Procesų teorija

1.Atsitiktinių procesų teorija Atsitiktinis dydis yra f-ja nuo elementariųjų dydžių X=x(ω), ωΩ 1ap. Atsitiktiniu procesu vadiname realią f-ją nuo dviejų kintamųjų X(t) =x(ω,t) (-∞,+∞), ωΩ, t[0, ∞), tada tolydaus laiko procesas vadinsis (jei ) diskretaus laiko procesas. Jei fiksuojam ω atsitiktinis procesas tampa f-ja, kur galime realizaciją nubraižyti. X(t)|_t Atstatymo procesas. Apibrėžimas. Pagrindinės savybės. Sakykime, kad tikimybinėje erdvėje (Ω,F,P) apibrėžta nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių (teigiamų) a.d seka , ~P turi skirstinį P. Duota a.d pasiskirstymo f-ja F(x)=P(X≤x), xR. Atstatymo procesą žymime N(t) arba , kur t-laikas , , - yra tarpiniai atstatymo momentai, - atstatymo momentai. 1teor. P(N(t)=n)= , Įr. N(t) įgyja reikšmę n, kai yra teisinga {N(t)=n}=; Jei n=0, tai P(N(t)=n)= , {N(t)=0}={t0 turi eksp skirstinį ↔kai su P(X>t+s|X>t)=P(X>s) (1) Įr. X~(turi eksp skirst) exp(λ)=>(1) P(X>t+s|X>t)= (1) teisinga. Jei (1) => X~ exp(λ). Pažymėkime R(t+s)=P(X>t+s)=P((x>t+s)∩(X>t))=P(X>t)*P(X>t+s|X>t)=P(X>t)*P(X>s)=R(t)*R(s) ; R(t+s)=R(t)*R(s) ; =>q=R(1)= => Analogi6kai galime gauti , n,mN (2) Tarkime, tR+ =(0,+∞), tada ; Kadangi nedidėjanti R(t), tai ; Pagal (2) (3) Šioje (3)- nelygybėję perėję prie ribos , kai n→∞, gauname, kad pagal drausmingų policininkų principą (4) . Nagrinėjame atvejus q=0,q=1,q(0,1) Jeigu q=0 vadinasi gaminys pradiniu nuliniu momentu yra sugedęs. Jeigu q=1 vadinasi gaminys niekada negenda. Jeigu q(0,1) visada toks, kad R(t)=F(t)=1-,t≥0. Gavome, kad skirstinys eksponentinis. Jei (X~P(λ), tai MX=DX= λ ; DSD : ; CRT : ; MN(t)=DN(t). 4. Patikimumo charakteristikos eksponentinio skirstinio atveju. Ap. Sakome, kad a.d X turi eksp skirstinį su parametru λ>0, jei F(t)= 1-,t≥0. p(t)=F‘(t)=; R(t)=1-F(t)=1-(1-)= ; Išvada : jei X – gaminio darbo laikas, tai dėka λ(t)=λ šis gaminys nesidėvi laikui bėgant. ; ; ; F(tp)=p=1-, F(t)=1-, p=1-, ln=ln(1-p) , -λtp=ln(1-p) , tp= , p=0,05 λ=2 , . 5. Atsitiktinio proceso charakteristikos. 1ap. Fiksuojame tašką a.d. . Pasiskirstymo f-ja yra vienmatė pasiskirstymo f-ja. Ji charakterizuoja procesą (ne visiškai pilnai). Pvz. , . ; , - diskretus (įgyja baigtinį skaičių reikšmių), charakterizuoja tokias tikimybes: , pvz. (duota tikim. lentelė, kur ) nurodyti vienmačius skirstinius. Gavom lentelę , ; Fiksuokime laiko momentus , tada baigtinemačiais proceso skirstiniais vadiname kelias tikimybes: , . Baigtinemačiai skirstiniai gali būti skaičiuojami su baigtinemate pasiskirstymo f-ja. , 2ap. Atsitiktinio proceso vidurkiu vadinama neatsitiktinė f-ja . Geometrinė prasmė: , yra kreivė apie kurią telkiasi proceso realizacijos. Atsitiktinio proceso dispersija vadiname neatsitiktinę f-ją . Atsitiktinio proceso dispersija apibūdina proceso realizacijos sklaidą apie vidurkį. Proceso vidurkio ir dispersijos savybės analogiškos a.d. vidurkio ir dispersijos savybėms. 