Kinematika. Dinamika

KINEMATIKA Tasko kinematika 1.Pagrindines kinematikos savokos Kinematika yra mechanikos dalis kurioje nagrinejamos geometrines kunu judejimo savybes neatsizvelgiant i judanciu kunu inertiskuma bei juos veikiancias jegas. Mechanikoje judejimu laikomas kunu padeties kitimas per laika kitu aplinkiniu kunu atzvilgiu.Nagrinejant kunu judejima daznai ir dideli kunai laikomi taskais,norin –t nustatyti vieno kuno padeti kito kuno atzvilgiu su lyginamuoju kunu nekintamai sujungiama kokia nors koordinaciu sistema.Sprendziant kinematikos uzdavini –nius tasko arba kuno judejima reikia api- brezti kiekybiskai.Tasko ir kuno judeijim- as yra kiekybiskai apibreztas jei yra zinoma kokios f-os nustatto tasko arba ku- no padety pasirinktoje koordinaciu sistem- oje bet kuriuo laiko momentu.Tokiu funkciniu priklausomybiu isstema vad ju- dejimo desniu. Pagrindinis kinematikos uz –davinys yra zinant judejimo desny apska- iciuoti kuno tasku trajektorijas, greicius bei pagreicius. 2.Tasko judejimo desnis Tasko judejimas nusakomas 1 is 3 budu: 1)naturaliuoju; 2)koordinatiniu; 3)vektori- niu. 1)naturalusis tasko judejimo nusakymo budas : sis metodas taikytinas tada kai zinoma tasko trajektorija f1(x,y,z)=0, f2(x,y,z)=0 (1) Kiekviena lygtis yra tam tikro pavirsiaus lygtis o trajektorija yra pavirsiu susikirtimo linija.Kai trajektorija yra plokscia kreive tai ja galima isreiksti 1 lygtimi: f(x,y,z)=0 arba y=y(x) (2). Viena trajektorija nenusako tasko padeties reikia dar zinoti judancio tasko padety pacioje trajaktorijoje. 01C=S Sakykime kreive AB yra tasko C trajaktorija o taskas 01 yra atskaitos pradzia t.y. tas taskas nuo kurio matuojamas atstumas 01C isilgai trajektorijos.Taskui C judant kreive AB keiciasi atstumas 01C vad sis atstumas yra laiko f-a : S=S(t) (3).Pirma ir trecia, antra ir trecia sistema vad tasko judejimo desniu naturaliuoju pavidalu. 2)koordinatinis tasko judejimo mokymo nusakymo budas : x,y,z yra tasko C koordinates judancios tasko C padetis bet kuriuo laiko momentu bus apibrezta kai zinomos jo koordinates isreikstos kaip laiko f-a: x=x(t), y=y(t), z= z(t) (4)jeigu taskas visa laika juda toje pacioje plokstumoje tai jo judejimo desnis isreikstas 2 lygtimis: x=x(t),y=y(t) (5) Jei tasko judejimas butu tiesiaeigis tai tokio tasko judejima isreikstu viena lygtis x=x(t) (6). (4),(5),(6) lygtys vad koodinatinio pavidalo tasko judejimo desniu. 3)vektorinis tasko judejimo apibrezinomo budas : judancio tasko C padeti galima apibrezti padeties vektorium nubreztu is koordinaciu pradzios O i taska C.Judant taskui C keiciasi padeties vektoriusir didumas ir kryptis. =(t) (7) ji apib- rezia tasko C padety bet kuriuo laiko mo- mentu ir vad vektoriniu tasko judejimo desniu. 3. tasko greitis Nagrinejant tasko judejima reikai zinoti kaip greitai keiciasi tasko padetis : a)greicio skaiciavimas kai tasko judejimas apibreztas vektoriniu budu : v =dr/dt (1) tasko greitis yra padeties vek- toriaus isvestine laiko atzvilgiu. b)greicio skaiciavimas kai tasko judeijimas apibreztas naturaliuoju budu : |v|=|ds/dt| (2) tasko greicio didumas lygus atstumo isvestinei laiko atzvilgiu.Greicio vektorius yra trajaktorijos liestineje.kai v>0 taskas juda teigiama atstumo atskaitymo kryptimi.Jei v0 tangentinis pagreitis teigiamas ir tasko C trajaktorija AB juda greitedama a) brezinukas Kai kampas α yra bukas tg α0 ir ε>0 kunas sukasi greitedamas. 2)Kai ω>0 ir ε0 kunas sukasi letedamas pagal laikr. rodykle. Isvada: Jei kampinio greicio ir kampinio pagreicio zenklai vienodi sukimasis greitejantis, jei priesingi letejantis. 