Matematiniai vektoriai, parabolės

Pagrindinės vektorių sąvokos. A. vekt vadinama krypt atkarpa. Tai yra apibrėžto ilgio atkarpa erdvėje kurioje nurodyta jos pradžios ir galo taškai. Jei A – vektoriaus pradžios tšk., o B – galo. Tai vektorius žymimas AB>. A. vektoriaus AB> ilgiu arba moduliu vadinam atstumą tarp taškų A ir B ir žym |AB>|. A. vektorius kurio pradžios tšk sutampa su galo tšk vadinamas nuliniu vektorium. Jis žymimas 0>. Kryptis yra neapibrėžta. A. vienoje tiesėje arba lygiag tiesėse esantys vektoriai vadinami koliniariais a>//b>. A. vektoriai lygiag vienai plokšt vadinami komplanariais. A. vektoriai vadinami lygiais kai jie yra vienodo ilgio, kolinearūs ir vienodų krypčių.a>­=b>. du kolinearūs vienodo ilgio bet priešingų krypčių vektoriai vadinami priešingais. Vekt a> priešingas vektorius žym –a>. Veiksmai Norint sudėti du vektorius a> ir b> juos atkeliam į bendrą pradžios tšk ir sudedame lygiagretainį, kurio kraštinės sutampa su vektoriais. (lygiagretainio taisyklė). Pagal trikampio taisyklę patogu sudėti, kai turime daugiau negu du vektorius. Tris nekomplanarius vektorius galima sudėti pagal gretasienio taisyk. A. vektorių a> ir b> skirtumu vadiname tokį vektorių c> kurį pridėję prie vekt b> gausime vekt a>. c>=a>-b>. A. vektoriaus a> ir sk l sandauga vadinamas vektorius b>, kolinearus a>. jo ilgis |b>| = |l|*|a>|, o kryptis ta pati kaip ir a>, kai l > 0 ir priešinga krypt kai l = l a>. A. >, kurio ilgis 1, o krypt sutampa su a> vadinama vienetiniu vektorium arba ortu. Vektorių projekcijos ir jų savybės. A. AB> lygus a> projekcija pasirinktoje projekcijų ašyje l vadin A1B1> ilgis kai A1B1> kryptis sutampa su ašies l kryptimi ir A1B1> ilgis su – ženklu, kai kryptys priešingos. prl a> = +-| A1B1>|. Savybės. 1. Jei AB> ^ l tai projekcija 0. 2. Lygių vektor projek toje pačioje ašyje yra lygios. 3. prla>= |a>| cos j 4. Sudedant kelis vektor jų projekcijos sudedamos. 5. Dauginant vektorių iš skaliaro iš jo pasidaugina ir vektor projekcija. Bendroji tiesės lygtis erdvėje R2. Tiesės padėtis erdvėje R2 bus pilnai nusakyta jeigu žinisime tašką M0( x0;y0) per kurį eina tiesė ir vektorių n{a;b} statmeną tiesiai. M0Mn, taškas m bet kurioje vietoje. M0M.n=0 (1). M0M{x-x0; y-y0}; n{a;b}, (x-x0)a+ (y-y0)b= 0, ax+ by+ (-ax0- by0)= 0. Duotajai tiesei pastovų dydį –ax0- by0= 0 pažymėsim c: ax+ by+ c= 0 – bendroji tiesės lygtis (x,y tiesės bet kurio taško koordinatės). Matome, kad pirmojo laipsnio dviejų kintamųjų x ir y lygtis geometriškai reiškia tiesę erdvėje R2 Taško atstumas iki tiesės. Rasim taško M0(x0, y0) atstumą iki tiesės ax+ by+ c= 0 (brėž 11). M1M0.n= |M1M0|.|n|.cos, M1M0.n= d.