Matematinė analizė - teorija atsiskaitymui

 1.Kvadruojamos figūros. Jeigu išorinių apibrėžtų daugiakampių ir vidinių įbrėžtų daugiakampių ribos arba plotai sutampa, tai tokia figūra vad kvadruojama. 2.Figūros plotas. Jeigu išorinių apibrėžtų daugiakampių ir vidinių įbrėžtų daugiakampių ribos arba plotai sutampa, tada gautas skaičius vadinamas figūros plotu. 3.Kūno tūris. 3-čius kūnus galima įbrėžti į briaunainį ir apibrėžti briaunainius, bei skaičiuoti jų tūrius. Bus gaunamos dvi sekos, o bendra riba bus vad kūno tūriu V 4Kreivės plota Figūros kontūras yr nulinio ploto kreivė 5.Dviejų kint f-ijos integralinė suma. Suma ∑nk=1f(xi,yi)∆Si vad dviejų kintamųjų f-jos f(x;y) integraline suma 6.Dvilypis integralas. Integralinė suma vad dvilypiu integralu. Jei  6 ir ji yra baigtinė tai ∫∫(P)f(x,y)dxdy dvilypiu integralu rityje P kur P=dxdy. Jei  dvilypis integralas tai f-ja yra integruojam. 7.Teore apie f-ijos integruojamumą uždaroje srityje. Tolydi uždaroje srityje D f-ja f(x;y) yra integruojama šioje srityje. 8.Dvilypio integralo paprasčiausios savybės (c, +, -) Tarkime turime 2 f-jas f(x,y) ir g(x,y) integruojamoje srityje (P) tai: ∫∫(P)cf(x,y)dxdy=c∫∫(P)f(x,y)dxdy; ∫∫(P)(f±g)(x,y)dxdy=∫∫(P)f(x,y)dxdy+∫∫(P)g(x,y)dxdy; 9.Jei integravimo sritis yra dviejų sričių sąjunga.Jei (P)=(P1)U(P2) ∫∫(P)f(x,y)dxdy=∫∫(P1)f(x,y)dxdy+ ∫∫(P2)f(x,y)dxdy 10. f(x,y)≤g(x,y). Jei su bet kokiais x,yP ∫∫(P)f(x,y)dxdy≤∫∫(P)g(x,y)dxdy 11.F-ijos modulio integruojamumas.Jei f-ja f(x,y) yr apibrėžta ir integruojama srity (P),tai jos modulis bus integruojama srity (P) |∫∫(P)f(x,y)dxdy | ≤ ∫∫(P)| f(x,y)|dxdy 12.Integralo rėžiai. Jei f-ja yra aprėžta srityje (P) ir įgyja savo did ir maž reikšmes mP≤∫∫(P)f(x,y)dxdy≤MP kur P integravimo srities plotas 13.f(x0,y0)P. Jei f-ja f yra tolydi uždaroje srityje (P) ir tš (x0,y0)(P) tai ∫∫(P)f(x,y)dxdy=f(x0,y0)P. F(x0,y0) vad vidutinė f-jos f(x;y) reikšmė integravimo srityje P 14.Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra stačiakampis. Jei f-ja f(x;y), apibrėžta stačiakampyje P=[a,b,c,d]  dvilypis integralas ∫∫(P)f(x,y)ds ir kiekvienai fiksuotai x reikšmei iš [a;b]  paprastasis integralas Q(x)=∫cdf(x,y)dy a≤x≤b tai  taip pat integralas ∫abdx∫cdf(x,y)dy=∫ab(∫cdf(x,y)dy)dx ir galioja lygybė: ∫∫(P)f(x,y)ds=∫abdx∫cdf(x,y)dy. jei pastovi y reikšmė iš [c;d] tai: ∫∫(P)f(x,y)dxdy=∫abdy∫cdf(x,y)dx 15.Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivinė trapecija. Jei f-ja f(x;y), 1 tipo srityje P  f-jos f(x,y) dvilypis integralas ∫∫(P)f(x,y)dxdy ir kiekvienam x[a;b]  paprastasis integralas y1(x)∫y2(x)f(x,y)dy tai  ir kartotinis integralas kuris lygus ∫∫(P)f(x,y)dxdy= a∫b y1(x)∫y2(x)f(x,y)dy. Jei integravimo sritis P yra 2 tipo kreivinė trapecija tai dvilypis integ yra ∫∫(P)f(x,y)dxdy= c∫d x1(y)∫x2(y)f(x,y)dx kai kiekvienam x[a;b]  paprastasis integralas x1(y)∫x2(y)f(x,y)dx 16.Trijų kint f-jos integralinė sumaNagrinėdami kūną V jį dalinam į mažesnius kūnus Vi, i=1,.,n. Kiekvienam kūnui parenkam po tš Mi(αi,βi,γi)Vi ir apskaičiuojam f(Mi). Gautas reikšmes dauginame iš atitinkamų kūnų tūrių ir skaičiuojame integralinę sumą k=1Σnf(Mi)Vi 17.Trilypis integralas. Jei λ=max diam(Vi)→0 dalindami kūną V į daugiau dalių. Tada pereiname prie ribos integralinėje sumoje limλ→06=∫∫∫(0)f(x,y,z)dxdydz; V=dxdydz visos integralų savybės galioja trilypiam integralui. 18. Jakobianas (dvilypiuose) Skaičiai n,k kurie apibūdina tš m padėtį srityje D vad taško kreivinėmis koordinatėmis 2Ap.Determinantas kuris yr sudarytas iš f-jų, x,y dalinių išvestinių pagal n,k vad jakobianu 19.Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale. Keičiant dvilypiame integrale sritį D sritimi D1 gauname kad ∫∫(D)f(x,y)dxdy=∫∫(D1)f((n,k)y(n,k))|I(n,k)|dn,k 20. Jakobianas (trilypiuose) 21.Kinta keitimas trilypiame integrale ∫∫∫(V)f(x,y,z) dxdydz=∫∫∫(V)f(x(u,v,t),g(u,v,t),z(u,v,t)|I(u,v,t)|dudvdt. 22.Kintamųjų keitimas polinėje koordinač sistemoje ∫∫(D)f(x,y)dxdy=∫∫(D1)f(ρcosφ,ρsinφ)ρdρdφ 23. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis polinėmis (cilindrinėmis) koordin. I(ρ,φ,z)=ρ ∫∫∫(V)f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫(V1)f(ρcosφ,ρsinφ,z) ρdρdφdz 24. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis SFERINĖMIS koordinatėmis I(ρ,θ,φ)=ρ2sin2θ; ∫∫∫(V)f(x,y,z)dxdydz= ∫∫∫(V1)f(ρsinθcosφ,ρsinθsinφ,ρcosθ) ρ2sin2θ dρdθdφ 25.Dvilypio int taik pav ploto aps, kai pavi nusakytas IŠREIKŠTINE lygtim Paviršiaus ploto apskaičiuosim, kai duota išreikštinė lygtis z=f(x;y) . Jeigu paviršius nusakytas lygtimi y=y(x,z), tai čia D yra paviršiaus projekcija į plokštumą xOz. Jeigu paviršius nusakytas lygtimi x=x(y,z), tai čia D yra paviršiaus projekcija į plokštumą yOz. 26.Dvilypio int taik pav ploto aps, kai pavi nusakytas neišreikštine lygtimi Jeigu glodusis paviršius nusakytas neišreikštine lygtimi F(x,y,z) =0, tai jo plotas čia D yra paviršiaus projekcija į plokštumą xOy 27.Dvilypio int taik pav ploto aps, kai pavi nusakytas PARAMETRINĖMIS lygtimis. Jeigu glodusis paviršius nusakytas parametrinėmis lygtimis: x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), čia (u,v)D1, tai paviršiaus plotas S=∫∫(D)√EG-F2 dudv 28.Dvilypio int taik mecha plokštelės MASEI ir statiniams MOMENTAMS rast Tarkime, kad srityje DR2 paskirstyta figūros masė, kurios plokštuminis