9. Besisukancio kuno tasku greiciai ir pagreiciai. Posukio kampas, kampinis greitis irk amp. pagreitis apibudina viso kuno sukimasi. Panagrinekime kuno tasko judejima t.y. jo trajektorija, greiti ir pagreiti. CB=R Laisvai pasirinkto tasko B trajektorija yra apskritimas kurio plokstuma statmena kuno sukimosi asiai OA sio apskritimo centras C yra sukimosi asyje. Greicio vektorius yra trajektorijos liestineje ir nukreiptas kuno sukimosi kryptimi kadangi besisukancio kuno trajektorija yra apskritimas tai sio apskritimo lanko diferencialas butu lygus dS=R*dφ cia φ-posukio kampas v=dS/dt=R*dφ/dt; dφ/dt=ω; v=ω*R (1) Besisukancio kuno bet kurio tasko greicio didumas lygus kampinio greicio ir to tasko sukimosi spindulio sandaugai. Apskaiciuokime tasko B tangentini pagreiti (2) Tangentinis pagreitis yra trajektorijos liestineje, nagrinejamame pavyzdyje kamp. greic. ir pagr. kryptys videos. Todel tasko B greicio ir tangent. Pagreicio kryptis taip pat vienodas. Kunas sukasi greitedamas. Apskaiciuokime tasko B normalini pageiti an=v2/ρ; ρ=R; an=(ω2*R2)/R=ω2/R (3) Normalinis pagreitis nukreiptas i tasko B trajektorijos kreivumo centra C. Normalinis ir tangentinis pagreiciai tarpusavyje statmeni, todel (4) (5) Tasko B pagreicio krypti apibrezia kampas α tarp greicio v ir pagreicio a, kadangi visi kuno taskai sukasi tuo paciu kampiniu greiciu ir tuo paciu kampiniu pagreiciu tai is (1),(3) formuliu darome isvada kad bet kurio kuno tasko greicio ir pageicio didumas tiesiai praporcingas tasko atstumui iki sukimosi asies. Sudėtinis taško judėjimas 10. Reliatyvusis, keliamasis ir absoliutusis judėjimas Jeigu taškas juda atžvilgiu koordinačių sistemos kuri juda kitos nejudančios koordinačių sistemos atžvilgiu tai toks judėjimas vadinamas sudėtiniu taško judėjimu nejudančios koordinačių atžvilgiu, vadinamas absoliučiuoju. O judančios koordinačių sistemos atžvilgiu reliatyviuoju. Keliamuoju judėjimas vadinamas judančios koordinačių sistemos ir visų su ja nekintamai susijusių taškų judėjimas. Nustatant keliamojo judėjimo kokiu nors laiko momento pobūdį reikia laikyti, kad tas taškas tuo momentu reliatyviuoju judėjimu nejuda, o juda tik keliamuoju drauge su judančią koordinačių sistema. Reliatyviojo taško trajektorija vadinama kreivė, kurią tas taškas brėžia, judančią koordinačių sistemos atžvilgiu. Absoliučiąją taško trajektorija vadinama kreivė kurią tas taškas brėžią nejudančios koordinačių sistemos atžvilgiu. Keliamojo taško trajektorija kiekvienu laiko momentu vis kitoks. Nagrinėjamojo laiko momentu taško keliamoji trajektorija yra ta kreivė kurią tašką tuo momentu brėžia būdamas nekintamai susijęs su judančią koordinačių sistema. Reliatyviuoju taško greičiu ir pagreičiu vadinamas jo greitis ir pagreitis reliatyviniame judėjime. Absoliučiuoju taško greičiu ir pagreičiu vadinamas jo greitis ir pagreitis absoliučiame judėjime. Keliamuoju taško greičiu ir pagreičiu tam tikru laiko momentu vadinamas tas greitis ir pagreitis kuriuo tas taškas juda keliamajam judėjime. Absoliučiojo, keliamojo ir reliatyvinio judėjimai trajektorijos greičiai ir pagreičiai yra skirtingi. Panagrinėkime pavyzdį: Tarkime žmogus kurį laikome tašku, eina važiuojančiu traukinio vagonu, jo judėjimas žemės atžvilgiu vadinamas absoliučiuoju, o judėjimas vagono atžvilgiu reliatyviuoju. Įsivaizduokime, kad žmogus sustojo tai yra nejuda vagono atžvilgiu tuomet jo judėjimas kartu su vagonu žemės atžvilgiu vadinamas keliamuoju. Absoliutusis greitis skaičiuojamas taikant greičių sudėties teoremą. Teorema: Absoliutus greitis yra lygus keliamojo ir reliatyvinio greičio geometriniai sumai. Va =Vk+Vr 11. Koriolio teorema Absoliutusis taško pagreitis yra lygus keliamojo, reliatyvinio ir Koriolio pagreičio geometriniai sumai. Šis teikinys ir vadinamas