Kvantinės mechanikos simetrijos teorija

1.Simetrijos vaidmuo kvantinėje mechanikoje Simetrijos savybės fizikoje ir chemijoje yra panaudojamos žymiai dažniau, nei atrodo tiems kas nežino grupių teorijos. Simetrija labai svarbi fizikiniai intuicijai, o grupių teorija yra šios intuicijos matematizacija. Imame dalelių sistemos Šrėdingerio lygtį: =E (1) Ši antros eilės dif. Lygtis turi daug sprendinių n. Kiekvienai tikriniai vertei En atitinka tikrinė f-ja n(Enn). Gali būt ir taip, kad tikriniai vertei En atitinka kelios tikrinė f-jos nr, kurios tenkina (1) lygtį, kai E=En. Tai sprendinys yra vad. r kartų išsigimusiu. Kinetinė ir potencinė energijos ir tikrinės f-jos gali priklausyt nuo atstumų ir laiko. Gi kiekvienos dalelės atstumai yra nusakomi su pvz. Dekarto koordinatėmis (x,y,z). Jos priklauso nuo ašių pasirinkimo. Bet fizikinė esmė nepakinta pereinant prie kitų ašių (x‘,y‘,z‘). Žinoma operatorius H ir  gali ir pakisti. Pereiti nuo vienos koordinačių sistemos prie kitos galima panaudojant algebrines transformacijas. Pažymėkime jas simboliu T. T veikdami f-ją  gauname kitą f-ją: T=‘ (2). Be fizikiniu požiūriu jos prasmė nepakinta. Šrėdingerio lygtį transformavę gauname: T{=E} arbaT{}=T{E}(3). Parinkus koordinačių transformacijas taip, kad nepakistų operatorius , t.y. kad jis būtų transformacijų invariantas, tai operatorius ir T yra ekvivalentiški operatoriai dviejose atskaitos sistemose. Kadangi E yra pastovus dydis tai operatorius T neveikia E ir tuomet (3) perrašom: {T}=E{T} (4). Taigi T, kuri yra ekvivalentiška ‘, yra tikrinė operatoriaus H f-ja , priklausanti tai pačiai tikrinei vertei, kaip ir f-ja . Jeigu  yra vienintelė tikriniai vertei E, tai nėra išsigimimo. (1) lygties sprendiniai yra randami fazinio daugiklio tikslumu, nes abi (1) lygties puses padauginus iš pastovaus daugiklio lygtis nepakinta: (C)=E(C) (5). Jeigu  yra neišsigimusi, tai ‘ turi tokią pat funkcinę formą kaip ir , ir skiriasi tik skaitiniu daugikliu. ‘=T=C; (T)=CE (6). Tarkime, kad T yra transformacija, kurią panaudojus du kartus gaunama pradinė f-ja. Tai yra galima, nes hamiltonianas šių transformacijų atžvilgiu yra invariantas. Atsižvelgę į invariantiškumą ir f-jos  neišsigimimą (6) lygtį transformuojame šitaip: (T2)=CE(T) (7). Iš čia seka, kad T2=. Taigi =C2E (8). Iš čia gauname, kad C=1. todėl ‘=T= (9). Taigi išsigimusius (1) lygties sprendinius galima suskirstyti į du tipus: simetrinius ir antisimerinius, simetrijos T atžvilgiu. Taigi T leidžia klasifikuojant tikrines F-jas net tuomet, kai nėra žinoma tiksli sprendinio forma. Ši klasifikacija supaprastino (1) lygtį. Tam, kad suformuluot transformacijų algebrą panaudosime simbolį E transformacijai kuri palieka f-ją nepakitusią. Transformacija E yra analogiška sandauga iš 1 ir yra vad. tapatinga transformacija. Taigi T turi būt lygi T-1, nes tik tokia sandauga duoda 1. T=T-1 (10). Čia T-1 turi transformacijos T panaikinimo prasmę. 