tankis nusakomas tolydžiąja toje srityje funkcija γ(x,y). Tuomet plokščiosios figūros D masė nusakoma formule m=∫∫(D)γ(x,y)dxdy, o jos statiniai momentai atitinkamai ašių Ox ir Oy atžvilgiu bus lygūs Mx=∫∫(D)y γ(x,y)dxdy, My=∫∫(D)γ x(x,y)dxdy 29. Dvilypio int taik mecha plokštelės MASĖS CENTRUI rasti Tarkime, C(x0,y0) yra plokščiosios figūros masės centras. Tuomet jo koordinatės išreiškiamos formulėmis: x0=Mx/m=( ∫∫(D)γx(x,y)dxdy)/ ∫∫(D)γ(x,y)dxdy; y0=My/m=(∫∫(D)yγ(x,y)dxdy)/ ∫∫(D)γ(x,y)dxdy. Jeigu plokščioji figūra yra homogeninė, tai γ(x,y) =const (patogu imti γ (x,y) =1). Tuomet x0=( ∫∫(D)xdxdy)/ ∫∫(D)dxdy; y0=( ∫∫(D)ydxdy)/ ∫∫(D)dxdy 30. Dvilypio inte taik mecha plokštelės INERCIJOS MOMENTŲ radimui Plokščiosios figūros inercijos momentai ašių Ox ir Oy atžvilgiu lygūs Ix=∫∫(D)y2γ(x,y)dxdy; Iy=∫∫(D)x2γ(x,y)dxdy. Plokščiosios figūros inercijos momentas koordinačių pradžios atžvilgiu lygus I0=∫∫(D)(x2+y2)γ(x,y)dxdy=Ix+Iy. 31.Trilypio inte taiky kūno TŪRIUI apsk. Kūno V tūris stačiakampėje koordina sistemoje apskaičiuojamas pagal formulę V=∫∫∫Vdxdydz. Cilindrinėje koordinačių sistemoje kūno V tūris išreiškiamas pagal formulę V=∫∫∫Vρdρdφdz, o sferinių koordinačių sistemoje V=∫∫∫Vρ2sinθdρdθdφd. 32.Trilypio inte taiky kūno MASEI apsk. Jei kūno V masės tankis yra γ(x,y,z), tai to kūno masė apskaičiuojama pagal formulę M=∫∫∫Vγ(x,y,z)dxdydz. Jei kūnas V homogeninis tai formulėje reikia imti γ(x,y,z)=1, todėl M=V. 33.Trilypio inte taiky kūno MASĖS CENTRO KOOR apsk. Kūno masės centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formules: x0=1/M= ∫∫∫Vγx(x,y,z)dxdydz; y0=1/M=∫∫∫Vγy(x,y,z)dxdydz z0=1/M=∫∫∫Vγz(x,y,z)dxdydz. Jei kūnas V homogeninis tai formulėse reikia imti γ(x,y,z)=1, todėl M=V. 34.Trilypio inte taiky kūno STATINIAMS MOMENTAMS apsk. Jei (S) plokštumos Oxy sritis užpildyta plokštele. ρ(xy) – plokštuminis plokštelės tankis tške M, Mx, My statiniai momentai ašių x ir y atžvilgiu M=∫∫(S)ρ(x,y)dxdy; Mx=∫∫(S)yρ(x,y)dxdy; My=∫∫(S)xρ(x,y)dxdy 35. Kreiviniai integralai. Jei  riba: A=limλ→0∑ni=1(X(x,y)Δxi+Y(x,y)Δyi), tai ji bus: ∫MN(X(x,y)dx+Y(x,y)dy), t.y. f-jų X,Y kreivinis integralas kreivė MN. 36, Pirmojo tipo kreivinis integralas. Jei  i=1∑nf(x,y)ΔSi integralinės sumos baigtinė riba, kai λ=maxΔSi→0, nepriklausomai nuo lanko L suskaidymo į dalis ΔSi ir taškų Mi (xi,yi) pasirinkimo, tai ši riba vad f-jos f(x,y) pirmojo tipo kreiviniu integralu kreive L: ∫Lf(x,y)=limλ→0∑ni=1f(xi,yi)ΔSi 37, Pirmojo tipo kreivinio integralo SAVYBĖS. (AB) – glodžios kreivės lankas; 1)tarkim f(x,y) ir g(x,y) apibrėžia glodžią kreivę, tada ∫AB(λf(x,y)±βg(x,y))ds= =λ∫ABf(x,y)ds±β∫ABg(x,y)ds 2)dalimis glodi kreivė AB=ACUCB, tai: ∫ABf(x,y)ds=∫ACf(x,y)ds+∫CBf(x,y)ds 3)∫ABf(x,y)ds=∫BAf(x,y)ds. Teo. Jei f(x,y) – tolydi glodžios kreivės lanko (AB) taškuose f-ja, tai  toks kreivės taškas C(x1,y1), kuriame: ∫ABf(x,y)ds= =f(x1,y1)*|A’B’|; čia |A`B`|- kreivės lanko A`B` ilgis. 