Koriolio teorema. Panagrinėkime Koriolio pagreitį, jis lygus. Koriolio pagreitis lygus dviejų vektorių ir vektorinei sandaugai. Trečioje formulėje kampas  yra kampas tarp reliatyvinio ir kampinio greičio kurie sukasi judant koordinačių sistemai. Koriolio pagreičio vektorius nustatomas pagal vektorine sandaugos taisyklę. Kūno plokščiasis judėjimas 12 Kūno plokėčio judėjimo dėsnis Plokščiuoju vadinamas toks kūno judėjimas kai judančio kūno, bet kurio taško atstumas nuo tam tikros nejudamos plokštumos visą laiką yra pastovus. Iš apibrėžimo galime padaryti išvadą kad taip judančio kūno taško trajektorija yra plokščios kreivės, tai nagrinėjamasis judės vadinamas plokščiuoju. Plokščiojo judėjimas pavyzdžiu gali būti rato judėjimas tiesiu keliu, švaistiklio judėjimas skriejiko – slankikliniam. OA – yra skriejikas jis sukasi apie nejudamą ašį O, kampiniu greičiu B yra slankiklis, jis tik slenka kreipiančiosiomis. AB – švaistiklis, jis rodo plokšią judėjimą. Įrodykime teoremą bet kurį figūros judėjimą jos plokštumoje galim išskaityti į slinkimą ir sukimąsi apie laisvą pasirinktą polių. Figūra iš padėties 1 į padėtį 2 galime perkelti iš pradžių lygiagrečiai paslenkame iš padieties 1 į 3 taip, kad taškas A1 sutaptu su A2, pakui figūra pasukama  , kai figūra atsidurs 3 padėtį, tašką A1užima galutinę padėtį A2, o atkarpa A2, B3 bus lygiagriati su atkarpa A1B1. Figūrą iš padėties 1 į padėtį 2 galim perdėti ir kitu būdu. Iš pradžių paslenkamas į padėtį 4 taip kad taškas B1 sutaptu su tašku B2 tuo pačiu kampu , brėžinyje parodyta kryptimi. Aptarti figūros perkėlimo būdai nėra vieninteliai, bet visiems šiems būdams bendra yra tai kad figūra perkeliama slenkamuoju judėjimu ir pasukama apie tam tikrą tašką vadinama poliumi. Slenkamuoju judėjimu judančių taškų trajektorijos greičiai ir pagreičiai priklauso nuo poliaus padėties. Figūros posūkio kampas, kampinis greitis ir pagreitis nuo poliaus padėties nepriklauso. Išvada: Visi figūros taškai apie polių sukasi tuo pačiu kampiniu greičiu ir pagreičiu. Plokščias, kūno judėjimas yra slinkimas ir sukimas vienu metu. Plokščias kūnų judėjimas apibrėžiamos 3 lygtimis. Čia x0 ir y0 poliaus koordinatės. Pirmosios dvi lygtys apibrėžai slenkamąjį judėjimą, trečioji sukimasi apie polių. 13 Plokščiai judančio kūno taškų greičių ir pagreičių skaičiavimas poliaus metodu Kadangi plokščiasis kūnų judėjimas gali būti išskaitytas į slinkimą ir sukimą apie tam tikrą polių, todėl kūno taško judėjimą galim vadinti sudėtiniu. Taško judėjimas kūnui slenkant laikykim keliamuoju, o judėjimą kūnui sukantis reliatyviuoju. Kadangi slenkamajam judėjimą visų kūno tašku greičiai vienodi , todėl kūno bet kurio taško keliamasis greitis lygus poliaus greičiui, o reliatyvusis, sukimosi apie poliu greičiui. Apskaičiuokime figūros taško A greiti, poliumi imdami tašką B. Pirmoje formulėje VB yra poliaus greitis, o VAB – greitis kuriuo taškas A sukasi apie poliu B.Pagal pirmą formulę galim apskaičiuoti vieną figūros taško greitį kai žinoma kiti to taško greičiai ir figūros sukimosi kampinis greitis. Plokščiai judančio kūno taško greitis galim apskaičiuoti pagal formulę analogiškai pirmajai, tai yra todėl kad kūno taško keliamasis judėjimas yra slinkimas. =0, ac=0. 14. Plokščiai judančio kūno taškų greičių skaičiavimas taikant greičių projekcijų teoremą. Remdamiesi pereito paragrafo 1 formule, įrodykime teoremą. Teorema. Dviejų figūros taškų greičių projekcijos tiesėje, jungiančioje tuos taškus, yra lygios. Kai taškas A sukasi apie tašką B, atkarpa AB yra sukimosi spindulys. Kadangi besisukančio taško greitis yra statmenas sukimosi spinduliui, tai greitis vAB yra statmenas atkarpai AB ir jo projekcija ašyje Ax=0. Suprojektavę (1) lygybės abi puses į Ax ašį gauname (2). Greičių projekcijų teoremą patogu taikyti, kai žinomios2-jų figūros taškų greičių kryptys ir 1-o iš jų greičio didumas, bet nereikia apskaičiuoti to kūno kampinio greičio. 