Matricų teorija su formulėmis

5. Simetrinės matricos. 1. Apibrėžimas ir pavyzdžiai. Imkime kvadratinę matricą su realiaisiais elementais: - realieji skaičiai. Apibrėžimas Kvadratinė matrica su realiaisiais elementais vadinama simetrine, jei . Apibrėžimas Kvadratinė matrica vadinama įstrižai simetrine(antisimetrine), jei . Iš įstrižai simetrinės matricos apibrėžimo, imdami i=j gauname: . Iš čia gauname: Taigi, įstrižai simetrinės matricos diagonaliniai elementai yra lygūs nuliui. Pavyzdžiai. - simetrinė, - įstrižai simetrinė.
.
Perdirbame Kadangi Kairėje šios nelygybės pusėje yra kvadratinis trinaris  atžvilgiu su neneigiamu koeficientu prie Jei kvadratinis trinaris su neneigiamu koeficientu prie yra visada teigiamas, tai kvadratinės lygties šaknys turi būti kompleksinės, t.y. diskriminantas (pošaknis) yra neigiamas: Iš čia ir seka (70 nelygybė. Teorema įrodyta. (7) nelygybė vadinama Košy-buniakovskio nelygybe. Apibrėžimas. Kampas tarp dviejų vektorių x ir y apibrėžiamas lygybe: Ištikrųjų (80 formulė yra visada prasminga, kadangi, sutinkamai su (7) formule taigi ir yra vienareikšmiškai apibrėžiamas intervale Taigi, jei , tai , o geometrijoje susijęs su sąvoka “status kampas” arba “ortogonalu”. Simetrinės matricos tikrinės reikšmės ir tikriniai vektoriai. Teorema. Simetrinės matricos visos tikrinės reikšmės yra realieji skaičiai. Įrodymas. Pažymėkime simetrinės matricos A tikrinę reikšmę ir jai atitinkantį tikrinį vektorių x: Kadangi ir x gali būti bendru atveju kompleksiniai, imkime paskutinėje lygybėje kompleksiškai jungtinius skaičius: Kadangi matricos A elementai-realieji skaičiai, tai taigi Toliau arba (10). (9) lygybės abi puses padauginkime iš kairės iš vektoriaus (10) lygybės abi puses padauginame iš dešinės iš vektoriaus x: arba Kadangi (x-tikrinis vektorius), tai Taigi -realusis skaičius. Teorema įrodyta. 2 teorema. Jei A-simetrinė matrica, ir , tai Įrodymas. Padauginkime (13) lygybę iš kairės iš (14) lygybę pirmiausia transponuokime o dabar padauginkime iš dešinės iš Iš (15) ir (16) lygybių gauname arba Kadangi tai Pagal (4a) lygybę Taigi vektoriai -ortogonalūs. Teorema įrodyta. Be įrodymo pateikiame bendresnę teoremą. 3Teorema. Jei A-simetrinė matrica, tai egzistuoja n tiesiškai nepriklausomų tikrinių vektorių tenkinančių sąlygas: t.y. simetrinės matricos tikriniai vektoriai yra ortonormuoti...

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!