Telekomunikacijų teorija

 1. Paaiškinti apibendrintą ryšio sistemos (su grįžtamu ryšiu) struktūrą. Grįžtamojo ryšio kanalas x(t) Ryšio kanalas x(t) s(t) u(t) n(t) u(t)=s(t)+n(t) Apibendrinta ryšio sistemos struktūrinė schema Į ryšių linijas ir kanalus siunčiami signalai turi būti parinkti pagal naudojamos ryšio linijos savybes. Pavyzdžiui, norint ryšių linija perduoti skaitmeninį signalą – skaičių seką, ją tenka pakeisti tam tikra tolydžiųjų funkcijų seka, kuri fiziškai galėtų sklisti ta linija. Linija sklindantys signalai iškraipomi, prie signalų dar prisideda trukdžiai. Todėl priimant iškraipytus signalus taikomos įvairios ir gana sudėtingos apdorojimo procedūros, kurių tikslas – kuo tiksliau atkurti perduodamą pranešimą. Dėl n(t) triukšmų įtakos ryšio linijoje sklindantis signalas s(t) yra iškraipomas ir į priėmimo įrenginį patenka jau iškraipytas signalas u(t) = s(t) + n(t). Pranešimų imtuve iš aukštadažnio priimto signalo u(t) atstatomas pradinis pranešimo signalas x(t), kuris idealiu atveju turėtų būti identiškas pradiniam x(t). Tokia operacija yra vadinama demoduliacija ir vykdoma demoduliatoriuje. Schemoje parodyti siųstuvas, ryšio linija ir imtuvas sudaro ryšio kanalą. Aptartos struktūrinės schemos trūkumas tas, kad informacijos siuntėjas nežino, ar tiksliai ta informacija priimta. Grįžtamojo ryšio kanalo įvedimas leidžia minėtą trūkumą pašalinti. Jeigu signalas buvo priimtas klaidingai, tai jo siuntimas vėl kartojamas arba, kitaip realizavus, šiuo grįžtamojo ryšio kanalu gali būti tikrinami (kontroliuojami) tiesioginio ryšio kanalo parametrai. Tokios sistemos vadinamos grįžtamojo ryšio sistemomis. Pranešimai, kurių tikimybės nevienodos, teikia ir nevienodus informacijos kiekius. Pvz. pranešimas, kad Šveicarija neužpuolė Kanados, yra menkavertis, nes šio įvykio tikimybė artima 1. Ir priešingai, jeigu pranešimas tvirtintų, kad Šveicarija užpuolė Kanadą, tai pranešimas būtų labai vertingas, nes tikimybė artima 0. Galima teigti, kad pranešimo informacijos kiekis yra atvirkščiai proporcingas jo tikimybei, t.y. mažiausių tikimybių pranešimai teikia daugiausiai informacijos. Informacijos kiekis, kuris tenka pranešimo simboliams, yra siejamas su šaltinio kodavimu. Kai tikimybės p1, p2,…, pN viena nuo kitos labai skiriasi, galima teigti, kad toks šaltinis užkoduotas neracionaliai. Kodavimo racionalumui įvertinti naudojamas rodiklis, vadinamas perteklumu: r = 1 – = 1– pi log pi. (4.7) Kai šaltinio perteklumas yra didelis, tai jį galima sumažinti perkoduojant pranešimą taip, kad visi simboliai pasikartotų bent apytikriai vienodai dažnai. 5.Iš kokių požymių galima nustatyti, kad signalas yra periodinis? Periodiniams signalams galioja sąlyga, kad s(t) = s ( t + kT ), čia T - signalo periodas, k – daugiklis-sveikasis skaičius (1,2,3,…). Periodiniai signalai skirstomi į harmoninius ir daugiaharmonius. Periodinis signalas –tai paprasčiausias harmoninis signalas, aprašomas sinuso ar kosinuso funkcija. Pvz.: signalas x1(t) = U1 sin (2f1 t +) = U1 sin (ωt + ), kur U1 –virpesio amplitudė, T –virpesio periodas, f = 1/T, -virpesio pradinė fazė, kuri gali įgauti reikšmes intervale [0 - 2], fazei kintant laike virpesio vektorius sukasi pastoviu kampiniu dažniu ω = 2f1 6. Kokias žinote laikines ir spektrines signalų aprašymo formas? Jau buvo minėta, kad kiekvieną virpesį galima atvaizduoti laiko ašyje. Turėdami