Funkcijos ir jų skaičiavimai

ĮŽANGA Matematikoje funkcija - tai toks sąryšis, kai kiekvienas aibės elementas yra susietas su vieninteliu elementu kitoje aibėje (kuri gali sutapti su pirmąja). Tai - daugelio matematikos sričių pagrindas. Binarinės funkcijos dažnai vadinamos operacijomis. Funkcijos, kurių parametrų aibė yra kitos funkcijos, vadinamos operatoriais. Funkcijos gali būti užrašomos formule, sąryšiu ar paprasčiausia lentele, kurioje išrašyti visi galimi rezultatai. Svarbiausia funkcijos savybė - ji turi būti deterministinė, t.y. tam pačiam parametrui rezultatas visada turi būti tas pats. Funkcijos rezultatas esant duotam argumentui vadinamas funkcijos reikšme. Labai dažnos tokios funkcijos, kurių argumentas ir reikšmė yra skaičiai, o sąryšis užrašomas formule, pavyzdžiui, f(x) = x2, kur funkcija f priskiria kiekvienam skaičui jo kvadratą. Funkcijų apibendrinimas - galimybė turėti kelis funkcijos argumentus. Pavyzdžiui: g(x,y) = xy yra funkcija, kuri bet kuriems skaičiams x ir y paskaičiuoja jų sandaugą. Nors atrodo, kad tokia funkcija neatitinka apibrėžimo, nes turi daugiau nei vieną argumentą, galima nesunkiai įsivaizduoti, kad tai funkcija, kurios argumentas yra pora (x, y) iš aibės R×R. ISTORIJA Matematinį terminą "funkcija" pirmasis 1694 metais panaudojo Gotfridas Leibnicas, apibūdindamas dydį, susietą su kreivės tam tikru tašku ar liestine. Tokios funkcijos dabar vadinamos diferencijuojamomis funkcijomis. Tokios funkcijos turi ribą ir išvestinę, kas yra diferencialinio ir integralinio skaičiavimų pagrindas. XIX amžiuje funkcijos savoka formalizuota bei praplėsta. XIX amžiaus pabaigoje nepriklausomai vienas nuo kito beveik tuo pat metu šiuolaikinį funkcijos formalų apibrėžimą pateikė prancūzas Dirichlė ir rusas Lobačevskis. FUNKCIJA 1. Sakykime, X ir Y yra dvi aibės. Dėsnis (taisyklė), pagal kurį kiekvienam aibės X elementui priskiriamas vienintelis Y aibės elementas, vadinamas funkcija. Dažnai funkcija žymima , arba f: . Aibė X vadinama funkcijos f apibrėžimo sritimi (žymima ), Y – kitimo sritimi. Dvi funkcijos, nors ir nusakomos tuo pačiu dėsniu, bet turinčios skirtingas apibrėžimo sritis, laikomos skirtingomis. Mokykliniame matematikos kurse paprastai X ir Y yra realiųjų skaičių aibės, todėl ir funkcijos vadinamos skaitinėmis funkcijomis. Jos dažniausiai apibrėžiamos formulėmis (analiziškai). Jei apibrėžimo sritis nėra atskirai nurodyta, funkcijos apibrėžimo sritimi laikoma reiškinio apibrėžimo sritis. 2. Sakykime, kad funkcijos f apibrėžimo sritis simetriška nulio atžvilgiu, t. y., jei , tai ir –. Funkcija, šioje apibrėžimo srityje tenkinanti sąlygą , vadinama lygine, o , – nelygine. Lengva matyti, kad funkcijos yra lyginės, kai n lyginis, ir nelyginės, kai n nelyginis, o funkcija – nei lyginė, nei nelyginė. Nesunku įsitikinti, kad kiekviena funkcija, turinti simetrišką apibrėžimo sritį, yra lyginės ir nelyginės funkcijų suma. Pakanka patikrinti, kad funkcija yra lyginė, o nelyginė. Be to, . 