38, Kreivės lygtis y=y(x). Glodžios kreivės AB lygtis yra {y=y(x), {x=x; x[a;b], tada: ∫ABf(x,y)ds=a∫bf(x,y(x))√1+(y’x)2dx 39, Kreivė apibrėžta parametriškai. Kreivė apibrėžta parametrinėmis lygtimis {y=y(x), {x=x(t), {t0≤t≤T; ∫ABf(x,y)ds=t0∫Tf(x(t),y(t))√(x’t)2+(y’t)2dt 40. Kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje. Kreivė AB polinėje koordinačių sistemoje apibrėžta lygtimi {ρ=ρ(φ),{φ=φ,{α≤φ≤β φ[α;β] ∫ABf(x,y)ds=α∫βf(ρcosφ,ρsinφ)√ρ2+(ρ’φ)2dφ 41, Antrojo tipo kreivinis integralas. Glodžią kreivę AB dalinam į n dalių. MiAi-1Ai=ΔSi; f(Mi)Δxi, g(Mi)Δxi ∫ABf(x,y)dx+g(x,y)dy= limλf→0,λg→0∑ni=1(f(Mi)Δxi+g(Mi)Δyi) šis integralas vad antrojo tipo kreiviniu int. Jeigu f(x,y)=0 visuose tš, tada ∫ABy(x,y)dy, jeigu g(x,y)=0 tada ∫ABf(x,y)dx 42, Antrojo tipo kreivinio integralo SAVYBĖS. 1.Antrojo tipo kreivinis integralas priklauso nuo integravimo kreivės AB apėjimo krypties ∫ABf(x,y)dx+g(x,y)dy=∫BAf(x,y)dx+g(x,y)dy. 2.Visos kitos integralų savybės galioja. 43, Kreivė apibrėžta parametriškai. {x=x(t) {y=y(t) {t0≤t≤T; t0=A, T=B. ∫ABf(x,y)dx+g(x,y)dy= t0∫T(f(x(t),y(t)x’t+g(x(t),y(t)y’tdt 44, Kreivinių integralų sąryšis. ∫ABfdx+gdy+hdz=∫AB(fcosα+gcosβ+hcosγ)dt; cosα=a/√a2+b2+c2, cosβ=b/√a2+b2+c2, cosγ=c/√a2+b2+c2, 45, Gryno – Ostrogradskio formulė. Jei f-jos f(x,y) ir g(x,y) bei jų dalinės išvestinės Əf/Əy; Əg/Əx yra tolydžios srityje D, apribota uždaro kontūro srityje, tai ∫ABf(x,y)dx+g(x,y)dy=∫AB(Əf/Əy-Əg/Əx)dxdy kai kontūras AB apeinamas teigiamąja kryptimi. 46,Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlyga. Tarkime, kad f-jos f(x,y), g(x,y) bei jų dalinės išvestinės Əf/Əy; Əg/Əx yra tolydžios srityje D. Tada ∫ABf(x,y)dx+g(x,y)dy nepriklauso nuo integravimo kelio tada ir tik tada ka visuose taškuose Əf/Əy=Əg/Əx 47,Kreivinio integralo, nepriklausančio nuo integravim kelio, ryšys su f-jos pilnuoju diferencialu. Jeigu tenkinama Əf/Əy=Əg/Əx sąlyga, tai pointegralinis reiškinys yra tam tikras f-jos u(x,y) pilnas diferencialas: f(x,y)dx+g(x,y)dy=du(x,y). 