signalo išraišką kaip laiko funkciją, galime nustatyti tokius parametrus kaip signalo trukmė, galia, energija ir kt. Pav. s(t) signalo momentinė galia randama pagal tokią išraišką: p(t) = s2(t), kur s(t) – signalo įtampos ar srovės laiko funkcija, signalo energija laiko intervale, randama pagal tokią išraišką: W = = . Tačiau ne mažiau svarbios yra ir signalo dažninės charakteristikos. Norint jas nustatyti yra naudojama spektrinė signalo aprašymo forma, t.y. tokia forma, kurioje figūruoja signalo dažninės dedamosios (harmonikos), signalo spektro plotis ir kt. Dažninėms charakteristikoms atvaizduoti naudojamos signalų spektrinės funkcijos – Furje transformacijos: Furje eilutės – periodiniams signalams, Furje integralai – neperiodiniams ir atsitiktiniams signalams. Atliekant signalų ir sistemų analizę dažniausiai yra naudojami du metodai: • laikinis; • spektrinis. Pirmuoju metodu tiriamas sistemą perėjusio signalo formos pasikeitimas, o antruoju metodu – signalo spektro pasikeitimas sistemos išėjime. Abiem metodais gaunami tie patys rezultatai, todėl vieno ar kito metodo pasirinkimas priklauso nuo signalo formos sudėtingumo. Esant sudėtingam įėjimo signalo spektrui, patogiau ir paprasčiau yra naudotis pirmuoju metodu. Periodinių signalų spektrinė analizė. Periodinių signalų analizei kaip vienas iš metodų yra naudojamas signalų skaidymas (skleidimas) ortogonaliųjų funkcijų sistemomis. Sudėtingos formos signalas s(t) gali būti išreikštas ortogonaliųjų funkcijų sistema φ0(t), φ1(t), φ2(t),... φn(t) ir koeficientais Cn tokia priklausomybe: s(t) = C0 φ0(t) + C1 φ1(t) +...+ Cn φn(t) = . (1) Sudėtingos formos signalai gali būti skleidžiami pagal tokias ortogonaliųjų funkcijų sistemas: trigonometrines, Uolšo, Lagero funkcijas, Čebyševo polinomus ir kt. Jų pagalba sudėtingos formos signalą galima išreikšti jau žinomų funkcijų dedamųjų (su tam tikromis amplitudėmis ir pradinėmis fazėmis) suma. Plačiausiai naudojama trigonometrinė bazinių funkcijų sistema, nes ji leidžia išreikšti sudėtinį signalą s1(t) + s2(t) paprastomis ortogonaliomis funkcijomis. Pavyzdžiui, sudėtingos formos signalas s(t) = s1(t) +0,5s2(t) gali būti išreikštas dviejų atitinkamų fazių ir dažnių harmoninių dedamųjų suma. Pateikto pavyzdžio signalą galima būtų išskleisti minėta trigonometrine bazinių funkcijų sistema naudojant ortogonaliąsias funkcijas: φ0(t) = 1; φ1(t) = cos ω1(t), φ'1(t) = sin ω1(t); φ2(t) = cos 2ω1(t), φ'2(t) = sin 2ω1(t); (2) φ3(t) = cos 3ω1(t), φ'3(t) = sin 3ω1(t); ............................................................. φ n(t) = cos nω1(t), φ'n(t) = sin nω1(t); Funkcijų ortogonalumo intervalu dažniausiai parenkamas jų periodas T = ir laiko intervalas . Funkcijai φ0(t) ortonormuoti imamas normavimo koeficientas , o funkcijai φn(t) - koeficientas . Tuomet normuota ortogonaliųjų trigonometrinių funkcijų sistema (2) gali būti užrašyta: φ0(t) = ; φ1(t) = cos ω1(t), φ'1(t) = sin ω1(t); φ2(t) = cos 2ω1(t), φ'2(t) = sin 2ω1(t); (3) ............................................................................... φ n(t) = cos nω1(t), φ'n(t) = sin nω1(t). Taigi, pasinaudojant (1) formule, bet kokios formos periodinį signalą galima aprašyti ortogonaliosiomis normuotomis trigonometrinėmis funkcijomis: s(t) = C0 φ0(t) + C1 φ1(t) +...+ Cn φn(t) = C0+ C1cos ω1(t)+...