Funkcijos, ribos, išvestinės

FUNKCIJOS. RIBOS. IŠVESTINĖS 1 Funkcijos. Ribos. Tolydumas 1 Skaitinė funkcija. Funkcijos apibrėžimo ir kitimo sritys Atitiktis tarp aibių X ir Y vadinama funkcija, jeigu kiekvieną aibės X elementą atitinka tik vienas aibės Y elementas. Aibių X ir Y elementais gali būti skaičiai, geometrinės figūros ir kiti įvairūs objektai. Jeigu aibės X ir Y skaitinės, tai funkcija vadinama skaitine. Skaitinę funkciją žymėsime y5f(x), x∈X (funkcinė priklausomybė gali būti žymima ir kitomis raidėmis). Elementas x vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu, o y laikomas priklausomu kintamuoju. Funkcijos y5f(x) reikšmė, atitinkanti reikšmę x5a, vadinama funkcijos reikšme taške a ir žymima f(a). Aibė X vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi, o aibė Y vadinama tos funkcijos kitimo sritimi. Funkcijos y5f(x) apibrėžimo (definicijos) sritis simboliškai žymima D(f) arba D(y), o kitimo (egzistencijos) sritis - E(f) arba E(y). Norint nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį, reikia rasti visas argumento x reikšmes, prie kurių funkcija turi prasmę. Pavyzdžiai Raskite funkcijų apibrėžimo sritis: 1. 4x2 xy − = . Sprendimas Ši funkcija turi prasmę prie visų x reikšmių, išskyrus tas, prie kurių vardiklis lygus nuliui. Vadinasi, 2x-4≠0, 2x≠4, x≠2. Taigi, D(y)5 ( ) ( )+∞∪∞− ;22; . 2. 2x3x 3x2y 2 +− − = . Sprendimas ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∪∞−=≠≠≠+− ;22;11;yD;2xir1x,02x3x 2 . 3. 4xy −= . Sprendimas Kvadratinė šaknis apibrėžta, jei jos pošaknis neneigiamas: ( ) [ )∞=≥≥− ;4yDarba4x,04x . 4. 6x5xy 2 +−= . Sprendimas ( )( ) ,03x2x,06x5x 2 ≥−−≥+− 3x,2x ≥≤ arba D(y) ( ] [ )+∞∪∞−= ;32; . 5. ( ) x 2xlgx4y + +−= . Sprendimas + + - 3 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 Šioje funkcijoje pošaknis negali būti neigiamas, reiškinys po logaritmu gali būti tik teigiamas, o vardiklis negali būti lygus nuliui. Vadinasi apibrėžimo sritis bus tos x reikšmės, kurios tenkins nelygybių sistemą: ( ) ( ]4;00;2x ;0x ,2x ,4x ;0x ,02x ,0x4 ∪−∈⇒      ≠ −> ≤ ⇒      ≠ >+ ≥− . 6. ( ) 4 2xx4 x2 2xlg 1y − + − = . Sprendimas ( ) ( ) ( ) ( )4;33;2x ;4x0 ,3x ,2x ;0x4x ,1lg2xlg ,2x ;0xx4 ,02xlg ,02x 22 ∪∈⇒      ⇒      ⇒      >− ≠− >− . Pratimai Nustatykite funkcijos apibrėžimo sritį: 1. ( ) .3:.;3lg −>+= xAtsxy 2. .5,2:.;25 ≤−= xAtsxy 3. .1:.; 1 1 2 ±≠ − = xAts x y 4. .1;0:.;1 3 ±≠≠ − = xxAts xx y 5. .2,1:.; 23 2 2 ≠≠ +− = xxAts xx xy 6. .4;0:.; 4 1 2 >≤−≤ − + = xxAts x xy 2 Funkcijos reiškimo būdai. Pagrindinės skaitinių funkcijų charakteristikos Funkcijų reiškimo būdai Dažniausiai funkcijos reiškiamos tam tikra formule. Tai analizinis reiškimo būdas. Funkcija gali būti pateikta lentele, kurioje surašomos jos reikšmės, atitinkančios įvairias argumento reikšmes. Funkcija gali būti aprašyta ir žodžiais. Pavyzdžiui, “skaičiaus x sveikoji dalis”. Analiziškai ši funkcija užrašoma y5[x]. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4 Praktikoje įvairios funkcijos dažnai reiškiamos grafiškai. Funkcijos grafiku vadiname plokštumos taškų aibę, kurių abscisės yra argumento x reikšmės, o ordinatės – funkcijos f(x) atitinkamos reikšmės. Monotoninės funkcijos Funkciją y5f(x) vadiname didėjančia intervale (a;b), jeigu bet kuriems 21 xx . Paprasčiau tariant, funkcija yra didėjanti, jeigu didėjančias argumento reikšmes atitinka ir funkcijos didėjančios reikšmės, ir funkcija mažėjanti, jeigu didėjančias argumento reikšmes atitinka funkcijos mažėjančios reikšmės. Tik didėjančią arba tik mažėjančią duotame intervale funkciją vadiname monotonine funkcija tame intervale, o patį intervalą – funkcijos monotoniškumo intervalu. Didėjančios funkcijos grafikas didėjant argumentui kyla į viršų, o mažėjančios – leidžiasi žemyn. Kairėje pusėje pavaizduota didėjančios intervale (a;b) funkcijos grafikas, dešinėje – mažėjančios. Aprėžtos ir neaprėžtos funkcijos Funkcija y5f(x) vadinama aprėžta iš viršaus intervale[a;b], kai jos reikšmės nedidesnės už kurį nors skaičių M, t.y. ( ) [ ]b;axkai,Mxf ∈≤ . Skaičius M vadinamas funkcijos y5f(x) viršutiniu rėžiu intervale [a;b]. Funkcija y5f(x) vadiname aprėžta iš apačios intervale [a;b], kai jos reikšmės nemažesnės už kurį nors skaičių m, t.y. ( ) [ ]b;axkai,mxf ∈≥ . Skaičius m vadinamas funkcijos y5f(x) apatiniu rėžiu intervale [a;b]. Jei funkcija y5f(x) kuriame nors intervale yra aprėžta ir iš viršaus, ir iš apačios, tai ji tame intervale yra aprėžta, t.y. ( ) Mxfm ≤≤ . Aprėžta Aprėžta iš apačios Aprėžta iš viršaus Neaprėžta Lyginės ir nelyginės funkcijos f(x2) f(x1) b 2x a 1x y x f(x2) f(x1) b 2x a 1x y x b a y y y y x x x x PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5 Funkcija y5f(x) vadinama lygine, jeigu kiekvienai x reikšmei iš apibrėžimo srities priklausys ir –x reikšmė ir galios lygybė f(-x)5f(x) . Analogiškai, jei galios lygybė f(-x)5-f(x) , tai funkcija vadinsis nelygine. Funkcijos nepriklausančios nei vienai iš šių grupių laikomos nei lyginėmis, nei nelyginėmis. Lyginės funkcijos grafikas simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, o nelyginės – koordinačių pradžios taško atžvilgiu. Lyginė Nelyginė Nei lyginė, nei nelyginė Pavyzdžiai Ištirkite funkcijų lyginumą: 1. ( ) 42 xx2xf −= . Sprendimas ( ) ( ) ( ) ( )xfxx2xx2xf 4242 =−=−−−=− ; kadangi f(-x)5f(x), tai funkcija lyginė. 2. ( ) 1x xxf 2 3 + = . Sprendimas ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−= + −= + − = +− − =− xf 1x x 1x x 1x xxf 2 3 2 3 2 3 nelyginė. 3. ( ) xxxf 2 += . Sprendimas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−≠+−−=−≠−=−+−=− xfxxxf;xfxxxxxf 222 nei lyginė, nei nelyginė. Pratimai Ištirkite šių funkcijų lyginumą: 1. ( ) ;x2xxf 3 += Ats.: nelyginė. 2. ( ) ;x21xf 2+= Ats.: lyginė. 3. ( ) ;1x2xf 3 += Ats.: nei lyginė, nei nelyginė. 4. ( ) ;1xxf += Ats.: nei lyginė, nei nelyginė. 5. ( ) ;xxf = Ats.: lyginė. 