2Simetrijos transformacijos Molekulių termo klasifikavimas yra susijęs su jų simetrija. Todėl panagrinėsime simetrijų tipus būdingus molekulėms. Kūno simetrija yra nusakoma transformacijų rinkiniu, kurių metu kūnas sutapatinamas pats su savimi. Kiekviena galima simetrijos transformacija susideda iš vienos ar kelių trijų pagrindinių transformacijos tipų:1) kūno posūkio tam tikru kampu apie ašį. 2) veidrodinio atspindžio plokštumoje, 3) lygiagretaus kūno pernešimo tam tikru nuostoliu. Paskutiniu tipu gali pasižymėti tik neribota aplinka. Baigtiniam kūnui pvz. molekulei, yra būdingi tik du pirmieji tipai. Jeigu kūnas sutampa pats su savimi pasukus kampu 2/n, tai tokia ašis vad. n-osios eilės simetrijos ašimi. n=2,3,4... Pvz. tarkime, kad turime taisyklingą trikampį n=3, kvadratą n=4, stačiakampį n=2. n=1, tai atitinka posūkį 2 arba 0 t.y. atitinka tapatingą transformaciją. Posūkio apie duotą ašį kampu 2/n operacija simboliškai yra žymima Cn. Pakartoją šią operaciją 2, 3 kartus gausime atitinkamai kampus 2(2/n), 32/n) ir t.t. kurie taip sutapatina kūną patį su savimi. Šiuos posūkius žymėsime atitinkamai Cn2, Cn3, ir t.t. Jeigu n yra kartotinis kažkokiam dydžiui p, tai CnP=Cn/p (1). Padarę n posūkių gauname pradinę padėtį Cnn=E (2). Jeigu kūnas sutampa pats su savimi veidrodinio atspindžio plokštumoje metu, tai tokia plokštuma vad. simetrijos plokštuma. Ši operacija paprastai yra žymima . Du atspindžiai toje pat plokštumoje yra tapatinga transformacija 2=E (3). Vienalaikis abiejų transformacijų posūkio ir atspindžio panaudojimas duoda taip vad. veidrodines posūkio ašis. Kūnas turi n-tos eilės veidrodinę posūkio ašį, kai jis sutampa pats su savimi pasukus kampu 2/n ir po to atspindint plokštumoje statmenoje šiai ašiai. Akivaizdu, kad čia yra nauja simetrijos rūšis, tik tuomet n yra lyginis skaičius. Tai n kartinis panaudojimas kūną sugražina kūną į pradinę padėtį. Kai n yra nelyginis, tai n kartinis pakartojimas bus tolygus atspindžiui plokštumoje, statmenoje ašiai, nes posūkio kampas bus 2, o nelyginis posūkio skaičius toje plokštumoje bus tiesiog atspindis. Pakartoję šią operaciją dar n kartų, įsitinkinsime, kad veidrodinė sukinio ašis susideda į vienalaikį, nepriklausomą, sukinio n-tos eilės ašies ir jai statmenos plokštumos buvimą. Veidrodinė sukinio transformacija yra žymima Sn. Ir pažymėję atspindį plokštumoje statmenoje ašiai n, gauname, kad: Sn=Cnn=nCn (4). Svarbus yra veidrodinės posūkio ašies antros eilės atvejis. Nes posūkis kampu  su atspindžiu duoda inversijos transformaciją, kurios metu taškas P patenka į tašką P‘ esantį tiesėje jungiančioje P su O ir tokiu pat atstumu OP=OP‘. Apie kūną, simetrišką inversijos atžvilgiu, sakoma, kad jis turi simetrijos centrą. Inversijos operacija paprastai yra žymima raide IS2=C2h (5). Čia h –plokštuma statmena ašiai. Akivaizdu, kad Ih=C2, taip pat I C2=h. Vadinasi dviejų elementų buvimas sąlygoja trečio buvimą. Dabar aptarsime keletą geometrinių savybių būdingų posūkiams ir atspindžiams, kurios yra naudingos nagrinėjant kūnų simetriją. Sandauga dviejų posūkių apie ašis susikertančias viename taške, yra lygi posūkiui apie trečia ašį einančią per tą patį tašką. Sandauga dviejų atspindžių susikertančiose plokštumose yra ekvivalenti posūkiui apie ašį sutampančia