+C'1sin ω1(t)+ C2cos 2ω1(t)+ C'2sin 2ω1(t)+... (4) Bendru atveju, kadangi periodinio signalo funkcija tenkina Dirichle sąlygas (signalo kitimo greitis turi būti baigtinis, funkcija bent viename periode neturi trūkio taškų), tai šį periodinį signalą galima aprašyti viena iš šių Furje eilutės išraiškų, aprašytų trigonometrinėje formoje, kurios pertvarkymų būdu yra gautos iš trigonometrinės ortogonaliųjų funkcijų sistemos (3): u(t) = c0 + , (5) u(t) = d0 +, (6) u(t) = a0 ++, (7) čia k- k-tosios harmonikos kampinis dažnis; a0 = c0 = d0; ak = dkcos= cksin; bk = - dksin= ckcos; dk = ck =; tg= - ; = - arctg; tg= ; = arctg; = 90º . Nuolatinė dedamoji (5, 6, 7) išraiškose a0 = c0 = d0 = = , (8) o harmonikų amplitudės ak = = , (9) bk= = . (10) Harmonikos, sudarančios signalo spektrą, bendruoju atveju turės skirtingas amplitudes ir fazes. Periodinio signalo spektras sudarytas iš diskretinių dedamųjų. Toks signalo spektras yra vadinamas linijiniu (arba diskretiniu). Galima būtų parodyti, kad bet kurios formos periodinio signalo spektras yra linijinis, o spektro dedamosios (harmonikos) gaunamos tik esant kartotiniams dažniams kω1 ; čia k = 0,1,2,3,...- yra sveikieji skaičiai. Didėjant tokio signalo periodui, t.y. mažėjant jo dažniui, spektrinės linijos artėja viena prie kitos, nes ω1 = 2π/T. Praktiniams taikymams labai svarbi yra kompleksinė Furje eilutės forma: s(t) = , (11) kur eilutės koeficientai yra kompleksiniai dydžiai ir jie gali būti randami iš: . (12) Signalų teorijai Furje eilutė yra labai reikšminga. Ji yra taikoma signalų analizės procese skaidant signalus į atskiras harmonikas – elementarias dedamąsias (arba sandus). Išskaidžius signalą į atskiras harmonikas galima analizuoti kaip tos harmonikos pakinta jas perduodant per įvairias grandines ar linijas. Ji yra reikšminga ir vykdant atvirkščią veiksmą – sintezuojant signalus harmonikų sumavimo būdu. Paveiksle pateikta impulsinio signalo forma, atkurta trimis (k=5) ir penkiomis (k=9) harmonikomis. Kuo daugiau harmonikų įvertinama , tuo tiksliau yra atkuriama signalo forma. Pavyzdys: Jeigu turime periodinį signalą (meandro formos stačiakampių impulsų signalą), kuriam τ = T/2: tai šiam impulsiniam signalui apskaičiavus amplitudžių ir fazių spektrus, jie atrodytų taip: Matome, kad harmoninių dedamųjų amplitudės mažėja pagal 1/π dėsnį ir spektras yra sudarytas tik iš nelyginių harmonikų, spektro gaubtinė kinta pagal dėsnį, fazinės dedamosios kinta ribose ± π . 7.Kokio matematinio aparato pagalba galite paaiškinti, kad periodinio signalo spektras sudarytas iš atskirų harmonikų? Kas yra tos harmonikos? Kaip buvo minėta informacija – tai žinių apie kokį nors įvykį ar objektą visuma, o informacija išreikšta kokia nors forma ir skirta perduoti ryšio priemonėmis vadinama pranešimu. Elektriniai virpesiai kai jie perneša informaciją yra vadinami signalais. Signalai yra skirti informacijai ar duomenims perduoti kai nepriklausomas kintamasis yra laikas. Virpesiai, trukdantys priimti informaciją, yra vadinami trukdžiais. Riba tarp signalo ir trukdžio yra gana sąlyginė. Kai kada tas pats signalas vienam vartotojui gali būti naudingas signalas, o kitam trukdis. Nevalia painioti trukdžius su iškraipymais. Ryšio kanalo dažnines ir laikines charakteristikas apsprendžia kanalo ir jo grandžių tiesiniai ir netiesiniai iškraipymai. Jeigu tie iškraipymai sąlygoti žinomomis kanalo charakteristikomis, tai iš principo, tie iškraipymai gali