Statika ir kinematika - paskaitų medžiaga

 Mechanika yra mokslas, nagrinėjantis kūnų judėjimą ir pusiausvyrą. Priklausomai nuo kūno būvio, mechanika skirstoma i dujų, skysto ir kieto kūno mechaniką. Teorinė mechanika yra mechanikos dalis, formuojanti bendrus mechanikos dėsnius ir jais remiantis nagrinėjami materialių taškų, jų sistemų, bei standžių kūnų judėjimai ir pusiausvyra. Ji skirstoma į statiką, kinematiką ir dinamiką. STATIKA Ji nagrinėja jėgų ir kūnų pusiausvyrą. Statika - mokslas apie mechaninę sistemą veikiančių jėgų pusiausvyrą. Statika sprendžia kaip vieną sudėtingą jėgų sistemą pakeisti kita, paprastesne jėgų sistema. 1.Statikos pagrindinės sąvokos ir aksiomos. Pagrindinė statikos sąvoka yra jėga. Tai dviejų kūnų tarpusavio sąveikos matas. Ji yra vektorinis dydis, apibūdinamas veikimo tašku bei kryptimi. Jėgos didumas matuojamas niutonais. Jėga - bet koks poveikis, išjudinantis kūną arba keičiantis jo greitį. Jėgą apibūdina trys parametrai: didumas, veikimo taškas (kūno taškas, kuriame sutelktas jėgos veikiamas), veikimo kryptis. Jėgų apibrėžimai: 1. Jėgos veikimo tiesė - linija, kurioje randasi jėga. 2. Jėgų sistema - kūną veikiančių jėgų visuma. 3. Laisvu kūnu vadinamas kūnas, kuriam kiti kūnai netrukdo judėti bet kuria kryptimi. 4. Ekvivalentiškomis vadinamos tokios jėgų sistemos, kurias pakeitus viena kita, nesikeičia kūno būsena. 5. Jėgų sistema vadinama pusiausvira, jeigu jos veikiamas kūnas nejuda, arba juda tiesiai ir tolygiai. 6. Atstojamoji – tai jėga, ekvivalentiška veikiančių jėgų sistemai. 7. Atsveriančiąja vadinama tokio paties didumo jėga kaip ir atstojamoji, tik priešingos krypties. 8. Sutelktoji jėga veikia kūno tašką. 9. Išskirstytos jėgos veikia tam tikrą kūno paviršiaus ar kūno dalį. 10. Kūnų sistema - visuma kūnų, kurių pusiausvyra tarpusavyje priklauso. 11. Išorinėmis vadinamos tokios jėgos, kuriomis, sistemai nepriklausantys kūnai, veikia nagrinėjamą sistemą. 12. Jėgos, kuriomis tos pačios sistemos kūnai veikia vienas kitą, vadinamos vidinėmis. Statikos aksiomos: Pirmoji aksioma. Dvi standų kūną veikiančios jėgos atsisveria, jei jos yra vienodo didumo ir veikia vienoje tiesėje priešingomis kryptimis. Antroji aksioma. Jėgų sistemos poveikis standžiam kūnui nepasikeis pridėjus ar atėmus atsisveriančią jėgų sistemą. Iš pirmų dviejų aksiomų galime padaryti išvadą: jėgos poveikis kūnui nepasikeis, ją perkėlus veikimo tiese iš vieno jos veikimo taško į kitą. Trečioji aksioma (geometrinė jėgų sudėties taisyklė). Dviejų jėgų P1 ir P2 poveikį taškui A galima pakeisti poveikiu vienos jėgos R, nukreiptos iš pirmų dviejų jėgų sudaryto lygiagretainio įstrižaine. R yra jėgų R ir P2 atstojamoji. Ji lygi P1 ir P2 geometrinei sumai R=P1+P2. Ketvirtoji aksioma (akcijos-reakcijos dėsnis). Du kūnai veikia vienas kitą lygaus dydžio priešingos krypties jėgomis. Išvada: kūnų sistemą veikiančios jėgos yra pusiausviros. Penktoji aksioma. Jėgų sistemos veikiamo deformuojamo kūno pusiausvira nesutriks, jei kūnas pasidarys standus. Šeštoji aksioma (inercijos dėsnis). Materialus taškas nejuda arba juda tolygiai ir tiesiogiai, kol veikiančios jėgos nepriverčia jo pakeisti šią būseną. 