15. Plokščiai judančio kūno taškų greičių skaičiavimas naudojantis greičių centru. Panagrinėkime plokščios figūros judėjimą. Imkime 2 plokštumas. Judančią, kurioje yra figūra, ir su šia plokštuma sutampančią nejudančią plokštumą. Figūros judėjimas tolygus figūros plokštumos slydimui nejudančia plokštuma. Išvada. Kiekvienu laiko momentu judančioje plokštumoje yra taškas, kurio greitis =0. Šis taškas vadinamas greičių centru. Sakykime, kad taškas C yra plokščios figūros greičių centras. O taškas A – bet kuris figūros taškas. Tuomet galime parašyti, kam lygus taško A greitis. , bet , todėl Bet kurio figūros taško greitis lygus greičiui, kuriuo jis sukasi apie greičių centrą. Greičių centrą galima surasti, žinant kurio nors figūros taško A greitį ir figūros kampinį greitį. Judančios plokštumos taškas greičių centru būna tik 1 laiko momentą. Kitu laiko momentu greičių centras yra jau kitame šios plokštumos taške. Greičių centras yra tiesėje, statmenoje figūros taško greičiui. Tuo remdamiesi, galime rasti figūros greičių centrą tada, kai žinomos 2-jų figūros taškų greičių kryptys. Greičių centras yra taške, kuriame kertasi statmenos greičiams vA ir vB tiesės. Jei statmenys, išvesti greičiams sutampa, tai greičių centro C vietos ieškome remdamiesi tuo, kad besisukančio kūno taškų greičių didumai tiesiai proporcingi taškų atstumams iki sukimosi ašies. Iš trikampio CAA1 ir CBB1 panašumo galime užrašyti: Kai dviejų figūros taškų greičiai tam tikru laiko momentu yra lygiagretūs, bet į juos nuleisti statmenys nesutampa, greičių centras yra begalybėje. Tokiu laiko momentu figūros kampinis greitis =0. Vadinasi, figūra šiuo laiko momentu nesisuka. Slenkamajame judėjime visų taškų greičiai lygūs, tai vB=vA. Tai vadinami mirties taškai. Jei ratas rieda nejudamu paviršiumi, tai jų susilietimo taško greitis vC=0. Vadinasi šis taškas yra rato greičių centras. Pavyzdys. Ratas rieda, ty atlieka plokščią judėjimą. Plokščią judėjimą galime keisti sukamuoju apie greičių centrą. Ten, kur ratas liečiasi su nejudamu paviršiumi, vC=0. Taškas A priklauso ratui, todėl galime užrašyti: Rato kampinio greičio sukimosi kryptį nusako žinomas taško A greitis. Taško B greičio vektorius yra statmuo sukimosi spinduliui BC ir nukreiptas kampinio greičio  sukimosi kryptimi.  kryptimi. DINAMIKA 1. Dinamikos aksiomos. 1 aksioma arba inercijos dėsnis. Materialus taškas nejuda arba juda tolygiai ir tiesiaeigiškai, kol atsiranda jėgos, kurios priverčia jį pakeisti šią būseną. Materialaus taško savybė išlikti tokioje būsenoje vadinama jo inertiškumu, o jėgų neveikiamo taško judėjimas vadinamas inerciniu. Jei taškas juda netolygiai ir netiesiaeigiškai, tai tokį tašką veikia kokio nors didumo jėga. 2 aksioma arba 2 Niutono dėsnis. Materialaus taško pagreitis proporcingas tašką veikiančiai jėgai ir nukreiptas jėgos veikimo linkme. Šioje formulėje m yra materialaus taško masė, a – taško pagreitis, P – tašką veikianti jėga. 1 ir 2 Niutono dėsniai galioja pastovios masės materialiam taškui, judančiam atžvilgiu koordinačių sistemos, kuri nejuda arba tolygiai ir tiesiaeigiškai slenka. Tokia koordinačių sistema vadinama inercine. Sprendžiant technikos uždavinius, galime laikyti, kad koordinačių sistema, nekintamai susieta su žeme, yra inercinė. Kai kintamos masės materialus taškas juda atžvilgiu inercinės koordinačių sistemos, 1-oji aksioma gali būti išreikšta formule: , o antroji Panagrinėję (1) matome, kad norėdami suteikti materialiam taškui tam tikrą pagreitį, turime jį veikti tuo didesne jėga, kuo didesnė yra jo masė. Išvada. Masė – kūno inertiškumo matas. Kadangi masės ir jėgos vienetus sieja (1) formulė, tai šiuo atveju vienetų negalima pasirinkti laisvai. Jie priklauso vienas nuo kito. SI sistemoje matavimo vienetai yra m, s, kg. Jėgos vienetas [1N], ty [1kg1m/s2]. 