būti pašalinti atitinkamomis grandžių korekcijomis. Tuo tarpu signalo iškraipymai nuo trukdžių yra atsitiktinio charakterio ir, todėl, nuo šio tipo iškraipymų pilnai apsaugoti kanalą neįmanoma. Informatyvumo požiūriu signalus galima skirstyti į determinuotus (reguliariuosius) ir atsitiktinius. Toks skirstymas remiasi tuo, kad jiems aprašyti taikomi skirtingi metodai. Bendru atveju signalus galima klasifikuoti taip: Determinuotais vadinami signalai, kuriuos tiksliai galima aprašyti matematinėmis lygtimis. Šių signalų kitimo dėsningumai yra žinomi, jų vertes būsimąjame laikotarpyje galima numatyti ar prognozuoti. Determinuoti signalai dar skirstomi į periodinius ir neperiodinius. Pav. signalas aprašytas lygtimi u(t) = 3 cos 2f t yra determinuotas periodinis signalas. Kiekvieną virpesį galima atvaizduoti laiko ašyje. Turėdami signalo išraišką kaip laiko funkciją, galime nustatyti tokius parametrus kaip signalo trukmė, galia, energija ir kt. Labai svarbu tai, kad kiekvieną virpesį kaip laiko funkciją galime atvaizduoti sinusinių ir kosinusinių dedamųjų visuma ir toks jų atvaizdavimas dažnių ašyje yra vadinamas signalo spektru. Grafiškai signalo spektras yra atvaizduojamas dažnių ašyje ir tai vadinama amplitudės arba fazės spektru, arba spektrinėmis diagramomis. Labai yra svarbu telekomunikacijose nustatyti signalo spektro plotį, kad būtų galima parinkti ryšio kanalą su reikiamu dažnių juostos pločiu. Signalo spektras turi būti mažesnis už kanalo praleidžiamų dažnių juostą. Periodiniams signalams galioja sąlyga, kad s(t) = s ( t + kT ), čia T - signalo periodas, k – daugiklis-sveikasis skaičius (1,2,3,…). Periodiniai signalai skirstomi į harmoninius ir daugiaharmonius. Periodinis signalas –tai paprasčiausias harmoninis signalas, aprašomas sinuso ar kosinuso funkcija. Pav.: signalas x1(t) = U1 sin (2f1 t +) = U1 sin (ωt + ), kur U1 –virpesio amplitudė, T –virpesio periodas, f = 1/T, -virpesio pradinė fazė, kuri gali įgauti reikšmes intervale [0 - 2], fazei kintant laike virpesio vektorius sukasi pastoviu kampiniu dažniu ω = 2f1 yra periodinis ir atvaizduojamas : a) laiko ašyje: b) dažnių ašyje amplitudės diagramoje: c) dažnių ašyje fazės diagramoje: d) bei vektorinėje plokštumoje: Daugiaharmonis signalas aprašomas lygtimi: x2(t) = U1 sin 2f1 t + U2 sin 2f1 t + U3 sin 3f1 t , t.y aukštesnės eilės spektrinės dedamosios yra kartotinės pagrindiniam dažniui k f1 , o pagrindinis dažnis yra atvirkščiai proporcingas periodui T: 8.Kaip paaiškinsite tą faktą, kad neperiodinio signalo spektrą atspindi signalo spektro tankis? Tad koks šio signalo spektras? Neperiodiniu determinuotu signalu vadinamas toks signalas, kuriame nėra tokio laiko T, kad galiotų sąlyga s(t)=s(t+T) . Neperiodinis signalas paprastai yra apribotas laiko atžvilgiu. Tai įvairūs impulsai ir impulsų grupės, nutrūkstantis harmoninis virpesys, pereinamieji procesai grandinėse ir pan. Tokių signalų spektras yra ištisinis ir vadinamas spektriniu tankiu. Pereinamasis virpesys, impulsas, tokių signalų spektras: Beveik periodinio virpesio signalo spektro harmoninės dedamosios fk kf1 . Virpesys x2(t) = U1 sin 2 t + U2 sin 3 t + U3 sin t yra beveik periodinis, nes santykiai ir yra iracionalūs skaičiai, kurių pagrindinis periodas lygus begalybei. Tuo tarpu virpesys x2(t) = U1 sin 2 t + U2 sin 3 t + U3 sin 7 t yra periodinis, nes santykiniai periodai 2/3, 