48, Cilindro paviršiaus plotas. S=∫ABf(x,y)ds 49, Kreivės lanko ilgis. Glodžiosios kreivės L lanko AB ilgis L=∫ABds. Jei kreivė nusakyta parametrinėmis lygtimis {x=x(t), {y=y(t), {z=z(t), {t1≤t≤t2, tai jos lanko ilgis L=t1∫t2√(x’t)2+(y’t)2+(z’t)2dt polinėje koordinačių sistemoje L=α∫β√ρ2+(ρ’)2dφ. 50, Plokščios figūros plotas 51,Kreivės lanko masės centro koordinat ir inercijos momentai. Erdvinės kreivės lanko L masės centro koordina xc,yc,zc nusakomos formulėmis: x0=(∫Lxγ(x,y,z)ds)/m, y0=(∫Lyγ(x,y,z)ds)/m, z0=(∫Lzγ(x,y,z)ds)/m. Kreivės lanko L inercijos momentai nusakomi formulėmis: I0=∫L(x2+y2+z2)γ(x,y,z)ds 52.Vienpusis paviršius. Jeigu apeidami paviršių į pradinę padėtį grįžtame kai normalės kryptimi yra priešinga, tai toks paviršius vadinamas vienpusiu(pvz. Miobuso lapas). 53.Dvipusis paviršius. Jei tš judėdamas paviršiumi grįžta į pradinę padėtį su tapačia normalės kryptimi, tai toks paviršius vad dvipusiu (pvz. sfera). 54. Pirmojo tipo paviršinis integralas. Jei  i=1∑nf(xi, yi, zi)∆6i integralinės sumos baigtinė riba, kai λ→0, nepriklausanti nuo paviršiaus padalijimo į dalis ∆6i ir taškų Mi parinkimo, tai ši riba vad pirmojo tipo paviršiniu integralu ir žymima ∫∫(S)f(x,y,z)d6=limλ→0∑ni=1f(xi, yi, zi)∆6i. 55, Pirmojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. Jis apskaičiuojamas pakeičiant jį dvilypiu integralu. Jei glodusis paviršius S nusakytas išreikštine lygtimi z=z(x,y), čia (x,y)D – paviršiaus S projekcija plokštumoje xOy, tai pirmojo tipo paviršinis integralas apskaičiuojamas pagal formulę ∫∫(S)f(x,y,z)d6=∫∫(D)f(x,y,z(x,y))√1+(z’x)2+(z’y)2dxdy. 56,Antrojo tipo paviršinis integralas. Jei  baigtinė i=1∑nR(xi, yi, zi)∆Si sumos riba, kai λ→0, nepriklausanti nuo paviršiaus padalijimo į dalis ∆6i ir taškų Mi parinkimo, tai ši riba vad f-jos R(x,y,z) antrojo tipo paviršiniu integralu pasirinktąja paviršiaus S puse. ∫∫(S)R(x,y,z)dxdy=limλ→0∑ni=1R(xi, yi, zi)∆Si. 57.Antrojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. Jei glodusis paviršius S, kurio projekcija plokštumoje yra sritis D1, nusakomas išreikštine lygtimi z(x,y) ((x,y)D1), tai ∫∫(S)R(x,y,z)dxdy=±∫∫R(x,y,z(x,y))dxdy čia prieš dvilypį integralą parašyti ženklai priklauso nuo pasirinktos paviršiaus pusės. 58.Stokso formulė. Jeigu f-ja f=f(x,y,z); g=g(x,y,z); h(x,y,z) tolydžiai diferencijuojamos, o C uždaras kontūras, ribojantis dvipusį paviršių S, tada ∫Cfdx+gdy+hdz=∫∫S((Әh/Әg-Әg/Әz)cosα+(Әf/Әz-Әh/Әx)cosβ+(Әg/Әx-Әf/Әy)cosγ)ds, kur cosα, cosβ, cosγ - normalės krypties kosinusai paviršiaus S, o normalės kryptis nustatoma taip, kad iš normalės pusės kontūro C apėjimas būtų prieš laikrodžio rodyklę. Cosα(βγ)=-p(-q,1)/±√1+p2+q2 59.Tiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. Jei fiksavus vieną kintamąjį, gauta f-ja yra tolydi srityje D ir  integralas, kuris yra fiksuoto kintamojo f-ja, I(y)=a∫bf(x,y)dx, tai toks integralas vad tiesioginiu integralu, priklausančiu nuo parametro y. 60, Teorema apie tiesioginio integralo, priklausančio nuo parametro, tolydumo sąlygą. Jei f-ja f(x,y) yra tolydi srityje D taip pat ir integralas I(y) yra tolydi y atžvilgiu toje srityje, tai f-ja f(x,y) yra integruojamas parametro atžvilgiu. 