2. Ryšiai ir jų reakcijos. Visa kas trukdo kūnui judėti erdvėje vadinama ryšiais. Kūnai ryšius veikia vadinamomis aktyviomis jėgomis. Ryšiai kūnus veikia tokio pat didumo bet priešingos krypties jėgomis vadinamomis reakcijos jėgomis, kurių ieškojimas yra vienas pagrindinių statikos uždavinių. Jų kryptis priklauso nuo aktyvių jėgų ir ryšio pobūdžio. Aplamai jos nukreiptos priešingai negu kūnas judėtų, jei nebūtų ryšio. Ryšio reakcijos: 1. Glotnus paviršius. Paviršius vadinamas glotniu, kai trintis tarp šio paviršiaus ir į jį atsirėmusio kūno yra be galo maža, jos galima nepaisyti. 2. Glotni briauna. 3. Lankstus ryšys. 4. Cilindrinis šarnyras. 5. Rutulinis šarnyras. (kai strypas, pritvirtintas prie vieno taško, gali pasisukti erdvėje bet kaip apie tą tašką).6. Šarnyrinis strypas. 7. Standus įtvirtinimas. 3. Jėga ir jos projekcija ašyje ir plokštumoje. Jėga - tai dviejų kūnų tarpusavio sąveikos matas. Ji yra vektorinis dydis, apibūdinamas veikimo tašku bei kryptimi. Jėgos projekcija ašyje. Jėgos P projekcija ašyje Ox yra skaliarinis dydis, lygus kryptinės atkarpos A1B1 ilgiui. Jėgos projekcija ašyje lygi jėgos didumo ir kampo tarp ašies teigiamosios krypties ir jėgos krypties kosinuso sandaugai:.Px=P cos alfa 4. Susikertančių jėgų sudėtis ir pusiausvyros sąlygos. Susikertančiomis vadinamos tokios jėgos, kurių veikimo tiesės kertasi viename taške. Plokščioji viename taške susikertančių jėgų sistema ekvivalentiška vienai jėgai - atstojamajai, veikiančiai tų jėgų susikirtimo taške. Viename taške susikertančių jėgų sistemos atstojamosios projekcija kurioje nors ašyje yra lygi visų sistemą sudarančių jėgų projekcijų į tą ašį algebrinei sumai: =++...+=. Atstojamosios jėgos skaičiavimas remiasi teorema: atstojamosios jėgos projekcija bet kurioje ašyje lygi sudedamų jėgų projekcijų toje ašyje algebrinei sumai. Jeigu viename taške susikertančios jėgos yra pusiausvyros, tai visų jėgų projekcijų sumos lygios nuliui: ; ; - vienam taške susikertančios jėgų sistemos pusiausvyros sąlyga. 5. Trijų jėgų teorema. Kūnas, veikiamas trijų jėgų, yra pusiausviras tik tada, kai šios jėgos tenkina trijų jėgų teoremą: jeigu trys vienoje plokštumoje veikiančios nelygiagrečios jėgos yra pusiausviros, tai jų veikimo tiesės susikerta viename taške. Įrodymas: sakykime, kad jėgos P1, P2 ir P3, veikiančios standų kūną, yra pusiausviros (pav.). Perkėlę jėgas P1 ir P2 jų veikimo tiesėmis į jų susikirtimo tašką A ir geometriškai sudėję, gausime jėgą R, kuri veikia taip pat kaip kartu jėgos P1 ir P2. todėl galima laikyti, kad toliau atsisveria jėgos R ir P3. Kadangi atsisveriančios jėgos veikia vienoje tiesėje, tai jėgos P3 veikimo tiesė eina per jėgų P1 ir P2 susikirtimo tašką A. Tai reikėjo įrodyti. Trijų jėgų teoremos tenkinimas yra būtina, bet nepakankama plokščiosios trijų jėgų sistemos pusiausviros sąlyga. Trys jėgos, kurių veikimo tiesės susikerta viename taške, gali ir nebūti pusiausviros. 