su susikirtimo linija, o posūkio kampas lygus dvigubam kampui tarp plokštumų. vv‘=C(2) (6). Svarbi yra sandaugos dauginamųjų tvarka. vv‘ ekvivalenti yra posūkiui nuo v‘ iki v, o sukeitus dauginamųjų tvarką bus priešinga kryptis. (6) padauginę iš kairės pusės iš v, mes gauname, kad v‘=vC(2) (7). Atskiru atveju, antros eilės simetrijos ašis ir dvi tarpusavyje statmenos plokštumos einančios per šią ašį yra tarpusavyje priklausomos, t.y. dviejų buvimas reikalauja ir trečio. Dviejų posūkių kampu  apie kampu  susikertančias ašis sandauga ura posūkis kampu 2 apie ašį statmeną dviem pirmosioms. po pirmo posūkio apie ašį 0a taškas P pereina į P‘, o po antro apie ašį 0b taškas P‘ grįžta į pradinę padėtį. Tai reiškia, kad linija PP‘ lieka nepadidėjus. Taigi ji yra sukimosi ašis. Pirmo posūkio metu pereina į padėtį 0a‘, kuri sudaro kampą 2 su 0a. pakeitus eilę pakinta posūkio kryptis. Nors bendrai dviejų transformacijų rezultatas priklauso nuo jų atlikimo eilės, tačiau kartais tai neturi prasmės, taigi kartais transformacijos komutuoja. Tai pasakytina apie sekančias transformacijas. 1) du posūkiai apie tą pačią ašį. 2) du atspindžiai tarpusavyje statmenose plokštumose. Jie yra ekvivalentiški posūkiui kampu  apie susikirtimo liniją. 3) du posūkiai kampu  apie tarpusavyje statmenas ašis, nes jie bus ekvivalentiški posūkiui tuo pačiu kampu apie 3 ašį statmeną pirmosioms. 4) posūkis ir atspindis plokštumoje statmenoje ašiai. 5) bet koks posūkis arba atspindis ir inversija taške esančiame sukinio ašyje arba atspindžio plokštumoje. Tai seka iš 1 ir 4 punktų. 3Transformacijų grupės Visų duotojo kūno simetrijos transformacijų sukinys yra vad. jos simetrijų transformacijų grupė arba tiesiog simetrijos grupė. Tačiau kvantinėje mechanikoje patogiau yra kalbėt apie koordinačių transformacijos, kurios palieka duotos sistemos hamiltonianą invariantu. Jeigu sistema sutampa pati su savimi pasukus arba atspindint, ati atitinkama koordinačių transformacija nekaičia jos Šrėdingerio lygties. Taigi kalbėsime apie transformacijų grupę, kurios atžvilgiu Šrėdingerio lygtis išlieka invariantu. Tuo būdu be posūkių ir atspindžių galimos ir kitos transformacijos. Kaip pvz. tapatingų dalelių koordinačių sukeitimas vietomis. Simetrijos grupių tyrimą patogu pradėt pasitelkiant matematinę grupių teorijos aparatą. Mes nagrinėsime baigtines grupes turinčias baigtinį transformacijų skaičių. Apie kiekvieną transformaciją kalbama kaip apie grupės elementą. Simetrijos grupės pasižymi sekančiomis savybėmis. 1) į grupę visuomet įeina tapatinga transformacija E. ji vad. vienetiniu grupės elementu. 2) dviejų grupės elementų sandauga yra tos grupės elementas (AB=C). 