2. Materialaus taško judėjimo diferencialinės lygtys. (1) lygybė yra materialaus taško judėjimą aprašanti vektorinė diferencialinė lygtis. Ši vektorinė lygybė ekvivalentiška trims skaliarinėms diferencialinėms lygybėms, kurias galima gauti išreiškus padėties vektorių r materialaus taško koordinatėmis x, y, z ir jėgą P išreiškus jo projekcijomis koordinačių ašyse Px, Py, Pz. čia x’’=vx’=ax, y’’=vy’=ay, z’’=vz’=az. Naudodami natūralią koordinačių sistemą, vietoj (2) lygčių gausime tris diferencialines lygtis, aprašančias materialaus taško judėjimą natūraliosios koordinačių sistemos atžvilgiu. čia , , (3) lygtyse P, Pn ir Pb yra j4gos projekcijos trajektorijos liestinėje, svarbiausioje normalėje ir binormalėje. Taško dinamikoje susiduriame su dvejopais uždaviniais: 1) žinant taško judėjimo dėsnį ieškoma jėga, veikianti šį tašką. 2) žinant tašką veikiančią jėgą ieškomas jo judėjimo dėsnis. 3. d’Alambero principas materialiam taškui d‘Alamberas įodė, kad remiantis statikos metodais, galima sudaryti lygtis, kurias sieja jėgos, veikiančios judantį materialų tašką. Sakykime, kad jėga P yra materialų tašką veikiančių jėgų atsojamoji. Tada 2-ojo Niutono dėsnio: ma=P (1) P+(–ma)=0 (2) Φ= –ma (3) Φ= ma (4) Ji vadinama jėga, nes priklauso nuo materialaus taško masės, o masė– inertiškumo matas. Inercijos jėgos didumas lygus materialaus taško masės ir pagreičio modulio sandaugai(4-a formulė). Iš 3-ios formulės matome, kad inercijos kryptis visada priešinga pagreičio krypčiai. Įrašę 3-ią į 2-ą, gauname: P+ Φ=0 (5) Prie materialaus tašką veikiančios jėgos P pridėjus inercijos jėgą Φ, gaunama pusiausvyra jėgų sistema. Tokiai jėgų sistemai galioja visos statikos teoremos ir pusiausvyros lygtys. Šis teiginys– d’Alambero principas. 5-oji lygtis vadinama dinamine pusiausvyros lygtimi. Sprendžiant uždavinius patogu inercijos jėgą išskaidyti į komponentes: Φ= Φτ+ Φn (6) Φτ= m(dv/dt) (7) Φn= mv2/ρ (8) Inercijos jėgos komponentas Φn trajektorijos svarbiausios normalės kryptimi vadinama išcentrine inercijos jėga, o šios jėgos komponentas Φτ trajektorijos liestinės kryptimi vadinama tangentine inercijos jėga. 4. Judėjimo kiekio teorema materialiam taškui Judėjimo kiekio teoremos lygtis išvedama iš lygties: d(mv)/dt =P (1) Suintegravę 1-ą lygtį, gauname, kad: mv-mvo= ot$Pdt (2) čia S= ot$Pdt (3) –jėgos impulses mv– impulse kiekis Kai materialų tašką tuo pat metu veikia kelios jėgos, tai I 2-ą formulę reikia įrašyti jų atsojamąją. 2-a lygtis išreiškia judėjimo kiekio teoremą: Materialaus taško judėjimo kiekio pokytis per kokį nors laikotarpį lygus: tašką veikiančių impulsų per tą patį laikotarpį geometrinei sumai. 2-a vektorinė lygtis ekvivalenti trims skaliarinėms lygtims: mvx-mvox= ot$Px dt mvy-mvoy= ot$Py dt 4-os lygtys mvz-mvoz= ot$Pz dt 4-os lygtys reiškia, kad taško judėjimo kiekio projekcijos kurioje nors ašyje pokytis lygus tašką veikiančių jėgų impulsų projekcijų toje ašyje algebrinei sumai. 