Vektoriai ir funkcijos

Pagr.vekt.sąvokos. Vekt-krypt.apibrėžto ilgio atkarpa erdvėje kur nurodyta jos prad ir galo taškai.Zymejimas. AB ilgiu arba moduliu vad atstumą tarp taškų A ir B ir žym |AB|.Vekt kurio prad tšk sutampa su galo- nuliniu vekt Jis žymimas 0. Kryptis- neapibr.Vienoje tiesėje arba lygiag ties vekt vad koliniariais a//b vekt lygiag vienai plokt vadinami komplanariais. vekt vad lygiais kai jie yra vienodo ilgio, kolinearūs ir vienodų krypčių.a­=b. du kolinearūs vienodo ilgio bet priešingų krypčiųvekt-priešingais.Vekt.a priešingas vektorius žym –a. Veiksmai Norint sudėti du vektorius a ir b juos atkeliam į bendrą prad tšk ir sudedam lygiagretainį, kurio kraštinės sutampa su vekt. (lygiagretainio taisyklė). Pagal trikampio taisyklę, kai turime daugiau negu du vek. Tris nekomplanarius vektorius galima sudėti pagal gretasienio taisyklę. vektorių a ir b skirtumu vad tokį vekt c kurį pridėję prie vekt b gausime vekt a. c=a-b Bendroji tiesės lygtis erdvėje R2. Tiesės padėtis erdvėje R2 bus pilnai nusakyta jeigu žinisime tašką M0( x0;y0) per kurį eina tiesė ir vektorių n{a;b} statmeną tiesiai. M0Mn, taškas m bet kurioje vietoje. M0M.n=0 (1). M0M{x-x0; y-y0}; n{a;b}, (x-x0)a+ (y-y0)b= 0, ax+ by+ (-ax0- by0)= 0. Duotajai tiesei pastovų dydį –ax0- by0= 0 pažymėsim c: ax+ by+ c= 0 – bendroji tiesės lygtis (x,y tiesės bet kurio taško koordinatės). Matome, kad pirmojo laipsnio dviejų kintamųjų x ir y lygtis geometriškai reiškia tiesę erdvėje R2. Šią lygtį išsprendę y atžvilgiu turėsim lygtį y= kx+ b – kryptinė tiesės lygtis. k= tg - tiesės krypties koeficientas, b – atkarpa, kurią tiesė atkerta ant y ašies. y- y0= k(x-x0) – tai yra lygtis tiesės einančio per tašką (x0, y0), o krypties koeficientas k. (y-y0)/ (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)-lygtis tiesės einanč per duotus taškus (x1, y1); (x2, y2). Kampas tarp dviejų tiesių. Rasim kampą tarp tiesių duotų lygtimis: y= kx+ b1, y= kx+ b2 , k1 = tg1, k2= tg2. Pagal trikampio priekampio teoremą turėsim, kad 12  (1) =1-2 tg= tg(1-2)= (tg1- tg2)/(1+ tg1tg2)= (k1- k2)/(1+ k1k2). = arctg(k1- k2)/(1+ k1k2). Pastaba: norėdami rasti smailųjį kampą tarp tiesių naudojame tokią formulę: = arctg|(k1-k2)/ (1+k1k2)|. Kai tiesė t1||t2, tai =0 ir tg= (k1-k2)/ (1+k1k2)= 0. k1-k2= 0 k1= k2 lygiegrečių tiesių krypčių koeficientai yra lygūs. t1t2, = /2, 1= 2+ /2, tg1= tg(2+ /2), tg1= -ctg2= -1/tg2, k1= -1/k2, k1k2= -1 – dviejų tiesių statmenumo sąlyga. Taško atstumas iki tiesės. Rasim taško M0(x0, y0) atstumą iki tiesės ax+ by+ c= 0 (brėž 11). M1M0.n= |M1M0|.|n|.cos, M1M0.n= d.