3) elementų sandaugai galioja asociatyvumo dėsnis (AB)C=A (BC). Komutatyvumo dėsnis galioja ne visuomet ABBA. 4) kiekvienam grupės elementai yra toje pačioje grupėje atvirkščias elementas: AA-1=E. kartais atvirkščias elementas gali sutapti su elementu E-1=E. vienas kitam atvirkštiniai elementai tarpusavyje komutuoja. Elementų sandaugos atvirksčias elementas išreiškiamas : (AB)-1=A-1B-1. Analogiškai yra ir didesnio skaičiaus elementų sandauga (ABC)-1=A-1B-1C-1. Jeigu grupės visi elementai yra komutatyvus tai tokia grupė vadinama Abelio grupe (Abeline grupe). Tokių grupių atskiru atveju yra ciklinės grupės. Ciklinė grupė yra vadinama tokia grupė, kurios visi elementai gaunami vieną elementą keliant laipsniais. A, A2, A3,...,An=E. Čia n= sveikas skaičius. Tarkime kad G yra tam tikra grupė, Jeigu joje galima išskirti elementų rinkinį H kuris patenkina grupės reikalavimus tai H vadinamas grupės G pogrupe. Toks pat elementas gali įeiti į tokias pogrupes. Paima bet kurį grupės elementą A ir teldami nuosekliai laipsniais gausime vienetinį elementą E. Jeigu n yra mažiausias skaičius, kuriam esnat An=E tai n yra vadinamas elemento A eile. O elementų rinkinys A, A2,..,An=E vadinama elemento A periodu. Periodas žymimas {A}. Jis pats sudaro grupę, tai yra yra išeities grupės pogrupė, be to ciklinė. Kad įsitikinti tuo reikia dauginti po du narius ir žiūrėti ar sandauga yra duotame rinkinyje. Kartu su elementu A yra elementas An-1 kuris atvirkščias A. A*An-1=A=E. Pilnas grupės elementų elementų skaičius vadinamas grupės eile. Grupės eilė yra kartotinė pogrupės eilei. Tarkime, kad H yra grupės G pogrupė, o G1 yra grupės G elementas nepriklausantis pogrupei H. Daugindami visus H elementus iš G1 gausime elementų HG1 rinkinį. Visi šie elementai priklauso grupei G ir nepriklauso pogrupei H. Analogiškai jeigu G2 yra grupės G elementai nepriklaussantys nei pogrupei H nei HG1 tai elementų rinkinys HG2 nepriklausys nei pogrupei H nei HG1. Tęsdami šį procesą gausime H, HG1, HG2. HGm čia matavimų skaičius. Tai grupės eilė g=n*m, kur n pogrupės eilė : Jeigu grupės yra nedalomos skaičių tai tokia grupė pogrupių neturi, ji yra ciklinė. Svarbi yra jungtinių elementų sąvoka. Du elementai A ir B yra vadinami jungtiniais vienas kitam jeigu ACBC-1 čia C taip pat grupės elementas. Daugindami paskutinę lygybę iš dšnės iš c*0 iš kairės C-1 gauname B=C-1AC. Svarbu yra tai kad jei A yra jungtinis B, o B jungtinis C tai A yra jungtinis C. Taigi galima kalbėti apie grupės elementų rinkinius kuriuose elementai yra jungtiniai vieni kitiems. Tokie rinkiniai vadinami grupės klasėmis.. Kiekviena klasė yra pilnai nusakoma kokiu nors vienu tos klasės elementu. Kiekvienas elementas patenka tik į vieną klasę. Vienetinis elementas pats sudaro klasė. GEG-1 = E. Jeigu grupė yra abelinė tai kiekvienas elementas sudaro klasę, nes visi elementai yra komutuojantys, todėl kiekvienas elementas yra jungtinis pats sau. Grupės klasė nėra grupės pogrupė, nes neturi vienetinio elemento. Visi tos pačios klasės elementai turi tą pačią eilę. Jei n elemento A eilė An=E tai ir jungtinio jo B=CAC-1 eilė yra ta pati nes (CAC-1)n=CAnC-1=E. Tarkime kad H yra grupės G pogrupė, G1 yra grupės elementas nepriklausantis pogrupei H. Elementų rinkinys G1HG1-1 patenkina visus grupės reikalavimus, tai yra grupės G pogrupė pogrupė. Taigi pogrupės H ir G1HG1-1 yra jungtinis. Imdami skirtingus G1 gausime eilę jungtinių pogrupių, kurios gali dalinai sutapti. Gali būti ir taip kad visos H jungtinės pogrupės sutampa su H. Tokiu