3. Funkcija f vadinama periodine, jei yra toks skaicius , kad su kiekvienu x iš apibrėžimo srities skaičiai bei taip pat priklauso apibrėžimo sričiai ir joje galioja lygybė . Skaičius T vadinamas funkcijos f periodu. Jei T yra funkcijos f periodas, tai 2T, 3T ir t.t. bei –T, –2T, –3T ir t.t. taip pat yra jos periodai (pabandykite tai įrodyti). šiaip kalbėdami apie funkcijos f periodą, paprastai turime galvoje mažiausią teigiamą periodą. įrodysime, kad funkcija yra periodinė, rasime jos periodą. Funkcija apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje R. Ieškome funkcijos periodo, t.y. skaičiaus , nepriklausančio nuo x tokio, kad visoje aibėje būtų teisinga lygybė . Iš čia išplaukia, kad: , , . Iš lygties gauname , Z. Spręsdami lygtį T atžvilgiu, gautume tiktai T, priklausančius nuo x. Jie netenkina periodo apibrėžimo. Taigi, mažiausias teigiamas funkcijos periodas yra 1. Sakykime, periodinė funkcijos f su periodu ir periodinė funkcija g, kurios periodas , turi bendrą apibrėžimo sritį D. Periodai ir vadinami bendramačiais, jei galima rasti tokius tarpusavyje pirminius skaičius m ir n, kad galiotų lygybė . Jeigu funkcijų f ir g periodai yra bendramačiai, tai šių funkcijų suma ir sandauga yra periodinės funkcijos. Nesunku įsitikinti, kad skaičius ir yra funkcijos ir periodas. Iš tikrųjų . Ne visos periodinės funkcijos turi mažiausią teigiamą periodą. Pavyzdžiui, Dirichlė funkcijos yra periodinė, tačiau mažiausio teigiamo periodo neturi. įsitikinkite, kad bet kuris racionalusis skaičius yra šios funkcijos periodas. O kaip įsitikinti, kad funkcija f apibrėžta srityje D yra neperiodinė? Kiekviena periodinės funkcijos reikšmė kartojasi kas periodas, todėl kartais pakanka panagrinėti "patogias" funkcijos reikšmes. Pavyzdžiui, funkcija nėra periodinė. Ji lygi nuliui taškuose , Z. Atstumai tarp šių taškų , didėjant k, pastoviai didėja. 4. Mokykliniame matematikos kurse paprastai sprendžiame lygtis, kurių sprendiniai yra skaičiai. Tačiau kartais tenka spręsti lygtis, kurių nežinomieji – funkcijos. Pavyzdžiui, suformuluokime tokį uždavinį: raskite funkcijas, tenkinančias lygtį . Visos lyginės funkcijos yra šios lygties sprendiniai. Panašaus pobūdžio lygtys vadinamos funkcinėmis lygtimis. Išspręsime funkcinę lygtį . Sąlygoje jokie reikalavimai nežinomai funkcijai f nekeliami, todėl sprendinių ieškosime tarp funkcijų, apibrėžtų visoje realiųjų skaičių aibėje. Lygtyje vietoj x įrašę (lygybė turi būti teisinga su visomis argumeno x reikšmėmis!), turėsime . Gauname tiesinių lygčių sistemą ( ir atžvilgiu): Ją išsprendę, gausime . Iš čia . 