Vektoriai, funkcijos, geometrija

Dviejų vektorių vektorinė sandauga: Apibrėžimas: Vektorių a ir b vektorine sandauga vadinamas vektorius c tenkinantis šias sąlygas: 1. yra statmenas ir . 2. ( - kampas tarp ir ). 3. Vektorius yra nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo vektorius sukamas prieš laikrodžio rodyklę, vektorių pasiekia trumpiausiu keliu. Žymėjimas: =× Savybės: 1. ×= -×. 2. 3. 4. Vektoriai iryra kolinearūs, tada ir tik tada, kai x= 0. Reiškimas vektorių koordinatėmis: Tarkime, kad stačiakampėje koordinačių sistemoje yra duoti 2 veltoriai ir . Iš vektorinės sandaugos savybių išplaukia, kad du vektorius galime dauginti kaip daugianarius. Gauname: ×= = +×+×+×+×+×+×+×+×=++= . Geometrinė prasmė: 1. Lygiagretainio plotas: 2. Trikampio plotas: 3. Daugiakampio plotas. Trijų vektorių mišrioji sandauga: Apibrėžimas: Trijų vektorių mišriaja sandauga vadinamas skaičius, kuris gaunamas vektorinę sandaugą × skaliariškai padauginus iš vektoriaus . Mišrioji sandauga žymima šitaip: . Geometrinė prasmė: Tarkime, kad vektoriai , ir yra nekomplanarūs. Sudarome iš šių vektorių gretasienį. Gretasienio tūris yra lygus: Iš vektoriaus sandaugos savybių gauname: Gretasienio aukštinė lygi: Atsižvelgdami į 2 pastraipos formulę dauname: Kadangi tūris yra neigiamas dydis, tai imame: Savybės: 1. Vektoriai , ir yra komplanarūs tada ir tik tada, kai jų mišrioji sandauga yra lygi 0. 2. Kaitaliojant dauginamuosius vietomis keičiasi ženklas: Reiškimas vektorių koordinatėmis: Tarkime, kad stačiakampėje koordinačių sistemoje duoti trys vektoriai: , , Žinome, kad: Bendroji plokštumos lygtis: Išvedimas: Plokštumos padėtis koordinačių sistemos atžvilgiu yra visiškai nusakyta, kai žinome vieną plikštumos tašką () ir tai plokštumai statmeną vektorių (). Vektorius yra vadinamas plokštumos normaliuoju vektoriumi. Imame bet kurį plokštumos tašką , tada vektoriai ir yra statmeni. Iš dviejų vektorių statmenumo sąlygos gauname: . Įrašę vektorių koordinates ir sudauginę juos skaliariškai gauname: . Pažymėję raide gauname bendrąją plokštumos lygtį: . Ši lygtis turi be galo daug sprendinių.t.y. be galo daug plokštumos taškų, kurių koordinatės tenkina šią lygtį. Atskiri plokštumos lygties atvejai: 1. Kai D = 0 gauname plokštumą, kuri eina per koordinačių pradžios tašką. 2. Kai A, B, C yra pastovūs, o D kinta, gauname lygiagrečių plokštumų šeimą. 3. Kai C = 0 gauname plokštumą Ax + By + D = 0 ir ji yra lygiagreti Oz ašiai. 4. Kai C = 0 ir D = 0 gauname plokštumą Ax + By = 0 ir gautoji plokštuma eina per Oz ašį. 5. Kai B = 0 ir C = 0 gauname plokštumą Ax + D = 0 ir ji yra lygiagreti koordinačių plokštumai yOz. 6. Kai B = 0, C = 0 ir D = 0, gaunam plokštumą Ax = 0, kuri sutampa su koordinačių plokštuma yOz. Kiti atskiri atvejai yra nagrinėjami analogiškai. Taško atstumas iki plokštumos: Tarkim, kad yra duota plokštuma Ax + By + Cz + D = 0 ir taškas . Apsakičiuosime taško atstumą iki plokštumos. Tarkime, kad taškas yra taško projekcija duotoje plokštumoje. Tada vektoriai ir yra kolinearūs. Be to vektoriaus ilgis yra lygus taško atstumui iki plokštumos. Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo gauname: . Iš šios lygybės gauname: . Įrašę vektorių ir koordinates gauname: . Kadangi taškas priklauso plokštumai, tai jo koordinatės ,, tenkina plokštumos lygtį.t.y. arba . Atsižvelgę į pastarąją lygybę gauname: . Tiesės erdvėje kanoninės ir parametrinių lygčių išvedimas: Tiesė erdėje yra isiškai nusakyta, kai yra žinomas vienas tiesės taškas () ir tiesei lygiagretus vektorius (). Vektorius vadinamas tiesės krypties vektoriumi. Pasirenkame bet kurį tiesės tašką . Tuomet vektoriai ir yra kolinearūs. Kadangi jie kolinearūs, tai galioja lygybė: . Įrašę vektorių koordinates gausime tiesės erdvėje parametrines lygtis: Iš parametrinių lygčių išreiškę parametrą t ir sulyginę gautųjų lygybių dešinęsias puses gauname tiesės erdvėje kanoninę lygtį: Kanoninė lygtis turi prasmę tik tuo atveju, kaikuris nors iš koeficientų l, m, n yra lygus 0. Bendroji tiesės lygtis ir jos suvedimas į kanoninę lygtį: Tiesė erdvėje gali būti gauta susikirtus dviems nelygiagrečioms plokštumoms. Analiziškai tokios tiesės lygtis užrašoma šitaip: Ši sistema vadinama bendraja tiesės lygtimi. Bendrąją tiesės lygtį suvedame į kanonię lygtį: 1. Sprendžiame lygčių sistemą ir surandame vieną jos atskirąjį sprendinį. Gausime vieną plokštumos tašką . 2. Kadangi tiesė yra statmena ją sudarančių plokštumų normaliesiems vektoriams, tai iš vektorinės sandaugos apibrėžimo išplaukia, kad tiesės krypties vektoriumi galime laikyti vektorių: Užrašome kanonię tiesės lygtį: Elipsės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, parametrai ir jų prasmė, kiti elipsės atvejai: Apibrėžimas: Elipsė yra aibė plokštumos taškų, tokių, kad kiekvieno iš jų atstumo iki dviejų pastovių taškų suma yra pastovus dydis ir lygus 2a. Pastovūs taškai ir vadinami elipsės židiniais. Lygties išvedimas: Tarkime, kad židiniai yra taškuose ir . Imame bet kurį elipsės tašką . Tada pagal elipsės apibrėžimą gausime: arba , nes / Gauname kanoninę elipsės lygtį: Brėžinys: Parametrai: Ryšys tarp parametrų: Kiti elipsės atvejai: 1. Jeigu elipsės lygtyje , b>a, tai elipsės židiniai yra Oy ašyje. 2. Kai elipsės centras yra taške , tai elipsės lygtis yra tokia: . Hiperbolės apibrėžimas, kanoninės lygties išvedimas, brėžinys, asimptotės, parametrai ir jų prasmė, kiti hiperbolės lygties atvejai: Apibrėžimas: Hiperbolė yra aibė plokštumos taškų, tokių, kad atstumų iki dviejų pastovių taškų skirtumas yra pastovus dydis ir lygus . Pastovūs taškai vadinami hiperbolės židiniais. Kanoninė lygtis: Tarkime, kad hiperbolės židiniai yra taškuose ir . Imame bet kurį hiperbolės tašką . Pagal hiperbolės apibrėžimą gausime: //, nes a

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!