2/7, 3/7 yra racionalūs skaičiai, kurių pagrindinis periodas yra lygus 1. Kita signalų dalis vadinama atsitiktiniais arba nereguliariaisiais. Šių virpesių kitimo dėsningumai iš anksto nėra žinomi, jų vertės būsimais laiko momentais negali būti numatytos. Atsitiktinių signalų savybės yra aprašomos tikimybių teorijos metodais. Kalbant apskritai, galima daryti prielaidą, kad visi signalai ir trukdžiai gali būti priskiriami atsitiktinių signalų grupei, nes gamtoje beveik neegzistuoja virpesiai be iškraipymų. Tai ar yra prasmė išskirti atskirai determinuotuosius signalus. Telekomunikacijų sistemose determinuotiems virpesiams atitenka tam tikra prasme pagalbinės funkcijos. Kai determinuotojo, pav. harmoninio virpesio parametrai moduliuojami kokiu nors signalu, sukuriamas moduliuotasis signalas. Šiuo atveju determinuotasis virpesys tampa signalo nešliu. Šiaip determinuotasis virpesys negali būti informacijos nešėjas, nes jo parametrai yra iš anksto žinomi. Kaip tiesioginis informacijos nešėjas determinuotasis virpesys gali būti panaudotas nebent ryšio linijos tyrimui: pagal signalo pokyčius kitame linijos gale galima spręsti apie linijos parametrų stabilumą arba jos gedimą. Pagal kitimo laikui bėgant pobūdį signalus dar galima skirstyti į 4 grupes: • Analoginiai (tolydinio laiko ir tolydinės amplitudės); • Diskretiniai (diskretinio laiko ir tolydinės amplitudės); • Kvantuotieji (tolydinio laiko ir diskretinės amplitudės); • Skaitmeniniai (diskretinio laiko ir diskretinės amplitudės). Analoginio signalo pavyzdžiu gali būti mikrofono išėjimo signalas. Diskretiniai signalai gali būti gaunami iš analoginių signalų atskaitant jų reikšmes tam tikrais laiko momentais žingsniu Δt. Pavyzdžiu gali būti temperatūros atskaitos kas valandą. Kvantuotieji signalai gali įgyti tam tikras iš anksto apibrėžtas reikšmes. Tokie signalai gaunami nepertraukiamą signalą kvantuojant pagal amplitudę ir pakeičiant jį į tolydinį signalą su laiptine stačiakampe forma. Skaitmeniniai signalai yra kvantuoti pagal amplitudę ir atskaitomi diskretiniais laiko momentais. Jie gaunami analoginį signalą apdorojus analoginiu-kodiniu keitikliu (A/K). Furje analizės metodai (dažniniai) yra naudojami ne tik periodinių bet ir neperiodinių įvairios formos signalų tyrimui. Reikia pažymėti, kad dauguma telekomunikacijose naudojamų signalų yra neperiodiniai. Kaip jau buvo minėta - neperiodiniams signalams tirti yra naudojama Furje transformacija ir Furje integralas, t.y. signalą galima aprašyti dažnių ašyje ir kiekvienai spektrinei dedamajai ieškoti sprendinio taikant superpozicijos (t.y. poveikių veikiamos grandinės suminė reakcija yra lygi atskirų poveikių reakcijų sumai) principą. Todėl Furje analizės metodai yra taikomi tik tiesinėms sistemoms. Analizuojant neperiodinius signalus yra skaičiuojamas signalo spektro tankis. Signalo laiko funkcija s(t) ir spektro tankis yra susiję išraiškomis, užrašytomis kompleksinėje formoje: S(jω) =, (13) s(t) = . (14) (13) išraiška yra vadinama tiesiogine Furje transformacija (TFT), o (14) išraiška – atvirkštine Furje transformacija (AFT). TFT susieja funkciją laiko ašyje t su ta pačia funkcija dažnių ašyje ω, o AFT transformuoja funkcijos dažnių ašį ω į laiko ašį t. TFT ir AFT turi ir sutrumpintą išraišką: TFT: - S(jω) = F{s(t)}, AFT: - s(t) = F -1 { S(jω)}. (15) Funkcija s(t) yra reali laiko funkcija. Dydis