5. Bendrai imant, funkcinių lygčių sprendimas nėra paprastas. Jos gali turėti "negražių" sprendinių, panašių į minėtą Dirichlė funkciją. Kartais nesprendžiant pačios lygties, galima nustatyti tam tikras sprendinių savybes. Atvirkštinė funkcija. Y=f(x) (1) x – nepriklausomas kintamas (argumentas), y – priklausoma kintama (f – ja). x[a, b] (2) šioje lygybėj y – nepriklausomas kintamas (argumentas), x – priklausoma kintama (funkcija). Jeigu kiekvieną argumento reikšmę į intervalo y[c, d] atitinkančias x[a, b] priklauso intervalui [a, b] tai f – jos y= f(x) ir x=(y) vadinamos viena kitos atžvilgiu atvirkštinėm f – jom. Jeigu (2) argumentą kaip paprastai pažymime x, o f – ją y tai turėsime y= (x). jeigu f – ja y= f(x) ir y= (x) yra atvirkštė viena kitos atžvilgiu tai tų f – jų grafikai simetriniai tiesės y= x atžvilgiu. Pvz y= f(x)= x2 rasim jai atvirkštinę f – ją y= x2; x= y; y= x. jos yra atvirkštinės. Išreikštinės ir neišreikštinės funkcijos. Tegu y reikšmės priklauso nuo kintamojo x reikšmių. Jeigu funkcijinis rišys tarp f – jų y ir argumenų x duotas lygtim išspresta y atžvilgiu y: y= f(x). pvz y= (3x2- 1)/ 5. Iš tokios lygybės matom kokius veiksmus turime atlikti su argumentais ir pastoviais skaičiais norėdami rasti f – jos y reikšmes. Jeigu funkcijinis rišys tarp argumentų x ir f – jos y duotos lygtimi neišspręsta y atžvilgiu tai turim neišreikštą f – ją y. ją žymim F(x, y)= 0 y – neišreikšta f – ja. Pvz 2x – sim(xy)+ y2 – 5= 0. Hiperbolinės funkcijos. Hiperbol f – jom vadinamos šitos f – jos sh (sinusas hiperbol), shx= (ex+ e-x)/ 2, ch (kosinus hiperbol), th, cth. Šios f – jos vadinamos trigonometrinėm, nes jų panašios sąvybės į trigonometrių, o hiperbol nes jos su lygiaašia hiperbole turi tokį pat ryšį kokį trigonometrės f – jos turi apskritimu. Hiperbol f – jos tenkina tokia sąvybe: ch2x – sh2x= 1, thx= shx/chx, cthx=chx/shx. Parametrinės f unkcijosjos lygtis. Turim 2 lygtis x= (t) y= (t) (1), t [; ]. Kiekvienai t reikšmei iš [; ] iš (1) rasim reikšmes x ir y. jeigu į reikšmių porą x ir y žiūrėsim kaip į plokštumos Oxy koordinates, tai keisdami parametro t reikšmę plokštumoj Oxy gausim vis naują taško M(x; y) padėtį. Tegu visuma šitokių taško M padėčių sutampa su kokios tai f – jos y= f(x) grafiku. Tokiu atveju sakom kad y= f(x) yra išreikšta parametrinėm lygtim sist{ y= (t), x= (t). Pasirinkę t reikšmę iš (x, y) po to dar gaunam aibę taškų kurie sutampa su y= f(x) grafiku. Kai kurios dažniau vartojamo parametrinės lygtys: 1. Apskritimo spindulys r, M(x; y) – bet kuris apskritimo taškas, parametras t – kampas kurį spindulys sudaro x ašies teigiama kryptim. x= OB= OA+ AB= OA+ CD= a+ rcost, y= BM= BD+ DM= b+ rsint. Sist{ x= a+ rcost, y= b+ rsint – parametrinės lygtys apskritimo, kurio centras C(a; b) ir spind r. 0 t 2. (x – a)2+ (y – b)2= r – lygtis apskritimo. 2. Elipsės parametrinė lygtis. (brėž 3). a> b x= OA= BM= acost, y= OB= AM= bsint. Sist{ x=acost, y= bsint – parametrinė elepsės lygtis a ir b elepsės pusašiai. Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė. Duota y= f(x) apibrėžta visom x reikšmėm x[a; b]. tegu x ir x+x yra dvi argumento reikšmės priklausančios intervalui [a; b] Jeigu egzistuoja riba y/x= (f(x+ x) – f(x))/ x, kai x 0 ji vadinama funkcijos y= f(x) išvestiniam taške x ir žymim ją y`, f`(x), dy/dx. y`= x0 lim y/ x= x0 lim (f(x+ x) – f(x))/ x – f – jos išvestinė. F- jos išvestinė yra lygi f – jos pokyčio y ir argumento x pokyčio santykio ribai, kai argumento pokytis artėja į nulį. Jeigu y= f(x) taške x turi išvest, tai sakom kad ji šiame taške diferencijuojama. Jeigu y= f(x) diferencijuojama visuose [a; b] taškuose tai sakom, kad ji diferencijuojame intervale [a; b]. funkcijos išvestinio radimo veiksmas vadinamas f – jos diferencijavimu. Išsiaiškinsim f – jos išvestę geometrinę prasmę . Y= f(x) grafiko taške M(x; y) pravedam liestinę ML, kurios krypties koeficientas kML. Argumentui x davus pokitį x gaunam kitą grafiko tašką N(x+ x; y+ y). pravedam stygą MN kuri su x ašies teigiama kryptimi sudaro kampą , tada stygos krupties koeficientas kMN= tg. Sakykim kad x0 tada taškas N kreive artėja prie taško M, tuo pačiu styga MN keisdama savo padėtį artėja prie liestinės ML, vadinasi ir krypties koeficientas kMN kML. Vadinasi kML= x0 lim kMN= x0 lim y/ x= y`, tg= y/ x. taigi y`= kML ši lygybė nusako išvestinę geometrinę prasmę f – jos y taške x, geometriškai reiškia šiame taške pravestos grafiko liestinės krypties koeficientas. Funkcijos diferencijuojamumas. Ją nusako teorema jeigu y= f(x) yra diferenc taške x0 tai ji šiame taške yra tolydi. Įrodymas: jeigu y= f(x) taške x0 turi išvestinę, tai egzistuoja riba x0 lim y/ x= f`(x0) (1). Žinom kad f – ja nuo savo ribinės reikšmės skiriasi n.m.d, tai iš (1) turėsim y/ x = f`(x0)+ (x), (x) – n.m. f – ja, kai x0. y= f`(x0) x+ (x) x; (x) x – n.m.d, kaip sandauga dviejų n.m.d. f`(x) x – n.m.f, nes tai yra sandauga n.m.d x ir pastovaus dydžio (x) x+ f`(x0) x – n.m.f, nes tai yra suma dviejų n.m.d. y – n.m.d kai x0, tai yra kad x0 lim y= 0 – ši lygybė rodo, kad n.m. argumento pokitį x atitinka n.m.f – jos pokytis y, o tai reiškia, kad f – ja y= f(x) yra tolydi taške x0. Išvada: vadinasi tik tolydi duotajame taške f – ja yra jame diferencijuojamuma. Diferencijavimo taisyklės. 1. pastovaus dydžio išvestinė lygi 0; c`=0. 2. Argumento išvestinė lygi 1; x`=1. 3. F – jų algebrės sumos išvestė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai; (U V)`= U` V`. 4. Sandaugos išvestinė (UV)`=U`V+ V`U. 5. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš skliaustus (cU)`=cU`, c= const. 6. Baigtinio skaičiaus f – jos sandaugos išvestinė yra lygi sumai sandaugų sudarytų iš kiekvienos f – jos išvestinių ir likusiųjų f – jų; (UVZ)`=U`VZ+ V`UZ+ Z`UV. 7. Laipsninės f – jos išvestinė; (xn)`= nxn-1, (1/x)`= –1/x2, (x1/2)`= 1/2x. 8. Trupmenos išvestinė (U/V)`= (U`V - V`U)/ V2. 