(a2+ b2). (1), d= (M1M0.n)/ (a2+ b2), M1M0 {x0-x1; y0-y1}, d= |(a(x0-x1)+ b(y0-y1))/ (a2+b2)|= |(ax0+ by0- (ax1+ by1))/ (a2+b2). Kadangi M1(x1, y1) priklauso (t) tiesiai, tai jo koordinates turi tenkinti tiesės lygtį: ax1+ by1+ c =0, -(ax1+ by1)= c, d= |(ax0+ by0+ c)/(a2+b2). Bendroji plokštumos lygtis. Plokštumos padėtis erdvėje R3 bus pilnai nusakyta, jeigu žinosim tašką M0(x0, y0, z0) esantį plokštumoje ir vektorių n{A, B, C} statmeną plokštumai. Pagal 2 vektorių statmenumo sąlygą turėsim, kad jų skaliarinė sandauga lygi 0. M0Mn= 0, M0M{x-x0, y-y0, z-z0}, n{A, B, C}: A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)= 0 lygtis plokštumos einančios per tašką (x0, y0, z0), kai jos normalinis vektorius n yra statmenas plokštumai, D= -(Ax0+ By0+ Cz0) – jis duotai plokštumai pastovus dydis: Ax+ By+ Cz+ D= 0 – Bendroji plokštumos lygtis. priklausomai nuo to kokie yra koeficientai A, B, C, D skiriami atskiri bendrosios plokštumos atvejai. 1) Kai D= 0, turim lygtį Ax+ By+ Cz+ D= 0, kurią tenkina taško O(0; 0; 0) koordinatės. Vadinasi ši lygtis reiškia plokštumą einančią per koordinačių pradžią. 2) Kai D 0, bet vienas iš koefic A, B, C lygus 0, pvz C=0, tada turėsim Ax+ By+ D= 0, šios plokštumos normalinis vektorius bus statmenas OZ ašiai (nes jo 3 projekcija = 0). Reiškia, pati plokštuma bus lygiagreti z ašiai. Analogiškai kai B= 0 ir kai A= 0. Išvada: pirmojo laipsnio lygtis, kurioje nėra 1 kurio nors iš 3 kintamųjų, erdvėje reiškia plokštumą, lygiagrečią tai koordinačių sistemos ašiai, kurios koord lytyje trūksta. 3) Kai D=0 ir dar bent vienas iš koefic A, B, C irgi = 0, tai gausime vieną iš lygčių: Ax+ by= 0, ar kitas. Pirmiausia, tokio pavidalo lygtis reiškia plokštumą, einančią per koord pradžią ir lygiagr vienai iš koord ašiai, priklausomai nuo to, kurios koord lygtyje trūksta. Išvada: pirmojo laipsnio lygtis, kurioje nėra kurio nors vieno iš trijų kintamųjų ir laisvojo nario, erdvėje reiškia plokštumą, einančią per tą koord sistemos ašį, kurios koord lygtyje trūksta. 4) Kai D 0, bet du iš koef = 0, pvz B= 0, C=0, tada turėsim Ax+ d= 0. Šioje lytyje trūksta koord y, vadinas lygtis reiškia plokštumą, lygiagr y ašiai. Joje trūksta ir z, o tai reiškia ir lygiagr z ašiai, o tas tolygu, kad plokštuma yra lygiagr yoz plokštumai. Analogiškai, kai A= C= 0 ir A= B= 0. Išvada: pirmojo laipsnio lygtis, kurioje nėra kurių nors dviejų kintamųjų iš trijų, erdvėje reiškia plokštumą, lygiagrečią tai koord sistemos plokštumai, kurių koord lygtyje trūksta (arba ši plokštuma yra statmena tai koord sistemos ašiai, kuri koord yra lygtyje). 5) Kai bendroje plokštumos lygtyje du koef prie kintamųjų koord ir laisvas narys = 0, bendroji plokštumos lygtis įgis vieną iš pavidalų Ax= 0, Bx= 0, Cx= 0 arba x= 0, y= 0, z= 0. Pvz. x= 0. Ši plokštuma turi eiti per y ir z ašis ir per koord pradžią. Tai bus tiesiog koordinatinė plokštuma yoz. Lygtis tiesės einančios per 2 duotus plokštumos taškus. M1(x1, y1, z1); M2(x2, y2, z2), tiesės linkmės vektorius yra s= M1M2{x2-x1, y2-y1, z2-z1}. Rasim kanoninę lygtį: M1(x1, y1, z1), s= {x2-x1, y2-y1, z2-z1}: (x-x1)/ (x2-x1)= (y-y1)/ (y2-y1)= (z-z1)/ (z2-z1) – lygtis tiesės einančios per 2 duotus taškus. Apskritimas. Apskritimu vadiname aibe plokštumos taškų vienodai nutolusių nuo pastovaus taško vadinamo apskritimo centru. Rasime apskritimo, kurio centras taške C(a,b), o spindulys r. Įmame bet kurį apskritimo tašką M(x,y). visada bus teisinga lygybė: |CM|=r , CM{ x-a; y-b}, |CM|= ((x-a)2+ (y-b)2), ((x-a)2+ (y-b)2)= r, (x-a)2+ (y-b)2= r2 – tai yra kanoninė lygtis apskrit, kurio centras taške C(a,b), o spindulys r. kanoninę apskr lygtį pertvarkom taip: x2- 1ax+ a2+ y2- 2by+ b2- r2= 0, x2 + y2 - 2ax- 2by+ (a2+ b2- r2)= 0. Palyginkim šią apskr lygtį su dviejų kintamųjų x ir y antrojo laipsnio lygtimi, kurios bendras pavidalas yra toks Ax2+ By2+ Cxy+ Dx+ Ey+ F= 0. Kad dviejų kintamųjų antrojo laipsnio lygtis reikštų apskritimą būtinos sąlygos yra: 1. Kad koeficientai prie nežinomųjų kvadratų būtų vienodi (A=B). 2.lygtyje turi nebūti nario su kintamųjų sandauga (C=0). 21. Elipsė. Elipse vadinama aibe plokštumos taškų, kurių atstumų iki dviejų pastovių taškų vadinamų židiniais suma yra pastovus dydis, lygus 2a. Rasim lygtį elipsės, kurios židiniai yra taškuose F1(-c,0); F2(c,0), o elipsės bet kurio taško M(x,y) atstumų iki židinių suma yra 2a. Pagal elipsės apibrėžim turėsim, kad F1M+ F2M= 2a, F1M{x+c; y}; |F1M|= ((x+c)2+ y2), F2M{x-c; y}; |F2M|=((x-c)2+ y2). Tada pirmoji lygybė bus tokia: ((x+c)2+ y2)+ ((x-c)2+ y2)= 2a – elepsės lygtis. Suvesim šią lygtį į kanoninę lygtį: ((x+c)2 + y2) = 2a- ((x-c)2+ y2), (x+c)2+ y2= 4a2 - 4a((x-c)2+ y2)+ (x-c)2+ y2, 4a((x-c)2+ y2)=4a2+ x2- 2cx+ c2- x2- 2cx- c2, 4a((x-c)2+ y2) = 4a2- 4cx| :4, a((x-c)2+ y2) = a2- cx, a2((x-c)2+ y2) = a4- 2a2cx+ c2x2, a2(x2- 2cx+ c2+ y2 ) = a4- 2a2cx+ c2x2, a2x2- 2a2cx+ a2c2+ a2y2- a4+ 2a2cx- c2x2 = 0, (a2- c2)x2+ a2y2- a2(a2- c2)= 0. Iš trikampio F1F2M turėsim, kad F1M+ F2M> F1F2: 2a>2c, a>c, a2>c2, a2-c2> 0. Teigiamą skaičių a2-c2 pažymėkim b2. b2= a2- c2. b2x2+ a2y2 = a2b2 | :a2b2, x2/a2+y2/b2=1 – kanoninė elipsės lygtis. a–didysis pus ašis, b–mažasis pusašis, 2a–didžioji ašis, 2b– mažoji ašis.  = c/a – elipsės ekscentricitetas (mažesnis už 1). Hiperbolė. Hiperbole vadiname aibe plokštumos taškų, kurių kiekvieno atstumu iki dviejų pastovių taškų, vadina židiniais skirtumas yra pastovus. Hiperbolės židiniai yra taškuose F1(c, 0), F2(-c, 0). Hiperbolės bet kurio taško M(x, y) atstumu iki židinių skirtumas yra 2a. Rasime hiperbolės lygtį. Pagal apibrėži |MF2| - |MF2|= 2a. kadangi MF2{-c-x; y}, tai vektoriaus modulis |MF2|= ((c+x)2+ y2), MF1{c-x, -y}, |MF1|= ((c-x)2+ y2), ((c+ x)2+ y2)- ((c-x)2+ y2)= 2a. sutvarkom šią lygtį analogiškai kaip ir elipsės lygtį, gausime tikią lygtį: x2/ a2- y2 /b2 =1 – kanoninė lygtis. kur b2= c2- a2, = c/a – hiperbolės ekscentricitetas. x2- y2= a2 – lygiaašė hiperbolė. Tiksliam hiperb pavidalui nustatyti išnagrinėsim hiperbolės asimptotę – vad tiesė prie kurios nutoldamos