Matematinės statistikos keletas savarankiškų darbų

1 uždavinys Temos: Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas. Užduotis Žinoma n = 50 tiriamo požymio reikšmių. Sudarykite intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k = 5, ir nubrėžkite santykinių dažnių histogramą. Apskaičiuokite imties vidurkį , dispersiją s2, patikslintąją dispersiją s21 bei vidutinius kvadratinius nuokrypius s ir s1. Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinkite, pritaikę prie imčių pateiktas kontrolines sumas: K1 = n1+n2+n3 ; K2= x + s2+s21; Žinoma 50 tiriamo požymio reikšmių: 2,6 2,5 4,2 3,6 1,2 1,5 2,3 1,8 3,3 3,5 2,6 3,4 3,0 2,7 3,6 2,9 3,9 2,3 2,0 4,8 3,8 3,6 5,2 1,8 4,5 3,4 4,1 5,1 2,1 3,4 3,8 3,0 1,8 2,8 2,1 3,2 3,2 2,8 4,9 3,8 2,1 3,0 1,2 3,8 2,4 1,4 1,7 3,1 4,2 2,4 Be to, žinomos šio uždavinio kontrolinės sumos: K∑1= n1+ n2+ n3=34; K∑2 5.08642. Sudarykime intervalinę statistinę eilutę, kai intervalų skaičius k=5, apskaičiuokime santykinį dažnių histogramos stačiakampių aukščius ir nubrėžkime histogramą. Numeris i Intervalai Absoliutieji dažnai ni Santykiniai dažniai ωi Aukščiai hi 1 [1,2;2,0) 8 0,16 0,2 2 [2,0;2,8) 12 0,24 0,3 3 [2,8;3,6) 14 0,28 0,35 4 [3,6;4,4) 12 0,24 0,3 5 [4,4;5,2] 4 0,08 0,1 ∑ 50 1 Ar teisingai gavome absoliučius dažnius ni, pasitikriname pritaikę prie imties patektą kontrolinę sumą: Santykiniai dažniai: ω1 = = 0,16 ω2 = = 0,24 ω3 = = 0,28 ω4 = = 0,24 ω5 = = 0,08 Aukščiai: h = 0,8 h1 = = 0,2 h2 = = 0,3 h3 = = 0,35 h4 = = 0,3 h5 = = 0,1 1 pav. Santykinių dažnių histograma Apskaičiuojame imties vidurkį= 3,028, vidutinį kvadratinį nuokrypį s = == 1,00936 patikslintąją dispersiją, bei vidutinį kadratinį nuokrypį s1 = = 1,01961. Ar teisingai gavome skaitines charakteristikas, pasitikriname pritaikę prie imties pateiktą kontolinę sumą: = 3,028 + 1,01882 + 1,03961 = 5,08643 2 uždavinys Temos: Normaliojo skirstinio Ν (a,): a) Vidurkio (matematinės vilties) a pasikliautinasis intervalas, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis  žinomas; b) Vidurkio a pasikliautinasis intervalas, kai  nežinomas. c) vidutinio kvadratinio nuokrypio pasikliautinasis intervalas, kai a nežinomas Uždavinio formulavimas a) Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X Ν (a,). Jo parametras a nežinomas, o  žinomas:  yra lygus 1 uždavinyje gautam s1, kuris imamas su vienu ženklu po kablelio (neapvalinant), t.y. . Turėdami imtį, kurios didumas n  50, ir parinkę pasikliovimo lygmenį 0,99, raskite parametro a pasikliautinąjį intervalą, kai  žinomas. b) Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X Ν (a,). Jo parametrai a ir  nežinomi. Turėdami imtį, kurios didumas n  50, taikydami 1 uždavinyje gautas ir s1 reikšmes, parinkę pasikliovimo lygmenį   0,95, raskite a ir  pasikliautinuosius intervalus. c) Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis, t.y. X Ν (a,). Jo parametrai a ir  nežinomi.Turėdami nedidelią normaliojo a. d. imtį (žr. 1b uždavinio imtį), panaudoję 1b uždavinyje gautas ir s1 reikšmes, parinkę pasikliovimo lygmenį   0,95, raskite parametrų a ir  parametrų pasikliautinuosius intervalus. Skaičiavimo rezultatus pasitikrinkite pagal pateiktą kontrolinę sumą a) Žinoma 50 normalinio atsitiktinio dydžio reikšmių (žr. pirmojo uždavinio 1 pavyzdį). Parinkę pasikliovimo lygmenį γ = 0,99, raskime parametro a