5. Darbas BRĖŽINYS Veikiamas jėgos P taškas C juda trajektorija AB greičiu: v=dr/dt ir jo poslinkis per laiką dt dr=vdt Elementarų jėgos P darbą kelyje AB vadiname skaliarine sandauga dA= P dr (1) Kadangi padėties vektoriaus diferencialo dr modulis lygus trajektorijos lauko diferencialui dS, tai 1-ąją lygybę galime perrašyti: dA=PcosφdS (2) Pcosφ= Pτ dA= PτdS (3) Iš 2-os ir 3-ios seka, kad elementarus darbas lygus jos projekcijų trajektorijų liestinėje ir elementaraus kelio dS sandaugai. Normalinio komponento Pn darbas visada lygus nuliui. Kadangi cosφ gali būti ir teigiamas, ir neigiamas, tai jėgos darbas yra teigiamas, kai kampas yra smailus, ir neigiamas, kai bukas. Jėgos darbas baigtinio ilgio kelyje AB būtų lygus elementarių darbų sumai; A=$Pdr (4) A= =$PcosφdS (5) Apskaičiavę skaliarinę sandaugą(4) formulėje randame, kad darbas išreiškiamas kreiviniu integralu. A==$(Px dx+Py dy+Pz dz) (6) Čia Px ,Py, Pz – jėgos P komponentės Dekarto koordinačių ašyse, o x, y, z yra taško C koordinatės. r= xi + yj + zk 6. Kinetinės energijos teorema materialiam taškui Kinetinės energijos teoremos lygtis išvedama iš 2-o Niutono dėsnio ma=P arba m(dv/dt)=P (1) 1-os lygties abi puses padauginkime iš padėties vektoriaus dr m(dv/dt)dr=Pdr (2) Panagrinėkime 2-os lygties abi puses atskirai: m(dv/dt)dr = mvdv= d(mv2/2) (3) dr/dt= v Pdr=dA (4) įrašę 3-ią ir 4-ą į 2-ą, gauname: d(mv2/2)= dA (5) Suintegravę 5-ą gausime: d(mv2/2)– d(mvo2/2)= A (6) Šioje formulėje vo ir v yra materialaus taško greičių pradinėje ir galinėje padėtyse. A–darbas, kurį atlieka tašką veikinati jėga jam pereinant iš pradinės į galinę padėtį. Dydis mv2/2 vadinamas kinetine energija matuojama [J]. 6-ą išreiškia kinetinės energijos teoremą: Materialaus taško kinetinės energijos pokytis kokiame nors kelyje lygus tašką veikiančios jėgos darbui tame pačiame kelyje. Jeigu tašką veikia tuo pačiu metu kelios jėgos, tai 6-oje lygtyje dydis A lygus šių jėgų darbų sumai. 7. Mechaninė sistema Materilaliu tasku sist. vadinama visuma tasku kuriu judejimas priklauso vienas nuo kito. Is apibrezimo matyti, kad ne bet kuri tasku visuma yra tasku sist. pvz.: skrendanciu pauksciu burys nesudaro tasku sist., o saule ir planetos sudaro. Kieta kuna mintyse galime padalyti i elementariasias daleles, tokiu daleliu judejimas yra tarpusavyje priklausomas. Isvada: elementarios kieto kuno daleles sudaro materialiu tasku sist. statikoje kunus veikiancias jegas skirsteme i aktyviasias ir reakcijos jegas, tas pacias jegas galime suskirstyti i vidines ir isorines. Panagrinekime vidiniu jegu savybes. Vidines jegos yra tokios, kuriomis sist. taskai veikia vienas kita. Is jegu apibrezimo bei akcijos reakcijos oksiomos seka, kad vidines jegos veikia poromis, ta pacia tiese, vienodu didumu, bet priesingomis kryptimis. Is to galime padaryti 2 isvada: a) visu vidiniu jegu geometrine suma =0 b) visu vidiniu jegu momenta laisvai pasirinkto tasko atzvilgiu geometrine suma =0. Nors vidines jegos ir pasizymi siomis savybemis jos nera atsisverusios. Tai galime paaiskinti tuo, kad dvi vienodo didumo, bet priesingu krypciu vidines jegos veikia ne ta pati bet skirtingus taskus, galincius judeti vienas kito atzvilgiu. Materialiu tasku sist. judejimas priklauso ne tik nuo veikianciu jegu, bet ir nuo rysiu. Rysiai apribojantys 1-a tasku padeti erdveje vad. geometriniais rysiais. Rysiai apribojantys ne tik tasku padeti, bet ir ju greicius vadinami kinematiniais. Per laika nekintantys rysiai vadinami stacionariniais, o kintantys nestacionariais. Jei judanti tasku sist. negali nuo rysiu atsiskirti tai tokie rysiai vad. sulaikanciaisiais. 