artėja hiperb šakos. x2/a2- y2/b2= 1, kai y= bx/a. įrodisim, kad tiesė y= bx/a yra hiperbolės x2/a2- y2/b2= 1 asimptotė. Iš hiperbolės lygties išskaičiuojame y: y2/b2= x2/a2- 1, y2/b2= (x2- a2)/a2, y2= b2(x2- a2)/a2, y= b(x2- a2)/a. Argumento x reikšmę atitinkančią pažymime yt, o hip tiesę pažym yh, yt= bx/a, yh= b(x2- a2)/a, yh- yt= b/a ((x2- a2)-x). Kai x artėja į , tai yh- yt= b/a ((x2- a2)- x)= (b((x2- a2)- x))((x2- a2)+ x))/ (a((x2- a2)+ x))=(b(x2- a2- x2))/(a((x2- a2)+x))= -ba/((x2- a2)+ x) – mažėja (artėja į nulį) arba yh artėja prie yt, vadinasi hiperb šakos artėja prie tiesės y= bx/a ir yra asimptotė. Parabolė. Parabole tai kreive, kruios kiekvienas taskas yra vienodai nutoles nuo nurodyto tasko ir pastovios tiesės, vad direktrise. Rasim kanoninę lygtį parabolės, kurios F(p/2, 0) o direktisės lygtis y= -p/2. Pagal parabolės apibrėž turėsim, kad |NM|= |FM, NM{x+ p/2; 0), FM{x-p/2; y}, (x2+ p/2)2= ((x- p/2)2+y2), (x+p/2)2= (x-p/2)2+ y2, x2+ px+ p2/4= x2- px+ p2/4+ y2, y2= 2px – kanoninė lygtis. p – parabolės parametras. Išvada: parabolė yra simetrinė tai koordinačių ašiai kuri lygtyje yra pirmojo laipsnio. Skaičių seka ir jos riba. Jeigu kiekvienam natūriniam skaičiui n tam tikru būdu galima priskirti skaičių xn, tai turime skaičių seką. x1, x2, .. ,xn arba {xn} xn – bendras sekos narys. Turėdami bendrąjį narį galime užrašyti bet kurį sekos narį, o tuo pačiu ir visą seką: xn= 1/n, x1= 1, x2= ½, x3= 1/3; {1/n} 1, ½, 1/3, .. ,1/n,.. Kad išsiaiškinti sekos ribos sąvoką imkim keletą pvz: 1) {1/n}= 1, ½, 1/3,..,  0. 2) {(n+ 1)/n}= 2, 3/2, 4/3,..  1. 3) {(-1)n/n}= -1, ½, -1/3,…  0. 4) {(-1)n}= -1, 1, -1,..Iš šių pvz matom, kad kai n , sekos 4) neartėja prie jokio vieno skaičiaus, sekos 1) neartėja prie 0, sekos 2) artėja prie 1. Skaičius prie kurio artėja sekos nariai vad sekos riba. Apibrezim: Skaičius a vad sekos {xn} riba, jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui > 0 galima rasti tokį natūrinį skaičių N, kad visiems n> N teisinga nelygybė |xn-a| 0, galima rasti tikį natūrinį skaičių N, nuo kurio pradedant sekos nariai xN+1, xN+2,… patenka į taško a  - aplinką. Skaičius N visada priklauso nuo pasirinktos  reikšmės. Pakeitus , keisis N. Pvz: Įrodyti, kad skaičius a= 0 yra sekos {xn= (-1)n/n} riba. Pagal sekos ribos api brėž turėsim, kad |(-1)n/n- 0|10, vadinasi imdami n reikšmes didesnes už N= 10 turėsim, kad |xn-0| 10. n  lim(-1)n/n= 0. = 0,001, 1/n 1000, N= 1000, visi sekos nariai tenkins lygybę |xn-0| xn+1. Didėjančios ir mažėjančios sekos vad monotoninėmis. Seka {xn} – aprėžta iš viršaus, jeigu egzistuoja tiks skaičius M, kad su kiekviena reikšme n, teisinga nelygybė xn M. M – sekos viršutinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius M1> M, taip pat sekos viršutinis rėžis. Seka {xn} – aprėžta iš apačios, jeigu galima rasti tokį N, kad visiems n būtų patenkinta sąlyga xn N. N – apatinis