k=1sAk. Ir.: imkime A1,..As aibiu ir papildykime begaline seka (tusciomis aibemis): A1,..,As,As+1=,As+2=,. Tada matas k=1∞Ak=k=1∞Ak; k=1∞A - baigtines sajungos matas, k=1∞Ak - pgl 2a aksioma tuscios aibes => k=1∞A=k=1sAk. TR2. Jei A,BA, tai =B)+A\B. Ir.: Trivialu. Aibe A suskaidykime A=(AB)(A\B). Pgl 1a teorema =AB+A\B. Iš1: T, kad aibeBA: =B+A\B.Iš2:Jei BA: BA.TR3: Jei A1,..AsA, tai k=1∞Ak=1∞Ak (jei aibes butu disjungcios butu lygybes zenklas). Ir.: Ivesime naujas aibes A1*=A1, A2*=A2\A1, A3*=A3\(A1A2)... k=1∞Ak= =k=1∞Ak*; Ak* - disjungcios aibes =>galime taikyti viena is adityvumo savybiu: k=1∞Ak=k=1∞Ak*. Pastebekime Ak*Ak , (k=1,2...) => Ak*Ak.Iš: Jei turime baigtini sk aibiu A1,..AsA, ir imame ju sajunga k=1∞A k=1sAk. Įr: Papildykime A1,..,As,As+1=,As+2=. Pgl 3teorema: k=1∞Ak=1∞Ak. TR4: A,BA => B+ +AB)=+B. Ir.:imkime B= (A\B) (B\A)(AB). A=(A\B))(AB); B=(B\A)(AB). Pgl viena is teoremu: (B)= =(A\B)+(B\A)+ +(AB) (1); (A)=(A\B)+ +(AB) (2); (B)=(B\A)+(AB) (3). (2)+(3)=> (A)+(B)= (A\B)+(B\A)+(AB)= B+ +(AB) TR5: A1A2...AsA ir jei A=k=1∞A. Tada (A)=limn->∞(An). Ir.: iveskime A0=: A=k=1∞(Ak\Ak-1) – disjunkcios aibes. Pgl visiska adytivumo savybe: (A)=k=1∞(Ak\Ak-1)=limn->∞(Ak\Ak-1) => (A)=limn->∞(k=1∞(Ak\Ak-1))= limn->∞(An) TR6: T, kad A1A2...AsA (tolimesne yra pries ja einancois poaibis,mazejanti). n0=(An0)limn->∞(An)=(A). Ir.: An0\A1An0\A2... -sudarys didejancia seka. k=1∞(An0\Ak)=An0\k=1∞Ak=An0\A. Pasinaudoje 5T gauname: (An0\A)=limn->∞(An0\An), (An0)-(A)= limn->∞((An0)- (An))=(An0)-limn->∞(An). TR7: (apie mato prapletima). T, turime aibiu algebra ir joje apibrezta mata . Paz σ(A), kuria generuoja musu algebra A. f. ν(A) apibrezta visomis σ(A) algebr.. ν(A)=(A), A/A. Sis pratesimas yra vienintelis, jei matas  yra baigtinis matas: (A), Ω=k=1∞Ck, (Ck)0, tai įvykio A sąl. tik. su sąlyga, kad E yra įvykęs, vad. . Sąl. tik. apibrėžėme tik tuo atveju, kai sąlygos E tik. P(E)>0. Sąlyginių tikimybių savybės: TR1:Sąlyginės tikimybės turi šias sav: 1)P(A|E)≥0; 2)P(|E)=1; 3)Jei A1, A2,... yra kas du nesutaikomi įvykiai, tai : . TR2: P(E|E)=1; TR3(daugybos): TR4: jei n≥2, tai TR5: (Pilnosios tik. formulė). jei {Hk} yra baigtinė arba suskaičiuojama aibė įvykių, kurie kas du nesutaikomi ir A bet koks įvykis, tai P(A)= Įr: iš jungimo ir kiritmosi operacijų distributyvumo išplaukia A=A∩=A Kadangi įv. Hk yra kas du nesutaik., tai tuo labiau tokie yra ir įv. Hk ∩ A. Rem. tik. adityvumu ir tikimybių daugybos teorema, TR6: (Bejeso formulė): TR7(Bejeso): jei {Hk} yra baigtinė arba suskaičiuojama sis. įvykių,kurie kas du nesutaikomi ir A- bet koks įvykis, tai (j= 1,2,…). 9. NEPRIKLAUSOMI ĮVYKIAI S., kad ivykio A ivykimas nepriklauso nuo to, ar ivykis B ivyko , ar ne, ir atvirksciai, tai ir yra ivykiu nepriklausomumu. Imkime salygine tikimybe P(A/B) (P(B)>0), kad ivyks ivykis A, kai yra ivykes B. Jei P(A/B)=P(A), tai naturalu ivyki a laikyti nepriklausomu nuo ivykio B. Tada is tikimybiu daugybos teoremos isplaukia, kad P(A sankirta B)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B).Tokia pat lygybe gauname ir tuo atveju, kai P(B/A)=P(B). Lygybe yra simetriska A irB atzvilgiu. Du ivykius A ir B vadinsime nepriklausomais, kai P(A sankirta B)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B). TR1: Jei P(B)>0, tai