6. ( ) ;xxxf 2 −= Ats.: lyginė. 7. ( ) ;1xxf += Ats.: nei lyginė, nei nelyginė. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6 8. ( ) ; xx x xf 3 + = Ats.: nelyginė. 9. ( ) ( ) ;xxxf 23−= Ats.: lyginė. 10. ( ) ( ) ;1xxf 2+= Ats.: nei lyginė, nei nelyginė. 11. ( ) ;xsinxcosxf −= Ats.: nei lyginė, nei nelyginė. 12. ( ) ;xtgxxf = Ats.: lyginė. 13. ( ) ;x1xf 4+= Ats.: lyginė. 14. ( ) ;xlnxf = Ats.: nei lyginė, nei nelyginė. 15. ( ) ;2x5x4xf 2 +−= Ats.: lyginė. Atvirkštinės funkcijos Funkcija y5f(x) vadinama apverčiama, jeigu atitiktis ϕ , atvirkštinė duotajai, taip pat yra funkcija, t.y. jeigu kiekvieną y reikšmę atitinka tik viena x reikšmė. Tuo atveju f ir ϕ vadinsime atvirkštinėmis funkcijomis, o ϕ - funkcijos f atvirkštine funkcija ir žymėsime 1f − . Funkcijos 1f − apibrėžimo sritis sutampa su funkcijos f kitimo sritimi, o 1f − kitimo sritis sutampa su funkcijos f apibrėžimo sritimi. Atvirkštinių funkcijų grafikai simetriški tiesės y5x atžvilgiu. Tarkime, kad duota apverčiama funkcija y5f(x). Norint parašyti jai atvirkštinę funkciją, užtenka: 1) iš lygybės y5f(x) išreikšti x per y; 2) sukeisti x su y vietomis. Pavyzdys Parašykite funkcijai 4 3x2y + = atvirkštinę funkciją. Sprendimas . 2 3x4y 2 3y4x3y4x23x2y4 4 3x2y − =⇒ − =⇒−=⇒+=⇒ + = Pratimai Parašykite atvirkštines funkcijas duotosioms: ;5x3y.1 += Ats.: . 3 5xy − = ; x4 5x2y.2 − − = Ats.: . 2x 5x4y + + = ; 3 1x2y.3 + = Ats.: . 2 1x3y − = ; x1 x21y.4 + − = Ats.: . x2 x1y + − = ;xy.5 3= Ats.: .xy 3= PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7 3 Funkcijos riba. Pagrindinės ribų teoremos Funkcijos ribos apibrėžimas gana sudėtingas, todėl pailiustruosime jį tik tokiu pavyzdžiu. Ištirkime, kokias reikšmes įgyja funkcija ( ) 2x 4xxf 2 − − = , kai x įgyja reikšmes iš x52 aplinkos: x 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 ... f(x) 3,9 3,99 3,999 neapibrėžta 4,001 4,01 4,1 ... Iš lentelės matyti, kad funkcijos f(x) reikšmės, kai x reikšmės artimos 2, mažai skiriasi nuo skaičiaus 4. Tokiu atveju sakoma, kad funkcijos f(x) riba, kai x artėja prie 2, yra lygi 4. Kitaip tariant, kai ( ) .4xftai,2x →→ Tai užrašoma 4 2x 4xlim 2 2x = − − → arba bendruoju atveju ( ) Axflim ax = → . lim – lotyniško žodžio limes, reiškiančio ribą, santrumpa. Pagrindinės ribų teoremos: 1. Pastovaus skaičiaus riba yra pastovus skaičius: .cclim ax = → 2. Funkcijų algebrinės sumos riba lygi šių funkcijų ribų algebrinei sumai ( ) ( )( ) ( ) ( )xglimxflimxgxflim axaxax →→→ ±=± ; čia ir toliau laikysime, kad funkcijos y5f(x) ir y5g(x) turi ribas, kai ax → . 3. Funkcijų sandaugos riba lygi dauginamųjų ribų sandaugai: ( ) ( )( ) ( ) ( ).xglimxflimxgxflim axaxax →→→ ⋅=⋅ 4. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš ribos ženklą: ( )( ) ( ).xflimcxfclim axax →→ ⋅=⋅ 5. Funkcijų dalmens riba lygi dalinio ir daliklio ribų dalmeniui, jei daliklio riba nelygi nuliui: ( ) ( ) ( ) ( ). xglim xflim xg xflim ax ax ax → → → = Pavyzdžiai 1. 2x2 3x5lim 2 1x + + → . Sprendimas Pritaikę pagrindines ribų teoremas, randame: ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + + = + + →→ →→ → → → 2limx2lim 3limx5lim 2x2lim 3x5lim 2x2 3x5lim 2x1x 1x 2 1x 1x 2 1x 2 1x 2 212 315 2xlim2 3xlim5 1x 2 1x = +⋅ +⋅ = + + = → → . Šios funkcijos riba taške x51 sutampa su jos reikšme šiame taške, todėl čia būtų pakakę apskaičiuoti funkcijos reikšmę šiame taške. 2. . 3x 9xlim 2 3x − − → Sprendimas Skaitiklio ir vardiklio ribos, kai 3x → , lygios nuliui. Gavome taip vadinamą neapibrėžtumą 0 0 , kurį reikia panaikinti suprastinant trupmeną iš nulinio daugiklio: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 8 ( )( ) ( ) .6333xlim 3x 3x3xlim 3x 9xlim 3x3x 2 3x =+=+= − +− = − − →→→ 3. . 2x5x2 8x2xlim 2 2 2x +− −+ → Sprendimas Turime neapibrėžtumą 0 0 , todėl surandame skaitiklio ir vardiklio trinarių šaknis ir, juos išskaidę, suprastiname: ( )( ) ( ) .2 122 42 1x2 4xlim 2x 2 1x2 4x2xlim 2x5x2 8x2xlim 2x2x2 2 2x = −⋅ + = − + = −      − +− = +− −+ →→→ 4. x3x3 xlim 0x +−−→ . Sprendimas Vėl turime neapibrėžtumą 0 0 . Skaitiklį ir vardiklį dauginame iš vardikliui jungtinio daugiklio x3x3 +−− : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = +−− ++− = ++−+−− ++− = ++− →→→ 220x0x0x x3x3 x3x3xlim x3x3x3x3 x3x3xlim x3x3 xlim ( ) ( ) .3 2 0303 x2 x3x3xlim x3x3 x3x3xlim 0x0x −= − ++− = − ++− = −−− ++− = →→ 5. 1x2x3 2xlim 2 2 x ++ + ∞→ . Sprendimas Turime neapibrėžtumą ∞ ∞ , todėl šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį dalinsime iš 2x (x-o aukščiausio laipsnio): . x 1 x 23 x 21 lim x 1 x x2 x x3 x 2 x x lim 1x2x3 2xlim 2 2 x 222 2 22 2 x2 2 x ++ + = ++ + = ++ + ∞→∞→∞→ Nesunku įsitikinti (tai galima padaryti ir grafiškai), kad 0 x alim x 1lim x 2lim x 2lim x2xx2x ==== ∞→∞→∞→∞→ α , nes vardikliui neaprėžtai didėjant, o skaitikliui nesikeičiant, trupmena neaprėžtai mažėja ir artėja prie nulio ribos. Taigi, . 3 1 003 01 x 1 x 23 x 21 lim 2 2 x = ++ + = ++ + ∞→ 6. ( )x4xxlim 2 x −− ∞→ . Sprendimas PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 9 Turime neapibrėžtumą ∞−∞ , todėl šią funkciją dauginame ir daliname iš jungtinio reiškinio x4xx 2 −+ : ( ) ( )( ) = −+ +− = −+ −+−− =−− ∞→∞→∞→ x4xx x4xxlim x4xx x4xxx4xxlimx4xxlim 2 22 x2 22 x 2 x .2 011 4 x x4 x x1 4lim x x4x x x x x4 lim x4xx x4lim 22 2x2x2x = −+ = −+ = − + = −+ = ∞→∞→∞→ Pratimai 1. .3:.; 3 1lim 2 2 − − +− → Ats x xx x 2. .3:.; 1 1lim 4 Ats x x x − + → 3. . 9 1:.; 93 65lim 2 2 3 Ats xx xx x − +− → 4. . 6 1:.; 9 3lim 23 Ats x x x − − → 5. .2,0:.; 25 158lim 2 2 5 Ats x xx x − +− → 6. .3:.; 1 1lim 3 1 Ats x x x − − → 7. . 3 2:.; 8145 483lim 2 2 2 Ats xx xx x +− +− → 8. .3:.; 209 107lim 2 2 5 Ats xx xx x +− +− → 9. .1:.; 673 152lim 2 2 3 Ats xx xx x −+ −+ −→ 10. .5:.; 55 lim 0 − +−−→ Ats xx x x 11. .6:.; 33 6lim 6 Ats x x x −+ − → 12. .5,0:.;11lim 0 Ats x x x −+ → 13. . 3 2:.; 131 lim 0 Ats x x x −+→ 14. .2:.;141lim 0 Ats x x x −+ → 15. . 