atveju H vadinamas normaliniu grupės G dalikliu. PVZ> kiekviena abelinės grupės pogrupė yra normalinis jos daliklis. Imkime gupe A su n elementų A, A’, A’’,... ir grupę B su m elementų B, B’, B’’ ir tegul visi A elementai išskyrus E skiriasi nuo elementų B, bet komutuoja su jais. Padauginę kiekvieną grupės A elementą iš kiekvieno grupės B elemento gausime nm rinkinį, kuris sudarys grupę, nes AB*A’B’=AA’BB’= =A’’B’’. Gautoji nm eilės grupė žymima AB ir vadinama tiesiogine grupių A irB sandauga. dvi vienodos eilės grupės A ir B vadinamos izonormalinėmis, jei tarp jų elementų galima nustatyti atitikimą. Jeigu tokios dvi grupės apstrakčiai nagrinėjant pasižymi tapatingomis savybėmis nors konkreti jų prasmė gali būti skirtinga. 4Taškinės grupės Transformacijos įeinančios į baigtinę matmenų kūnų simetrijos sudėtį, yuri būti tokios kad jų metu bent vienas kūno taškas liktu savo vietoje. Kitaip tariant visos simetrijos ašys ir plokštumos turi turėti bent vieną susikirtimo tašką. Simetrijos grupės pasižyminčios nurodytomis savybėmis vadinamos taškinėmis. Pereinant prie konkrečių taškinių grūpių panagrinėkime grupių elementų pasiskirstymą klasėmis. Arkime kad Oa yra simetrijos ašis, o A yra pasukimo apie tą ašį tam tikru kampu grupės elementas. G yra tos pačios grupės transformacija tai yra posūkis arba atspindys, kuri panaudojus pati ašis. Oa pervedama į padėtį Ob. Tuomet elementas b=GAG-1 atitinka posūkį apie ašį Ob tokiu pat kampu kaip ir elementas A, posūk apie ašį Oa. Dabar panagrinėkime transformacijos GAG-1 poveikį ašiai Ob. Transformacija G-1 kuri yra atvirkštinė transformacijai G, perveda ašį Ob, perveda į padėtį Oa. O transformacija A palieka ją savo vietoje. Pagaliau transformacija G perveda šią ašį į pradinę padėtį. Taigi Ob lieka savo vietoje, o tai reiškia kad B yra posūkis apie šią ašį. Todėl elementai A ir B priklauso tai pačiai klasei. Šių elementų eilė yra vienoda jie pasuka vienodu kampu. Taigi du posūkiai tuo pačiu kampu priklauso tai pačiai klasei, jeigu grupėje yra elementas kurio pagalba vieną ašį galima sutapatint su kita. Taip pat du atspindžiai skirtingose plokštumose priklauso tai pačiai klasei jei grupėje yra elementas pervedantis vieną plokštumą į kitą. Apie ašis arba plokštumas kurias galima sutapatint, kalbama kaip apie ekvivalentines. Aptarkime posūkius apie tą pačią ašį. Elementas atvirkščias elementui Cnk yra Cn-k= Cnn-k čia k =1,2…n-1,.. Jeigu tarp grupės elementų yra posukis kampu  apie statmeną ašį tai jis pakeičia ašies kryptį. Tai tuomet posūkiai Cnk ir Cnn-k priklausys vienai klasei. Atspindys h taip pat pakeičia ašies kryptį bet taip pat pakeičia ir sukimo kryptį, todėl Cn-k= VCnkV taigi esant tokiai plokštumai Cn-k ir Cnk priklausys tai pačiai klasei. Jei posūkiai apie ašį vienodu kampu bet priešingomis kryptimis yra jungtiniai, tai ašis vadinama dvipuse. Taškinių grupių klasių nustatymą dar palengvina šitokia taisyklė. Tegul G yra grupė neturinti inversijos, o Ci yra grupė iš dviejų elementų (E, J). Tuomet tiesioginė sandauga GGi yra grupė Su dvigubai didesniu elementų skaiciumi negu G.Pusė elementų sutampa su grupe G,o likusieji gaunami dauginant is J.Kadangi J komutuoja su betkokia taskinės grupės transformacija,tai aišku,kad G×Gi turės dvigubai daugiau klasių negu grupė G0.Kiekvienai klasei A grupė G atitinka dvi klasės grupės G×Gi.Inversija visuomet pati sudaro klasę. 