6. Geometrinio skirstinio patikimumo charakteristikos.Ap. Sakome, kad a.d X turi geometrinį skirstinį, jei p(x=k)= , k=1,2.. p=1-q , q(0,1) 1Teor. Jei atstatymo momentai turi geometrinį skirstinį, tai tikimybė P(N(t)=n)=, [t] – yra sveikoji dalis. Jei X~B(pn), tai P(X=k)= , k=0,1..n. , kur yra bernulio sk. Y yra nepriklausomi. Įrodymo schema : paga užpraeito paragrafo (1) f-lę N(t) įgyjimo tikimybės apskaičiuojamos pagal f-lę P(N(t)=n)= galima įsitikinti, kad (3) Reikėtų n=2 ir skaičiuoti iš (3) išplaukia P(N(t)=n)= N(t)~B([t],p) Įrodyta. Žinome, jei X~B(n,p), tai MX=np, DX=npq, vadinasi MN(t)=[t]p, DN(t)=[t]pq, iš to seka, kad DSD galime užrašyti , o CRT . 7. Proceso kovariacinės f-jos savybės. 1ap. Proceso kovariacinė f-ja žymima apibrėžiama f-le . Savybės: 1) ; 2) ; 3) , - neatsitiktinė; 4) ; 5) ; Kovariacinė f-ja yra neneigiamai apibrėžta, t.y. su . Ap. Proceso vienmatė charakteristinė f-ja apibrėžiama f-le , . Jei nagrinėjame proceso baigtinemačius skirstinius turėdami n-matį pjūvį, tada jo charakteristinė f-ja užsirašo f-le . 9. Puasono procesas.Tai retų įvykių procesas. 1ap. vadinamas procesų su nepriklausomais pokyčiais, jei yra nepriklausomi su  ir jie yra didėjantys . , jei matome, kad mažėja greitai. 2ap. vadinamas Puasono procesu, jei tenkinamos sąlygos: 1) yra procesas su nepriklausomais pokyčiais; 2) yra homogeninis procesas laiko atžvilgiu, t.y. su  ir su s turi tą patį skirstinį; 3) su  ; 4) kai šioje sąlygoje  yra skaičius vadinamas Puasono proceso parametru. Teor. Jei yra Puasono procesas, tai kai , . Įr. Apibrėžiame proceso generuojančią f-ją iš čia remiantis 1ap. sąlyga ir yra nepriklausomi  . Išvada. , ,  . ,   Kadangi, jei , tai Vadinasi, jei tai . 10.Vinerio procesas. Ap. Vinerio procesu vad. atsitiktinis procesas tenkinantis sąlygas: 1) - procesas su nepriklausomais procesais; 2) procesas yra homogeninis laiko atžvilgiu; 3) ; 4) kai , , šiose sąlygose , . Teor. Jei yra Vinerio procesas, tai t.y. , , . Įr. Apibrėžiame f-ją, t.y. , s – fiksuotas, , randame išvestinę: , , ,  , , , , , .Iš tikimybių teor. žinome, kad jei a.d. X turi baigtinius ir , tai , . 11 . Proceso koreliacinė analizė. Laikysime, kad procesui X(t), tT , DX(t) galime laikyti MX(t)=0. 1Ap. Procesą X(t) vadinsime tolydžiu taške t pagal tikimybę, jei P(|X(t+Δ)-X(t)| naudojame (1) f-lę =>K(t,t‘) tolydi t‘=t. Išvados :stacionaraus X(t) tolydumo kriterijus : X(t) tolydi f-ja, jei K(x) tolydi kai x=0. Įr. K(t,t‘)=K(t‘-t)=K(0) , t’=t , f(x) tolydi x=0, jei f(0-0)=f(0+0). 12 . Proceso diferencijuojamumas ir integruojamumas. 3Ap. X(t) vadiname diferencijuojamu taške t, jei , Δ→0; procesą kai artėja į X(t) ; 2Teor. X(t) diferencijuojamas taške t  kai ; Išvada: stacionariojo proceso X(t) diferencijavimo kriterijus , kartu ir X‘(t) yra stacionarus plačiąja prasme. 4Ap. Sakykime turime X(t), tT , [a,b]T suskaidomi taškais , . 3Teor. Procesas X(t) integruojamas [a,b], jei integralas . Tada, kai , tai . Ergodiškumas (kai laikas →∞) 5Ap. X(t) vadiname erodiniu vidurkio atžvilgiu, jei MX(t)=m , ; 4Teor. (Ergodiškumo kriterijus) X(t) erodinis vidurkio atžvilgiu  Pakankama ergodiškumo sąlyga yra tokia : . 13. Markovo proceso apibrėžimas ir jo daugiamačių skirstinių apskaičiavimas. 1ap. Turime Markovo procesą , aibė yra skaiti tas procesas yra Markovo. , , , , - perėjo tikimybių f-ją, - pradinės tikimybės, . Teor. Markovo proceso baigtinemačius skirstinius apibrėžia pradinės tikimybės ir perėjimo tikimybių f-ja. Kartu, kai teisinga Kolmogorovo Čepmeno tapatybė: . Įr. , , . Pasinaudojome pilnos tikimybės f-le: , jei tai (jį pasižymime ) ir . Tada . 