S(jω) yra vadinamas neperiodinės funkcijos spektro tankiu arba tiesiog spektru, kurį galima užrašyti rodiklinėje formoje S(jω) = = - j = A(ω)- jB(ω) (16) Amplitudžių spektras arba spektro tankio modulis išreiškiamas =S(ω)=, (17) o fazinis kampas . (18) Amplitudžių spektras yra lyginė funkcija =, o fazių spektras – nelyginė funkcija Signalo periodines sekas galima formuoti iš pavienių (neperiodinių) signalų ir atvirkščiai – iš periodinių seku galima išskirti pavienius signalus. Tam reikia padaryti atitinkamas prielaidas dėl periodo T trukmės. Jeigu periodinės sekos periodas T artėja prie begalybės, tai gausime pavienį signalą ir jo atitinkamą spektrą. Kai T, tada ω1, t.y. esant pavieniam neperiodiniam impulsui, spektrinės linijos artės arčiau viena kitos (nes tarpas tarp gretimų linijų atvirkščiai proporcingas periodui T iš ω1 = 2π/T) ir galutiniame rezultate sudarys ištisinį spektrą. Pavaizduokime tai pavyzdžiais Paveiksluose parodytas pavienis signalas ir jo spektro tankis ir to paties signalo periodinė seka bei jos spektras. Pavienio signalo ir jo sekos spektrų gaubtinės kinta pagal tą patį dėsnį, tačiau iš tikrųjų jų masteliai yra skirtingi – spektro tankio gaubtinės amplitudė f1 kartų mažesnė už to paties dažnio harmoninės dedamosios amplitudę Cn. Šiuose pavyzdžiuose įdomu būtų palyginti periodinio signalo Furje eilutės parametrus su neperiodinio signalo atvirkštinės Furje transformacijos parametrais. Periodinio signalo n-tosios harmonikos n1 ir to paties dažnio n neperiodinio signalo spektro tankio amplitudes sieja tokia priklausomybė: S(jω)n = T= . (19) Taigi neperiodinio signalo spektro tankis gaunamas periodinio signalo n-tosios harmonikos amplitudę padalijus iš gretimų spektro linijų juostos pločio, o spektro tankio dimensija lygi =. Spektro tankis gali būti randamas panašiai kaip periodinio signalo vidutinė galia – arba signalo s(t) laiko funkcija pakeliama kvadratu ir integruojama laiko ašyje E = , (20) arba pakeliamas kvadratu spektro tankio funkcijos modulis ir integruojama dažnio ašyje E = = 2. (21) (21) išraiškos autoriumi yra laikomas Reilėjus (Reyleigh). Ši išraiška susieja signalo energiją su spektro tankio funkcija ir parodo kokia signalo energijos dalis tenka dažnių juostai df, o funkcija = S2(2f) (22) laikoma signalo energijos spektro tankiu. Ankstesnėse išraiškose parodytas begalinis integravimo laikas, kuris parodo, kad išraiškas galima taikyti bet kokios trukmės signalams bei procesams. Tačiau realiai pakanka ir dažniausiai tai yra daroma, kad signalai yra integruojami periodo T trukmės intervaluose. Ir analizuojant baigtinės trukmės procesus dažniau yra pasirenkama ne energijos spektro tankio funkcija, bet galios spektro tankio funkcija, kuri gaunama energijos spektro tankio funkciją dalijant iš T: Gs(2 = (23) Spektras kaip dažnio funkcija naudojama išsamiai analizuojant signalo ir jo spektro savybes. Praktiniams taikymams nereikia viso spektro vaizdo, dažniausiai pakanka informacijos apie spektro dažnių juostą. Šiame paveiksle spektro dažnių juosta yra intervale tarp ωmin ir ωmax . Dažnių juostos ribos ωmin ir ωmax yra nustatomos pasirenkant lygį a x1 , tai funkcija yra nemažėjanti; d) Tikimybė, kad AD reikšmė pateks į intervalą nuo x1 iki x2 , yra lygi pasiskirstymo funkcijos reikšmių skirtumui šiuose taškuose: P(x1 ≤ X

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!