8. Sistemos judejimo diferencialines lygtys Sakykime materialiu tasku sist. sudaro ir tasku sist. taskus veikiancias jegas suskirstykime i vidines ir isorines. Sakykimekad Pki yra taska k veikianciu isoriniu jegu atstojamoji, o Pkv yra taska k veikianciu vidiniu jegu sist. Tuomet laisvai pasirinkto tasko k judejimo diferencialine lygtis atrodytu taip mkrk“=Pki +Pkv (1). mk- materialaus tasko k mase rk“- sio tasko padetis vektorius Tokia pirmo pavidalo lygti galime parasyti kiekvienam sist. taskui. Vadinasi sudarytas is n tasku sist. judejima aprasytu n vektoriniu lygciu arba 3n ekvivalentisku skaliariniu lygciu. mkxk“=Pxki +Pxkv mkyk“=Pyki +Pykv (2) mkzk“=Pzki +Pzkv 2-ose lygtyse xk, yk ir zk yra materialaus tasko k koord. Suintegrave (2) lygtis galime nustatyti kiekvieno sist. tasko judejimo desni t.y. materialaus tasko koord. isreikstos kaip laiko funkcija. 9. Inercijos centro judejimo teorema Inercijos arba mases centru vadinamas taskas kurio padeties vektorius isreiskiamas formule (1) sioje formuleje m=mk, t.y. sist. mase mk - materialaus tasko k mase rk - materialaus tasko k padeties vektorius. Padaugine sios trupmenos skaitikli ir vardikli is laisvojo kritimo pagreicio gausime formules pagal kurias skaiciuojamos tasku sist. svorio centro padeties vektorius. Isvada: kai materialius taskus veikia tik svorio jegos tasku sist. svorio centras sutampa su tu tasku svorio centru. Judant tasku sist. rk ir rc per laika kinta. Diferencijuodami pirmaja lygybe mrk”=mkrk (2) rc”=ac (3) mkrk”=Pki+Pkv bet Pkv=0, todel mkrk”=Pki =R (4) (3) ir (4) irase i (2) gausime mac=R (5) (5) vektorine lygybe ekvivalentiska trims skaliariniams macx=Rx macy=Ry (6) macz=Rz siose lygtyse acx= vcx’= xc”, acy= vcy’= yc”, acz= vcz’= zc”, Rx=Px, Ry=Py, Rz=Pz. Palygine (5) vektorine lygybe su II Niutono desni isreiskiancia lygybe galime padaryti tokia isvada: inercijos centras juda kaip materialus taskas, kurio mase lygi tasku sist. masei ir kuri veikia jega visus sist. taskus veikianciu isoriniu jegu geometrinei sumai. Sis teiginys ir yra vad. inercijos centro judejimo teor. Is sios teor. Aisku, kad materialus taskas mechanikoje yra ne kas kita kaip tasku sist. inercijos centras. Niutono desniai praktiskai suformuluoti ne materialiam taskui, o tasku sist. inercijos centrui. 10. Sistemos judejimo kiekio teorema Sakykime, kad Pki yra taska k veikianciu isoriniu jegu atstojamoji, o Pkv yra si taska veikianciu vidiniu jegu atstojamoji. Tuomet laisvai pasirinkto tasko k judejimo kiekio teorema isreikstu lygtis (1) Sioje lygtyje vk – galinis materialaus tasko greitis v0k – pradinis materialaus tasko greitis  - isreiskia atitinkamu jegu impulsus Tokias pirmo pavidalo lygybes galime parasyti kiekvienam sist. taskui. Jas visas sudeje gausime (2) Materialiu tasku judejimo kiekio sumos yra sist. judejimo kiekiai galineje ir pradineje sist. padetyse, jie zymimi K K=mkvk, K0=mkv0k Kadangi funkciju integralu suma lygi funkciju sumos integralui, tai galime uzrasyti nes  Pkv =0. Tada (2) lygtis igautu pavidala (3) (3) lygybe isreiskia sist. judejimo kiekio teorema. Materialiu tasku sist. judejimo kiekio pokytis per koki nors laikotarpi lygus sist. veikianciu isoriniu jegu impulsu tuo paciu laikotarpiu geometrinei sumai. (3) vektorine lygybe ekvivalentiska 3 skaliarinems (4) Sios (4) lygtys reiskia kad sist. judejimo kiekio projekcijos kurioje nors koord. asyje pokytis lygus sist. veikiancio isoriniu jegu impulsu projekcijo toje pacioje asyje algebrinei sumai. Uzdaviniuose pasitaiko, kad visu isoriniu jegu geometrine suma =0, tuomet remiantis (3) formule galime padaryti isvada, kad sist. judejimo kiekis per laika nekinta. Kai isoriniu jegu projekcija kurioje nors asyje lygi nuliui, tai sist. judejimo kiekio projekcija toje asyje yra pastovi. Tai matyti is (4) formuliu. Siais judejimo kiekio tvermes desniais patogu remtis sprendziant uzdavinius. Pvz.: mases m1 kulka lekianti horizontaliai greiciu u isminga i pastatyta ant vezimelio deze su smeliu. Kokiu greiciu prades judeti vezimelis po smugio, jei vezimelio kartu su smeliu mase m2. Gi=mig, G2=m2g, Pxi=0, Kx-K0x=0, Kx=K0x