rėžis. Kiekvienas kitas skaičius N1 0, kad su kiekviena reikšme n teisinga nelygybė |xn| k. Skaičius e. skaičius e yra imamas logaritmų pagrindu. Logaritmai, kurių pagrindas yra e vad natūriniais ir žymimi lnx= logex.nlim (1+ 1/n)n= e. Funkcijos riba taške. Duota funkcija y= f(x) apibrėžta taško a aplinkoje. Išskyrus patį tašką a. Ap: Skaičius b vad f(x) funkcijos riba taške a, jeigu kiekvienam, kiek norima mažam skaičiui > 0 galima rasti tokį skaičių > 0, kad visiems x a tenkinantiems sąlygą |x-a| a lim f(x)= f(a+0)= b2. Funkcijos ribos iš kairės arba iš dešnės vad vienpusėmis ribomis. Vienpusių ribų apibrėž: 1. Skaičius b1 vad funkcijos f(x) riba taške a iš kairės, jeigu kiekvienam, kiek norima mažam skaičiui > 0 galima rasti tokį skaičių > 0, kad esant patenkintai sąlygai x-a 1. Kai b1= b2= b, tada riba xa lim f(x)= b. Jeigu b1 b2, tada riba xa lim f(x) – neegzistuoja. Kad funkcija f(x) kokiame tai taške turėtų ribą, ji šiame taške turi turėti ribas ir iš kairės ir iš dešnės, ir jos turi būti lygios. Funkcijos riba begalybėje. Imkim funkciją f(x)= 1+ 1/x. didėjant |x|, trupmenos reikšmės artėja prie 0. Taigi, kai |x| reikšmės yra didelės, funkcijos f(x) reikšmės mažai skiriasi nuo 1. x  lim (1+ 1/x)= 1. Tegu funkcija y= f(x) apibrėžta visiems x(-; +). Ap: skaičius b vad funkcijos f(x) riba, kai x , jeigu kiekvienam kiek norima mažam skaičiui > 0, galima rasti tokį skaičių M> 0, kad visiems |x|> M yra teisinga nelyg |f(x)-b| 0, galima rasti tokį skaičių > 0, kad visiems x patenkinantiems sąlygą |x- a| M: x a lim f(x)= . Ap: Funkc f(x) riba, kai x  lygi  jeigu kiekvienam kiek norima dideliam skaičiui M> 0, galima rasti tokį skaičių N> 0, kad visiems |x|> N yra teisinga nelygybė |f(x)|> N: x  lim f(x)= . Ap: Jeigu riba x a lim f(x)=  arba (x  lim f(x)= ), tai funkc f(x) vad neapibrėžtai didėjančia, kai x a arba x . Ap: funkc y= f(x) vad aprėžta tam tikrame intervale (a, b), jeigu visiems x (a, b) turime, kad |f(x)| 0 kiek norima didelis skaičius. Nykstačios funkcijos, jų sąvybės. Funkcija (x) vad nykstačia (nykstamai mažėjančia), kai x a, jei riba x a lim (x)= 0 (x a, x ). Pritaikę ribos apibrėž turėsim: Ap: Funkcija (x) vad nykstamai mažėjančia, kai x a, jeigu kiekvienam > 0, galima rasri tokį > 0, kad esant patenkintai sąlygai |-a| 0, galėsim rastirasti tokį 1> 0, kad |(x)| 0, galim rasti tokį 2> 0, kad |(x)| 0, galima rasti tokį skaičių > 0, kad esant patenkintai sąlygai |x- x0|

Daugiau informacijos...

★ Klientai rekomenduoja

Šį rašto darbą rekomenduoja mūsų klientai. Ką tai reiškia?

Mūsų svetainėje pateikiama dešimtys tūkstančių skirtingų rašto darbų, kuriuos įkėlė daugybė moksleivių ir studentų su skirtingais gabumais. Būtent šis rašto darbas yra patikrintas specialistų ir rekomenduojamas kitų klientų, kurie po atsisiuntimo įvertino šį mokslo darbą teigiamai. Todėl galite būti tikri, kad šis pasirinkimas geriausias!