3 2:.; 224 3lim 9 Ats x x x −− − → 16. .5,0:.; 8 12 2 1lim 32 −      + − +−→ Ats xxx 17. .1:.; 1 1 1 3lim 31 Ats xxx       + − +−→ 18. .4,0:.; 15 32lim Ats x x x + + ∞→ 19. .3:.; 2 3lim Ats x x x −∞→ 20. .5,0:.; 12 8lim Ats x x x − − ∞→ 21. .2:.; 2 132lim 23 23 Ats xxx xx x +− +− ∞→ 22. .5:.; 3 5lim 3 23 Ats xx xx x − + ∞→ 23. .:.; 52 4lim 23 4 ∞ ++ − ∞→ Ats xx xx x 24. .0:.; 3 12lim 3 2 Ats xx xx x − +− ∞→ 25. ( ) .2:.;4lim 2 Atsxxx x −− ∞→ 26. ( ) .5,0:.;lim 2 −−− ∞→ Atsxxx x 27. ( ) .5,2:.;5lim 2 Atsxxx x −+ ∞→ 28. ( ) .5,0:.;1lim 2 Atsxxx x −+ ∞→ ; 29. ( ) .1:.;2lim 2 Atsxxx x −+ ∞→ ; 30. ( ) .5,2:.;5lim 2 −+− ∞→ Atsxxx x 31. ( ) .5,0:.;lim 2 −+− ∞→ Atsxxx x 32. ( ) .2:.Ats;xx4xlim 2 x −−− ∞→ 33. ( ) .5,0:.;32lim 22 −+−+ ∞→ Atsxxxx x 34. ( ) .5,0:.;43lim 22 −+−+ ∞→ Atsxxxx x PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 10 35. . 3 2:.; 131 lim 0 Ats x x x −+→ 36. .2:.;141lim 0 Ats x x x −+ → 4 Skaičius e Matematikoje svarbią reikšmę turi riba e x 11lim x =      + ∞→ (šios formulės įrodymą galima rasti matematinės analizės vadovėliuose). Žinoma, kad skaičius e yra iracionalusis, o jo reikšmė apytiksliai lygi 2,718282.... Dažnai vartojama rodiklinė funkcija, kurios pagrindas yra e, t.y. xey = , taip pat logaritminė funkcija, kurios pagrindas yra lygus e, t.y. xlogy e= . Ši funkcija vadinama natūraliuoju logaritmu ir žymima y5lnx. Taip pat įrodoma, kad ( ) ex1lim x 1 0x =+ → . Pavyzdžiai 1. .e 2 xirtai,xkai 2 x 11lim 2 x 11lim x 21lim 2 2 2 x x 2 2 x x x x =∞→∞→=                           +=             +=      + ∞→ ⋅ ∞→∞→ 2. ( ) ( ) ( ) .e0x3irtai,0xkaix31limx31limx31lim 6 6 x3 1 0x 6 x3 1 0x x 2 0x =→→=      +=+=+ → ⋅ →→ 3. ( ) 1 1x x 1x x 1x x x x x x e x 11lim x 11lim x 1 x xlim x 1xlim x1 xlim − − ∞→ − ∞→ −⋅ ∞→ − ∞→∞→ =              +=              +=      +=      + =      + . 4. =              + +⋅      + +=      + + + + =      + ++ =      + + −+ ∞→ −+ ∞→∞→∞→ 11x x 11x x x x x x 1x 11 1x 11lim 1x 1 1x 1xlim 1x 11xlim 1x 2xlim ( ) .e1e101 1x 11limo,e 1x 11lim 1 1 x 1x x =⋅==+=      + +=      + += − − ∞→ + ∞→ Pratimai 1. .:.;31lim 3eAts x x x       + ∞→ 2. .:.; 3 21lim 3 2eAts x x x       + ∞→ 3. .:.; 4 51lim 4 5 − ∞→       − eAts x x x 4. ( ) .:.;21lim 10 5 0 eAtsx x x + → 5. ( ) .:.;41lim 8 2 0 eAtsx x x + → 6. .:.; 2 1lim 1 0 e eAtsx x x       − → 7. ( ) .:.;2,01lim 5 0 eAtsx x x + → 8. ( ) .1:.;sin1lim sin 1 0 e Atsx x x − → PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 11 9. ( ) .:.;41lim 5 12 5 3 0 eAtsx x x + → 10. .1:.;11lim e Ats x x x − ∞→       + 11. .1:.; 1 lim e Ats x x x x       +∞→ 12. .1:.; 12 2lim e Ats x x x x       +∞→ 13. .:.; 12 32lim 2 1 eAts x x x x + ∞→       + + 14. .:.; 34 14lim 4 e eAts x x x x − ∞→       + + 15. .:.; 35 15lim 5 13 − + ∞→       + + eAts x x x x 16. .:.; 25 35lim 5 2,0 eAts x x x x − ∞→       + + 17. .e:.Ats; 5x 1xlim 4 x 2 2 x 2 − ∞→       + + 18. .:.; 36 16lim 3 2 1 eAts x x x x + ∞→       − + 19. .1:.; 6 lim 6e Ats x x x x       +∞→ 20. .1:.; 1 1lim 2 8 2 2 2 e Ats x x x x − ∞→       − + 5 Funkcijos x sinx riba, kai x0 Įrodoma (įrodymą praleidžiame), kad 1 x xsinlim 0x = → . Tada == →→ x xsin 1lim xsin xlim 0x0x .1 1 1 x xsinlim 1 0x === → Įrodysime, kad 1 x xarcsinlim 0x = → . Tegu arcsinx5y, tada x5siny; kai 0x → , tai ir 0y → . Vadinasi, 1 ysin ylim x xarcsinlim 0y0x == →→ . Nesunkiai įrodoma, kad .1 x arctgxlimir1 x tgxlim 0x0x == →→ Pavyzdžiai 1. . 3 2 3 210x2irtai,0xkai 3 2 x2 x2sinlim x3 x2sinlim 0x0x =⋅=→→=⋅= →→ 2. . 4 3 41 31 4 x4 x4sinlim 3 x3 x3sinlim x4 x4 x4sin x3 x3 x3sin lim x4sin x3sinlim 0x 0x 0x0x = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → → →→ 3. . 18 1 18 11 18 1 3 x 3 xsin lim 18 1 3 x 3 xsin lim 18 9 x 3 xsin lim x2 3 xsin lim 2 2 0x 2 0x2 2 0x2 2 0x =⋅=⋅             =⋅             = ⋅ = →→→→ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 12 4. .25,2 4 91 4 9 2 x3 2 x3sin lim 9 4 4 x9 2 x3sin lim x2 2 x3sin2 lim x2 x3cos1lim 2 2 0x2 2 0x2 2 0x20x =⋅=⋅             = ⋅ == − →→→→ 5. .6,0 5 3 x51 x31 x5 x5 x5sin x3 x3 x3arctg lim x5sin x3arctglim 0x0x == ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →→ π π π π π π π π π π Pratimai 1. . 4 3:.; 4 3sinlim 0 Ats x x x→ 2. . 2 1:.;cos1lim 20 Ats x x x − → 3. . 2 1:.; 6 3sinlim 0 Ats x x x→ 4. . 5 2:.; 10sin 4sinlim 0 Ats x x x→ 5. . 16 5:.; 16 5lim 0 Ats x xtg x→ 6. . 7 3:.; 7 3lim 0 Ats xtg xtg x→ 7. . 5 4:.; 5sin 4lim 0 Ats x xtg x→ 8. .1:.;arcsinlim 0 Ats x x x→ 9. . 3 2:.; 3 2arcsinlim 0 Ats x x x→ 10. . 12 25:.; 6 5cos1lim 20 Ats x x x − → 11. .1:.;lim 0 Ats x arctgx x→ 12. . 4 3:.; 4sin 3lim 0 Ats x xarctg x→ 13. .0:.;sinlim Ats x x x ∞→ 14. .0:.;cos1lim 2 Ats x x x − ∞→ 15. . 4 1:.;2 sin lim 2 2 0 Ats x x x→ 16. .8:.;4cos1lim 20 Ats x x x − → 17. . 2 1:.; 2cos1 lim 2 0 Ats x x x −→ 18. . 16 1:.;4 sin lim 2 2 0 Ats x x x→ 19. . 2 1:.;coscoslim 2 2 0 Ats x xx x − → 20. .1:.; coscos lim 42 2 0 Ats xx x x −→ 21. . 5 1:.Ats; x5sin xsinlim 0x π π → 22. . 4 1:.; 2cos1 cos1lim 0 Ats x x x − − → 23. .1:.; coscos lim 53 2 0 Ats xx x x −→ 24. .2:.;2lim 0 Ats x xarctg x→ 25. . 9 4:.; 3cos1 2cos1lim 0 Ats x x x − − → 26. .2:.; cos1 sinlim 0 Ats x xx x −→ 6 Funkcijos tolydumas Nubraižykime funkcijų y52x+1 ir 1x 1y − = grafikus: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 13 Pirmosios funkcijos grafikas yra nenutrūkstanti linija, todėl sakoma, kad ši funkcija yra tolydi. Antrosios funkcijos grafikas nutrūksta taške x51, todėl šiame taške ši funkcija yra netolydi. Jeigu funkcija y5f(x) nėra tolydi taške xo, tai sakoma, kad ji trūki tame taške, o taškas xo vadinamas funkcijos y5f(x) trūkio tašku. Funkcija y5f(x), kurios riba taške egzistuoja ir lygi funkcijos reikšmei tame taške, vadinama tolydžia taške xo: ( ) ( )0xx xfxflim 0 = → . Funkcija, tolydi kiekviename intervalo(a;b) taške, vadinama tolydžia tame intervale. Kad funkcija y5f(x) būtų tolydi taške xo turi būti įvykdytos šios sąlygos: 1) funkcija turi būti apibrėžta taške xo; 2) funkcija turi turėti ribą taške xo; 3) funkcijos riba taške xo turi būti lygi šios funkcijos reikšmei taške xo. Tolydžių funkcijų savybės: 1. Baigtinio skaičiaus tolydžių funkcijų algebrinė suma yra tolydi funkcija. 