K0x=m1u kulkos judejimo kiekis Kx=(m1+ m2)v, (m1+ m2)v=m1u v=m1u/(m1+ m2) 11.Sistemos kinetinės energijos teorema Sakykime kad materealių taškų sistemai pereinant iš pradinės į tam tikrą galinę padėtį, taškas iš pradžių judėjęs greičiu v0k ėmė judėti greičiu vk tuomet laisvai pasirinkto taško k kinetinės energijos teorema būtų išreikšta taip: Aki – išorinės jėgos pki atliktas darbas taškui pereinant iš pradinės padėties į galinę. Akv – vidinės jėgos pkv atliktas darbas tame pačiame kelyje. Pirmo pavidalo lygtis galima parašyti visiems sistemos taškams, juos sudėję gausim: Ši lygtis išreiškia sistemos kinetinės energijos teoremą. Sistemos kinetinės energijos pokytis pasislinkus sistemai iš pradinės į galinę padėtį lygus atliktų per šį poslinkį išorinių ir vidinių jėgų darbų sumai.Kietą kūną mintyse padalykime į elementarias daleles. Kiekvieną dalelę galima laikyti materialiu tašku. Kieto kūno taškai vienas kitą veikia vidinėmis jėgomis. Kadangi atstumai tarp kieto kūno taškų yra pastovūs tai tokio kūno vidinių jėgų darbų suma bet kokiame poslinkyje lygi 0. Išvada: Skaičiuodami kieto kūno judėjimą pagal sistemos kinetinės energijos teoremą turime atsižvelgti tik į išorinių aktyviųjų ir išorinių reakcijos jėgų atliktą darbą. 1) Jei kūnas tik slenka jo kinetinė energija lygi. 2) Jei kūnas tik sukasi I – inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu. W – kampinis greitis. 3) Jei kūnas atlieka plokščiąjį judėjimą. vc – kūno svorio centro greitis. Ic – kūno inercijos momentas svorio centro atžvilgiu. 12.Kūno slenkamojo judėjimo dinamika Iš kinematikos žinome, kad kiekvienu laiko momentu visų slenkančio kūno taškų pagreitis yra vienodas. Kūno slenkamasis judėjimas aprašomas 1 vektorine diferencialine lygtim: m*ac=R (1) ac – kūno svorio centro pagreitis. 1 vektorinė lygybė ekvivalentiška trim skaliarinėm diferencialinėm lygybėm. Šiose lygtyse: 13. Kūno sukimosi diferencialinė lygtis Kūno sukimąsi apie nejudamą ašį apibrėžia taip pat 1 lygtis: Ši lygtis diferencialinė nes kampinis pagreitis lygus pirmąjai išvestiniai kampinio greičio arba antrajai išvestiniai posūkio kampo laiko atžvilgiu. I – kūno inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu: I=∫r2•dm Jeigu kūnas yra vienalytis cilindras tai inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus: I=m•R2/2 Jei kūnas yra nevienalytis tai jo inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus: I=m•i2 i – inercijos spindulys M – išorinių jėgų momentų sukimosi ašies atžvilgiu suma. Dinamikoje momento ženklas laikomas teigiamu jei jėga padeda kūnui judėti užsiduota kryptimi. Išvada: Kūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir kampinio pagreičio sandauga lygi sukimosi momentui. 14. Kūno plokščiojo judėjimo diferencialinės lygtys Kadangi plokščiasis judėjimas yra slenkamasis ir sukamasis vienu metu, tai galima parašyti: Šiose lygtyse: , , , (1) gali turėti pavidalą: (1) arba (1a) lygtys yra kūno plokščiojo judėjimo diferencialinės lygtys. 15. Tolygus tasko judejimas Tolygiai taskas juda kai greicio didumas nekinta! MB – jud traj x=v*t*cosα+x0 ; y=v*t*sinα + y0. laika t iseliminave isreiksime is 1 lygties x-x0=vtsinα; t=x-x0/v cosα, taigi Istate I 2aja lygti gaunam y =v(x-x0)sinα/v cosα y-y0/x-x0=tgα; y=Xtgα+h --> material. Taskas juda bet kokia plokscia tiese 16. Svorio tamprumo ir traukos jegos P=mg;Px=Py=0 Pz=-mg; U= - ∫02mgdz=-mgz O potencialas Pi=U0-U1=mg Tamprumo: Px=-kx; Py=Pz=0; U=∫0x Px dx= -∫kx dx = -k*x2/2 Spyruokles Ep : Pi=kx2/2 Traukos : dA=-P*m1*m2/r2 dr U=-∫∞r p m1*m2/r2 dr =-p m1*m2∫∞r dr/r2; = p m1*m2 / 1*/r Pi= - pm1m2* 1/r

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!