pasikliautinąjį intervalą, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ žinomas ir lygus s1, imtam su vienu ženklu po kablelio (neapvalinant). Parametro a pasikliautinąjį intervalą, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ žinomas, apibrėžiančios lygybės: Čia standartinio normalinio skirstinio N(0,1) kritinė reikšmė , imties didumas n=50, vidurkis 3,028, vidutinis kvadratinis nuokrypis s1= 1,01961. Tuomet σ=1,0. Todėl 0,364. Taigi a pasikliautinasis intervalas, kai σ žinomas su pasikliovimo lygmeniu γ = 0,99, 0,01 tikslumu yra (2,66;3,39). b) Žinoma 50 tiriamo požymio reikšmių (žr. pirmojo uždavinio 1 pavyzdį). Parinkę pasikliovimo lygmenį γ = 0,95, raskime normalinio skirstinio parametro a pasiliautinąjį intervalą, kai vidutinis kvadratinis nuokrypis σ nežinomas, taikydami išraiškas: Čia imties didumas n=50, imties vidurkis3,028, imties vidutinis kvadratinis nuokrypis s1=1,01961. Stjūdento skirstinio kritinė reikšmė: = 0,289. Taigi a pasikliautinasis intervalas, kai σ nežinomas su pasikliovimo lygmeniu γ = 0,95, 0,01 tikslumu yra (2,73;3,31). Raskime σ pasikliautinąjį intervalą kai a nežinomas. Šio intervalo išraiška: čia = = 70,222 = = 31,555 yra χ2 skirstinio kritines reikšmes. Vidutinis kvadratinis nuokrypis s1=1,01961 P= 0,95 P(0,85 a0, ir taikoma vienpusė kairioji kritinė sritis: Matome, kad Tsk.nepatenka į KS. Todėl priimama. Hipotezė tikrinama, taikant X2 kriterijų: Apskaičiuojame = 42,45047. Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis: Matome, kad reikšmėnepatenka į KS (nors yra netoli nuo 31,555). Todėl nulinė hipotezė H0 priimama, bet eksperimentą geriau pakartoti. Esame gavę s1=1,01961ir pastebime, kad galioja nelygybė s1 σy , Fišerio skirstinio kritinių reikšmių lentelėje randama Fkr.= fα; n−1; n−1 = 3,4381. Tuomet kritinė sritis KS= [3,4381; +∞). Matome, kad apskaičiuotoji statistikos F reikšmė Fsk. nepatenka į kritinę sritį, todėl nulinė hipotezė priimama. Taigi atsitiktinių dydžių X ir Y vidutiniai kvadratiniai nuokrypiai lygūs: σx =σy. Parinkę reikšmingumo lygmenį α = 0,05 tikrinkime nulinę hipotezę H0: ax = ay, taikydami Stjūdento reikšmingumo kriterijų Apskaičiuojame jo reikšmę Tsk==0.09665 Iš pradžių parenkame bendrąją alternatyvą Ha : ax ≠ ay . Šiuo atveju taikoma dvipusė kritinė sritis: Pastebime, kad apskaičiuotoji Stjūdento statistikos reikšmė Tsk. nepatenka į KS, todėl nulinė hipotezė H0 priimama. Kadangi galioja nelygybėdar parenkama alternatyvioji hipotezė Ha : ax > ay ir taikoma vienpusė dešinioji kritinė sritis Ir šiuo atveju apskaičiuotoji Stjūdento statistikos reikšmė Tsk. nepatenka į KS, todėl nulinė hipotezė H0 priimama. 6 uždavinys Temos: Imties koreliacijos koeficiento r apskaičiavimas. Regresijos tiesės lygties radimas. Teorinio koreliacijos koeficiento  pasikliautinojo intervalo radimas. Teorinio koreliacijos koeficiento  reikšmės hipotezių tikrinimas. Uždavinio formulavimas Žinoma dviejų normaliųjų atsitiktinių dydžių  (ax,x) ir  (ax,x) imtys. Jų didumas n9 (žr. Penktojo uždavinio imtį). Apskaičiuokite koreliacijos koeficientą r 10-4 tikslumu. Raskite regresijos teisės lygtį . Parinkę pasikrovimo lygmenį 0,95, raskite koreliacijos koeficiento  pasikliautinąjį intervalą 0,01 tikslumu. Parinkę reikšmingumo lygmenį 0,05, parinkę tik bendrąsias alternatyvas ir pritaikę reikšmingumo kriterijų patikrinkite