ivykiai A ir B yra nepriklaus. t.t.t, kai P(A/B)=P(A). Įr: Salygos pakankamumas jau buvo irodytas : jei P(A/B)=P(A), tai is daugybos teoremos isplaukia P(A sankirta B)=P(A)P(B). Butinumas įr. taip: jei ivykiai A ir B yra nepriklausomi, tai TR2: Jei įv. A ir B neprikl., tai neprikl. ir įv. A ir Bc. Įr: Teising. lyg.: Iš: Jei vieno is dvejetu A,B; A,Bc; Ac,B; Ac,Bc įv.yra nepriklausomi, tai nepriklausomi ir kitu dvejetu įv. TR3: Jei A1…An yra kas du nesutaikomi įv., B- bet koks ivykis ir dvejetu A1,B; …; An,B įv. yra nepriklausomi , tai taip pat nepriklausomi yra įv. ir B. Įr: Teorema pakanka irodyti tik tuo atveju, kai n=2. Kadangi Ǿ, tai T., kad turime baigtine aibe arba skaicia įv. sis. {}. Sakom, kad tie įv.yra neprikl. (visi), jei kai n2yra bet kuris naturalusis sk., o – bet kokie skirtingi indeksai is sis. . Kai turime du įv., šis apibrež. sutampa su ankstesniuoju. Kai turime 3 įv. A1,A2,A3, ju nepriklausomumui nusakyti reikia 4 lyg. Apskritai, jei turime baigtini skaiciu k ivykiu, tai ju nepriklausomumui nusakyti reikia lygybiu. Jei turime keleta įv. (daugiau kaip du), kurie yra kas du nepriklausomi, tai jie nebutinai yra nepriklausomi (visi). TR4: Jei sis.{} įv. yra nepriklausomi, tai, pakeite bet kuriuos is įv. jiems priesingais įv. vel gausime nepriklausomu įv. Sist. Įr: Patogumo delei ivesime simboliskus zymenis: jei A yra kuris nors ivykis, tai . Tada teoremos teigini galime formuluoti sitaip: jei sis. {} įv. yra nepriklausomi, tai ir sis. , kur igyja bet kuria is reiksmiu 0 arba 1, įv. taip pat - neprikl. Reikes irodyti, kad kai yra bet kurie ir taip pat bet kurie (lygus 0 arba 1) Nesiaurindami bendrumo, galime suprastinti indeksu rasyma, pakeisdami tiesiog k. Irodinesime, kad .Kai n=2 sis teiginys isplaukia is 2 teoremos. Tarkime, kad teiginys irodytas, kai turime n−1 >= 2 įv. Irodysime, kad jis teisingas ir tada, kai įv. yra n. Pazymekime L aibe vektoriu kurie tenkina (1) lygybe Aibe L yra netuscia, nes jai priklauso (1, ..., 1). T, kad koks nors vektorius priklauso L ir ne visos jo koordinates yra nuliai. Bet kuria jo koordinate lygia 1 pakeiskime 0. Parodysime, kad ir pakeistasis vektorius priklausys aibei L. Kad butu lengviau uzrasyti, imkime = 1. Turime Kadangi ()priklauso L, tai , tai pasinaudoje indukcijos prielaida, gauname Taigi L. V, pradeje vektoriumi (1,…,1,1) ir paeiliui pakeite po viena nieneta 0, po baigtinio zingsniu skaiciaus isitikinsime, kad bet kuris vektorius Is indukcijos principo isplaukia teoremos teiginys. TR5: Jei yra nepriklausomu įv. Sis., tai kai visi A koeficientai yra skirtingi tos sistemos įv. T, kad yra įv. Sis. seima is tos pacios tikimybines erdves. Sakysime, kad tos sistemos yra nepriklausomos, jei, paeme is sis. po bet kuri įv., gauname nepriklausomu ivykiu sistema 10. NEPRIKLAUSOMI EKSPERIMENTAI Aprasysime bendra keliu nepriklausomu eksperimentu matematini modeli. T, kad turime n eksperim., kuriuos atitinka tikimybines erdves . Tu eksperim. rezultatai yra elementarieji įv. (w1.,…,wn ),wn priklauso Jie sudaro aibiu (Dekarto) sandauga t. y. aibe baigtiniu seku Dabar reikia isskirti sistema aibes poaibiu, kurie laikytini įv.. Imkime sandaugas A1x …x An.