2. Baigtinio skaičiaus tolydžių funkcijų sandauga yra tolydi funkcija. 3. Dviejų tolydžių taške xo funkcijų dalmuo yra tolydi tame taške funkcija, jei vardiklis tame taške nelygus nuliui. Išvados: 1. Funkcija ( )Nnx)x(f n ∈= yra tolydi visoje skaičių tiesėje. 2. Daugianaris n1n 1n 1 n 0 axa...xaxa)x(f ++++= − − yra tolydi funkcija visoje skaičių tiesėje. 3. Funkcija ( ) ( )xQ xP)x(f = (Q(x)≠0, P(x) ir Q(x) – daugianariai) yra tolydi funkcija jos apibrėžimo srityje. 4. Jeigu funkcija y5f(x) yra tolydi intervale [a;b] ir šio intervalo galuose turi skirtingus ženklus, tai šio intervalo viduje yra bent viena x reikšmė, kur funkcija lygi nuliui. 2 Funkcijos išvestinė 1 Išvestinės sąvoka, jos geometrinė ir mechaninė prasmė Išvestinės apibrėžimas Funkcijos y5f(x) išvestine taške 0x vadinama tos funkcijos pokyčio ir jį atitinkančio argumento pokyčio santykio riba, kai argumento pokytis artėja prie nulio: y x 1 y x PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 14 ( ) ( ) ( ) . x xfxxf lim x ylimxfy 00 0x0x0 ∆ −∆+ = ∆ ∆ =′=′ →∆→∆ Jeigu funkcija f(x) turi išvestinę visuose kurio nors intervalo taškuose, tai sakoma, kad ji diferencijuojama tame intervale. O išvestinės radimo veiksmas vadinamas diferencijavimu. Pavyzdys Raskite funkcijos x3xy 2 −= išvestinę taške 2x = . Sprendimas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∆ ∆−∆+∆ = ∆ −−∆+−∆+ = ∆ −∆+ =′ →∆→∆→∆ x x3xxx2lim x )x3x(xx3xxlim x xfxxflimy 2 0x 22 0x0x ( ) 3x23xx2lim 0x +=−∆+= →∆ ; ( ) .73222y =+⋅= Išvestinės geometrinė prasmė ( ) ;ktgtglim x ylimxf 0x0x0 === ∆ ∆ =′ →∆→∆ αβ ( ) ktgxf 0 ==′ α . Vadinasi, funkcijos išvestinė duotame taške yra lygi liestinės, išvestos per duotą tašką, krypties koeficientui. Išvesime funkcijos y5f(x) grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką ( )( )00 xf;xA , lygtį. Tereikia parašyti lygtį tiesės, einančios per duotąjį tašką duotąja kryptimi: ( )00 xxkyy −=− . Įstatę k ir 0y , gausime: ( ) ( )( )000 xxxfxfy −′=− . Pavyzdys Kreivei ( ) x3xxf 2 −= nubrėžta liestinė taške 2x 0 = . Parašykite jos lygtį. Sprendimas Apskaičiuojame: ( ) ( ) 22322fxf 2 0 −=⋅−== , ( ) 3x2xf −=′ , ( ) ( ) 13222fxf 0 =−⋅=′=′ ; Įstatome į formulę: y-(-2)51(x-2) arba x-y-450. y x xx 0 ∆+ 0x ( )xxf 0 ∆+ ( )0xf α β β x∆ y∆ C B A Tarkime, kad duota funkcija y5f(x). Jos grafike laisvai pasirinkime 2 taškus ( ))xf;x(A 00 ir ( )( )xxf;xxB 00 ∆+∆+ . Nubrėžkime kirstinę AB ir liestinę AC. Kirstinės krypties koeficientas x ytgk1 ∆ ∆ == β . Kai 0x →∆ , taškas B kreive artėja prie taško A, o kirstinė BA artėja prie liestinės CA ir kampas β artėja prie kampo α : PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 15 Mechaninė išvestinės prasmė Panagrinėkime materialaus taško judėjimą. Judėjimą laikysime visiškai apibrėžtu, jei žinosime judėjimo lygtį S5f(t), iš kurios galėsime nustatyti nueitą kelią bet kuriuo laiko momentu t. Pasirinkime laiko momentą t5to ir apskaičiuokime nueitą kelią ( )00 tfS = . Per laiko tarpą t∆ nueitas kelias ( ) ( )00 tfttfS −∆+=∆ . Santykis ( ) ( ) t tfttf t S 00 ∆ −∆+ = ∆ ∆ ir bus materialaus taško vidutinis greitis per laiko tarpą t∆ . Judančio taško momentiniu greičiu V, arba greičiu laiko momentu 0t , vadinama riba, prie kurios artėja t S ∆ ∆ , kai t∆ artėja prie nulio. Taigi, ( )00t tS t SlimV ′= ∆ ∆ = →∆ . Greičio pokyčio ir laiko pokyčio santykio riba, kai laiko pokytis artėja prie nulio, vadinama pagreičiu. Taigi, ( )00t tV t Vlima ′= ∆ ∆ = →∆ . 2 Pagrindinės diferencijavimo taisyklės ir formulės 1. ( ) vuvu ′+′=′+ ; 2. ( ) ;uvvuvu ′+′=′⋅ 3. ( )( ) ( );xfcxfc ′⋅=′⋅ 4. ; v uvvu v u 2 ′−′ = ′       5. ;0c =′ 6. ;1x =′ 7. ( ) ;xnx 1nn −⋅= ′ 8. ( ) ; x2 1x = ′ 9. ( ) ;ee xx = ′ 10. ( ) ;alnaa xx = ′ 11. ( ) ; x 1xln =′ 12. ( ) ; alnx 1xlog a =′ 13. ( ) ;xcosxsin =′ 14. ( ) ;xsinxcos −=′ 15. ( ) ; xcos 1tgx 2=′ 16. ( ) ; xsin 1ctgx 2−=′ 17. ( ) ; x1 1xarcsin 2− =′ 18. ( ) ; x1 1xarccos 2− −=′ 19. ( ) ; x1 1arctgx 2+ =′ 20. ( ) . x1 1arcctgx 2+ −=′ Sudėtinių funkcijų išvestinės 1. ( ) ;uunu 1nn ′⋅⋅= ′ − 2. ( ) ; u2 uu ′ = ′ 3. ( ) ;uee uu ′⋅= ′ 4. ( ) ;ualnaa uu ′⋅= ′ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 16 5. ( ) ; u uuln ′ =′ 6. ( ) ; alnu uulog a ′ =′ 7. ( ) ;uucosusin ′⋅=′ 8. ( ) ;uusinucos ′⋅−=′ 9. ( ) ; ucos utgu 2 ′ =′ 10. ( ) ; usin uctgu 2 ′ −=′ 11. ( ) ; u1 uuarcsin 2− ′ =′ 12. ( ) ; u1 uuarccos 2− ′ −=′ 13. ( ) ; u1 uarctgu 2+ ′ =′ 14. ( ) . u1 uarcctgu 2+ ′ −=′ Pavyzdžiai 1. .2xx9012x2 2 1x333x2x 2 1x3y 2223 −+=+⋅−⋅+⋅= ′       +−+=′ 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − +−− = − + ′ −−−′+ = ′       − + =′ 22 2 22 22 2 5x4 1x3x85x43 5x4 1x35x45x41x3 5x4 1x3y ( ) ( ) . 5x4 15x32x12 5x4 x8x2415x12 22 2 22 2 − −− = − −−− = 3. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1xx61x1x3uunu1xy 2221321nn32 += ′ +⋅+=′⋅⋅= ′ = ′ +=′ −− 4. ( ) ( ) ( ) . 6x4x 2x 6x4x2 6x4x u2 uu6x4xy 22 2 2 +− − = +− ′ +− = ′ = ′ = ′ +−=′ 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).x3xexeex3xeexuvvuuvexy 23x3xx23xx3x3 +=+= ′ + ′ =′+′=′= ′ =′ 6. ( ) ( ) ( ) =− − = − − ⋅−− = − ′       −= ′ =′= ′       − =′ 3lnx3 1x3 3 1x3 3lnx3 1x3 x331x33 3ln 1x3 x3 1x3 x3 alnu uulog 1x3 x3logy 2 a3 ( ) . 3lnx31x 1 − = 7. ( ) =−=−=⋅−⋅= ′         −= ′ −=′ −−−− 4 3 3 2 4 3 3 2 1 4 11 3 1 4 1 3 1 43 x 1 x 2xx2x 4 14x 3 16x4x6x4x6y . x 1 x 2 4 33 2 −= PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 17 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1x23 421x2 3 21x21x2 3 21x21x2y 3 3 11 3 2 3 2 3 2 + =⋅+=′+⋅+= ′       += ′      +=′ −− 9. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).3x2cosx12x43x2cos33x23x2cos33x2sin3y 22222 −=⋅−= ′ −⋅−= ′ −=′ 10. ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅+= ′ +⋅+= ′         += ′ +=′ −− 3 2 331 3 1 33 1 33 3 xcos1 3 1xcos1xcos1 3 1)xcos1(xcos1y ( ) ( ) . xcos1 xsinxcosxcosxcos3 3 23 2 2 + − =′⋅⋅ Pratimai Raskite funkcijų išvestines: 1. .310:.;435 3 1 223 −++−+= xxAtsxxxy 2. .34:.;231 2 −+−= xAtsxxy 3. . 8 35,3:.; 4 3 2 72 x Atsxxy −−−−= 4. .1 2 1:.; −−= x Atsxxy 5. ( ) .62:.;3 2 −−= xAtsxy 6. ( ) .62424:.;12 23 +−−= xxAtsxy 7. ( )( ) .1112:.;1332 +++= xAtsxxy 8. ( ) .5,34:.; 233 xxxAtsxxxy −−= 9. ( ) . 4 16:; 4 4 222 2 ++ − = x xAts x xy 10. ( ) . 1 6:; 1 1 23 2 3 3 + − + − = x xAts x xy 11. . x 2:Ats; x 22y 2−+= 12. . x 6 x 13:Ats; x 3 x 1x3y 322 ++−−= 13. . 2 1:.; 1 1 x Ats x xy − − = 14. . 2 3 2 5:.;5 x xx Atsxx x y +−+= 15. .4 2 7 4 1:.;322 4 3 3 4 3 3 224 2 3 x x x Ats xx xxy −−++−= 16. .43 25 4:.;324 5 4 345 424 5 xxx Ats xx xxy −++++= 17. .1453 12 7:.;752 8 7 322322 3 2 xxxxx Ats xxx xxy −−−+++= 18. .1111:.;412 2 32 23 23 2 xxxxxx Ats xxx xy ++−+−−+= 19. . 2 5:.; 3 3 3 2 xx Ats x xxy −        = − 20. . 6 5:.; 6 33 x Ats x xxy = 21. . 2 1 6 1:.;1 6 3 xxxx Ats x xxy −− ++ = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 18 22. . 6 1 3 1:.; 2 1 33 2 3 2 3 xxx Atsxxx x y −        += Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške xo: 23. ( ) .9:.;1,52 2 Atsxxxxf o =+= 24. ( ) ( )( ) .126:.;4,142 2 −−=−−= Atsxxxxf o 25. ( ) .3:.;4,1 Atsxx x xxf o =      += 26. ( ) ( ) .5,10:.Ats;2x,1xx2xf o 2 =+= 27. ( ) . 81 17:.;1, 45 13 Atsx x xxf o = + − = 28. ( ) . 2 1:.;1, 84 12 −= − − = Atsx x xxf o 29. ( ) .3:.;1, 22 3 −= − = Atsx xx xxf o 30. ( ) .13:.;1,156 2 3 Atsx x xxxf o −= +− = 31. ( ) . 49 24:.Ats;2x, 1x 1xxf o3 3 −= − + = 32. ( ) .1:.;0, 31 21 −= + + = Atsx x xxf o 33. ( ) .75,1:.;1, 31 32 −= − − = Atsx x xxg o 34. ( ) .7:.;1, 21 32 Atsx x xxf o = − + = 35. ( ) . 4 1:.;1, 3 3 Atsx xx xxf o = − = 36. ( ) . 8 5:.;1, 52 3 −= − − = Atsx x xxxu o Raskite funkcijų išvestines: 37. ( ) ( ) .319:.;31 23 xAtsxy −−−= 38. ( ) ( ) .36:.;3 2232 −−= xxAtsxy 39. ( ) ( ) .3x4x24:.Ats;3x4y 2232 −−= 40. ( ) ( ) .213:.;21 2 3 x xAtsxy −− −= 41. ( ) ( ) .1220:.;12 910 ++= xAtsxy 42. ( ) ( ) .5312:.;35 34 −−= xAtsxy 43. ( ) ( ) . 23 1:.?;1,3 3 3 2 Atsfxxf −′+= 44. ( ) ( ) ( ) .0:.?;0,14 32 Atsfxxf −′−= 45. ( ) ( ) . 135 54:.;133 5 22 5 32 − −= x xAtsxy 46. ( ) . 1 2:.;1 3 3 2 3 23 + += x xAtsxy 47. . 632 32:.;63 2 2 ++ + ++= xx xAtsxxy 48. . 4 :.;4 2 2 x xAtsxy − − −= 49. ( ) ( ) .5,1:.?;2,43 2 Atsfxxf −′+= 50. ( ) ( ) . 2 3:.?;2,12 Atsftttf −′+−= 51. ( ) ( ) . 3 21:.?;2,165 2 Atsfxxf −′+= 52. ( ) ( ) .5,3:.;3,1 2 Atsfxxxf ′+= 53. ( ) . 3 3:.;36 2 3 22 − −+= x xAtsxxy 54. ( ) ( ). 1 13:.;11 2 2 22 − − −+= t ttAtsttS 55. ( ) . 2121 23:.; 21 21 xx xAts x xy −− − − + = 56. ( ) . 11 3:.; 1 3 222 −− − − = xx Ats x xy PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 19 57. . x9x 9:.Ats; x x9y 22 2 + −+ = 58. ( ) . 44 8:.; 4 2 222 +++ = xx Ats x xy 59. ( ) ( ) . t1t2 1:.Ats; t t1tf 3 − − − = 60. ( ) ( ) ( ) . 12 1 :.; 1 2+ + + = xx xx Ats x xxf 61. ( ) . 11 :.; 1 1 222 ++ − + = xx xAts x y 62. ( )( ) ( ) .2112:.;1 33 22 2 xx xxxAts xx xy − −−+       − + = 63. .35ln52:.;352 xxxx eAtsey +⋅+⋅= 64. ( ).2:.;2 += xxeAtsexy xx 65. ( ).3ln13:.;3 += xxxx eAtsey 66. ( ). 2 2ln1:.; 2 x x x x eAtsey − = 67. ( ) ( ) ( ) . 1 2:.?;1, 1 1 2e eAtsf e exf x x − − −− − + = 68. ( ) . 2e e7:.Ats; 2e e5y 2x x x x + − + − = 69. .2:.; 22 xx eAtsey = 70. .2:.; 22 xx xeAtsey −− −= 71. . 2 :.; x eAtsey x x= 72. .3ln34:.;3 22 22 xx xAtsy = 73. .2ln2:.;2 1 x Atsy x x − = 74. ( ) .4:.; 2xxxx xx ee Ats ee eey −− − ++ − = 75. ( ) .3:.; 233 xx exxAtsexy +⋅= 76. ( ) ( ) .2:.?;1,12 2 eAtsfexf x −′= − 77. ( ) ( ) ( ) . 21 4:.?;1, 2 2 2e eAtsf e exf x x − −−−′ − + = 78. ( ) ( ) .2:.;1 xx exAtsexy ++= 79. ( ) .12:.;1 2 2 x x exxAts e xy −−− + = 80. ( )( ) .212ln32:.;2 22 323 xxxx xxAtsxy ++ ++⋅= 81. ( ) ( ) .32:.;4 22 22 xx exxAtsexy −− +−+= 82. ( ) ( ) ( ) .2:.?;0,23 2 −−′−= Atsgxxxg x 83. ( ) . 12 :.; 1 2 ++ = x eAts x ey xx 84. ( ) ( ).16:.;1 3323 ++= xxx eeAtsey 85. ( ) .310:.; 3535 22 xxxx exAtsey −− −= 86. ( ) .232:.; 32332 22 xxxx exxxAtsexy ++ ++= 87. .23:.;ln3 2 x x Atsxxy −−= 88. ( ) ( ) .14:.?;2,ln4 3 Atsfxxxf −′+= 89. ( ) ( ) . 10ln2 2:.;42lg 2 2 + += x xAtsxy 90. . 2ln 1 2 1:.;log 2 xx Atsxxy ++= 91. ( ) ( ) . 10ln23 6:.;23lg 2 2 − −= x xAtsxy 92. . 1 2:.; 1 1ln 2x Ats x xy −− + = 93. . 2 1:.; 2 2ln x Ats x y + − + = 94. . 12 1:.;12ln − −= x Atsxy PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 20 95. ( ) ( ).13ln6:.;ln1 2 32 x xxxAtsxxy − +−= 96. ( ) .ln1 1 1:.; 1 ln 2       − − −− = x x x x Ats x xy 97. . ln3 ln2:.; ln3 2 2 x xxxAts x xy − = 98. ( ).1ln2:.;ln2 += xxAtsxxy 99. ( ) . 3ln31 1:.; 13 3log3 xx Ats x xy −− = 100. ( ) . 4lnx1 x4:.; 1x 1xlogy 42 2 4 −− + = Ats 101. ( ) .ln:.;ln1 xAtsxxy −−= 102. ( ) ( ) .5:.?;3,ln32 Atsftttf −′−= 103. ( ) . ln1 1:.; ln1 ln 2xx Ats x xy −− = 104. ( ) ( ) . 1x2x x12:.Ats; x 1x2lny 2 − −− = 105. ( ) ( ) ( )( ).13ln3ln2:.;3ln 22 += xxxAtsxxy 106. ( ) ( ) .4:.?;, ln2 2ln e Atsef x xxf −′ − + = 107. ( ) ( ) . 4ln3 3:.;3log 3 4 − −= x Atsxy 108. ( ) ( ) . 1 2ln2:.;2 1ln 1ln + = + + x Atsy x x 109. . ln 2:.; ln 2ln 2 xx Ats x xy − = 110. ( ) . 32 4:.;32ln 2 2 − −= x xAtsxy 111. . 2 1:.;2ln x Atsxy = 112. . 1 1:.; 1 1ln 2 −+ − = x Ats x xy 113. ( ) ( ) . 12 12ln4:.;12ln 2 + + += x xAtsxy 114. ( ) ( ) .3ln3:.;3ln 2 3 x xAtsxy = 115. ( ) ( ) . 5 15ln:.;5ln 11       + +++= ++ x xeAtsxey xx 116. ( ) ( ) . 3ln12 16:.;21log 2 42 3 − −= x xAtsxy 117. .ln6:.;ln 5 6 x xAtsxy = 118. .1:.; 3 3 x x x ex eAtsexy + + += 119. .sin3cos2:.;sin2cos3 xxAtsxxy −+= 120. .2cos:.;sincos xAtsxxy ⋅= 121. . x2sin 4:.Ats; ctgx 1ctgxy 2−−= 122. ( ) .2:.?; 4 , sin 1sin Atsf x xxf −     ′− = π 123. . sin 2:.;2 2 x Ats tgx tgxy − + = 124. .sin2cos:.;sin 32 x xxxAts x xy − = 125. . xsin2 xcos:.Ats; x2sin xcosy 2−= 126. ( ) ( ).5cos2:.;5sin 22 ++= xxAtsxy 127. .3sin9:.;3cos3 xAtsxy −= 128. . x3cos 1:.Ats; 3 x3tgy 2= 129. ( ) ( ). 