Koncentracijos funkcijos

Koncentracijos funkcijos Atsitiktinio dydžio koncentracijos funkcija apibrėžiama lygybe: , . nemažėjanti funkcija nuo , tenkinanti nelygybę , . Hioderio nelygybė: Tegul p, q – teigiami dydžiai ir . Tada . Jenseno nelygybė: Tegu - tikimybinis matas, g – teigiama iškilioji funkcija ir - atsitiktinio dydžio X -integruojamoji realioji funkcija. Tada čia E- matematinė viltis. Lema 1: Visiems neneigiamiems a ir egzistuoja nelygybė: kur - didžiausias sveikas skaičius, ne didesnis už a. Įrodysime lemą, kuria pasinaudosime norėdami įrodyti Kolmogorovo-Ragozino nelygybę. Tegu - spektrinė Levi funkcija begalinio daliklio charakteristinei funkcijai , . Levi formulė: Kad funkcija būtų begalinio daliklio charakteristinė funkcija, būtina ir pakanka, kad ji įgytų pavidalą kur - reali konstanta - neneigiama konstanta, funkcija nemažėja intervaluose ir ir tokia, kad , kiekvienam baigtiniam . Lema 2: Tegul - neneigiamos konstantos, - teigiama konstanta. Visiems teigiamiems , iš kurių kiekviena nedidesnė už , egzistuoja nelygybė: (1) kur - absoliuti teigiama konstanta. Įrodymas: Pasinaudojus nelygybe , kuri teisinga su reikšme , turim, kad ir (2) Įveskime dydžius: , , , Pažymėkime (1)-os nelygybės kairiąją pusę raide I. Į (2)-ąją ir (1)-ąją nelygybes įsistatę naujas reikšmes turime, kad . (3) Tarkim , , , , Tokiu būdu . (4) Skaitykime, kad visi , . (3)-iosios nelygybės dešinei pusei pritaikę Hiolderio nelygybę, gausime , (5) čia - pasiskirstymo funkcija, tokia, kad: Įvertinsime kiekvieną integralą, esantį (5)-os nelygybės dešinėje. Akivaizdu, kad . Norėdami įvertinti , , pasinaudosime Jenseno nelygybe tolydžioms, iškilioms funkcijoms. Tarkime, kad ir . Gauname, kad . Keisdami integravimo tvarką, gauname . Parodysime, kad , kai (6) Laikykime, kad , ir . Pagal eilę iš paskutinės ir (4)-osios nelygybių išplaukia (1)-oji nelygybė. Pažymėkime kairiąją (6)-os nelygybės pusę . Jeigu , tai kai turime . Pasinaudoję nelygybe , kai , gausime ir Jeigu , tai pakanka įrodyti, kai . Tuo atveju pasinaudoję 1 Lema, gauname kai pointegralinė funkcija yra su periodu . Čia - didžiausias sveikas skaičius, ne didesnis už a. Jeigu , tai . Todėl . Iš nelygybės , kai seka, kad . Tokiu būdu , jeigu , . Lema įrodyta. ◄ Lema 3: Tegu - charakteristinės funkcijos ir koncentracijos funkcijos atsitiktinis dydis. Tada visiems ir . Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų koncentracijos funkcijose nelygybės Tegu - pasiskirstymo funkcijos atsitiktinis dydis, kad kiekvienam egzistuoja lygybė . Tarkime, kad ; čia ir yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija - . Jeigu - atsitiktinis dydis, tai bus atitinkamas jo simetrinis dydis. Kolmogorovo-Ragozino nelygybė: Tegul - nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, . Tegul - teigiami skaičiai, , . Tada egzistuoja absoliuti teigiama konstanta A, tokia, kad . Įrodymas: Tegul ir atitinka atsitiktinio dydžio pasiskirstymo ir charakteristines funkcijas. Pritaikysime 3 Lemą sumai . Į nelygybę įstatę , gausime , nes , čia Iš Teiloro eilutės gauname nelygybę: . Iš nelygybės visiems realiems išplaukia, kad . Atsitiktinio dydžio charakteristinė funkcija yra: Iš čia gauname, kad , kur - simetrinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Pasinaudoję šia lygybe gausime Iš čia išplaukia, kad . Integralo dešinei pusei galima pritaikyti 2 Lemos nelygybę kurios dėka turime: čia . Pagal dispersijos lygybę: turime, kad Gauname . Nelygybė įrodyta. ◄ Literatūra: 1. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. - М.: Наука, 1972. – 416 с. (47-50, 53–60) 2. Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции концентрации. - М.: Наука, 1980. – 176 с. (56-59, 62-63) 3. Kubilius J. Ribinės teoremos. – V.: Vilniaus universiteto leidykla, 1998. – 192 p. (69-74) 4.

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!