(1) Jas vad. maciais staciakampiais. Jie visi bus aibes poaibiai; pati yra viena is tokio tipo aibiu.Visi matus staciak. nesudaro algebros ,netgi algebros. Taciau algebra A,generuota maciu staciakampiu. Ji zymima A1 .Gauname macia erdve {} , t.y. jei erdves {} apraso atskirus eksperimentus . Dabar reikia ivesti tikimybini mata.Jei eksperimentai yra nepriklausomi , tai (1) ivykio tikimybe turi buti lygi sandaugai P1(A1)…Pn(An). Parodysime kad sis matas . Kai aibes k yra baigtines arba skaicios.T., kad ;cia yra neneigiami skaiciai ir Įv. Ak=tik. yra Pk(Ak)=Tada A=sudaroma is visu aibes poaibiu. įv. imkime P{}=o bet kurio įv. A=tikimybini mata apibrezkime lygybe .Aisku P(A) tenkins ir tikimybiu aksiomas, be to, Bernulio eksperimentai. Paprasciausia neprikl. eksperimentu schema yra vadinamieji Bernulio eksperimentai. Turime n neprikl. eksperimentų. Atlikę kuri nors is ju gauname viena is dvieju elementariuju įv. Visuose eksperimentuose jie yra tie patys ir ju tikimybes p ir q = 1 − p taip pat yra tos pacios. PVZ1: Metame simetriska moneta n kartu metimai nepriklausomi. Kiekviena karta ivyks vienas is dvieju ivykiu: atvirs herbas arba skaiˇcius Kadangi moneta yra simetriska, tai p = q = 1/2. Sudarysime Bernulio eksperimentu matematini modeli. Kurio nors, sakysime k-ojo, eksperimento matematinis modelis yra tikimybine erdve Ir .Visu n eksperim. modelis bus tikimybine erdve {,A,P}, . A bus visu poaibiu sis.. Rasime tikimybyni mata P . Aibe bus sudaryta is baigtiniu seku {} kuriame igyja reiksme 0 arba 1. Kadangi erdve yra baigtine, tai uzteks tikimybini mata apibrėžti tik tiems elementariesiems įv.. Turime imti UZD1: Rasime tikimybe pn(k), kad, atlikus n Bernulio eksperimentu, ivykis ivyks k kartu.Reikia suskaiciuoti, kiek yra elementariuju įv., kuriuose visi reiksme 1 igyja k kartu. Tai gali atsitikti kartu. tokio įv. tikimybe yra Todel ieskomoji tik. pn(k)= . Iskleide dvinari (px+q)n pagal Niutono binomo formule (px+q)n= matome kad pn(k) yra xk koeficientas. UZD2: Tikimybe pn(k) yra p, n ir k funkcija. Fiksuokime p ir n. Kaip tada kinta pn(k), kintant k? Mums rupi rasti tas k reiksmes, kurioms pn(k) yra didziausia. Jos vadinamos tiketiniausiomis ivykiu skaiciaus reiksmemis. T, kad 0 0, kai ntolygiai k1,k2,….,ks atzvilgiu ,jei aja)=1-F(a+0) Įr. Kadangi ir , tai Kiekvienai Borelio aibei B paž. . , būdama apibrėžta Borelio aibių algebroje, tenkina visas tikimybinio mato aksiomas. . Jei , tai Tik.matas dažnai vad. Ats.dydžio X tik. pas. (tikimybiniu skirstiniu). . Kiekviena f-ja F, apibrėžta visoje skaičių tiesėje R, nemaž., tolydi kiekviename taške iš kairės ir tenkinanti salygas , yra vad. pasiskirstymo f-ja. Sakoma, kad ats. dydis X yra simetriškai pasiskirstęs arba simetriškas, jei X ir –X pas. f-jos sutampa:. Tada Analogiškai sakome, kad ats. dydis X yra simetriškas taško aR atžvilgiu, jei X-a yra simetriskas. Tada:. Jei E yra koks nors ivykis, P(E)>0, tai dydzio X salygine pasiskirstymo f-ja, kai E yra ivykęs(su salyga E), vad. 15.DAUGIAMAČIAI ATSITIKTINIAI DYDŽIAI T., kad {W,A,P} yra tikimybinė erdvė. S- mačiu atsitikniniu dydžiu (vektoriumiu) vad. matų atvaizdį X: t.y. vektorinę f-ją X=(X1,X2,…,Xs) apibrėžtą aibėje W, įgyjančią reikšmes iš erdvės ir tenkinančią sąlygą bet kokiai S – matės erdvės Borelio aibių s algebrą generuoja intervalai x1

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!