14. Kolmogorovo Čepmeno tapatybė Markovo procesams. 1ap. Turime Markovo procesą , aibė yra skaiti tas procesas yra Markovo. , , , , - perėjo tikimybių f-ją, - pradinės tikimybės, . . Pasinaudojome pilnos tikimybės f-le: , jei tai . 15. Mark pr, su baigt būsenų sk, pagr. savybės.1. Teisinga f-lė , , ; 2. f-ja , yra tolygiai tolydi. , , , , . Pastebėjome, kad , , , . Įrodėme f-lę . Remiantis tochasiniu tolydumu viskas 0, tas ir duoda tolydumą. 3. Visada  riba ir , teisinga nelygybė , . 4. Tarkime, kad , kur , tada ir  ir yra tolydžios išvestinės: , , be to teisingos lygybės , , . 16. Mark pr Kolmogo lygčių sistemos. 1teor. (1-oji KLS). Perėjimas į tikimybes , yra pirmos KLS sprendinys  jei ir užsirašo pavidalu . (1), . Įr. „“ tarkime, kad teisinga (1). Iš to  , , galios tik tada, kai bus baigtinė. 2teor. (2-oji KLS) Jei , ir  yra baigtinės su , tai , tenkina 2-ąją KLS, , . Įr. Pastebėsime, kad galima užrašyti , , , , . Išvada. Jei patenkintos paskutinės teor. sąlygos, tai f-ja , tenkina tokią lygčių sistemą: , . Pastaba. Ši lygčių sistema gaunama iš Kolmogorovo Čepmeno tapatybės supaprastinto varianto: , . 17. Išlikimo teorijos elementai. Tarkime, kad X yra neneigiamas a.d. su absoliučiai tolydžia pasiskirstymo f-ja . Išlikimo f-ja , tarkime ir rizikos greičio f-ja . Vienos nelaimės (vieno šuolio) skaičiuojama procesą apibrėžiame f-le: , , (šiuo atveju). X –a.d. paciento gyvenimo trukmė. Pasižymime: įvykių srautas susietas su procesu yra . Kiekvienas a.d. pagimdo F (-algebra), t.y. mažiausia -algebra į kurią įeina įvykiai, pvz., A pagimdo algebra . -algebra siauresnė nuo algebros ir lankstesnė: . Procesas . - tikimybinė erdvė, - stochastinė bazė (tikimybinė erdvė + srautas F), . Pažymėkime - stochastinė bazė. Tada turi - konpensatorių pavidalą  , kur - t.y. F numatomas procesas. -  procesas turi kompensatorius ir susietas su srautu . - ??? Savybė. vidurkis. . Jei , parametrinė pasiskirstymo f-ja. . Kompensatorius . n-nelaimių modelis. Sakykime, kad turime neprikl. neneigiamus a.d. , kurių turi integralinę rizikos greičio f-ją , , , apibrėžiame vieno šuolio procesą: , , dvi svarbiausios charakteristikos. Čia įgis reikšmę 1 tik momentu , kada i-tasis individas „mirs“, ir , jei i-tasis individas dar „gyvas“. Šiuos procesus apjungiame į daugiavariantį skaičiuojamąjį procesą ir įvedame natūralią filtraciją . Dėl nepriklausomumo,  procesas turės - intensyvumo procesą . Nuo šio proceso kompensatorius yra pavidalo . Šiuo atveju natūralu įvesti skaičiuojantį procesą skaičiuojantį „nelaimes“ tarp n individų: . Dabar procesą rodantį dar likusius gyvus individus galime užrašyti pavidalu . Pastaba: jei vienodai pasiskirstę, nepriklausomi a.d., t.y. su ta pačia greičio rizikos f-ja , tada procesas turės - intensyvumo procesą tokio pavidalo . Galimi atvejai: 1) Giminių mirtingumo modelis - neprikl. vienodai pasiskirstę neneigiami. , kur - žinoma rizikos greičio f-ja; - nežinomo giminingo mirtingumo rizikos greičio f-ja bendra visiems i. turės intensyvumo procesą , kur ; 2)  turės kompensatorių , .

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!