12cos 6:.;123 2 + += x Atsxtgy 130. ( ) ( ).13sin6:.;13cos 22 −−−= xxAtsxy 131. . cos3 2:.; 3 223 3 2 xx Atsxtgy = 132. ( ) ( ).24sin6:.;12sin3 2 −−= xAtsxy 133. ( ) . 2 33:.?; 6 ,sin3 2 Atsfxxf −     ′= π 134. ( ) .2:.?; 4 ,sin 2 Atsfxtgxxf −     ′= π 135. .cossin15:.;sin5 23 xxAtsxy = PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 21 136. ( ) ( ) ( ) .32cos3236:.;32sin3 32232 −−−= xxxAtsxy 137. ( ) . cos14 2sin:.;cos1 4 32 4 2 x xAtsxy + −+= 138. . sin2 1:.; 2 xx Atsxctgy −= 139. .sin2:.;sin 222 xxtgAtsxtgxy += 140. ( ). cos cos2sin:.;sin 3 22 2 x xxAtsxxtgy + = 141. ( ) ( ) . 4cos1 4sin20:.; 4cos1 1 65 x xAts x y ++ = 142. ( ) . cos1 2sin:.; cos1 cos 222 2 x xAts x xy + − + = 143. .6sin6:.;3cos2 2 xAtsxy −= 144. . sin2 cos:.;sin x xAtsxy = 145. ( ) .sinln2:.;sinln 2 ctgxxAtsxy ⋅= 146. . cos :.; 4 1 2 3 4 x xtgAtsxtgy = 147. .sin:.;sin2sincos2cos xAtsxxxxy −+= 148. . 2 cos:.; 2 sin2 xAtsxy = 149. .3sin:.;3cos 3 1 xAtsxy −= 150. . 2 sin5cos:.; 2 cos2 5 5sin xxAtsxxy +−= 151. ( )( ) .92:.;33 −−+= xAtsxxxy 152. ( ) . 3x x12:.Ats; 3x 3xy 222 2 − − − + = 153. .11:.;432 33 xxxx Ats xx y −+−= 154. ( ) ( ) .4330:.;43 4252 ++= xxAtsxy 155. . ln 2:.; ln 2ln 2 tt Ats t ty − = 156. ( ) ( ).1x3sinx6:.Ats;1x3cosy 22 −−−= 157. ( ) ( ) ( ) . 1 2:.;1, 1 1 2+ ′ + − = e eAtsfrasti e exf x x 158. . 2 1:.;cosln tgxAtsxy −= 3 Aukštesnių eilių išvestinės Jeigu y′ yra funkcijos y5f(x) išvestinė, tai ( )′′y vadinama funkcijos y5f(x) antrąja išvestine (arba antros eilės išvestine). Antroji išvestinė žymima ( )xfarbay ′′′′ . Antrosios išvestinės išvestinė vadinama trečiąja išvestine, t.y. ( )′′′=′′′ yy ir t.t. Pavyzdys ( ) ;3x4x3x2y 2 += ′ +=′ ( ) ( ) ;43x4yy =′+=′′=′′ ( ) .04yy =′=′′′=′′′ Pratimai Raskite funkcijų antrąsias išvestines: 1. .2:.;2 Atsxy = 2. .:.;; 6 3 xAtsxy = 3. ( )( ) .636:.;2312 2 −−−= xAtsxxy 4. .6:.; 42 −−= xAtsxy PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 22 5. . 9 2:.; 3 3 2 xx Atsxy −= 6. . 9 2:.; 3 2 3 xx Atsxxy −−= 7. ( ) ( ).136:.; 232 ++= xAtsxy 8. .2sin4:.;2sin xAtsxy −= 9. ( ) ( ) ( ) . 2 1:.;2,ln1 −′′−= AtsSrastixxxS 10. ( ) ( ) . 2 1:.;0, 2 2ln −′′ + = Atsgrasti x xg 4 Funkcijos diferencialas Funkcijos y5f(x) diferencialu dy vadinama sandauga ( ) xxf ∆⋅′ , t.y. ( ) .xxfdy ∆′= Diferencialo formulėje vietoje x∆ galima rašyti dx, nes pagal apibrėžimą funkcijos y5x diferencialas .xx1xxdx ∆=∆⋅=∆′= Taigi, ( ) .dxxfdy ′= Iš čia išplaukia ( )xf dx dy ′= , t.y. funkcijos išvestinė yra lygi funkcijos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui. Funkcijos diferencialas dažnai naudojamas matematikoje skaičiuojant funkcijų reikšmes, taip pat vertinant paklaidų didumą. Tai daroma remiantis tuo, kad funkcijos pokytis yra apytiksliai lygus funkcijos diferencialui, kai argumento pokytis mažas, t.y .dyy ≈∆ Ši lygybė išplaukia iš išvestinės apibrėžimo ( ) . dx dy x ylimxf 0x = ∆ ∆ =′ →∆ Funkcijos y5f(x) diferencialo diferencialas vadinamas antruoju diferencialu (arba antrosios eilės diferencialu) ir žymimas ( )xfdarbayd 22 . Taigi, ( )dydyd 2 = . Analogiškai ( )yddyd 23 = ir t.t. Rasime antros eilės diferencialą: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 22 dxxfdxdxxfdxxfddxxfddydyd ′′=′′=′=′== . Taigi, ( ) 22 dxxfyd ′′= . Pavyzdžiai 1. Raskite funkcijos xsiny 2= pirmosios eilės diferencialą. Sprendimas ( ) ( ) .xdx2sinxdxcosxsin2dxxsindxxfdy 2 == ′ =′= 2. Apskaičiuokite 6 66 . Sprendimas Skaičius 6 66 yra funkcijos 6 xy = reikšmė taške x566. Šios funkcijos reikšmė taške 64x 0 = žinoma: .2646 = Kadangi ( ) ( ) ( ) ( ) dyxfxxftai,xfxxfydy 0000 +≈∆+−∆+=∆≈ . ( ) ( ) ( ) ( ) .0104,02 646 1x x6 1xxxxfdy;264fxf 6 56 5 6 0 ≈⋅=∆=∆ ′ =∆′=== Taigi, .0104,20104,02666 =+≈ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 23 Pratimai Raskite funkcijų pirmosios eilės diferencialus: 1. .24:.;2sinln 2 xdxtgdyAtsxy == 2. ( ) .:.;1 dxxedyAtsexy xx =−= 3. . 22 3:.;2 3 2 3 − =−= x dxxdyAtsxy 4. .2:.;cosln 2 tgxdxdyAtsxy −== 5. ( ) ( ) .1:.;32 22 dxexdyAtsexxy xx +=+−= 6. . 2cos 2:.; 4sin 4cos1 2 x dxdyAts x xy = − = Apskaičiuokite apytiksles funkcijų reikšmes taške x: 1. ( ) .66,18:.;03,3,323 Atsxxxxxf =−+−= 2. ( ) .6,87:.;02,3,153 23 Atsxxxxxf =−+−= 3. ( ) .3,2:.;1,1,12 2 Atsxxxxf =+−= 4. ( ) .58,39:.;01,2,325 3 Atsxxxxf =+−= 3 Išvestinių taikymas 1 Funkcijos didėjimas ir mažėjimas Jeigu funkcija y5f(x) turi teigiamą išvestinę kiekviename intervalo (a;b) taške, tai funkcija didėja tame intervale, o jeigu funkcija turi neigiamą išvestinę kiekviename intervalo (a;b) taške, tai ji mažėja tame intervale. Funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai vadinami monotoniškumo intervalais. Funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai nustatomi tokia tvarka: 1. Randami funkcijos kritiniai taškai. Kritiniais taškais laikomi tokie taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui arba neapibrėžta. 2. Skaičių tiesėje atidedami kritiniai taškai, dalinantys apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė turi pastovų ženklą. 3. Nustatomas išvestinės ženklas kiekviename iš gautųjų intervalų. Jei ( ) 0xf >′ - funkcija didėja, o jei ( ) 0xf ′ 0y ′ 4 -1 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 24 Pratimai Raskite funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus: 1. ;5123 2 +−= xxy Ats.: didėja, kai xe(2;+:); mažėja, kai xe(-:;2). 2. y53-4x-x2; Ats.: didėja, kai xe(-:;-2);mažėja, kai xe(-2;+:). 3. f(x)52x2-8x+5; Ats.: didėja, kai xe(2;+:); mažėja, kai xe(-:;2). 4. g(x)55-6x-x2; Ats.: didėja, kai xe(-:;-3); mažėja, kai xe(-3;+:). 5. y5 106 2 5 3 1 23 −+− xxx ; Ats.: didėja, kai xe(-:;2) ir xe(3;+:); mažėja, kai xe(2;3). 6. f(x)5 ; 3 1 2 161 32 xxx −++ Ats.: didėja, kai xe(-2;3); mažėja, kai xe(-:;-2) ir xe(3;+:). 