6. Jėgos momentas. Jėga kūną tuo pačiu metu gali ne tik stumti, bet ir sukti apie tam tikrą tašką. Taškas O, kurio atžvilgiu skaičiuojamas momentas, vadinamas momento centru. Atstumas nuo momento centro iki jėgos veikimo tiesės vadinamas jėgos petimi. Jėgos P petys yra atstumas OB=d, o jėgos Q petys – atstumas OD=h. Jėgos momentas centro atžvilgiu yra algebrinis dydis, lygus jėgos didumo ir peties sandaugai: .Momentas pasižymi šiomis savybėmis:1 jėgos momentas lygus nuliui tada, kai jo centras yra jėgos veikimo tiesėje; 2 momentas nepasikeičia, perkėlus jėgą į kitą jos veikimo tiesės tašką; 3 momento didumas gali būti išreikštas dvigubu trikampio plotu, kurio viršūnes yra momento centras ir vektoriaus P pradinis A bei galinis C taškai. Taigi momento didumas yra lygus dvigubam trikampio AOC plotui. 7. Varinjono teorema. Varinjono teorema: atstojamosios jėgos momentas kurio nors taško atžvilgiu lygus sudedamųjų jėgų momentų algebrinei sumai. ;Kai tašką A veikia daugiau negu dvi jėgos, tada: Pusiausviros jėgų sistemos atstojamoji jėga lygi nuliui ir jos momentas bet kurio centro atžvilgiu lygus nuliui. Todėl visų sudedamų jėgų momentų šio centro atžvilgiu suma lygi nuliui. ; .Parinkę du momentų centrus B ir D, galime užrašyti dvi pusiausviros lygtis: , . 8. Lygiagrečių jėgų sudėtis ir jų pusiausviros sąlyga. Norint geometriškai sudėti dvi jėgas, turime rasti jų veikimo tiesių susikirtimo tašką ir nubrėžti jėgų ir nubrėžti lygiagretainį. Norėdami sudėti dvi lygiagrečias jėgas, veikiančias skirtingose tiesėse, reikia remtis antrąja ir trečiąja aksiomomis. Jeigu jėgos P1 ir P2 yra vienos krypties, tai R= P1+P2; jei P1 ir P2 priešingų krypčių ir P2> P1, R= P2-P1. Išvada: sudedamų dviejų tos pačios krypties lygiagrečių jėgų atstojamoji veikia tarp sudedamųjų jėgų; sudedamų dviejų priešingų krypčių lygiagrečių jėgų atstojamoji veikia sudedamųjų jėgų išorėje už didesniosios sudedamos jėgos. Pusiausvyros sąlyga: Mi=0. 9. Jėgų pora ir jos momentas. Dvi lygiagrečios, nukreiptos į priešingas puses jėgos |P|=|P‘| sudaro jėgų porą. Jėgų pora yra tokia jėgų sistema, kuri nėra pusiausvyroje ir neturi atstojamosios. Rasti dviejų vienodo didumo, veikiančių lygiagrečiose tiesėse, bet priešingos krypties jėgų P ir P‘ atstojamosios negalima. Atstumas tarp poros jėgų veikimo tiesių vadinamas poros petimi. Poros momentas: M=Pl - jėgų poros momentas nepriklauso nuo momentų centrų padėties ir lygus poros jėgos didumo ir peties sandaugai. Čia poros momentas yra teigiamas, nes jėga kūną taško O atžvilgiu suka prieš laikrodžio rodyklę. 