Funkcionalinė analizė

Tarkime, kad X – netuščia aibė, – visų aibės X poaibių aibė.
1 Apibrėžimas. Aibės X poaibių sistema uždara sąjungos, sankirtos ir skirtumo operacijų atžvilgiu vadinama žiedu, t.y.
žiedas.
.
2 Apibrėžimas. Žiedas K(X), turintis vienetą vadinamas aibių algebra.
Pastaba. Dažniausiai E = X.
3 Apibrėžimas. Žiedas, uždaras skaičios aibių sąjungos atžvilgiu, vadinamas σ žiedu.
4 Apibrėžimas. σ – algebra vadinamas σ žiedas su vienetu, t.y. algebra uždara skaičios aibių sąjungos atžvilgiu.
Toliau, kad būtų patogiau, sutarkime nesikertančių aibių sąjungą žymėti simboliu , t.y. .
Akivaizdu, kad fiksuota aibių sistema gali priklausyti skirtingiems žiedams.
5 Apibrėžimas. Žiedas žiedui K vadinamas minimaliu žiedu (minimaliu aibių klasės S generuotu žiedu).
Akivaizdu, kad minimalus aibių klasės S generuotas žiedas yra vienintelis, nes, jeigu egzistuoja du minimalūs žiedai ir , tai žiedas nėra minimalūs.
6 Apibrėžimas. Požiedžiu vadinama aibės X poaibių šeima uždara sankirtos operacijos atžvilgiu, turinti aibę ir , , , .
1 Teorema. Jeigu P(X) požiedis, tai tarp jo generuotų žiedų egzistuoja minimalus žiedas , sutampantis su sistema .
► Akivaizdu, kad minimalus žiedas , čia G – visų požiedžio P generuotų žiedų aibė.
Įrodėme, kad Z – žiedas.
todėl:
1) .
2) , nes
.
3)
3.1) Jeigu , tai .
3.2) .
Taigi Z – žiedas, šio žiedo minimalumas akivaizdus.
◄
Pavyzdžiai.
1. Visų aibės R aprėžtų poaibių sistema – žiedas, nes aprėžtų aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas yra aprėžtos aibės, tačiau tai nėra σ žiedas. Visų aibės R poaibių sistema sudaro σ – algebrą su vienetu E = R.
2. Visų aibės X baigtinių poaibių sistema sudaro žiedą. Ši sistema sudaro algebrą tada ir tik tada, kai X baigtinė aibė. O sudaro algebrą su vienetu E = X.
Pastaba. Akivaizdu, kad bet kuri baigtinė algebra kartu yra ir σ algebra.
7 Apibrėžimas. Jeigu – aibės X atvirųjų poaibių sistema, tai elementai vadinami Borelio poaibiais. (Čia - žiedas – sistema uždara skaičios aibių sąjungos atžvilgiu).
Pastebėsime, kad, jeigu , , – atvira aibė, tai – atviroji aibė, tačiau gali būti...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!