7. S(t)5 ;4 3 5 5 1 35 ttt +− Ats.: didėja, kai te(-:;-2), te(-1;1) ir te(2;+:); mažėja, kai te(-2;1) ir te(1;2). 8. y5 ;5 4 1 234 −−+− xxx Ats.: didėja, kai xe(-:;0) ir xe(1;2); mažėja, kai xe(0;1) ir xe(2;+:). 9. y5 ;6 4 1 234 −+− xxx Ats.: didėja, kai xe(0;1) ir xe(2;+:); mažėja, kai xe(-:;0) ir xe(1;2). 10. f(x)5(1-lnx)x; Ats.: didėja, kai xe(0;1); mažėja, kai xe(1;+:). 11. f(x)5xlnx; Ats.: didėja, kai x       +∞∈ ;1 e mažėja, kai xe .1;0       e 12. y5lnx2; Ats.: didėja, kai xe(0;+:); mažėja, kai xe(-:;0). 13. ;1ln x y = Ats.: mažėja, kai xe(0;+:). 14. y5 ; 2xe Ats.: didėja, kai xe(0;+:); mažėja, kai xe(-:;0). 15. ( ) ;533 ++= x xxf Ats.: didėja, kai xe(-:;-1) ir xe(1;+:); mažėja, kai xe(-1;0) ir xe(0;1). 16. ( ) ;21 ++= x xxf Ats.: didėja, kai xe(-:;-1) ir xe(1;+:); mažėja, kai xe(-1;0) ir xe(0;1). 17. ; 2 1 x y = Ats.: mažėja, kai xe(-:;0) ir xe(0;+:). PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 25 18. y5 ; 2 4 x− Ats.: didėja, kai xe(-:;2) ir xe(2;+:). 19. ( ) ; 1 3 t ttf − = Ats.: didėja, kai te(-:;0), te(0;1) ir te ;; 2 3       +∞ mažėja, kai te .; 2 3       +∞ 20. ;1 2xy −= Ats.: didėja, kai xe(-1;0); mažėja, kai xe(0;1). 2 Funkcijos ekstremumai Jei funkcijos išvestinė, pereidama (iš kairės į dešinę) kritinį tašką 0x keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai 0x - maksimumo taškas, o jei iš minuso į pliusą, tai 0x - minimumo taškas. Jei išvestinė, pereidama kritinį tašką, ženklo nekeičia, tai tame taške ekstremumo nėra. Funkcijos minimumo ir maksimumo taškai vadinami jos ekstremumų taškais, o funkcijos reikšmės tuose taškuose – jos maksimumu ir minimumu arba ekstremumu. Funkcijos ekstremumai nustatomi tokia tvarka: 1. Randami funkcijos kritiniai taškai. 2. Skaičių tiesėje atidedami kritiniai taškai, dalinantys apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė turi pastovų ženklą. 3.Nustatomas funkcijos išvestinės ženklas kiekviename iš gautų intervalų. Jei funkcijos išvestinė, pereidama kritinį tašką, keičia ženklą iš “+” į “-“ tai maksimumo taškas, jei keičia ženklą iš “-“ į “+” – minimumo taškas, o jei ženklo nekeičia – ekstremumo nėra. 4. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes ekstremumų taškuose. Pavyzdys Raskite funkcijos 42 x 2 1xy −= ekstremumus. Sprendimas Randame funkcijos kritinius taškus: D(y)5 ( )+∞∞− ; ; ( ) ( )( ) .1x,0x,1x;0x1x1x2x1x2x2x2x 2 1xy 321 2342 ==−==+−=−=−= ′       −=′ Skaičių tiesėje atidedame kritinius taškus ir nustatome išvestinės ženklus kiekviename iš gautų intervalų: ( ) ( ) ( ) ; 2 1 2 111 2 111yy 42 max =−=±−±=±= ( ) .00 2 100yy 42 min =⋅−== min max max 1 0 -1 0y ′ 0y >′ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 26 Pratimai Raskite funkcijų ekstremumus: 1. ; 2 1 42 xxy −= Ats.: ymax5y(61)5 2 1 ; ymin5y(0)50. 2. ;32 2 1 3 2 3 +−−= xxxy Ats.: ymax5y(-1)5 6 14 ; ymin5y(2)5 3 1 − . 3. y5x4-2x3-2x2; Ats.: ymax5y(0)50; ymin5y(-0,5)5 ; 16 3 − ymin5y(2)5-8. 4. y5x4-2x2+1; Ats.: ymax5y(0)51; ymin5y(61)50. 5. f(x)50,5x2-3x; Ats.: fmin5f(3)5-4,5. 6. f(x)52x3+6x2-18x+120; Ats.: fmax5f(-3)5174; fmin5f(1)5110. 7. f(x)53x4-4x3; Ats.: fmin5f(1)5-1. 8. f(t)5 ; 3 82 23 23 +−+ ttt Ats.: fmax5f(-2)56; fmin5f(1)51,5. 9. ( ) ; 2 1 23 23 ++−= xxxf Ats.: fmax5f(1)5 3 2 ; fmin5f(0)50,5. 10. ( ) ;62 24 +−= xxxf Ats.: fmax5f(0)56; fmin5f(61)55. 11. ( ) ;18 24 −+−= xxxf Ats.: fmax5f(62)515; fmin5f(0)5-1. 12. ( ) ( );33 2 −= xxxf Ats.: fmax5f(0)50; fmin5f(1,2) ≈ -2. 13. ( ) ;33 2 xxxf −= Ats.: fmax5f(8)54; fmin5f(0)50. 14. ( ) ;3 xxf = Ats.: Ekstremumų nėra. 15. ( ) ;3 3 x xxf += Ats.: fmax5f(-3)5-2; fmin5f(3)52. 16. ( ) ;2 xexxf −= Ats.: fmax5f(2)5 2 4 e ; fmin5f(0)50. 17. ( ) ;ln xxxf = Ats.: fmin5f( e 1 )5- .1 e 18. ( ) ;xx eexf −+= Ats.: fmin5f(0)52. 19. ( ) ;cossin xxxf += Ats.: fmax5f( ππ k24 + )5 2 , keZ; fmin5 ( ) .,224 5 Zkkf ∈−=+ ππ 20. ( ) ;2sin xxxf −= Ats.: fmax5f( 6 π )5 62 3 π− ; fmin5f( 6 π− )5 .2 3 6 −π 3 Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė duotame intervale Norint surasti tolydžios funkcijos duotame intervale didžiausią ir mažiausią reikšmes, reikia: 1. Rasti kritinius taškus priklausančius tam intervalui. 2. Apskaičiuoti funkcijos reikšmes tuose taškuose. 3. Apskaičiuoti funkcijos reikšmes intervalo galuose. 4. Palyginti gautąsias reikšmes. Mažiausioji ir didžiausioji iš jų ir bus funkcijos mažiausioji ir didžiausioji reikšmės tame intervale. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 27 Pavyzdžiai 1. Raskite funkcijos ( ) 3xx3xf −= didžiausią ir mažiausią reikšmes intervale [0;2]. Sprendimas Surandame kritinius taškus: ( ) ( ) .1x,1x;0x13x33xf 21 22 =−==−=−=′ Į duotą intervalą patenka tik vienas kritinis taškas 1x 2 = . Skaičiuojame funkcijos reikšmes taške 1x 2 = ir intervalo galuose: ( ) ( ) ( ) .22232f;21131f;00030f 333 −=−⋅==−⋅==−⋅= Gavome, kad ( ) ( ) ( ) ( ) .22fxfminir21fxfmax ]2;0[]2;0[ −==== 2. Dviejų neneigiamų skaičių suma lygi 4. Kokie turi būti tie skaičiai, kad jų kvadratų suma būtų mažiausia? Sprendimas Tarkime, kad vienas iš tų skaičių yra x, tada antrasis lygus 4-x. Jų kvadratų sumą pažymėsime y: ( )22 x4xy −+= . Lieka nustatyti šios funkcijos mažiausią reikšmę, kai [ ]4;0x ∈ . ( ) ( ) ( ) ( ) .164y,82y,160y;2x;08x416x8x2y 2 =====−= ′ +−=′ Mažiausią reikšmę funkcija įgyja taške x52. Vadinasi, tie skaičiai turi būti 2 ir 2. Pratimai Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes duotame intervale: 1. ( ) ;242 23 +−−= xxxxf ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) .31min; 27 133 3 2max:. 1;11;1 −===     −= −− fxffxfAts xe[-1;1]; 2. ( ) [ ];3;0,344 −+−= xxxf ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) .723fxfmin;01fxfmax:.Ats 3;03;0 −==== 3. ( ) [ ];4;1,562 −+−= xxxf ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) .43min;121max:. 4;14;1 −===−= −− fxffxfAts 4. ( ) [ ];3;0,782 2 −+−= xxxf ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) .70min;12max:. 