1)Grupės Gn.Tai yra papraščiausias simetrijos tipas,turintis vieną n-tos eilės simetrijos ašį.Ši grupė yra ciklinė.Kiekvienas iš n elementų sudaro klasę.Grupė C1 turi tik vienetinį elementa. 2)S2n grupė.t.y.posūkių grupė apie veidroninę sukimo ašį,lyginės eilės.Ji turi 2n elemntų ir yra ciklinė.Grupė S2 turi 2 elemntus t.y E ir J.Ji žymima 4p+2.Jeigu grupės eilė 2n lygi 4p+2 tai tarp grupės elemntų yra visuomet inversija.Nes (S4p+2)= C2 σh=I.Tokią grupę dar galima užrašyti S4p+2= C2p+2× Gi ir žymima C2p+1,i 3)Cnhgrupės.Šios grupės yra gaunamos prie n-os eilės ašies prijungiant jai ststmenos simetrijos plokštumas.Grupė Cnh turi 2n elementų t.y. n posūkių Cn ir n veidrodinių posūkių transformacijų Ck nσh. C2 σh.Visigrupės elementai yra komutuojantys t.y.grupė yra abelinė.Klasių skačius yra lygus elementų skaičiui. Jeigu n lyginis tai grupė turi simetrijos centrą.Paprasčiausia grupė yra C1h ji turi tik 2 elementus:E, σh,todėl ji žymima Cs. 4) Cnvgrupės.Jeigu prie n-tos eilės simetrijos ašies prijungsime simetrijos plokštumą,einančią per šią ašį,tai atsiranda n-2 plokštuma kurios susikerta kampu ∏/n. Pvz: Gautoji grupė turi 2n elementų,n plokstumų ir n atspindžių gautose plokštumose σv.Klasėms nustatyti prisiminkim kad del plokštumų einančių per ašį,ašis yra dvipusė.Elementų paskirstymas klasėms bus skirtingas kai n lyginis ir kai n nelyginis.jei n nelyginis t.y.n=2p+1 p-sv.sk.,tai posūkiai C2p+1 sutapatinę kiekvieną plokštumą nuosekliai su visomis likusiomis.taigi simetrijos plokštumos yra ekvivalentinės.Ir atspindžiai jose įeina į vieną klasę.Tarp posūkių apie ašį yra 2p operacijos besiskiriančios nuo tapatingosios,kurios yra jungtinės viena kitai.Jei n lyginis t.y.jei n=2p tai nuosekliais posūkiais galima sutapatint tik kas antrą plokštumą,o dvi kaimyninės plokštomos negali būti sutapatintos.tuo būdu yra du rinkiniai po p ekvivalentinių plokštumų ir atitinkamai dvi klasės,po p elementų.Posūkiai C2p2p=E ir Cp2p=C2 patys sudaro klases.Likusieji 2p-2 posūkių poromis yra jungtiniai ir sudaro dar p-1 klasę po du elementus.Taigi grupė C2p,v,turi p+3 klases. 5)Dn grupės.Prie n-os eoliės simetrijos ašies prijungus jai statmenos II-os eilės ašis XXXX n horizontalių II-os eilės ašių kuriossusikerta kampais ∏/n.gautoji Dn grupė turi 2n ementų,n posūkių apie n-tos eilės ašį.ir n posūkių kampu ∏ apie horizontalias ašis.Kad atskirt nuo C2 jos žymimos U2 n-os eilės ašis yra dvipusė,o horizontalios II-os eilės ašys yra ekvivalentinės,jei n nelyginissk,arba sudaro du rinkinius kai n lyginis.Taigi grupė D2p turi p+3 klases.E elementras pats sudaro klases,dvi kleses po p posūki U2 kiekvienoje,posūkį C2 ir dar p-1 klasę,po 2 posūkius apie vertikalią ašį.Grupė D2p+1 turi p+2 klases tai yra:E,toliau 2p+1 posūkį U2,ir p klasių po du posūkius apie vertikalia ašį.Svarbi grupė yra D2.Jos ašių sistema yra sudaryta iš 3 tarpusavyje statmenų ašių.