10. Plokščiosios lygiagrečių jėgų sistemos pusiausvyra. Atskirai sudedame jėgas nukreiptas į dešinę ( ir jėgas, nukreiptas į kairę . Taip apskaičiuojamos lygiagrečios priešingai nukreiptos atstojamosios R1 ir R2. Kai jėgos veikia vienoje tiesėje priešingomis kryptimis R1=-R2. Tada R=0, ir jėgų sistema yra pusiausvira. Plokščioji lygiagrečių jėgų sistema yra pusiausvira, jei visų jėgų projekcijų suma lygi nuliui ir visų jėgų momentų suma lygi nuliui: . 11. Jėgų porų ekvivalentiškumas. Ekvivalentiškomis vadinamos tokios poros, kurių poveikis kūnui yra vienodas. Įrodykime teoremą, kad poros, kurių momentai yra vienodo didumo ir tokio pat ženklo, vienodai veikia kūną. Tegu kūną veikia jėgų pora P ir P'. Jėgų veikimo taškuose A ir B pridekime atsisveriančias jėgas S ir -S. Randame atstojamąsias Q ir Q', kurios taip pat sudaro porą ekvivalentiškas jėgoms P ir P'. Norėdami apskaičiuoti poros (Q, Q') momentą, pasinaudojama Varinjono teorema. Jėgų P, S ir jų atstojamosios Q momentus centro B atžvilgiu sieja lygybė: . Dešinioji lygybės pusė reiškia poros (P, P') momentą, o kairioji – poros (Q, Q') momentą. Iš šios teoremos galime padaryti išvadas: 1.poros poveikis kūnui nepasikeis, jei ją perkelsime iš vienos vietos į kitą; 2.poros poveikis kūnui nepasikeis,jei, nekeičiant poros momento, pakeisime ir poros petį, ir poros jėgos didumą. 12. Plokščioji jėgų sistema, pusiausvyros sąlygos. Vienoje plokštumoje veikia poros, kurių momentai yra M1, M2, M3. Nekeisdami porų momentų, pakeiskime visų porų jėgų didumus taip, kad visu jėgų pečiai būtų vienodi ir lygūs AB=l. Kadangi , , Tai susumavę vienoje tiesėje veikiančias jėgas, apskaičiuosime šių jėgų sistemų atstojamąsias: , t.y. Jėgos R ir R‘ sudaro atstojamąją porą. Šios poros momentas M=Rl. Tuomet atstojamosios poros momentas lygus sudedamų porų momentų algebrinei sumai. Jeigu plokščioji jėgų sistema yra pusiausvira, tai M=0. Todėl plokščiosios jėgų sistemos pusiausvyros sąlyga: . 13. Išskirstyti krūviai. Išskirstytos jėgos veikia tam tikrą kūno paviršiaus ar tūrio dalį. Jos yra lygiagrečios. Tegu siją OA veikia išskirstytas krūvis, kurio intensyvumas q – tai jėga, tenkanti sijos OA ilgio vienetui. Ilgio dx sijos ruoželį veikia jėga, kurios didumas dQ=qdx. Visą siją veikia jėga . Jėga Q yra tos pačios krypties, kaip ir krūvio intensyvumas q. Sakykime, kad q=const, tai Q=ql. 14. Puanso teorema. Puasono teorema: jėgos poveikis standžiam kūnui nepasikeis, jei, perkeldami jėgą iš vieno taško į kitą, prie pridėsime porą, kurios momentas lygus perkeliamos jėgos momentui naujo taško atžvilgiu. Tegu kūną taške A veikia jėga P. Laisvai pasirinktame kūno taške B pridekime atsisveriančias jėgas P‘ ir -P‘, kurios savo didumu lygios jėgai P. Jėgos P ir P‘ sudarys porą, kurios momentas M=MB(P)=Pd. Taške B ims veikti jėga P' savo didumu ir kryptimi lygi jėgai P. Galime teigti ir atvirkščiai. Jėgos ir poros poveikį kūnui galime pakeisti poveikiu vienos jėgos perkeltos į kitą tašką, kuris nutolęs nuo pradinio taško atstumu d=M/P. 15. Plokščiosios jėgų sistemos redukcija. Plokščios jėgų sistemos pakeitimą jėga