3;03;0 −==== fxffxfAts 5. ( ) [ ];7;1,782 −+−= xxxf ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) .94min;161max:. 7;17;1 −===−= −− fxffxfAts 6. ( ) [ ];2;1,33 −−= xxxf ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) .21min;221max:. 2;12;1 −====−= −− fxfffxfAts 7. ( ) [ ];2;2,4 3 −−= xxxf ( ) [ ] ; 9 316 3 32max:. 2;2 =      = − fxfAts ( ) [ ] 9 316 3 32min 2;2 −=      −= − fxf . 8. ( ) [ ];3;2,43 −−= xxxf ( ) [ ] ( ) ;153max:. 3;2 == − fxfAts ( ) [ ] . 9 316 3 32min 3;2 −=      = − fxf 9. ( ) [ ];1;2,3 −−= xxxf ( ) [ ] ( ) ;62fxfmax:.Ats 1;2 =−= − ( ) [ ] 9 32. 3 3fxfmin 1;2 −=      −= − . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 28 10. ( ) [ ];1;1, 2 −= xexf ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) .10min;1max:. 1;11;1 ===±= −− fxfefxfAts 11. ( ) [ ];;1,ln exxf = ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) .01min;1max:. ;1;1 ==== fxfefxfAts ee 12. ( ) [ ];4;1,2 2 x xxf += ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) .22min;5,241max:. 4;14;1 ===== fxfffxfAts 13. ( ) ; 4 3; 6 ,2sin    = ππxxf ( ) ( ) .1 4 3min;1 4 max:. 4 3; 64 3; 6 −=     ==     =         ππ ππππ fxffxfAts 14. Iš stačiakampio skardos lakšto, kurio kraštinės 80 cm ir 50 cm, reikia pagaminti dėžutę be dangčio, išpjaunant kampuose kvadratus ir užlenkiant lakšto kraštus. Kokia turi būti išpjaunamų kvadratų kraštinė, kad dėžutės tūris būtų didžiausias? Ats.:10 cm. 15. Prie namo sienos reikia aptverti 120 m ilgio vielos tinklu stačiakampį žemės sklypą. kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad jo plotas būtų didžiausias? Ats.:30 m; 60m. 16. Skaičių 10 išskaidykite į 2 dėmenis taip, kad jų sandauga būtų didžiausia. Ats.:5 ir5. 17. Dviejų teigiamų skaičių suma lygi 6. kokie turi būti tie skaičiai, kad jų kubų suma būtų mažiausia? Ats.:3 ir3. 18. Iš 10 dm ilgio vielos gabalo reikia išlankstyti didžiausio ploto stačiakampį. Apskaičiuokite jo kraštines. Ats.:2,5 dm ir 2,5 dm. 19. Į atvirą baką, kurio pagrindas kvadratas, turi tilpti256 litrai benzino. Kokių matmenų bakui pagaminti bus sunaudota mažiausia medžiagų? Ats.:8 dm, 8 dm ir 4 dm. 20. Į rodykite, kad iš visų stačiųjų trikampių, kurių įžambinė duota, lygiašonio trikampio plotas yra didžiausias. 21. Skaičių 6 išskaidykite į 2 dėmenis taip, kad prie vieno skaičiaus pridėjus kito kvadratą, gautoji suma būtų mažiausia. Ats.:5,5 ir0,5. 22. kokia turi būti a reikšmė, kad lygties x2-(a-2)x-a-350 šaknų kvadratų suma būtų mažiausia? Ats.:1. 23. Langas yra stačiakampio, viršuje sujungto su pusskrituliu, formos. Lango perimetras 8 m. Koks turi būti pusskritulio spindulys, kad langas praleistų daugiausia šviesos? Ats.: . 4 8 +π 24. Į apskritimą įbrėžtas mažiausio perimetro stačiakampis. Jo plotas lygus 16 cm2. Apskaičiuokite apskritimo spindulį. Ats.: 22 cm. 25. Lygiašonės trapecijos šoninė kraštinė ir trumpesnysis pagrindas lygus 40 cm. Koks turi būti ilgesnysis pagrindas, kad trapecijos plotas būtų didžiausias? Ats.:80 cm. 26. Kūgio sudaromoji lygi 320 cm. Kokia turi būti kūgio aukštinė, kad jo tūris būtų didžiausias? Ats.:20 cm. 27. Apie rutulį, kurio spindulys r, apibrėžtas kūgis. Raskite jo aukštinę. Ats.:4r. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 29 28. Į rutulį, kurio spindulys lygus 3 cm, įbrėžtas kūgis. Kokia turi būti kūgio aukštinė, kad jo tūris būtų didžiausias? Ats.:4 cm. 29. Į rutulį, kurio spindulys lygus 3 cm, įbrėžtas didžiausio tūrio ritinys. Raskite jo tūrį. Ats.:4 cm. 4 Funkcijų tyrimas ir grafikų braižymas Funkcijos grafiką galima braižyti atidedant plokštumoje atskirus taškus. Tas metodas netobulas, nes funkcijos kitimo vaizdą ne visada galima susidaryti, net ir apskaičiavus daugelio taškų koordinates. Pasinaudoję funkcijos išvestine, galima gauti tikslesnę funkcijos kitimo eigą, nustatyti būdingus grafiko taškus. Prieš braižant grafiką reikėtų ištirti funkciją. tyrimą galima atlikti pagal tokią schemą: 1. Nustatoma funkcijos apibrėžimo sritis. 2. Ištiriamas funkcijos lyginumas ir periodiškumas. 3. Surandami taškai, kuriuose grafikas kerta koordinačių ašis. 4. Randami monotoniškumo intervalai ir ekstremumai. 5. Braižomas grafikas. Tiriant konkrečią funkciją, kai kuriuos klausimus galima praleisti, papildyti. Grafikui patikslinti galima papildomai parinkti keletą taškų. Pavyzdys Ištirkite funkciją 4x5xy 24 +−= ir nubraižykite jos grafiką. Sprendimas 1. Funkcijos apibrėžimo sritis: D(y) ( )+∞∞−= ; . 2. Funkcija lyginė, nes ( ) ( ) ( ) ( )xy4x5x4x5xxy 2424 =+−=+−−−=− . Reiškia funkcijos grafikas simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu. 3. Randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta koordinačių ašis: kai x50, 44050y 24 =+⋅−= ; kai y50, .2xir1x,04x5x 24 ±=±==+− Susikirtimo taškai: (0;4), (-2;0), (-1;0), (1;0), (2;0). 4. ( ) ( )( ) .5,2x,0x;05,2x5,2xx45,2xx4x10x4y 23 ±===−+=−=−=′ ( ) ( ) .25,25,2yy;40yy minmax −=±=== 5. Braižome funkcijos grafiką. Pradžioje atidedame grafikui budingus taškus, t.y. taškus, kuriuose grafikas kerta koordinačių ašis, funkcijos ekstremumus. Vėliau taškus sujungiame atsižvelgdami į tyrimo rezultatus: mažėja mažėja didėja didėja min min max 5,2 0 5,2− 0y ′ 0y >′ PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 30 Pratimai Ištirkite funkcijas ir nubraižikite jų grafikus: 1. .910 24 +−= xxy 2. .423 23 +−= xxy 3. .4 42 xxy −= 4. .3 xxy += 5. .33 xxy −= 6. .453 2 −+−= xxy 7. .123 2 xxy +−= 8. .98 24 ++−= xxy 9. .23 23 +−= xxy 10. .396 23 −+−= xxxy 11. . 12 + = x xy 12. .42 x xy − = 13. .ln xxy = 14. . 2xey = 15. .2 12 +−= xy 16. ( ) . 1 3 4 x xy + = 17. . 1 1 4       − + = x xy 18. .ln2 xxy = 19. ( ) . 1 2− = x xy 20. ( ).22ln 2 +−= xxy 21. ( ) . 2 1 2 − + = x xy 22. . 1 1 2x y − = 23. . 42 − = x xy x -2,25 2 1 5,2 5,2− -1 -2 4 y PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!