(a2+ b2). (1), d= (M1M0.n)/ (a2+ b2), M1M0 {x0-x1; y0-y1}, d= |(a(x0-x1)+ b(y0-y1))/ (a2+b2)|= |(ax0+ by0- (ax1+ by1))/ (a2+b2). Kadangi M1(x1, y1) priklauso (t) tiesiai, tai jo koordinat turi tenkinti tiesės lygtį: ax1+ by1+ c=0, -(ax1+ by1)= c, d= |(ax0+ by0+ c)/(a2+b2). Taško atstumas iki plokštumos. Rasim taško M0(x0, y0, z0) atstumą iki plokštumos Ax+ By+ Cz+ D= 0, M1M0{x0- x1, y0- y1, z0- z1), n{A, B, C}, M1M0.n= |M1M0|.|n|.cos( M1M0, n), M1M0.n= |d|. |n|. (1), d=  M1M0.n/|n|, d= |M1M0.n/ n|= ((x0- x1)A+ (y0-y1)B+ (z0-z1)C)/ (A2+ b2+ C2)= |(Ax0+ By0+ Cz0- (Ax1+ By1+ Cz1))/ (A2+ b2+ C2)|. M1(x1, y1, z1) Ax+ By+ Cz+ D= 0 Ax1+ By1+ Cz1+ D= 0, -(Ax1+ By1+ Cz1)= D: d= |(Ax0+By0+ Cz0+ D)/ (A2+ b2+ C2)|. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus plokštumos taškus. M1(x1, y1, z1); M2(x2, y2, z2), tiesės linkmės vektorius yra s= M1M2{x2-x1, y2-y1, z2-z1}. Rasim kanoninę lygtį: M1(x1, y1, z1), s= {x2-x1, y2-y1, z2-z1}: (x-x1)/ (x2-x1)= (y-y1)/ (y2-y1)= (z-z1)/ (z2-z1) – lygtis tiesės einančios per 2 duotus taškus.Apskritimas. Apskritimu vad geometrinė vieta plokštumos taškų vienodai nutolusių nuo pastovaus taško vadinamo apskritimo centru. Rasime apskritimo, kurio centras taške C(a,b), o spindulys r. Įmame bet kurį apskrit tašką M(x,y). visada bus teisinga lygybė: |CM|=r , CM{ x-a; y-b}, |CM|= ((x-a)2+ (y-b)2), ((x-a)2+ (y-b)2)= r, (x-a)2+ (y-b)2= r2 – tai yra kanoninė lygtis apskrit, kurio centrastaške C(a,b), o spindulys r. kanoninę apskr lygtį pertvarkom taip: x2- 1ax+ a2+ y2- 2by+ b2- r2= 0, x2+ y2- 2ax- 2by+ (a2+ b2- r2)= 0. Palyginkim šią apskr lygtį su dviejų kintamųjų x ir y antrojo laipsnio lygtimi, kurios bendras pavidalas yra toks Ax2+ By2+ Cxy+ Dx+ Ey+ F= 0. Kad dviejų kintamųjų antrojo laipsnio lygtis reikštų apskritimą būtinos sąlygos yra: 1. Kad koefic prie nežinimųjų kvadratų būtų vienidi (A=B). 2.lygtyje turi nebūti nario su kintamųjų sandauga (C=0). Hiperbolė. Hiperbole vad geometrinė vieta plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumu iki dviejų pastovių taškų, vad židiniais skirtumas yra pastovus. Hiperbolės židiniai yra taškuose F1(c, 0), F2(-c, 0). Hiperbolės bet kurio taško M(x, y) atstumu iki židinių skirtumas yra 2a. Rasim hiperbolės lygtį.Pagal apibrėž |MF2|- |MF2|= 2a. kadangi MF2{-c-x; y}, tai vektoriaus modulis |MF2|= ((c+x)2+ y2), MF1{c-x, -y}, |MF1|= ((c-x)2+ y2), ((c+ x)2+ y2)- ((c-x)2+ y2)= 2a. sutvarkom šią lygtį analogiškai kaip ir elipsės lygtį, gausime tikią lygtį: x2/a2- y2/b2= 1 – kanoninė hiperbolės lygtis. kur b2= c2- a2, = c/a – hiperbolės ekscentricetas. x2- y2= a2 – lygiaašė hiperbolė.hiperb pavidalui nustatyti išnagrinėsim hiperbolės asimptotę – vad tiesė prie kurios nutoldamos artėja hiperb