Ši grupė kartais žymima V. 6) Dnh grupė.Prijungę prie Dn ašių sistemos T horizontalią plokštumą,einančią per n II-ojo laipsnio ašių,tai automatiškai atsiranda n vertikalių p plokštumų,kurių kiekviena eina per vertikalią ir vieną iš horizontalių ašių. Dnh grupė turi 4n elementus Dn,n atspindziu σv irn veidrodinių sukimo transformacijų. Ck nσh Atspindžiai σh komutuoja su visais likusiais grupės elemn.todėl Dnh= Cs.esant lyginiam n tarp grupės elementų yra inversija ir galime rasyti D2p,h= D2p×Ci.Grupės Dnh klasių sk.yra dvigubai didesnis už Dn klasių sk.pusė jų sutampa su Dnhklasėmis.t.y.posūkiai apie ašis,o likusieji gaunami juos dauginant iš σh.Atspindziai σv priklauso vienai klasei,kai n-nelyginis ar dviem kai n-lyg.Veidrodinės posūkio transformacijos Ck nσh ir Ck-1 nσh poromis yra tarpusavy jungtinės. 7) Dndgrupė. Prie grupės Dn plokštumas galima prijungti dar vienu būduper vertikalę n-os eilės ašį irvidurį dviejų gretimų horizontalių II-os eilės ašių.Vienos tokios plokštumos išvedimas sąlygoja dar n-1 tokios plokštomos atsiradimą.Gautą tokių plokštumų sistema sudaro Dnd grupę. Dnd grupė 4n elementų.Šalia 2n grupės Dn elementų n atspindžių vertikaliose plokštumose jie žymimi σv ir n transformacijų tokio tipo G= u2σd.Posūkis u2 atitinkamai lygus u2= σh σv.tuomet galime rašytiG= σh σv σd,nors šių elementų σh σv tarp šios grup.elemen.nėra.Kadangi σv ir σd susikerta n-ojo laipsnio ašyje sudarydamos kampą (∏/2)(2k+1),k=1,2,..n-1j nes kampas tarp gretimų plokštumų yra ∏/2n tai atitinkamai σv σd=Taigi galime rašyti,kad t.y.šie elementai G yra veidrodinės posūkio transformacijos apie vertikalę ašį,kuri yra nepaprasta simetrija ir n-ojo laipsnio ašis.Plokštumos atspindi dvi gretimas ašis.ašis vieną į kitą,todėl ašys yra ekvivalentiškos,nepriklausomai nuo to ar n lyg.ar nelyg.analogiskai ekvivalentiškos visos plokštumos. Veidrodinės posūkio transformacijos poromis yra jungtinės vienos kitoms.Grupė D2p,d turi 2p+3 klases,tai butent E,posūkį C2 apie n-os eilės ašį,p-1 klasę po du sujungtinius posūkius apie tą pačią ašį,klasė 2p atspindžių σd ir p klasių po dvi veidrodines posūkio transformacijas.Kai n nelyg.skaičius n=2p+1 tarp grupės elementų yra inversija,todėl galim rašyt D2p+1,h= D2p+1×Ci.Taigi ši grupė tur 2p+4 klases,kurios yra gaunamos ir p+2 klasių grupės D2p+1. 8)T grupė.ji gali būti gaunama prie V grupės ašių prijungiant 4 trečios eilės ašis.Posūkiai apie jas sutapatina II-os eilės ašis vienas su kitomis. Šias ašis patogiau parodyt naudojant kubą. Trys ašys II-os eilės yra ekvivalentiškos.kadangi jos gali būti pervedamos vieną į kitą,bet negali būti dvipusės.yodėl 12 T grupės elementų turi 4 klases.Vieną klasę sudaro elementas E,3posūkiai C2,4 posūkiai C23 9)Td grupė.Ši grupė turi visus T grupės elemntus ir plokštumas kurios yra išvestos per 1-antros eilės ašį ir dvi 3-ios eilės ašis. Todėl II-os eilės ašys tampa IV-os eiės veidrodinėmis posūio ašimis.kadangi simetrijos plokštumos yra vertikalios III-ios eilės ašių atžvilgiu,todėl pastarosios yra dvipusės.Kitos vienos eilės ašys ir plokštumos yra ekvivalentinės,todėl 24 element.yra suskirstyti i 5 klases:E,8 posūkiai C3 ir C23,6 atspindžiai plokštumose,6 veidrodinio atspinžio transformacijos S4 irS24 ir 3 posūkiai C2 yra ekvivalentiškas S24. 