9. Trigonometrinių f – jų išvestinės; (sinx)`= cosx, (cosx)`= –sinx, (tgx)`= 1/ cos2x, (ctgx)`= –1/ sin2x. 10. (arcsinx)`= 1/ (1 – x2), (arccosx)`= –1/ (1 – x2), (arctgx)`= 1/ (1+ x2), (arcctgx)`= –1/ (1+ x2). 11. Rodiklinės f – jos išvestinė (ax)`= axlna, a= const, (ex)`= ex. 12. Logoritminės f – jos išvestinė; (logax)`= 1/ xlna. Sudėtinės funkcijos išvestinė. Duota y= f(u), kur u= (x) tada turėsim kad y= f((x)), x – nepriklausomas argumentas, u – tarpinis argumentas. Jeigu y= f(u) yra diferencijuojamas tarpiniu argumentu u, o u= (x) yra diferencijuojamas nepriklausomu argumentu x, tai argumentui x davus pokitį x, y= (x) įgaus pokitį u kuris savo ruožtu f – jai y= f(u) suteiks pokitį y. tada turėsim kad y/ x= (y/ u) (u/ x). tada x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Kadangi u= (x) yra diferencijavimo taške x, tai ji šiame taške yra tolydi. Pagal f – jos tolydumo apibrėžime turėsim, kad x0 lim u= 0, tai yra kai x0, tai ir u0. x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Taigi yx`= yu`ux`. sudėtinės f – jos y= f((x)) išvestinė pagal x yra lygi šios f – jos išvestinei pagal tarpinį argumentą u padaugintai iš tarpinio argumento išvestės pagal nepriklausomą argumentą x. ((2x+ 1)3)`=3(2x+ 1)22= 6(2x+ 1)2. Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Jeigu tiesioginė f – ja y= f(x) taške x turi nelygią 0 išvestinę f(x) 0 ir jai atvirkštė f – ja x= (y) yra tolydi taške y tai atvirkštė f – jos išvestinė yra lygi jai tiesioginės f – jos išvestinės atviršktinei reikšmei. `(y)= 1/ f`(x). įrodymas x/ y= 1/ (y/ x), y0 lim x/ y= y0 lim 1/ (y/ x), kadangi x= (x) yra tolydi taške y tai, kai y0 tai ir x0 y0 lim x/ y=1/ (x0 lim y/ x), xy`=1/ yx`; `(y)= 1/f`(x). Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas. Sakykim kad nepriklausomo argumento x neišreikšta f – ja y duota ryšio lygtimi F(x; y)= 0 (1). Kad rasti y išvestį diferencijavimą (1) abi puses F`(x; y)= 0 (2) Iš (2) lygties y` randame kaip nežinomąjį. Pvz.: rasti neišreikštą f – jos y išvestinę kuri duota lygtimi 2xy– sinx+ y2+ 3=0, 2(y+ xy`)– cosx+ 2yy`=0, 2y+ 2xy`– cosx+2yy`=0, y`(2x+ 2y)= cosx– 2y, y`= (cosx– 2y)/ (2x+ 2y). Logoritminio diferencijavimo metodas. xx – laipsninė – rodiklinė f – ja. Šitokiai f – jai išvest rasti taikomas logorit. diferencijavimo metodas. y= xx, lny= lnxx, lny= xlnx. Toliau diferencijuojame kaip neišreiktą f – ją. y`/y=lnx+ x 1/x, y`= y(lnx+ 1), y`=xx(lnx+ 1). Logorit. diferencijavimo metodą patogu taikyti ieškant sudėtinių išvestinių logoritmuojamų reiškinių y= ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4), lny=ln ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4), lny= 2ln(x+ 1)+ ½lnx+ 5lnx– 3lnx– 4ln(x– 2), y`=y (2/ (x+ 1)+ 5/ 2x– 4/ (x– 2)), y`= ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4) ((x2– 