šakos.x2/a2- y2/b2= 1, kai y= bx/a. įrodisim, kad tiesė y= bx/a yra hiperbolės x2/a2- y2/b2= 1 asimptotė. Iš hiperbolės lygties išskaičiuojame y: y2/b2= x2/a2- 1, y2/b2= (x2- a2)/a2, y2= b2(x2- a2)/a2, y= b(x2- a2)/a. Argumento x reikšmę atitinkančią pažymime yt, o hip tiesę pažym yh, yt= bx/a, yh= b(x2- a2)/a, yh- yt= b/a ((x2- a2)-x). Kai x artėja į , tai yh- yt= b/a ((x2- a2)- x)= (b((x2- a2)- x))((x2- a2)+ x))/ (a((x2- a2)+ x))=(b(x2- a2- x2))/(a((x2- a2)+x))= -ba/((x2- a2)+ x) – mažėja (artėja į nulį) arba yh artėja prie yt, vadinasi hiperb šakos artėja prie tiesės y= bx/a ir yra asimptotė. Skaičių seka ir jos riba. Jeigu kiekvienam natūriniam skaičiui n tam tikru būdu galima priskirti skaičių xn, tai turime skaičių seką. x1, x2, .. ,xn arba {xn} xn – bendras sekos narys. Turėdami bendrąjį narį galime užrašyti bet kurį sekos narį, o tuo pačiu ir visą seką: xn= 1/n, x1= 1, x2= ½, x3= 1/3; {1/n} 1, ½, 1/3, .. ,1/n,.. Kad išsiaiškinti sekos ribos sąvoką imkim keletą pvz: 1) {1/n}= 1, ½, 1/3,..,  0. 2) {(n+ 1)/n}= 2, 3/2, 4/3,..  1. 3) {(-1)n/n}= -1, ½, -1/3,…  0. 4) {(-1)n}= -1, 1, -1,..Iš šių pvz matom, kad kai n , sekos 4) neartėja priejokio vieno skaičiaus, sekos 1) nariai artėja prie 0, sekos 2) artėja prie 1. Skaičius prie kurio artėja sekos nariai vad sekos riba. Ap.: Skaičius a vad sekos {xn} riba, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui > 0 galima rasti tokį natūrinį skaičių N, kad visiems n> N teisinga nelygybė |xn-a| 0, galima rasti tikį natūrinį skaičių N, nuo kurio pradedant sekos nariai xN+1, xN+2,… patenka į taško a  - aplinką. Skaičius N visada priklauso nuo pasirinktos  reikšmės. Pakeitus , keisis N. Pvz: Įrodyti, kad skaičius a= 0 yra sekos {xn= (-1)n/n} riba. Pagal sekos ribos api brėž turėsim, kad |(-1)n/n- 0|10, vadinasi imdami n reikšmes didesnes už N= 10 turėsim, kad |xn-0| 10. n  lim(-1)n/n= 0. = 0,001, 1/n 1000, N= 1000, visi sekos nariai tenkins lygybę |xn-0| xn+1. Did ir maž sekos vad monoton. Seka {xn} – aprėžta iš viršaus, jeigu egzistuoja tiks skaičius M, kad su kiekviena reikšme n, teisinga nelygybė xn M. M – sekos viršutinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius M1> M, taip pat sekos viršutinis rėžis. Seka {xn} – aprėžta iš apačios, jeigu galima rasti tokį N, kad visiems n būtų patenkinta sąlyga xn N. N – apatinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius N1 0, kad su kiekviena reikšme n teisinga nelygybė |xn| k. Vienpusės ribos. Jeigu ieškant ribos x reikšmės parenkamos į kairę nuo taško a, tai riga vad funkcijos f(x) riba taške a iš kairės. x a-0 lim f(x)= xa x

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!