tris nulines parametrines hipotezes H0 : 0, kai 00; 0,5; 0,9. Sprendimas: Apskaičiuokime imties (žr. 5 uždavinio pavyzdį) koreliacijos koeficientą r ir raskime regresijos tiesės lygtį Esame gavę: =5,35555 sx=1,26151 = 5,3 sy=1,02523 Apskaičiuojame sandaugų vidurkį: Taigi Be to, apskaičiuojame: Tuomet regresijos tiesės lygtis: Parinkę pasikliovimo lygmenį γ = 0,95, raskime koreliacijos koeficiento ρ pasikliautinąjį intervalą, taikydami jo išraišką: thz1 0). Taikome reikšmingumo kriterijų Apskaičiuojame Ar apskaičiuota teisingai, pasitikriname pagal prie koreliacinės lentelės pateiktą kontrolinę sumą: K3V0sk+V0,8sk+z1+z23,31316+(-1,749035)+0,61808+1,13728=3,3194. Esame gavę kritinę sritį KS: (−∞; −1,960] [1,960;+ ∞). Matome, kad apskaičiuotoji reikšmė Vsk. nepatenka į KS. Todėl nulinę hipotezę priimame. 8 uždavinys Temos. Netiesinio koreliacinio priklausomumo tikrinimas. Geriausios regresijos kreivės parinkimas Uždavinio formulavimas Turima koreliacinė lentelė. Apskaičiuokite koreliacijos koeficientą r ir koreliacinius santykius *yx, *xy. Apskaičiuokite regresijos kreivių( tiesės, hiperbolės, logaritminės kreivės (jei visi xi  0), rodiklinės kreivės) lygčių (y  a0 + a1x, y  a0 + , y  a0 + a1lnx, y  a0 + a1ex) koeficientus a0 ir a1. Įvertinkite gautųjų regresijos kreivių y  g*(x) artumą duotiesiems taškams, kiekvienai regresijos kreivei apskaičiuodami vidutinę kvadratinę paklaidą 0,01 tikslumu. Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinkite pagal pateiktas kontrolines sumas: Sprendimas: Žinoma koreliacinė lentelė ir kontrolinės sumos: X\Y 1,7 2,4 3,4 4,1 4,9 -1,3 6 6 2 -0,4 4 15 2 0,4 13 2 1,2 4 6 Papildykime turimą koreliacinę lentelę: X\Y 1,7 2,4 3,4 4,1 4,9 nx -1,3 6 6 2 14 -0,4 4 15 2 21 0,4 13 2 15 1,2 4 6 10 ny 21 23 8 6 2 60 Iš pradžių raskime imties, kurios didumas n = 60, skaitines charakteristikas: Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinkime pagal pateiktą kontrolinę sumą Tuomet apskaičiuokime koreliacijos koeficientą Norėdami apskaičiuoti koreliacinį santykįiš pradžių randame sąlyginius vidurkius Toliau randame šių sąlyginių vidurkių kvadratų vidurkį: Tuomet Apskaičiuokime koreliacinį santykįTam randame sąlyginius vidurkius Apskaičiuojame šių sąlyginių vidurkių kvadratų vidurkį: Tuomet koreliacijs santykis Ar apskaičiuota teisingai, pasitikrinkime pagal pateiktą kontrolinę sumą Apskaičiuokime regresijos kreivių lygčių (tiesėshiperbolės rodiklinės kreivės koeficientus ir Tiesės lygties koeficientai ir randami iš lygčių sistemos: Ją išsprendę gauname a0 = 2,43074; a1 = -0,77387 Hiperbolės lygties koeficientai irrandami iš lygčių sistemos: Ją išsprendę gauname a0 = 2,49603; a1 = -0,15736 Rodiklinės kreivės lygtieskoeficientaiir randami iš lygčių sistemos: Ją išsprendę gauname a0= 3,13447; a1 = -0,47936 Įvertinkime gautųjų regresijos kreiviųartumą duotiesiems taškams, apskaičiuodami kiekvienos regresijos kreivės vidutinę kvadratinę paklaidąminimizuodami sumą Iš pradžių apskaičiuokime kiekvienos regresijos kreivės (T- tiesės, H- hiperbolės, R - rodiklinės kreivės) taškų, kurių abscisės yra xk, ordinates: T 3,43677 2,74028 2,12119 1,50209 H 2,61707 2,88943 2,10263 2,36489 R 3,00382 2,81314 2,41934 1,54293 Tuomet: Išvada: arčiausia duotųjų taškų yra tiesė, nes Sy(T) = 0.4477;

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!