5x– 10)/ (2x(x+ 1)(x–2))). Parametrinėmis lygtimis duotų funkcijų diferencijavimas. Tegu f – ja y= f(x) duota parametrinėm lygtim sist{ x= (x), y= (x) lygtį x= (t) išsprendę t atžvilgiu rasim f – ją t= (x) kuri bus atvirkštinė f – jai x= (t). Kadangi atvirkštinės f – jos išvestinė lygi jai tiesioginės f – jos išvestinės atvirkštinei reikšmei turėsim, kad (x)= 1/ `(t). Jeigu į f – ją y= (t) istatysim t= (x) tai turėsim sudėtinę f – ją y= [(x)]. Rasim šios f – jos išvestinę pagal x. yx`= t`(x)`=t`/  t`, tai yx`=yt`/ xt`. pvz rasti yx`, kai f – ja duota parametrinėm lygtim. Sist{ x= sin3t, y= e2t. yx`= (e2t)`/ (sin3t)`= (2e2t)/ (3cos3t). Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema. Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi intervale [a; b] ir šio intervalo vidiniuose tškuose turi baigtines išvestines, tai tame intervale bus bent viena argumento reikšmė x= c, tokia kad f(b)– f(a)= f`(c) (b– a), a 0, mažėjanti kai y` 0. Įrodymas: tegu f`(x0)= 0 ir f``(x0)> 0. Pagal f – jos diferencijuojamumo sąlygą turėsim. Jeigu egzistuoja f``(x0) tai f – ja f``(x0) yra tolydi kokioje tai kad ir labai mažoje taško x0 aplinkoje. Kadangi f``(x)= [f`(x)] ir ji bus neigiama taško x0 aplinkoj. Reiškia f`(x) – mažėjanti. f``(x0= 0, tai reiškia kad pereinant per x0 išvestinė keičia ženklą iš “+” į “–“. Vadinasi f – ja taške x0 turi max. pvz. y= x2+ 2x+ 1 rasti ekstrem. y`= 2x+ 2= 0, x= –1, y``= 2> 0, tai f – ja turi min., ymin= y(–1)= (–1)2+ 2(–1)+ 1= 0. 5) nustatom kreivės iškilumo ir įgaubtumo sritis ir randam vingio taškus. Duota f – ja y= f(x) apibrėžta intervale [a; b] tegu šiame intervale f – ja yra diferenciali, tada pagal išvestinę geometrinę prasmę turėsim kad kiekvienam [a; b] taške galime nubrėžti grafiko liestinę. 1) jeigu intervale [a; b]visi kreivės y= f(x) taškai yra po liestine pravestos bet kuriame šio intervalo grafiko taške tai kreivė šiame intervale yra iškyla. 2) jeigu intervale [a; b] visi kreivės y= f(x) taškai yra virš liestinės pravestos bet kuriame šio intervalo grafiko taške tai kreivė šiame taške yra įgaubta. Teorema: 1) jeigu visuose intervalo [a; b] taškuose f``(x) 0, tai yt> y. 2) x 0, tada yt–y> 0, tai yt> y. iš čia matom kad prie bet kokių taškų iš [a; b] yt>y. taigi visame intervale [a; b] krievės y= f(x) taškai yra po liestine pravestos taške x0. Vadinasi f – ja y= f(x) yra iškyla. Analogiškai įrodoma teorema 2: 2) jeigu visuose intervalų [a; b] taškuose f – jos y= f(x) antroji išvestinė f``(x)> 0, tai f – jos grafikas yra įgaubta kreivė. Apibrėžimas. Taškas skiriantis kreivės iškiląją dalį nuo įgaubtosios vadinamas kreivės vingio tašku. 6) kreivės asimptotės. Apibrėžimas. Tiesė prie kurios artėja nutoldamos kreivės ašys vadinama kreivės asimptotėm. Skiriamos dvi asimptočių rūšys. 