ir pora vadiname redukcija. Jo esmė: remiantis Puanso teorema visos jėgos perkeliamos į laisvai pasirenkamą redukavimo centrą O, pridedant atitinkamas poras (pav. a). Gaunama susikertančių jėgų ir porų sistema (pav. b). Susikertančių jėgų sistemą galima pakeisti atstojamąja R, kurios projekcijos ašyse:;Porų sistemą galima pakeisti atstojamąja jėga, kurios momentas . Susikertančių jėgų sistemos atstojamoji R vadinama bet kaip išdėstytų jėgų sistemos sumine jėga, o M - bet kaip išdėstytų jėgų sistemos suminis momentas. Galimi tokie redukavimo atvejai: 1,; sistema ekvivalenti atstojamajai, einančiai per redukavimo centrą O. 2,; sistema ekvivalenti porai, kurios momentas M nepriklauso nuo redukavimo centro. 3,; sistema ekvivalenti suminei jėgai ir suminiam momentui. 4,; sistema pusiausvira. 18. Plokščiosios bet kaip išdėstytų jėgų sistemos pusiausvyra. Tai visuma kūnų, kurių pusiausvyra tarpusavyje priklauso. Ryšiai, kuriais kūnų sistema pritvirtinta prie jai nepriklausančių kūnų, vadinami išoriniais. Ryšiai, jungiantys kūnus į sistemą, vadinami vidiniais. Juos keičiame vidinėmis jėgomis. Į kūnų sistemą galime žiūrėti kaip į vieną standų kūną ir rašyti jį veikiančių jėgų pusiausvyros lygtis. Jeigu visiems nežinomiesiems lygčių neužtenka, kūnų sistema išskaidoma į atskirus kūnus. Rašomos atskirus kūnus veikiančių jėgų pusiausvyros lygtys. Išsprendus lygtis, randamos ir vidinės jėgos, ir išorinių jėgų reakcijos. 19. Pusiausvyra įvertinant slydimo trintį. Jei kūną veikia nedidelė jėga P, jis nejudės dėl atsiradusios trinties jėgos F. Didinant jėgą P, trinties jėga didės, tačiau iki tam tikros, vadinamos kritinės, reikšmės. P jėgai viršijus šią reikšmę, kūnas pradeda slysti. Slydimo trintis skirstoma į statinę ir dinaminę. Statinė - kol kūnas, veikiamas jėgos, yra pusiausvyroje. Trinties kampo tangentas yra lygus statiniam trinties koeficientui f. Kritinė trinties jėga (Fkr) Kai F  Fkr kūnas nejuda. Didžiausia trinties jėga nepriklauso nuo to, kokio didumo plotu liečiasi kūnai. Didžiausia trinties jėga tiesiai proporcinga spaudžiančios kūnus vieną prie kito normalinės J. N (N - normalinė reakcija) didumui (tipo masė). Didžiausia trinties jėga priklauso nuo susiglaudusių kūnų medžiagos ir jų paviršių glotnumo, temperatūros, tepimo. Jei slydimo greitis mažas, didžiausia trinties jėga beveik nepriklauso nuo jo. Trinties jėgos kryptis priešinga slydimo krypčiai. Fkr=fN (f - trinties koeficientas). 20. Pusiausvyra įvertinant riedėjimo trintį. Riedėjimo trintis - pasipriešinimas, kuris atsiranda vienam kūnui riedant kito kūno paviršiumi. Mmax=kN, M-maksimalus riedėjimo trinties jėgų poros momentas (pasipriešinimo momentas). Pkrr=Nk, r - spindulys, k - riedėjimo trinties koeficientas (trinties jėgų poros petys). K priklauso nuo riedančio cilindro ir riedėjimo paviršiaus medžiagų ir jų fizinės būklės. Ratas pradės slysti kai Fkr=fN

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!