10) Th grupė.Ši grupė gaunama iš T grupės,prijungus simetrijos centrą: Th=T× Ci.rezultate yra gaunamos 3 tarpusavy statmenos plokštumos,O III-os eilės ašys tampa veidrodinėmis posūkio VI-os eilės ašimis. Grupė turi 24 elemen.kurie suskirstyti į 8 klses,kurios gaunamos is T gr.klasių. 11)O grupėŠios grupės simetrijos ašys yra kubo simetrijos ašys,t.y.3 ašys IV-os eilės,einančios per priešingų sienelių centrus,4 ašys III-ios eilės einančios per priešingas viršūnes ir 6 ašys II-os eilės,einančios per viduri priešingų briaunų. Visos vienodos eilės ašys yra dvipusės ir ekvivalentines.,todėl 24 elementai pasiskirsto į 5 klases:E, 8 posūkiai C3 ir C23,6 posūkiai C4ir C34,3 posūkiai C24,6posūkiai C2 12)Oh grupė.tai yra visų kubo transformacijų grupė.dažnai grupės T,Td,Th,O,Oh vadinamos kubinėmis. Oh yra gaunama prie grupės O prijungus simetrijos centrą. Oh=O× Ci.III-os eilės grupės O ašys tampa 6 eilės veidrodinėmis posūkio ašimis,beto dar atsiranda 6-os simetrijos plokštomos einančios per priešingas briaunas ir 3 plokštumos lygiagretės kubo sienelėms,taigi viso yra 48 elementai.Ši grupė turi 10 klasių,kurios yra gautos iš O gr.klasių,5klasės sutampa o gr.klasėmis,o likusios yra sekančios:I,8 veidrodinio posūkio transf. S2ir S56,6veidrodinio posūkio transf.C4 σh ir C34 σh,apie 4-os eilės ašis,3 atspindžiai σv lygegrečiose šioms ašims. 13)ir14)Y ir Yh grupės.Šios grupės nėra fizikams įdomios.Kadangi gamtoje nesutinkamos tokio tipo molekulės.Y grupė yra 60 posūkių apie ikosoedro simetrijos ašis. Yh grupė yra gaunama prijungiant simetrijos centrą. Yh =Y× Ci.t.y.visų nurodytų daugiakampių simetrijos transformacijų gr.Tai ir yra visos galimos taškinės grupės,turinčios baigtinį elementų sk.,dar gali būti begalinės taškinės grupės. 5GRUPIŲ ATVAIZDAVIMAI Panagrinėkime kokią nors simetrijos grupę ir tarkim, kad ψ1 yra duotos fizikinės sistemos vienareikšmė koordinačių f-ja. Transformuojant koordinačių sistemą atitinkamu grupės G elementu šios f-jos vietoje gausime naują f-ją. Atlikę visas g transformacijas iš f-jos φ1 gausime g naujų f-jų. Bendru atveju nekurios is gautųjų f-jų gali būti tiesiškai priklausomomis. Tačiau gausime f ; čia a ir a’ eilutės ir stulpelio nr.Analogiškai redukuotinio atvaizdavimo matricos (qi) ,o jų matriciniai elementai ; redukcijos matricos matricinis elementas .tarkime kad yra duotabaigtinės eilės grupė kurios matricos (qi) ir l(qi) yra žinomos.mums reikia gaut tokia redukcijos matricą kurios pagalba gausime: C-1(g)Cll(g) (1); C-1(g)C | 1(g) 0 0 | | 0 2(g) 0 | (2) | 0 0 3(g) | Matricos l(g) gali pasikartot keliuose blokuose.Todėl yra įvedamas papildomas simbolis  prie atvaizdavimo simbolį,kad atskiri pasikartojinčius - matricinis elementas.(2) padauginę dešnę iš C-1 o kairę iš C gaunam: (g)C’j’j(g)C-1 (3);Gautą lygybę dauginam iš skaičiaus

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!