1) vertikalio asimptot. Jeigu taške x= a f – ja turi trūkį tai tiesė x= a yra f – jos y f(x) vertikali asimptotė. 2) pražulnios asimptot. Pražulnių asimptočių ieškosim lygtimi = kx+ b (1) kad (1) tiesė butų kreivės y= f(x) asimptote turi būti patenkinta sąlyga x lim = 0 (2)  - taško M(x; y) atstumas iki (1) tiesės , rasim jį (ax+ by+ c= 0; M(x0; y0); d= |(ax0+ by0+ c)/ (a2+ b2)|). (1) lygtį užrašom šitaip: kx–+ b= 0 tada = (kx–+b)/(k2+ 1). Tada (2) bus šitokia x lim (kx–y+ b)/ (k2+ 1)= 0. Kad trukmena artėtų prie nulio turi artėti jos skaitiklis prie 0. x lim kx–y+ b= 0, x lim b= x lim (y–kx), b= x lim (y–kx) (3). Paskutinę ribą pertvarkom b= x lim [x(y/x)–k)]. Šioje lygybėj turim, kad dauginamųjų x ir y/x–k sandaugos riba lygi baigtiniam skaičiui b. pirmas dauginamasis x artėja į  todėl, kad sandaugos riba būtų beigtinis skaičius, tai antras turi nykstamai mažėti. x lim (y/x–k)= 0 iš čia x lim k= x lim y/x. k= x lim y/x (4). k ir b reikšmes apskaičiuotas pagal (3) ir (4) įstatę į (1) lygtį turėsim pražulnią asinptotę. Bendros sąvokos kelių kintamųjų funkcijų. Daždai tenka susidurti su dydžiais, kurie priklauso nuo kelių nepriklausomų kintamųjų S= xy. S – f – ja priklausanti nuo x ir y, kur x ir y yra nepriklausomi kintamieji. Apibrėžimas. f – ja U vadinama nepriklausomų kintamųjų x, y, z,… w f – ja , jeigu kiekvieną galimą šių kintamųjų reikšmių sistema atitinka apibrėžta f – jos U sistema U= f(x, y, z… w). Kintamųjų x, y, z… w galimų sistemų visuma sudaro f – jos U apibrėžimo sritį. Jeigu kiekviena reikšmių x, y, z… w sistemos atitinka viena f – jos reikšmė tai turime vienareikšmę f – ją, priešingu atveju daugiareikšmę. U= f(s, r, t… v) kurios argumentai yra s= 1(x, y… w), r= 2(x, y… w), v= n(x, y… w). tokiu atveju turime sudėtinę f-ją. U= f[1(x, y… w), 2(x, y… w)… n(x, y… w)]. Išsiaiškinsim vienareikšmės dviejų nepriklausomų f – jų f reikšmę. x= f(x, y) (brėž 11). Sakykim, kad f – jos z= f(x, y) argumentai x ir y kinta kokioje tai plokštumos Oxy srityje. Kiekvienam šios sryties taškui Ni(xi; yi) atitinka erdvės taškas Mi(xi; yi; zi) kur zi yra f reikšmė taške zi= f(xi; yi). Keisdami taško Ni koordinates gausim vis naują taško Mi padėtį erdvėj, visuma galimų taško Mi padėčių apibrėžimą erdvės R3 paviršiu. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas. Duota dviejų kintamųjų f – ja z= f(x, y), keičiant argumentų x ir y reikšmes keisis ir z reikšmė. Jeigu x x0, o y y0 f – jos reikšmė z c, (c= const) tai skaičius c vadinamas f – jos z= f(x; y) riba taške (x0; y0). xx0, yy0 lim f(x, y)= c. Apibrėžimas. skaičius c vad f – jos f(x, y) riba kai x x0 ir y y0 jeigu kiekvienam skaičiui > 0 galim rasti tokį skaičių > 0, kad esant patenkintoms sąlygoms (x–x0) 0 galim rasti tokį > 0, kad esant patenkintoms sąlygoms (x–x0) 0 (arba a22> 0). 2) jeigu = a11a22–a2120, b=b(E)>0; |x-x0|

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!