61, Ribos ir integralo keitimas vietomis (paaiškinti). I(y0)=limy→y0; I(y0)=a∫bf(x,y)dx= a∫blimy→y0f(x,y)dx. 62.Teorem apie diferencijavimą po integralo ženklu. Jei f-ja f(x,y) yra tolydi srityje D ir taip pat turi tolydžią dalinę išvestinę y atžvilgiu,tai Iy’=a∫bfy’(x,y)dx Laibnicas 63.Diferencijavimas po integralo ženklu, kai integravimo rėžiai priklauso nuo parametro. Jeigu integravimo rėžiai taip pat yra priklausomo parametro a=a(y) ir b=b(y), ir f-ja a(y) ir b(y) turi tolydžias išvestines (da/dy)=ay’ ir(db/dy)=by’ atkarpoje [c,d], tai Iy’=a(y)∫b(y)fy’(x,y)dx-f(a(y), y)ay’+f(b(y), y)by’ 64.Netiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. Tarkim turim f-ja f(x,y) kuri yra apibrėžta srityje D. D={(x,y): a≤x≤+∞;c≤y≤d}. Tarkim fiksuotas kintamasis y, tada integralas I(y)=a∫+∞f(x,y)dx vad netiesioginiu integralu priklausančio nuo parametro y 65. Konverguojantis netiesioginis integralas. Integralas a∫+∞f(x,y)dx vad konverguojančiu taške y[c;d], jei  baigtine riba lim∆→+∞∫aAf(x,y)dx=∫a+∞f(x,y)dx=I(y) 66.Tolygiai konverguojantis netiesioginis integralas. Jeigu skaičius A0 parinkimas priklauso tik nuo ε, tai I(y)=∫a+∞f(x,y)dx integralas vad tolygiai konverguojančiu atkarpoje [c,d] y atžvilgiu. Bet koks ε>0; A0: A>A0=>|I(y)-a∫Af(x,y)dx|0, b>0, vad beta f-ja ir žymima B(a, b) 72. Gama f-ja.Integralas Г(a)=a∫+∞xz-1e-xdx vad gama f-ja ir žymimas Г(a) KLAUSIMAI 1. Kvadruojamos figūros. 2. Figūros plotas. 3. Kūno tūris. 4. Kreivės plotas 0. 5. Dviejų kintamųjų f-jos integralinė suma. 6. Dvilypis integralas. 7. Teorema apie f-jos integruojamumą uždaroje srityje. 8. Dvilypio integralo paprasčiausios savybės (apie konstantą, sumą, skirtumą). 9. Jei integravimo sritis yra dviejų sričių sąjunga. 10. f(x,y)≤g(x,y). 11. F-jos modulio integruojamumas. 12. Integralo rėžiai. 13. f(x0,y0)P. 14. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra stačiakampis. 15. Dvilypio integralo keitimas kartotiniu, kai integravimo sritis yra kreivinė trapecija. 16. Trijų kintamųjų funkcijos integralinė suma. 17. Trilypis integralas. Kint keitimas DVILYPIAME integr 18. Jakobianas. 19. Kintamųjų keitimas dvilypiame integrale. Kint keitimas TRILYPIAME integr 20. Jakobianas. 21. Kintamųjų keitimas trilypiame integrale. 22. Kintamųjų keitimas polinėje koordinačių sistemoje. 23. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis polinėmis (cilindrinėmis) koordinatėmis. 24. Taško padėtis nusakyta apibendrintomis sferinėmis koordinatėmis. 25. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas išreikštine lygtimi. 26. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas neišreikštine lygtimi. 27. Dvilypio integralo taikymas paviršiaus ploto apskaičiavimui, kai paviršius nusakytas parametrinėmis lygtimis. 28. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės masei ir statiniams momentams rasti. 29. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės masės centrui rasti. 30. Dvilypio integralo taikymas mechanikoje plokštelės inercijos momentų radimui. 31. Trilypio integralo taikymas kūno tūriui apskaičiuoti. 32. Trilypio integralo taikymas kūno masei apskaičiuoti. 33. Trilypio integralo taikymas kūno masės centro koordinatėms apskaičiuoti. 34. Trilypio integralo taikymas kūno statiniams momentams apskaičiuoti. 35. Kreiviniai integralai. 36. Pirmojo tipo kreivinis integralas. 37. Pirmojo tipo kreivinio integralo savybės. 38. Kreivės lygtis y=y(x). 39. Kreivė apibrėžta parametriškai. 40. Kreivė apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje. 41. Antrojo tipo kreivinis integralas. 42. Antrojo tipo kreivinio integralo savybės. 43. Kreivė apibrėžta parametriškai. 44. Kreivinių integralų sąryšis. 45. Gryno – Ostrogradskio fomulė. 46. Kreivinio integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlyga. 47. Kreivinio integralo, nepriklausančio nuo integravimo kelio, ryšys su funkcijos pilnuoju diferencialu. 48. Cilindro paviršiaus plotas. 49. Kreivės lanko ilgis. 50. Plokščios figūros plotas. 51. Kreivės lanko masės centro koordinatės ir inercijos momentai. 52. Vienpusis paviršius. 53. Dvipusis paviršius. 54. Pirmojo tipo paviršinis integralas. 55. Pirmojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. 56. Antrojo tipo paviršinis integralas. 57. Antrojo tipo paviršinio integralo apskaičiavimas. 58. Stokso formulė. 59. Tiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. 60. Teorema apie tiesioginio integralo, priklausančio nuo parametro, tolydumo sąlygą. 61. Ribos ir integralo keitimas vietomis (paaiškinti). 62. Teorema apie diferencijavimą po integralo ženklu. 63. Diferencijavimas po integralo ženklu, kai integravimo rėžiai priklauso nuo parametro. 64. Netiesioginis integralas, priklausantis nuo parametro. 65. Konverguojantis netiesioginis integralas. 66. Tolygiai konverguojantis netiesioginis integralas. 67. Netiesioginio integralo liekana. 68. Vejerštraso teorema apie netiesioginio integralo konvergavimą tolygiai ir absoliučiai. 69. Funkcijos mažorantė. 70. Netiesioginio integralo savybės. 71. Beta funkcija. 72. Gama funkcija.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!